Các bài tập rút gọn lớp 9 (down nhanh lên)

x 2 x 2 x 1 1
P 1:
x x 1 x x 1 x 1

+
= +
ữ
+ + +











+
+

+
+
+

=
1
2
1
1
1
3
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x
x
P

+









+
+
+
+
=
1
1:
1
1
1
22
x
x
xxxxx
x
P
P
1

+
+








+
+
+++
=
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x

P
729
53

=
x
P
1
P = 2 x - 1
3819
=
x
347
=
x
1
=
xP
Nguyễn Trần Khánh
Phần I : Một số dạng toán cơ bản
A.Toán rút gọn
Bài 1: Cho biểu thức:
P


=
ữ
ữ

x+2 x-7 x-1 1 1
+ : -
x-9
3- x x+3 x-1
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của P biết
c/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
d/ Tìm x để P < 1
Bài 2: Cho biểu thức:
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của P biết
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
d/ Tìm x để
Bài 3: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
Bài 4: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
d/ Tìm x để P > 1
Bài 5: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P.
b/ Tính giá trị của P biết
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
Nguyễn Trần Khánh
Bài 6 : Cho biểu thức

+

+


+
+
+








+
=
6
2
2
3
3
2

:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
2
53

=
x
c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
d) Tìm x để P < 1
e) Tìm các giá trị của x để
3
=
xP
Bài 7 : Cho biểu thức
3
32
1
23

32
1115
+
+



+
+

=
x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho
2
1
=
P
c) Chứng minh P
3
2
Bài 8 : Cho biểu thức
1- x x x 2 2 1- x
P - :

x - 2 1- x x - 3 x 2 x - 2 x - 2 x

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
526
=
x
c) Tìm giá trị lớn nhất của
x
P
Bài 9 : Cho biểu thức
144
1
:
21
1
14
5
2
2
1
++

+
=
xx
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu
x 1=
c) Tìm các giá trị của x để
2
1
=
P
d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 10 : Cho biểu thức

+









+

=
xxxxx
x
P
1
2
1
1

:
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biết
347
=
x
c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn
xmxP
=
.
Bài 11 : Cho biểu thức
2 x 1 2 x 6 x 5
P 1 : 2
1 9x
3 x 1 3 x 1

+
=
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
xP
=
c) Cho

13
52)1(2

+
=
x
mxm
P
(x là ẩn). Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
Xác định dấu của hai nghiệm đó.
Bài 12 : Cho biểu thức








+

+
+

+

=
22
2
:
1
3
1
3
x
x
xx
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
2
32

=
x
2

+

+
=
2
3
1:
3
1
32

4
x
x
x
x
xx
xx
P









+
+








+

+
+
=
1
1
2
:
4
3
43
73
x
x
x
x
xx
xx
P
3
+=
xP
Nguyễn Trần Khánh
c) Tìm các giá trị của m để có giá trị x thoả mãn :
4)1(
+=++
xmxmxPx
Bài 13: Cho biểu thức
12
1
:

1
11
+
+









+

=
xx
x
xxx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá tri của x để
5
12

=
x
P
c) So sánh P với 1
Bài 14 : Cho biểu thức

+
+









+


++
=
1
1
1
1
:

1
)1)(2(
23
xx
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
8
11

+

x
P
Bài 15 : Cho biểu thức

+










+

=
x
x
xxx
x
P
1
3
2:
1
1
352
2
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm x để P =
P

Bài 16 : Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 0 c/ Tìm x để P < 1

Bài 17: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
Bài 18 : Cho biểu thức :








+
+
+

+

=
xx
xxxx
x
xx
xx
P
1
2
1
12
:
1
1
1
a)Rút gọn .
b) Tính P với x =
347

.
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 19: Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh A > 0 với mọi x thuộc TXĐ
Bài 20 : Cho biểu thức:
3
2
1

:
1
1
11
2










+
++
+

+
=
x
xxx
x
xx
x
A

++
+











+
=
1
2
:
1
1
1
2
xx
x
xxx

xx
A
6
1
=
A
Nguyễn Trần Khánh
a) Rút gọn A .
b) Tính
A
khi
x 5 2 6= +
Bài 21: Cho biểu thức:










+
+
+

+

=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
a) Rút gọn M .

b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?
Bài 22: Cho biểu thức:
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
M
222
1
:
133
++










+


++

=
a) Rút gọn M .
b) Tìm các giá trị nguyên của biến để M có giá trị nguyên .
Bài 23: Cho biểu thức:








