Tích Phân & ứng dụng của tích phân

Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Ch ơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1
)(
2
+
=
x
x
xg
2) Tính nguyên hàm của hàm số
32
)1(
1
)(
+
=
x
xf
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0#,)(
2
aaxxxg
+=
2) Tính nguyên hàm của hàm số

0#,)(
2
aaxxf
+=
3) Tính nguyên hàm của hàm số
0#,)2()(
2
aaxxxh
++=
Bài 3: CMR hàm số
)1ln()( xxxF
+=
là một
nguyên hàm của hàm số
x
x
xf
+
=
1
)(
Bài 4: CMR hàm số
0 # a ,ln
22
)(
22
axx
a
ax
x

xF
++++=
là một
nguyên hàm của hàm số
axxf
+=
2
)(
Bài 5: CMR hàm số





=
>

=
0 xkhi 0
0 xkhi
4
)1ln(
)(
2
xxx
xF
là
một nguyên hàm của hàm số

=
>
=
0 xkhi 0
0 xkhix.lnx
)(xf
Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số
2
3
x voi32)()(
2
>++=
xcbxaxxF
là một
nguyên hàm của hàm số
32
73020
)(
2

+
=
x
xx
xf
Bài 2 Xác định nguyên hàm bằng
công
thức
Bài1: Tính các tích phân bất định sau

1)
dx
xx










3
11
;
dx
x
x










3

1
2)
dxxxxxx .))(2(
44

+
3)
.
12
1
; .
12
4
2
2
2
dx
xx
xx
dx
xx
x

+
++
+
+
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)
.

1
1
; .
43
4
2
2
dx
x
x
dx
x
dx

+


2)
.
sin
; .
sin1
dx
x
dx
dx
x
dx

+

3)
dx
xxx
dx
dx
x
dxx

.
)ln(ln.ln.
; .
2cos
.sin
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)
( )
..32 ; ..2 dxdxee
xxxx

+++

2)

ln.
; ..
cos
2.
2

+

xx
dx
dx
x
e
e
x
x
3)

49
3.2
; .)1(
3


+
dxdxe
xx
xx
x

Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
.cot ; ..cos.sin
2

dxgxdxxx
2)

+
+
5
cosx-sinx
cosx).dx(sinx
;
cos
;
cos1 x
dx
x
dx
Bài 3 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp phân tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
( )
12
164
f(x) ;23)(
2
2

3
+
++
==
x
xx
xxf
2)
6
2
)( ;
132
f(x)
23
24

=
+
=
xx
xf
x
xx
3)
94
194
)( ;
2
1
f(x)

2
3
2


=

=
x
xx
xf
xx
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
2f(x) ;)(
44
3
4
++==

xxxxxxf
2)
34
1
)( ;
122
1
)(
++
=

+
=
xx
xf
xx
xf
Bà
i 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1)
( )
xxxxx
xf
432
2
2
4.3.2f(x) ;23)(
=+=
2)
x
xx
x
exf
10
52
f(x) ;)(
11
23
+

==
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)

)1(
; .)1.(
100
2
10



dx
x
x
dxxx
2)

31
.
; .52.
3



dx
x
dxx
dxxx
Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)

Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
1
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Cho hàm số
23
333
3
2
+
++
=
xx
xx
y
1) Xác định a,b,c để
)2()1(
)1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a

y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
xxxxf
444
cossinf(x) ; cos)(
+==
2)
xgxxxf
266
cotf(x) ; sincos)(
=+=
3)
x
xxxf
4
32
sin
1
f(x) ; sin.cos8)(
==
4)
xx
x
xx
xf
223
sin.cos
2cos

f(x) ;
sin.cos
1
)(
==
5)
23x
x
f(x) ;
2sin3
cossin
)(
24
++
=
+
+
=
x
x
xx
xf
6)
22
3
)1x(x
1
f(x) ;
1
)(

++
=
+
=
xx
xf
7)
)x.ex.(1
1x
f(x) ;
1
1
)(
x
+
+
=

=
x
e
xf
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
(Không có hàm ngợc )
1)
2
22
2
3
2

x
13
f(x) ;
2
3)(
x
exxx
x
xxf
+
=






=
2)
2
2
x-1
11
f(x) ;
3
)(
xx
x
x
xf

+
=

=
3)
;
1x
2
)( ;
x1
1
)(
2
+
=
++
=
x
x
xf
x
xf
Bài 4 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp đổi biến số
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)

