Bài tập Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
BÀI T P GI I TÍCH 12 THEO CHU N KTKNẬ Ả Ẩ

GV: NGUY N THANH NHÀNỄ
(Bổ sung, sửa chữa năm 2010)
Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010
 0987.503.911  2  GV: Nguy n Thanh ễ
Nhàn
 Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
BÀI 1
TÓM TẮT CÔNG THỨC
1. Khái niệm nguyên hàm:
* Cho hàm số
f
xác định trên K. Hàm số
F
được gọi là nguyên hàm của
f
trên K nếu:
F '(x) f(x)=
, ∀x ∈ K
* Nếu
F(x)
là một nguyên hàm của
f(x)
trên K thì họ nguyên hàm của
f(x)
trên K là:
f(x)dx F(x) C= +
∫
, C ∈ R.

* Mọi hàm số
f(x)
liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất của nguyên hàm:
•
f '(x)dx f(x) C= +
∫
•
[ ]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±
∫ ∫ ∫
•
0kf(x)dx k f(x)dx (k )= ≠
∫ ∫

3. Một số công thức nguyên hàm cơ bản:
*
0dx C=
∫
*
dx x C= +
∫
*
1
1
1
x dx x C
α α+
= +
α +

∫
*
1
dx ln x C
x
= +
∫
*
x x
e dx e C= +
∫
*
x
x
a
a dx C
ln a
= +
∫

( )
0 1a< ≠
*
cos xdx sin x C= +
∫
*
sin xdx cos x C= − +
∫
*
2

1
dx tan x C
cos x
= +
∫
*
2
1
dx cot x C
sin x
= − +
∫
*
( ) ( )
1
cos ax b dx sin ax b C
a
+ = + +
∫
*
( ) ( )
1
sin ax b dx cos ax b C
a
+ = − + +
∫
*
( )
( )
( )

1
1
1
ax b dx . ax b C
a
α α+
+ = + +
α +
∫
*
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
*
k k
dx ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
*
1
2
dx
ax b C
a

ax b
= + +
+
∫
GV: Nguy n Thanh Nhànễ  3  
0987.503.911
Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1:
Áp dụng định nghĩa và bảng công thức để tìm các nguyên hàm
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
3 2
2
1 1
3f x x x
x
x
= + − +
b)
( )
( )
2
2 2
2f x x x= −
c)
( ) ( ) ( )
2
1 1f x x x= + −

d)
( ) ( )
( )
2
2 2 4f x x x x= + − +
e)
( )
3 2
2
3 2 1x x x
f x
x
− + −
=
f)
( )
( )
( )
2
2
3
1 2x x
f x
x
+ −
=
g)
( )
3
2

4
2f x x x x= − +
h)
( )
( ) ( )
2 2 2f x x x x= − + +
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
2
f x sin x=
b)
( )
2
f x cos x=
c)
( )
2f x sin x.sin x=
d)
( )
3 5f x cos x.cos x=
e)
( )
4 6f x sin x.sin x=
f)
( ) ( )
1f x sin x sin x= +
g)
( ) ( )
3f x cos x cos x= +

h)
( ) ( )
2f x sin x cos x= +
i)
( )
1
2
f x
sin x
=
j)
( )
1 2 sin x.cos x
f x
sin x cos x
+
=
+
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
2 3 1
2
x
f x x e
x
+
= − + b)
( )
( )

2
2 2 1
5
x x
f x e e
−
= +
c)
( )
3
3 2
f x
x
=
+
d)
( )
1 2
1 2
x
f x
x
+
=
−

e)
( )
2 3f x x= − f)
( )

1
1 2
f x
x x
=
+ − +
s)
( )
( )
3
1x
f x
x x
−
=
t)
( )
2
3
1
f x x
x
 
= +
 ÷
 
Bài 4: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số f(x), biết rằng:
a)
3
4 5 1 3f(x) x x ; F( )= − + =

b)
3 5 2f(x) cos x; F( )= − π =
c)
2
3 5
1
x
f(x) ; F(e)
x
−
= =
d)
2
1 3
1
2
x
f(x) ;F( )
x
+
= =
 0987.503.911  4  GV: Nguy n Thanh ễ
Nhàn
 Chủ đề 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
e)
3
2
1
( )= 2 0
x

f x ;F( )
x
−
− =
f)
1
1 2f(x) x x ; F( )
x
= + = −
g) 2 0
3
f(x) sin x.cos x;F
π
 