+

+

+






+
+
+



=

1
1
1
1111
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
Q
a) Rút gọn Q .
b) Tìm giá trị của x để Q = 6 .
Bài 24: Cho biểu thức:









+

+








=
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
A
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị của a để
Bài 25:
Cho biểu thức:
aa
a

a
A


+


+
=
1
1
1
1
1
42
3
2
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Bài 26 : Cho biểu thức :
( )

+
+








+


+

=
x
x
xx
x
x
xx

x
xx
P
1
1
.
1
1
:
1
1.
2
a) Rút gọn P.
b) Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x 1
c) Biết
x
x
P
Q
31
+
=
Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.
d) Tìm x để
32
>
P
Bài 27 : Cho biểu thức :

+


+
+
=
1
3
22
:
9
33

33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
1
<
P
c) Tìm x để :
( )
2223.
=+++
xxxP
4
Nguyễn Trần Khánh
d) Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :

( ) ( )
( )
mxxmxxxP
+=++

33.
Bài 28 : Cho biểu thức :








+
+
+








+
+
+=
xyy
xy
xyx
xy
yx
yxyxxy

P
22
:
22
1
a) Rút gọn P
b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x , y thoả mãn :

6
=+
yx
Bài 29 : Cho biểu thức :
1212
1
.
1
1
2

+
+

+


+
=
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của
xx
x
PA
+

=
35
.

c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có :

( )
( )

xxmxxP
+>++
131.
Bài 30 : Cho biểu thức :










+










+

=
2
2

.
2
45
2
1
x
x
x
x
xx
x
x
P

a) Rút gọn. b) Tính giá trị của P với x =
2
53

. d) Giải pt:
( )
7
4
9
2
=
+
+
P
x
x

c ) Tìm m để có x thoả mãn P =
12
+
mxxmx
e) Tìm m để có x thoả mãn:
f) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt:
Pmx 2

( )
( )
141
2
2
+=
yyyPxx
B. Hàm số bậc nhất :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:
a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng
2y x=
và đi qua điểm B(1;
2 3+
)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y = x 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng :
y = (k 2)x + m 1 và y = (6 2k)x + 5 2m.
a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a 1)x + a

a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng - 3
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm đợc ở các câu a và b trên cùng một hệ
trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng vừa vẽ đợc.
Bài 4 : Cho đờng thẳng y = (m 2)x + n (m 2) (d)
5
Nguyễn Trần Khánh
Tìm các giá trị của m và n trong các trờng hợp sau:
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4)
b) Đờng thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2
+
và cắt trục hoành tại điểm
có hoành độ bằng
2 2
+
c) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng 2y + x 3 = 0
d) Đờng thẳng (d) trùng với đờng thẳng y 2x + 3 = 0
Bài 5 :
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau :
y = x (d
1
) ; y = 2x (d
2
) ; y = - x + 3 (d
3
)
b) đờng thẳng (d
3

) cắt hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của
các điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 6 : Cho hàm số y = (1 2m)x + m + 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đờng thẳng y = 3x 1 + m
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định
duy nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đờng thẳng
y = - 4x + m 1 (d1) và y =
4
15 3
3
x m
+
(d
2
)
a) Tìm m để hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2

) với trục
hoành.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8 : Tìm toạ độ của M(x
1
; y
1
) thuộc đờng thẳng 2x + 3y = 5 sao cho khoảng cách từ gốc toạ
độ O đến M nhỏ nhất.
C. Hàm số bậc hai- Phơng trình bậc hai một ẩn Hệ thức Vi-et.
Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n
I.Tóm tắt lý thuyết:
1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ
phơng trình
2
mx n y
ax y
+ =


=


6
Nguyễn Trần Khánh

2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của ph-
ơng trình ax
2
= mx + n tức ax
2
- mx n = 0
(1)
a) Nếu phơng trình (1) có > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đờng thẳng cắt Parabol tại
hai điểm phân biệt.
b) Nếu phơng trình (1) có = 0 thì (1) có nghiệm kép, đờng thẳng tiếp xúc với Parabol.
c) Nếu phơng trình (1) có < 0 thì (1) vô nghiệm, đờng thẳng và Parabol không giao
nhau
II.Bài tập
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x
2
(P) và y = 2x + 3 (d)
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ
giác ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = 2x m (d)
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
b) Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A và
B với m = - 3 .
c) Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol y = x