+++
+
=

=
3232
).12(
B ;
)4(
23428
3
xxxx
dxx
x
dxx
A
2)
dx
xxx
x
dx
x
x
A

++

=
+

=
.
)23(

3
B ;
1
1
24
2
4
2
3)
dx
xx
x
dx
xx
A

+

=
+
=
.
)1(
1
B ;
)1(
1
4
4
26

Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)
dxx
xx
xdx
A .1B ;
11.1
2
22

+=
+++
=
2)
(
)
dx
xx
dx
e
dx
A
x
.
1)1(.1
B ;
1
3
2
3

2

+++
=
+
=
3)

+
=
+
=
65
B ;
12.2
2
xx
dx
xx
dx
A
4)
[ ]


=

=
2
3

3
1
B ;
)2).(1(
x
dxx
xx
dx
A
5)

+++
=
+++
=
11
B ;
22)1(
2
xx
dx
xxx
dx
A
6)


+
=
++

++
=
1
2
B ;
1).43(
)186(
2
2
22
3
x
dxx
xx
dxxx
A
7)


=+=
1
B ;.dx 1.
2
3 23
xx
dx
xxA
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
+
=
+
=
dx
x
xxx
xx
dx
A
sin2
cos.sincos
B;
1cossin2
2
2)

=

=
dx
xx
xx
dx
A
3
cos.sin
1
B ;

sin22sin
3)

+
==
dx
xx
x
xx
dx
A
1sincos
sin
B ;
cos.sin
2
4
53
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)


==
dx
x
x
dxxxA
2
B ;)51(
2

1023
2)

+
=

=
dx
x
dx
dx
x
dx
A
3232
)4(
B ;
)4(
3)
;
1
x
B ;
.1
2
56


=
+

=
x
dx
x
dxx
A
4)
;
2
x
2
2


=
x
dx
A
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
1)

+=
dxxaxA ..
2

+

=
dx
x

x
.
1
1
B
2)

=
+
=
dx
x
x
x
dxxx
A
6
2
2
3
cos
sin
B ;
cos1
.cos.sin
3)

+
==
dx

ee
dxxxA
xx 2/
5
1
B ;.sin.cos
4)



=+=
dx
ee
dxxxA
xx
x
4
1
B ;).ln1(
Bài 5 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp tích phân từng
phần
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
x
x
x
xxf 2sinxf(x) ;
ln
f(x) ; ln)(

2
2
=






==
2)
( )
;1f(x) ;x .cos)1()(
12x222
+
+=+=
exxxf
3)
;3cos.f(x) ;.sinx )(
-2x2
xeexf
x
==
4)
; )1cot(cot)(
2 x
egxxgxf

++=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau

1)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
2)

==
dxxxdxxeA
nx
.ln.B ;.cos.
22
3)

==
dxxxdxexA
x
).3sin(.B ;..
232
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
2
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
4)

=
+
=
dxxx
x

dxex
A
x
).2cos(.B ;
)2(
.
2
2
2
5)

+
+
==
x
dxex
dx
x
x
A
x
cos1
.)sin1(
B ;.
sin
)ln(sin
2
6)

==

dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
7)
;.).724(
223

++=
dxexxxA
x
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dx
x
x
x
dx
A .
cos
B ;
sin
23
2)

=
+

=

dx
x
x
dx
x
x
xA .
sin
cos
B ;.
1
1
ln.
3
2
3)

+==
dxxx
x
dxx
A ).1ln(B ;
sin
.
2
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

xx
x
xfa


=
3
4
2
)( )

xx
xfb

=
3
1
)( )
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2
)1(
1
)(
+
=
xx
xf

Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số

23
333
3
2
+
++
=
xx
xx
y
1) Xác định các hằng số a,b,c để
)2(
)1()1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

10022
2001
)1(
)(
+
=
x
x
xf

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)

22
1
)( ;
123
1
)(
22
+
=

=
xx
xf
xx
xf
2)

)22(
1
)( ;
)123(
1
)(
3222
+
=

=
xx
xf
xx
xf
3)

)54(
137
)( ;
)54(
137
)(
322


=


=

xx
x
xf
xx
x
xf
4)
1
1
f(x) :
2
32
)(
32
2

+
=

+
=
x
x
x
xx
xf
5)

