SKKN mot so PP tim CTri

Một số phơng pháp giải toán cực trị
Mục lục
Trang:
A. Mở đầu.........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................1
3. Nhiệm vụ đề tài.............................................................................................1
5. Đối tợng nghiên cứu......................................................................................2
6. Phơng pháp tiến hành....................................................................................2
4. Phạm vi đề tài................................................................................................2
7. Dự kiến kết quả đề tài....................................................................................2
B. Nội dung...................................................................................................... 3
Phần 1: Bài toán cực trị và phơng pháp giải trong đại số............................3
I. Kiến thức cơ bản..........................................................................................3
1. Định nghĩa bài toán cực trị............................................................................3
2. Các bớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị.....................................................3
!!. Phơng pháp cơ bản và ví dụ.......................................................................3
1. Phơng pháp dùng bất đẳng thức.....................................................................3
2. Phơng pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn...........................................8
3. Phơng pháp miền giá trị ..............................................................................10
4. phơng pháp đồ thị hàm số ...........................................................................12
Phần II. Bài toán cực trị trong hình học......................................................17
I. Kiến thức cơ bản........................................................................................17
II. Một số dạng toán thờng gặp....................................................................19
C. Thực nghiệm s phạm ......................................................................... 29
D. Kết quả thực hiện.....................................................................................35
E. Tài liệu tham khảo....................................................................................36
``
1
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị

a. mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
- Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy nói chung và phơng
pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện đợc điều đó thì vi trò
của ngời thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp
giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học
sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến
thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách
chủ động và có hệ thống.
- Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK
đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm
rất vững kiến thức SGK nhng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với
phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những
ngời thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán Tìm cực trị . Thật vậy
trong chơng trình toán phổ thông dạng kiến thức về cực trị là một trong những
mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt
trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn
hình học, nó không chỉ dừng ở chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng
trong chơng trình THPT. Vì vậy dạng toán cực trị là phần gây cho HS ngay cả HS
giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học
giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo.
- Để giải đợc một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững đợc các kiến
thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá
nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài
tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác nh giải phơng trình,
hệ phơng trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học ...
Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những
năm dạy toán ở trờng THCS , tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm . tôi mạnh dạn lấy
đề tài nghiên cứu tựa đề là: Một số ph ơng pháp tìm cực trị trong trờng phổ
2

Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
thông cấp THCS . Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn
chỉnh hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải
toán cực trị nói riêng đợc tháo gỡ phần nào những khó khăn. Trang bị cho học sinh
một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng t duy và học tập bộ môn
một cách chủ động.
- Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng nh kích thích
sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu.
- Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng
dạy góp phần nâng cao chất lợng dạy và học của nền giáo dục nớc nhà.
3. Nhiệm vụ đề tài
- Đề tài đa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán cực trị phù hợp với trình
độ nhận thức của học sinh THCS.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phơng pháp cơ bản giải bài
toán cực trị để học sinh vận dụng làm bài tập.
- Chọn lọc hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội
dung phơng pháp.
4. Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực t duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học
và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9
5. Đối t ợng nghiên cứu
- Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H
lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi
tuyển THPT
6. Ph ơng pháp tiến hành :
Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hớng
giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể.

7. Dự kiến kết quả đề tài
áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh nhiều khó khăn trong việc giải toán cực
trị. Tạo cho học sinh có cơ sở và niềm tin trong giải toán cực trị.
3
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
B- Nội dung
phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu
1 / với giáo viên :
- Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng
dạng toán .
- phân loại các bài tập từ dễ đến khó .
- Rèn luyên nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo
kiến thức trong khi nghiên cứu .
- Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vớng mắc , sai sót mà HS
haymắc phải khi làm bài tập .
2 / Với học sinh :
- Hiểu đợc bản chất các loại toán .
- Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng
vào giải toán .
- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đên
bài khó với cách giải hay hơn .
B . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện
sau đồng thời đợc thoả mãn
1
o
. f(x) M với x D

2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) m với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức:
4
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
f(x) m (hoặc f(x) M) với x D.
- B ớc 2: Chỉ ra giá trị x
0
D để:
f(x
0

) = m f(x
0
) = M)
- B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x
0
D thì f(x) đạt:

MxMaxf
Dx
o
=

)(

mxM
D
x
=

0
)inf(

Chú ý :
1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x)

m hoặc f(x)

M thì cha đủ để kết luận về
GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)

2
+(x-3)
2
Giải : Ta có (x-1)
2
0 x (1)
( x - 3 )
2
0 (2)
A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời
hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 2
Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên
C . Phơng pháp cơ bản và ví dụ
Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung ph ơng pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) m (hoặc f(x) M) với x D
+ Chỉ ra sự tồn tại x
0
D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "="

xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si
+ Với a,b > 0, a,b D thì
ab
ba

+
2
Dấu = xảy ra khi a= b
5
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
+ Tổng quá: Với n số dơng a
1
, a
2
, ..., a
n
D
thì:
n
n
n
aaa
n
aaa
...
...
21