2
(P) và đờng thẳng y = mx m (d)
a) Với giá trị nào cuả m thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm toạ độ trung điểm M của AB. Suy ra một hệ thức liên hệ giữa các toạ độ của m, độc
lập với m.
Bài 4: Cho Parabol (P): y =
2
4
x
và đờng thẳng y = mx + n. Xác định hệ số m và n để đờng
thẳng đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ giao điểm và vẽ đồ thị của (P) và đ-
ờng thẳng.
Bài 5: Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng y =
1
2

x + n
a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng tiếp xúc với (P).
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đ-
ờng thẳng trong trờng hợp ấy.
Bài 6: Cho Parabol (P): y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số a, m, n biết rằng
(P) đi qua điểm A(-2; 2), đờng thẳng đi qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P).
Bài 7: Cho hàm số y = 2x

2
(P).
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ.
c) Tuỳ theo m hãy xét số giao điểm của đờng thẳng y = mx 1 với (P).
7
Nguyễn Trần Khánh
d) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P).
e) Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau
và cùng tiếp xúc với (P).
f) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng
5
Bài 8: Cho hàm số y = (2m - 1) x
2
(P).
a) Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm đợc.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P)
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm T thuộc (P)
Có tung độ
1
16

.
d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1.
Bài 9: Cho Parabol y = ax
2
và đờng thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1)
a) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đờng thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B.
b) Gọi hoành độ của A,B lần lợt là x

1
, x
2
. CMR:
1 2
2x x
>

c) Chứng minh rằng: OAB vuông.
Bài 10: Cho Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng (d): mx + y = 2.
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đờng thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định.
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích AOB ứng với giá trị tìm đợc
của m.
d) Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định.
Bài 11: Cho Parabol (P): y = - x
2
đờng thẳng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm giá trị của
m để AOB đều. Tính diện tích tam giác đều đó.
Bài 12: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy từ điểm M nằm phía dới đờng thẳng y =
1
4

ngời ta kẻ các
đờng thẳng MN, MP tiếp xúc với Parabol y = x
2

tại điểm N, P. Chứng minh góc NMP nhọn.
Bài 13: Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng y =
1
2
x + 3
a) Xác định toạ độ giao điểm A, B của Parabol và đờng thẳng.
b) Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB của Parabol sao cho ABC có diện tích
lớn nhất.
Phơng trình bậc hai một ẩn Hệ thức Vi-et
8
Nguyễn Trần Khánh
Bài 1 : Cho phơng trình (m 1)x
2
4mx + 4m 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1.
Bài 2: Cho phơng trình x
2
2(k 1)x + k 4 (1) . (x là ẩn, k là tham số).

a) Giải phơng trình với k = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
c) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
d) Chứng minh rằng biểu thức A = x
1
(1 x
2
) + x
2
(1 x
1
) không phụ thuộc vào
giá trị của k (x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1))
Bài 3 : Cho phơng trình (m + 3)
2
+ 2mx + m 3 = 0 (1) với x là ẩn, m là tham số.
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình với m =
3
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1

2
+ x
2
2
= 4.
e) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phơng trình (1).
Bài 4 : Cho phơng trình x
2
2(m 1)x + 2m 5 = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
Bài 5 : Cho phơng trình (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 1.
b) Tìm m để tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 6 : Cho phơng trình x
2
+ 2x 5 = 0 . Không giải phơng trình hãy tính :
a) Tổng và tích hai nghiệm của phơng trình.
b) Tổng các bình phơng hai nghiệm của phơng trình
c) Tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phơng trình
d) Tổng các nghịch đảo bình phơng hai nghiệm của phơng trình
e) Tổng các lập phơng hai nghiệm của phơng trình.
D. Hệ phơng trình :
Bài 1 : Cho hệ phơng trình :
( 2)
1

m x y m
mx y
+ + =


=

a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
Bài 2 : Cho hệ phơng trình :
1
mx y n
x y
+ =


+ =

a) Giải hệ với m = -1, n = 1
b) Tìm n để hệ có nghiệm với mọi giá trị của m
9
Nguyễn Trần Khánh
E. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Bài 1: Một ngời đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đuổi
theo trên cùng một con đờng và gặp ngời đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi ngời
biết vận tốc của ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 20 km/h.
Bài 2: Hai bến tàu A và B cách nhau 48 km.Một tàu thuỷ đi từ bến A đến bến B rồi trở lại, cả đi
lẫn về hết 5 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu, biết vận tốc dòng nớc không đổi và vận tốc riêng
của tàu cả đi lẫn về là không đổi.