1)x(x
1

f(x) ;
12
)(
22
3
+
=
+
=
xx
x
xf
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
=

=
dx
xx
x
xx
dxx
A .
23
B ;
12
.
324

2)

+
=

=
dx
x
x
xx
dxx
A .
1
B ;
2
.
8
5
36
5
3)


=
+

=
dx
x
x

xx
dxx
A .
)10(
B ;
)1(
).1(
210
4
7
7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
1)


=
+
+
=
dx
x
x
xxx
dxx
A .
)1(
B ;
65
).1(
100

3
23
3

+

=
++++

=
dx
xxx
xx
xxxx
dxx
A .
254
4
B ;
1
).1(
23
2
234
2
Bài 7 Nguyên hàm của các hàm số
Lợng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) (ĐHVH 2000)
2

sin)(
2
x
xf
=
2)
;cot)( ;)(
65
xgxfxtgxf
==
3)
;sin.cos)( ;8sin.cos)(
233
xxxfxxxf
==
4)
xxxxf
xxxxf
3cos.2cos.cos)(
;4sin.2cos.cos)(
=
=
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)

+
=
+
+
=

xx
dxxx
xx
dxx
A
cossin
.sin.cos
B ;
)cos1(sin
)sin1(
2)


=
++
=
xx
dxx
xx
dx
A
2cossin1013
.cos
B ;
1cossin
3)



=

+
=
xxxx
dx
xxx
dx
A
22
22
cos5cos.sin8sin3
B
;
cos2sinsin
4)

+
=
+
=
xx
dxx
x
dxx
A
442
cossin
.2cos
B ;
1sin
.2sin

5)

==
xx
dx
xx
dx
A
5342
cos.sin
B ;
cos.sin
6)

=
+

=
x
dx
xx
dxxx
A
3
cos
B ;
cos2sin
)cos(sin
7)

+
==
1cos2
).sin(sin
B ;
sin
.cos
2
3
3
4
x
dxxx
x
dxx
A
8)

+
=
+

=
12sin
B ;
2sin1
).sin(cos
x
dx

x
dxxx
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)


=+=
12
.
B ;.
24
3
43
xx
dxx
dxxxA
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
3
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
2)

++++
+++
=
+++
=

11
)1(
B ;
1
2
2
2
xxx
dxxxx
xxx
dx
A
3)


=
++
+
=
322
)1(
B ;
16
).54(
x
dx
xx
dxx
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau

1)

+
=

=
22
23).1(
B ;
1)1( xxx
dx
xx
dx
A
2)


++
=
++
=
12)12(
B
;
3212
3
2
xx
dx
xx

dx
A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
Biết rằng

+++=
+
Cxx
x
dx
)3ln(
3
2
2
Tìm
nguyên hàm

+=
dxxxF .3)(
2

Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999). Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
10
1
)(
+
=
x
x

xF
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
1212
1
)(
++
+=
xx
tgxxF
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân


=
1
2
xx
dx
I
Bài 9 Nguyên hàm của các hàm số
Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)
x
exxxF ).23()(
2
++=
2)
x
exxF

+=
)
4
cos(.2)(

3)
xxxx
xF 4.3.2F(x) ;)23()(
32x22
=+=
4)
xx
x
ee
exF



==
x
23
e
F(x) :)(
5)
x
x
x
x
e

e
xF
10
52
F(x) :
1
)(
11x52
+

=
+
=
6)
2
x
2
2
1).e-(x
F(x) :
1
).1(
)(
x
x
exx
xF
x
=
+

++
=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dxxedxbxeA
xax
.sin.B ;).sin(.
22
2)

==
dxexdxxxA
xn 32
.B ;.ln.
3)

+==
dxxxdxxA ).12ln(.B ;).sin(ln
2
4)
;.).4252(
223

++=
dxexxxA
x
5)

+
==
x
x
e
dxe
x
dxx
A
1
..2
B ;
sin
)ln(sin
2
6)

=
+
+
=
x
dxx
x
dxex
A
x
2
cos
).ln(cos

B ;
cos1
).sin1(
7)
;.
1
1
ln.
1
1
2


+

=
dx
x
x
x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
++
=
+
=
1.

