NGUYEN HAM TICH PHAN UNG DUNG

CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 + ln x
dx = ?
Câu 1: Tìm ∫
x
1
2
1 + ln 2 x + C
A.
B. ( 1 + ln x ) + C
2
4
3
2
Câu 2: Tìm ∫ ( x + x + x + x + 1) dx = ?

(

NGUYÊN HÀM

)

x5 x 4 x3 x 2
+ + + + x+C
5 4 3 2
D. 4 x 3 + 3x 2 + 2 x + 1
x5 + x 4 + x3 + x 2 + x + C
cos x
Câu 3: Tìm ∫ e .sin xdx = ?

A.

A. −esin x + C

B. −ecos x + C

C.

1
2
( 1 + ln x ) + C
2

B.

x5 x 4 x3 x 2
+ + + + x C.
5 4 3 2

C. esin x + C

D.

1
+ ln 2 x + C
2

D. ecos x + C

 x3 + 2 x 2 + 3x + 4 
÷dx = ?

x2



Câu 4: Tìm ∫ 

1 2
4
3 2
x + 2 x + 3ln x − + C
B. 1 − 2 + + C
C.
2
x
x
x
1 2
1
1 2
4
x + 2 x + 3ln x − + C D.
x + 2 x + 3ln x + + C
2
4x
2
x
1 1 1 1 1 
Câu 5: Tìm ∫  + 2 + 3 + 4 + 5 ÷dx = ?
x
x

x 
x x
1
1
1
1
1
1
1
1
A. ln x + + 2 + 3 + 4 + C
B. ln x − − 2 − 3 − 4 + C
x 2 x 3x 4 x
x 2 x 3x 4 x
1
1
1
1
1
1
1
1
C. 1 + + 2 + 3 + 4 + C
D. 1 − − 2 − 3 − 4 + C
2 x 3x 4 x 5x
x 2 x 3x 4 x
4
1



Câu 6: Tìm ∫  2 + 2 ÷dx = ?
cos
2
x
sin
3
x


1
1
1
A. 2 tan 2 x + cot 3x + C B. 4 tan 2 x − cot 3 x + C C. 2 tan 2 x − cot 3 x + C D.
3
3
3
8 tan 2 x − 3cot 3 x + C
1
dx = ?
Câu 7: Tìm ∫ 2
3x + 2 x − 5
1 3x − 5
1
x −1
1 3x + 5
1
x −1
+C
+C
+C

+C
A. ln
B. ln
C. ln
D. ln
8
x +1
8 3x + 5
8
x −1
8 3x − 5

A.

Câu 8: Tìm

∫ ( 7 x − 4)

dx = ?

( 7 x − 4)

6

7 x − 4)
C. 1 . (
+C

D.

C. 0

D. 1

6

1
6
.( 7 x − 4) + C
7
6
7
6
π 
Câu 9: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin ( π − x ) và F ( π ) = 1 . Tìm F  ÷.
2

A.

6
6
.( 7 x − 4) + C
7

5

A. 3

B.

B. 2

+C

Câu 10: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos

x
và F ( π ) = 0 . Tìm F(x).
2

1


x
1
x 1
B. F ( x ) = sin +
2
2
2 2
x
Câu 11: Tìm ∫ ( x + 1) e dx = ?

x
2

A. F ( x ) = 2sin + 2

x
x

A. ( x + 1) e − xe + C

Câu 12: Tìm

x
x
B. ( x + 1) e − e + C

∫ ( sin 5 x + cos 2 x ) dx = ?

1
5

1
2

A. − cos 5 x + sin 2 x + C
1
1
− cos 5 x − sin 2 x + C
5
2

D.

x
2

D. F ( x ) = sin −

 x2
 x
C.  + x ÷e + C
 2


D.

B.

1
2

( x + 1) e x + e x + C

1
1
cos 5 x − sin 2 x + C C.
5
2

1
1
cos 5 x + sin 2 x + C
5
2

Câu 13: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = x + 1 + 1

1
2

C. F ( x ) = 2sin − 2

B. F ( x ) = x + 1 − 1

1
và F ( 3) = 3 . Tìm F(x).
x +1

C. F ( x ) = 2 x + 1 − 1
f ( x) =

D. F ( x ) = 2 x + 1 + 1

1

π 
π  và F ( 0 ) = 2 . Tìm F  ÷ .

cos  3 x + ÷
4
4

3
5
A.
B. 3
C. 5

D.
5
3
4
Câu 15: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
và F ( 0 ) = 2 . Tìm F ( 2 ) .
1+ 2x
A. 2 ln 5 + 4
B. 5 ( 1 + ln 2 )
C. 2 ( 1 + ln 5 )
D. 4 ln 5 + 2

Câu 14: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số

2

2
Câu 16: Tìm ∫ x ( x + 1) dx = ?

A. x3 + x + C

B.