Bài 3: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau khi đi
đợc một giờ với vận tốc dự định, ngời đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đờng còn lại, nên
đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của ngời đi xe đạp.
Bài 4 : Một công nhân đợc giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời đó
làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán đợc giao đã đợc ngời công nhân hoàn thành
sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của ngời công nhân đó.
Bài 5 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vợt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế
hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 6 : Một đoàn xe đợc giao chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì đợc nhận thêm hai xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 0.5 tấn sao với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ?
Bài 7 : Một hình chữ nhật có chiều dài bằng
3
2
chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì diện
tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình ch nhật ban đầu.
Bài 8 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi
với vận tốc dự định, khi còn 40km nữa thì đợc nửa quãng đờng AB do trời ma nên ngời lái xe
giảm vận tốc 10km/h trên quãng đờng còn lại. Do đó ôtô đến tỉnh B muộn hơn một giờ so với
dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 9 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một
mình đầy bể trong bao lâu ?
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở
riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì đợc
2
5
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình
sau bao lâu thì đầy bể ?

Bài 11 : Một phòng họp 300 ghế ngồi nhng phải xếp cho 357 ngời đến dự họp, do đó ban tổ
chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ
ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy bao nhiêu ghế ?
Bài 12 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp
dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy
10
Nguyễn Trần Khánh
định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tôt theo kế
hoạch ?
Bài 13: Tổng của hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số
là 18. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sẽ đợc số mới lớn hơn số ban
đầu 54 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Bài 14: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô con
khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đờng ấy, đi đợc 2 giờ thì gặp ô tô khách. Tính vận
tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h.
Bài 15: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một ngời
khác đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi sẽ đuổi kịp
ngời đi xe đạp tại B. Nhng sau khi đi đợc một nửa quãng đờng AB, ngời đi xe đạp giảm bớt vận
tốc 3km/h nên hai ngời gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đờng AB.
Bài 16: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I đã vợt mức 15% kế hoạch của tổ, tổ
II vợt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó cả hai tổ làm đợc 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi
tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 17: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là
1giờ 12 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là
3km/h.
Bài 18: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian qui định và với một vận tốc xác
định. Nếu ngời đó tăng vận tốc 3km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ, nếu ngời đó giảm vận tốc 2km/h
thì sẽ đến B muộn 1 giờ. Tính khoảng cách AB, vận tốc và thời gian đi của ngời đó.
Bài 19: Sau khi nhận mức khoán, một công nhân dự kiến sẽ hoàn thành công việc trong 10 giờ.
Lúc đầu mỗi giờ ngời đó làm đợc 12 sản phẩm. Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc giao, nhờ

hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời đó làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Tính số lợng sản
phẩm đợc giao.
Bài 20: Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu ngời thứ
nhất làm một nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành
toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi ngời làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong
mấy ngày.
Bài 21: Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1giờ 30 phút, một
chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau khi
chúng đã đi đợc một nửa quãng đờng AB. Tính quãng đờng AB.
Bài 22: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhng số ngời đến họp là 144 ngời. Do đó, ngời ta phải
kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có bao nhiêu
dãy ghế.
Bài 23: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình ph-
ơng các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng
thêm 5.
Bài 24: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa
giỏi văn bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học
sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35.
11
Nguyễn Trần Khánh
Bài 25 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận
tốc ngợc dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 1 giờ Tính vận
tốc xuôi dòng và vận tốc ngợc dòng của ca nô.
Bài 26 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng 105km.
Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngợc dòng
42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngợc dòng của ca nô, biết vận tốc nớc và
vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 27 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng 105km.
Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngợc dòng
42km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vân tốc của dòng nớc, biết vận tốc nớc là và vận tốc

riêng của ca nô không đổi.
Bài 28 : Hai ôtô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ôtô thứ nhất bắt đầu xuất
phát, sau đó 15 phút ôtô thứ hai xuất phát và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ nhất
10km/h. Trên đờng đi ôtô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ôtô và hai ôtô dến B lúc
mấy giờ, biết chúng đến B cùng một lúc.
Bài 29 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B dài 30 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi
đuợc một nửa quãng đờng ngời đó nghỉ 15 phút. Để đến B đúng dự định ngời đó tăng vận tốc
trên quãng đờn còn lại 2 km/h. Tính vận tốc xe đạp lúc ban đầu và thời gian dự định đi từ A
đến B.
Bài 30 : Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất
thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm
mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến.
F. Hình học :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đờng tròn đờng kính
MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D.
a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đờng tròn
b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng minh
tứ giác AHCK nội tiếp
d) Xác định vị trí của điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đờng kính nhỏ nhất
có thể đợc.
Bài 2 : Cho (O;R) đờng kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ đờng thẳng
vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C. Nối
C với B cắt đờng tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K.
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp
b) Chứng minh : CI. CB = CK . CH
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
12