)1ln(.
B ;
1
2
2
x
dxxxx
e
dx
A
x
2)

++=
+
=

dxe
xx
dxx
A
x
.2eB ;
1ln.
.ln
x
Ch ơng 2:
tích phân
Bài 1 Tính tích phân bằng phơng
pháp

phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
1)


+
=+=
3
1
2
1-
2
3

2x
x.dx
B ;).1( dxxA
2)

++
=

=
2
1
5
2

22x
dx

B ;.
527
e
x
dx
x
xx
A
3)

+
+
=
2
1
2
;
ln
).1(
xxx
dxx
A

=
2
6
3
3
;
sin

.cos


x
dxx
B
4)



+

==
1
0
4
0
2
dx;B ;
cos
.
xx
xx
ee
ee
x
dxtgx
A

5)

+
=
+
=

2
1
2
1
0
;
84
B ;
.
xx
dx
ee
dxe
A
xx
x
6)

+
=
+
=

2

0
3ln
0
;
sin1
B ;
.

x
dx
ee
dx
A
xx
7)

=
+
=
2
4
4
1
2
1
2
;
sin
B ;
1

x
dx
xx
dx
A
8)















=

=
+
=
2
1

3
0
22
2
3
t ;
49
6
B ;
cos3sin
x
xx
x
dx
xx
dx
A

Bài 2: Tính các tích phân


==
2
4
2
0
2
)
4
(cos.sinB ;.3sin.5cos

dxxxdxxxA
Bài 3: Tính các tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
4
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân


+==
3
3
4
1-
2
.23B ;.2 dxxxdxxA
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B
BxAxF
+=
)sin(.)(

thoả mãn F(1) = 2
và

=
1
0

4).( dxxF
Bài 5: Cho
xbxaxF 2cos.2sin.)(
=
xác định
a,b biết

==






2b
a
,
1. va2
2
dxaF

Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
CMR

=


4
0
4

0
2
2
)
5
103
(log dxdx
x
xx
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2)(
2
++=
x
b
x
a
xF
thoả mãn

==
1
2
1
,
3.ln2-2F(x).dx va4)(xF
Bài 8: Cho
bxaxF
+=
2sin.)(

xác định a,b biết
( )

==

2
0
,
3).( va40 dxxFF
Bài 2 Tính tích phân bằng phơng
pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999)

=
1
0
19
;.)1( dxxxA
2) (ĐHSP Quy Nhơn)

+++=
1
0
102
;.)321)(31( dxxxxI
3) (ĐHTM 1995)

+

=
1
0
2
5
;.
1
dx
x
x
I
4)

+
=
a
xa
dx
I
0
222
;
)(
5) (ĐHKT HN 1997)

=
1
0
635
;.)1( dxxxI

6) (ĐH TCKTHN 2000)

++
=
1
0
24

1
.
xx
dxx
I
Bài 2: : Tính các tích phân sau
1)
;.
4
B ;.
1
1
0
2
2
1
0


=

=

dx
x
x
dx
x
x
A
2)

1
B ;.
1
0
1
2
1
2
2
2
2


++
=

=
xx
dx
dx
x

x
A
3)
1995) -(DHTM ;.1.
1
0

=
dxxxA
4)
1998) (DHYHN ;.1
1
2
1
2


=
dxxA
5)
2000) HP (DHY ;.)1(
1
0
32

=
dxxA
6)
1998) (HVQY ;.
1.

3
2
2

+
=
dx
xx
dx
A
7) (ĐHGTVT HN 1996)

+=
3
0
25
;.1 dxxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)

==
3
0
4
0
2cos
.
B ;.sin
2
x

dxxtg
dxxA

2)


=
++
=
3
6
2
2
0
cos.sincos
.
B;
1cossin



xxx
dxtgx
xx
dx
A
3) (ĐHQGTPHCM 1998)

+
=

2
0
4
sin1
.2sin

x
dxx
I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)


=
2
0
2
cossin711
.cos

xx
dxx
I
5) (HVKTQS 1996)


=
2
3
3
3

.cot.
sin
.sinsin


dxgx
x
xx
I
6) (ĐH Y Dợc TPHCM 1995)

+
=

0
2
cos49
.sin.
x
dxxx
I
7) (HVBCVT HN 1998)

+
=
2
0
2
3
cos1

.cos.sin

x
dxxx
I
8) (CĐSP TPHCM 1997)

+
=
6
0
2
sinsin56
.cos

xx
dxx
I
9) (HVNH HN 1998)

=

0
2
.cos.sin. dxxxxI
Bài 4: Tính các tích phân sau
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
5