1 4 1 2
x + x +C
4
2

C. 2x + C

Câu 17: Tìm ∫ x.sin 3 xdx = ?
1
1
3
9
1
1
C. − x.cos 3 x + sin 3 x + C
3
3
1 + ln x
Câu 18: Tìm ∫ 2 dx = ?
x
1
1
A. ( 2 + ln x ) + C
B. − ( 2 + ln x ) + C
x
x

A. − x.cos 3 x + sin 3x + C

Câu 19: Tìm

∫(

D.

1 21 3


x  x + x ÷+ C
2 3


1
3

1
9
1
1
D. x.cos 3x + sin 3 x + C
3
9

B. − x.sin 3 x + sin 3x + C

C.

)

1
( 1 + ln x ) + C
x

D. −

1
( 1 + ln x ) + C
x

x + x 3 + 3 x + 3 x 4 dx = ?

2 3 2 5 33 4 33 7
x +
x +
x +
x +C
3
5
4
7
1
3
1
4
+
x+
+ 3 x +C
C.
2 x 2
3 3 x2 3

2 3 2 5 33 4 33 7
x +
x +
x +
x
3
5

4
7
3 3 5 5 43 4 73 7
x +
x +
x +
x +C
D.
2
2
3
3
2
Câu 20: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 1 + x ) và F ( 2 ) = 10 . Tìm F ( −1) .

A.

A. 0

B. 2

B.

C. -1

D. 1
2


x

∫ cos

Câu 21: Tìm

2

x

dx = ?

A. x cot x + ln cos x + C

∫( e

Câu 22: Tìm

−x

B. x tan x + ln sin x + C

+ e3 x + 2 + 5 x + 4 2− 7 x ) dx = ?

1
5 x 1 4 2− 7 x
− .
+C
3
ln 5 4 ln 7
1

5 x 1 4 2− 7 x
− .
+C
C. −e− x + e3 x + 2 +
3
ln 5 7 ln 4
1
dx = ?
2
Câu 23: Tìm ∫
( 5 − 3x )
1 1
.
+C
3 5 − 3x

B. −e − x + e3 x + 2 +

1 1
+C
5 5 − 3x

x

1 2
x tan x + C
2

1
5 x 1 4 2− 7 x

− .
+C
3
ln 5 2 ln 4
1
5 x 1 42 − 7 x
+ .
+C
D. −e− x + e3 x + 2 +
3
ln 5 7 ln 4

A. −e − x + e3 x + 2 +

A.

C. x tan x + ln cos x + C D.

1 1
.
+C
5 5 − 3x

1 1
+C
3 5 − 3x

B. − .

C.

D. − .

B. 1 − ln 1 + x + C

C. 1 + ln 1 + x + C

∫ 1 + x dx = ?

Câu 24: Tìm

A. x + ln 1 + x + C

D. x − ln 1 + x + C

 
2 x −1
Câu 25: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e
và F  ÷ = 1 . Tìm F(x).
2
1

1

1

2 x −1
A. F ( x ) =  e + ÷ B. F ( x ) =
2
2



1 2 x −1
( e + e)
2

C. F ( x ) =

1 2 x −1
( e + 1)
2


x
dx = ?
Câu 26: Tìm ∫
1 + x2
x2
+C
2
2
A.
1 3
B. ln ( 1 + x ) + C
C. 2 ln ( 1 + x ) + C
x+ x
3
1
1

3 
5 1
+
+
Câu 27: Tìm ∫  + +
÷dx = ?
 x 4 x 3x − 8 1 − 2 x 6 − x 
1
1
1
A. 5ln x + ln 4 x + ln 3 x + 8 − ln 1 − 2 x − ln 6 − x + C
4
3
2
1
1
1
B. 5ln x + ln x + ln 3 x + 8 − ln 1 − 2 x − 3ln 6 − x + C
4
3
2
1
1
1
1
C. 5 ln x + ln 4 x + ln 3 x + 8 − ln 1 − 2 x − ln 6 − x + C
4
3
2
2

1
1
1
D. ln 5 x + ln 4 x + ln 3 x + 8 + ln 1 − 2 x + 3ln 6 − x + C
4
3
2
2
Câu 28: Tìm ∫ sin x.cos xdx = ?