21

+++
Dấu bằng xảy ra khi a
1
= a
2
= ... = a
n
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a
1
, a
2
, ..., a
n
và b
1
, b
2
, ..., b
n
là 2n số tuỳ ý thì:
( )( )
( )
2
2211
22
2

2
1
22
2
2
1
.........
nnnn
babababbbaaa
+++++++++
Dấu "=" xảy ra
n
n
b
a
b
a
b
a
===
...
2
2
1
1
.
(Quy ớc nếu a
i
= 0 thì b
i

= 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
0

a
a D dấu bằng xảy ra a = 0
*
baba
++
với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0.
Tổng quát : a
1
, a
2
, ..., a
n
D thì
nn
aaaaaa
++++++
......
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
*.
baba

dấu bằng xảy ra khi a.b 0
d) Với a b > 0 thì
ba

11

dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
2
+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x,y,z) = x
4
+ y
4
+ z
4
xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}
Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với
học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy
số x,y,z và y,z ,x ta có
( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( xy + yz + zx )

2

Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z )

D Thì ( x
2
+ y
2
+ z
2
) 16
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x
2
,y
2
,z
2
và 1,1 ,1 ta có
3 ( x
4
+ y
4
+z
4
) ( x
2
+ y
2
+ z
2

)
2
(2)
Từ (1) và (2)

f(x,y,z) > 16/3

(x,.y,z)

D
6
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Mặt khác f (
3
2
,
3
2
,
3
2
) =
3
16
và (
3
2
,
3

2
,
3
2
)

D
Vậy Min f (x,y,z) = 16/3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
+

x
x 1
với x 1,y 2 , z 3
A =
+

x
x 1

+

y
y 2

+

z
z 3

áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
22
11
1.1
xx
x
=
+


Tơng tự :
22
2
22
.
2
1
2
2
1
2
yy
yy
=
+
=

32

2
33
.
3
1
3
3
1
3
zz
zz
=
+
=

A
z
z
y
y
x
x
3222
2
++


A
32
1

22
1
2
1
++
Dấu "=" xảy ra





=
=
=

6
4
2
z
y
x

Max A =
32
1
22
1
2
1
++

=
=
=

6
4
2
z
y
x
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) D =
12
+
xx
b) Cho x
1
, x
2
, ... , x
2004
thoả mãn
2005...
200421

=+++
xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =
1...11
200421
+++
xxx
Giải: a) áp dụng bất đẳng thức
baba
++
dấu "=" xảy ra khi a.b 0
Ta có D =
11212
=++
xxxx
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2
7
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Vậy Min D = 1 khi 1 x 2
b) Vận dụng bất đẳng thức
baba

Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có:
11
11

xx
11

22

xx
.................
11
20042004

xx
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc:
E =
1...11
200421
+++
xxx

200421
... xxx
+++
-

12004
1...11
só
+++
= 2005 - 2004 = 1
Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x
1
, x
2
, ... x

2004
0
và
200421
... xxx
+++
= 2005
Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này
Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :
- Điều kiện tồn tại BĐT
- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc
Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
t
xzy
z
txy
y
xzt
x
tzy
xzy
t
txy
z
xzt
y
tzy
x
++

+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT

2
+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b
Để ra ngay kết quả A 8

Min A = 8


0
====

++=
++=
++=
++=
tzyx
zyxt
yxtz
xtzy
tzyx
Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0
Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc
những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị
1.4. Bài tập vận dụng
8
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
)11(2)11(2
++++++
xxxx
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền

D =
{ }
1,0,0,0:),,(
=++>>>
zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+
y
1
) ( 1+
z
1
) Xét trên miền.
D =
{ }
1;0,0,0:),,(
=++>>>
zyxzyxzyx
Ph ơng pháp 2
Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn
2.1. Nội dung ph ơng pháp
*/ A
2
0 x ( x là biến của biểu thức A ) A
2k
0 x
*/ - B

2
0 x (x là biến của biểu thức B ) - B
2k
0 x
Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc :
*/ A
2k
+m m

m là GTNN

A = 0
*/ -B
2k
+ M M

M là GTLN

B = 0
2.2. Kiến thức bổ sung:
Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A
2k
+m m và
-B
2k
+ M M bằng các phép biến đổi đại số

2.3 : các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2

+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 - 8
Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1
Vậy Min A = - 8 x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2
- 4x + 1
Giải : A = -5 ( x
2
+ 4/5 x ) + 1 = -5 ( x
2
+ 4/5x + 4/25 ) + 9/5
( x
2
+ 2/5 )
2
+9/5 9/5
Dấu = xảy ra

x + 2 /5 = 0

x = - 2/5
* Chú ý : f(x) = ax
2
+ bx + c
9

Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
* Có giá trị nhỏ nhất

a > 0.
* Có giá trị lớn nhất

a < 0.
Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau :
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

)( 1
12
683
2
2

+
+
=
x
xx
xx
C
Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi
phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax
2
+ bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể
cách làm nh sau :
C =