= =
 ÷
 
h)
4 3
2
3 2 5
1 2
x x
f(x) ; F( )
x
− +
= =
i)
3 3
2

3 3 7
0 8
1
x x x
f(x) ; F( )
(x )
+ + −
= =
+
k)
2
2 2 4
x
f(x) sin ; F
π π
 
= =
 ÷
 
Bài 5: Chứng minh rằng:
( ) ( )
2
x
F x x e= −
là một nguyên hàm của
( ) ( )
1
x
f x x e= −
.

Suy ra:
( )
1
x
x e dx−
∫
Dạng 2:
Dùng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
a)
( )
( )
5
2
2 3f x x x= +
b)
( )
( )
6
2 3
1f x x x= +
c)
( ) ( )
( )
2
2
2 1 1f x x x x= + + +
d)
( )
( )

7
1
2 1
f x
x
=
−
e)
( )
2
6
x
f x
x
=
+
f)
( )
2
2 1
3
x
f x
x x
+
=
+ +
g)
( )
2

3
3
1
x
f x
x
=
+
h)
( )
3
4 2
4 2
3
x x
f x
x x
+
=
+ +
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
1
f x
x.ln x
=
b)
( )
5

1
f x
x.ln x
=
c)
( )
1
f x
x ln x
=
d)
( )
1 ln x
f x
x
+
=
e)
( )
( )
sin ln x
f x
x
=
f)
( )
( )
1
f x
x.ln x.ln ln x

=
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
3
2f x x= − b)
( )
3
2
2
1
x
f x
x
=
+
c)
( )
2f x x x= +
d)
( )
3
2
2f x x x= −
e)
( )
3
2 x
f x
x

−
=
f)
( )
2
1f x x x= +
g)
( )
3
2f x x x= +
h)
( )
3 4
3f x x x= +
i)
( )
3 2
7f x x x= +
GV: Nguy n Thanh Nhànễ  5  
0987.503.911
Bài tập giải tích 12 theo chuẩn KTKN – 2010
Bài 4: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
sin x
e cos xdx
∫
b)
cos x
e sin xdx
∫

c)
2
2
sin x
e sin xdx
∫
d)
2
2
cos x
e sin xdx
∫
e)
3
2 1x
x e dx
−
∫
f)
( )
2
3 1
2 3
x x
x e dx
+ −
+
∫
g)
1

x
x
e
dx
e +
∫
h)
x x
x x
e e
dx
e e
−
−
−
+
∫
Bài 5: Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
2
sin x.cos xdx
∫
b)
2
cos x.sin xdx
∫
c)
3
sin xdx
∫

d)
3
cos xdx
∫
e)
5
sin xdx
∫
f)
5
cos xdx
∫
g)
tan xdx
∫
h)
cot xdx
∫
i)
3
3
cos x sin x
dx
sin x cos x
−
+
∫
j)
( )
4

sin x cos x
dx
cos x sin x
+
−
∫
Bài 6: Tìm các họ nguyên hàm sau: (Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ)
a)
2 1
3
x
dx
x
+
−
∫
b)
1
2 1
x
dx
x
−
+
∫
c)
2
1
2
x x

x
+ +
−
∫
d)
2
5 7
2 1
x x
dx
x
− +
+
∫
e)
2
1
4 3
dx
x x− +
∫
f)
( )
3
1
dx
x x +
∫
g)
2

3 2
x
dx
x x− +
∫
h)
2
3 7
4 3
x
dx
x x
+
+ +
∫
i)
( )
2
1
x
dx
x
−
+
∫ j)
( )
2
3
1
1

x x
dx
x
+ +
−
∫
Dạng 3:
Nguyên hàm từng phần
Các dạng cơ bản: Cho P(x) là một đa thức:
1)
Dạng 1:
( ) ( )
P x sin ax b dx+
∫
. Đặt:
( )
( )
u P x
dv sin ax b dx

=


= +


2)
Dạng 2:
( ) ( )
P x cos ax b dx+

∫
. Đặt:
( )
( )
u P x
dv cos ax b dx

=


= +


 0987.503.911  6  GV: Nguy n Thanh ễ
Nhàn