A.

1 3
sin x
3

1
3

B. − sin 3 x + C

C.

1
co s3 x + C
3

1
2

D. F ( x ) = e2 x −1 + 1

D.

1
ln ( 1 + x 2 ) + C
2

D.

1 3
sin x + C
3

TÍCH PHÂN
1

Câu 1: Biết

∫ x.e

−x

dx = a.eb . Tính S = a + b .

−1

3

A. S = −2

B. S = −3

C. S = 3

D. S = 2
2

Câu 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [-1;2], f(-1) = -2 và f(2) = 1. Tính I = ∫ f ' ( x ) dx .
−1

A. -3

B. 3
π
2

Câu 3: Biết

C. -1

D. 1

C. S = 0

D. S = 2

cos x
dx = a 2 + b . Tính S = a + b .

2
x

∫ sin

π
4

A. S = 1

B. S = −2
π
2

Câu 4: Tính: L = ( 1 − cos x ) n sin xdx
∫
0

A. L =

1
n −1

B. L =

1
2n

C. L =

π
1+ n

D. L =

1
1+ n

3

Câu 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3) = -7 . Tính I = ∫ f ' ( x ) dx .
0

A. 3

B. -9
3

Câu 6: Biết

∫x
2

A. S = 1

2

C. -5

D. 9

1
dx = a ln 2 + b ln 3 . Tính S = a + b .
−x
B. S = 0
C. S = 2

D. S = −2

π
6

Câu 7: Tính: I = tanxdx
∫
0

A. ln

3
2

B. − ln

3
.
2

C. ln

2 3

3

D. ln

3
2

a

Câu 8: Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên ¡ . Khi đó

∫ f ( x ) dx ( a > 0 )

bằng:

−a

A. 1

B. a
5

Câu 9: Biết

∫x
1

A. S = 0

D. 2a

1
dx = a ln 3 + b ln 5 . Tính S = a 2 + ab + 3b 2 .
3x + 1
B. S = 2
C. S = 5
1

Câu 10: Tính: I = ∫
0

1 3
A. I = ln
2 2

C. 0

D. S = 4

dx
x + 4x + 3
2

B. I = ln

3
2

1 3
C. I = − ln

2 2

1 3
D. I = ln
3 2
2

Câu 11: Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Biết

∫ f ( x ) dx = 10

. Khi đó

−2

4


0

∫ f ( x ) dx = ?

−2

A. 10

B. 20

C. 15

Câu 12: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;9] thỏa mãn
4

9

0

7

D. 5
9

7

0

4

∫ f ( x ) dx = 8, ∫ f ( x ) dx = 3 . Khi đó giá

trị của P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx là:
A. P = 5

B. P = 9
2

3x
Câu 13: Biết ∫ e dx =
0

C. P = 11

e −1
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
b

A. a = b

B. a < b
3

Câu 14: Biết

∫
0

D. P = 20

a

C. a + b = 10

D. a = 2b

C. 4

D. 36

C. K = 2ln2

D. K = 2ln 2 +

C. a = e

D. a = ln 5

C. I = π

D. I =

1

f ( x ) dx = 12 . Tính I = ∫ f ( 3 x ) dx .
0

A. 3

B. 6
2

Câu 15: Tính: K = ∫ (2 x − 1)ln xdx
1

A. K =

1
2

B. K = 2ln 2 −
a

Câu 16: Biết

∫
0

B. a = ln 2
2 3

Câu 17: . Tính: I =

∫
2

dx
x x2 − 3

π
6

B. I =
2

Câu 18: Biết

1
2

x +1
dx = e . Giá trị của a là ?

x

A. a = e2

A. I = −

1
2

dx

a

∫ x + 3 = ln b , (với
1

π
3

π
6

a
là phân số tối giản). Tìm khẳng định sai trong các khẳng định
b

sau?
A. 3a − b < 12
2

Câu 19: Biết

∫
1

A. 12

B. a 2 − b 2 = 9

C. a − b > 2

D. a + 2b = 13

C. 2

D. 16

4

 x
f ( x ) dx = 8 . Tính I = ∫ f  ÷dx .
2
2

B. 4
a

Câu 20: Nếu đặt x = a tan t thì tích phân

∫

0

(a

1
2

+x

)

2 2

dx , ( a > 0 ) trở thành tích phân nào dưới đây?
5


A.

1
2a 3

π
4

∫ ( 1 + cos t ) dt

B.

0

1
2a 3

π
4

∫ ( 1 + cos 2t ) dt

C.

0

1
2a 3

π
4

∫ ( 1 − cos 2t ) dt
0

π
4

D. 13 ∫ ( 1 + cos 2t ) dt
a

0

π

Câu 21: Tính: L = ∫ x sin xdx
0

A. L = −π
B. L = π
C. L = 0
2
Câu 22: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn y ' = y.x , f ( −1) = 1 . Tính f(2) .
2
A. f ( 2 ) = e

B. f ( 2 ) = 4

C. f ( 2 ) = 20

D. L = −2
3
D. f ( 2 ) = e

b

Câu 23: Biết

∫ f ( x ) dx = 10 , F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = -3. Tính F ( b ) .
a

A. F ( b ) = 13

B. F ( b ) = 16

C. F ( b ) = 10
a

Câu 24: Nếu đặt x = a sin t thì tích phân

∫
0

A.

π
2

B.

∫ dt
0

π
2

1
a2 − x2

D. F ( b ) = 7

dx , ( a > 0 ) trở thành tích phân nào dưới đây?

1

∫ a dt
0

C.

π
2

a

∫ t dt

D.

0

π
4

∫ dt
0

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 1:

x

y = sin , y = 0, x = 0, x = π quay xung quanh trục Ox.
2

A. V =

π
2

B. V =

4π
3

C. V =

π2
2

D. V =

π2
3

Câu 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 2 .
A. S = 4
B. S = 8
C. S = 6
D. S = 2
x
Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = e , tiếp tuyến với đường này

tại điểm có hoành độ bằng 1 và trục Oy .
e
3

e
2
2
Câu 4: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 1, y = 0, x = −2, x = 3 .
12
28
20
30
A. S =
B. S =
C. S =
D. S =
3
3
3
3
2
Câu 5: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x , tiếp tuyến với đường này

A. S = + 1

e
2

B. S = + 1

C. S = e − 1

D. S = − 1

tại điểm có hoành độ bằng 1 và đường thẳng x = 2 .
A. S =

1
3

B. S =

1
2

C. S =

2
3

D. S =

3
2

Câu 6: Coi hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = 0, với mọi x và có đồ thị (C) qua điểm A(1 ; 2)
Diện tích S giới hạn bởi (C), 2 trục toạ độ và đường thẳng x = 3 bằng bao nhiêu?
6

A. S = 6
B. S = 5
C. S = 3
D. S = 4
Câu 7: Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 − x 2 , y = 1
quay xung quanh trục Ox.
A. V =

16π
15

B. V =

56
15

4
3

C. V = π

D. V =

56
π
15

Câu 8: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=

1
 15

+ 1, y = 0, x = 1, x = k ( k > 1) quay xung quanh trục Ox. Tìm k để V = π  + ln16 ÷ .
x
4


A. k = e 2
B. k = 2e
C. k = 4
D. k = 8
Câu 9: Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, y = 0, x = e
quay xung quanh trục Ox.
A. V = e − 2
B. V = e
C. V = ( e − 1) π
D. V = ( e − 2 ) π
Câu 10: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 1 − x 2 , tiếp tuyến với đường
này tại điểm có hoành độ bằng 2 và trục Oy .
A. S =

31
2

B. S =

43
3

C. S =

44
3

D. S =

29
2

x2 y2
+
= 1 và S2 là diện tích của hình
9
1

Câu 11: Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip
thoi có các đỉnh là đỉnh của elip đó. Tính tỉ số giữa S1 và S2.
S

π

S

2

S

3

S

π

1
1
1
1
A. S = 3
B. S = π
C. S = π
D. S = 2
2
2
2
2
Câu 12: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

3

y = e x , y = k ( k > 1) , x = 0 quay xung quanh trục Ox. Tìm k để V = π  ln16 − ÷.
2


A. k = 4
B. k = e 2
C. k = e
D. k = 2
2
Câu 13: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = 1 + 3 x , y = 0, x = −1, x = 2 .Đường

thẳng x = k (-1 < k < 2) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để
S 2 = 2 S1 .
2
3
2x
Câu 14: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e , y = 0, x = 0, x = k ( k > 0 ) .

A. k =

1
2

B. k = 0

C. k = 1

D. k =

Tìm k để S = 4.
A. k = 3
B. k = ln 3
C. k = ln 4
D. k = 4
Câu 15: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x, y = 0, x = e 2 .
A. S = e 2 − 1
B. S = e + 1
C. S = 1
D. S = e 2 + 1
------ HẾT -----7