22
2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3

+

=

++
xxx
xxx
Đặt y =
1
1

x
(y

0 )
C = 3 - 2y + y
2
đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn
nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là
rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bài

toán nhanh hơn, gọn hơn.
Ta còn có thể mở rộng dạng toán này.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f(x,y ) = 4x
2
+ 4y
2
- 4xy - 3x
= 4y
2
- 4xy + x
2
+ 3( x
2
-x )
= ( 2y - x )
2
+ 3( x-
2
1
)
2
-
4
3
-
4
3
Đẳng thức xảy ra x =
2

1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3








=
=
4
1
2
1
y
x
Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:.
Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau:
f(x,y) = x
2

- 4xy + 4y
2
+ 2x
2
- 4x + 2 + x
2
+ x -2
10
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
= ( x - 2y )
2
+ 2 ( x -1 )
2
+ x
2
+ x - 2 x
2
+ x - 2

x (1)
Vì g(x) = x
2
+ x - 2 = ( x +
2
1
)
2
-
4

9
-
4
9

Đẳng thức xảy ra x = -
2
1
min f(x,y) = -
4
9








=
=
4
1
2
1
y
x

Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi

=
=
1
2
x
yx






=
=
1
2
1
x
y
còn dấu
đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = -
2
1
thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời nên
GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y).
Hoặc với bài:
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = x +

x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-
4
1
-
4
1
Vậy min M = -
4
1
. Sai lầm ở chỗ M -
4
1

học sinh cha chỉ ra khi
nào dấu đẳng thức xảy ra: M = -
4
1

x
= -
2
1
là vô lí
Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm
cực trị của biểu thức đại số.
3.3 . Bài tập vận dụng.
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
C = x
2
- 2xy + 2y
2
+ 2x - 10y + 17
E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 )
2) Tìm giá trị lớn nhất của:
A = - 5x
2
- 2xy - 2y
2
+ 14x + 10y - 1.
3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
11
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị

A =
2
2
95
x
xx
++
B =
2
2
)1(
952
+
+
x
xx

Ph ơng pháp 3 :
Phơng pháp miền giá trị hàm số
3.1 . Nội dung ph ơng pháp.
Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x

D gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng
trình sau đây với ẩn x có nghiệm.

=
Dx
yxf
0
)(
Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp điều
kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đa về dạng.
m y
0
M vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có:
Min f(x) = m và Max f(x) = M.
x

D x

D
Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phơng
pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
2.2. Kiến thức bổ sung:
Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phơng trình bậc hai
3.2 . Các bài toán
Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số.
f(x) =
123
3102
2
2
++

++
xx
xx
với x

R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2
+2x + 1 > 0

x

R
(1) 2x
2

+ 10x + 3 = 3x
2
y
0
+ 2xy
0
+ y
0
12
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
( 3y
0
- 2 ) x
2
+ 2x ( y
0
- 5 ) + y
0
- 3 = 0 (2)
Xét 2 khả năng sau :
* Nếu 3y
0
- 2 = 0 y
0
=
3
2
(2) có nghiệm
Tức f(x) =

3
2


x

R
* Nếu 3y
0
- 2

0 y
0



3
2
thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó
(2) có nghiệm nếu:


= - 2y
0
+ 19y
0
- 35 0.

2
5

y
0
7 và y
0



3
2
.

2
5
y
0
7 (3).
Từ (3) Maxf(x) = 7 và Mìnf(x) =
2
5
.
Nhận thấy với phơng pháp này ta có thể vận dụng cho các bài toán tìm giá trị
lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức dới dạng phân thức.
Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x
2
+ y
2

xét trên miền D = (x,y) ; ( x
2
- y

2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:






=++
=+
)()(
)(
`
2041
1
2222222

0
22
yxyxyx
tyx








=++++
=+
0413
222222
0
22
xyxyx
tyx
)()(
`







=++

=+
)(
)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
13
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá
Một số phơng pháp giải toán cực trị
t
2
- 3t
0
+ 1

0


2
53
2
53
0

+


t
(5)
Với đièu kiện (5) gọi m là nghiệm của (4) và (3) ta có :
4m
2
+ 4y
2
= 4t
0

- t
0
2
+ 3t
0
- 1 4y
2
= 4t
0


4y
2
= t
2
0
+ t

0
+ 1 (6)
Do t
0
2
+ t
0
+ 1 > 0

t
0


với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.


Max(x,y) =
2
53
+
, Min(x,y) =
2
53

Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhng với
phơng pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải đợc nhiều bài và học sinh có thể
máy móc nhớ đợc phơng pháp giải.

Ph ơng pháp 4

Phơng pháp đồ thị và hình học
4.1 Nội dung ph ơng pháp
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x D
- Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức:
Max f(x) = y
cực đại

Min f(x) = y
cực tiểu
4.2 Kiến thức bổ sung :
- Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số.
- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phơng pháp đồ thị và hình học
ngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:
- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trớc thì đờng thẳng nối
AB là đờng thẳng có độ dài bé nhất.
- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3.
- Cho điểm M ở ngoaì đờng thẳng d cho trớc khi đó độ dài kẻ từ M xuống d
ngắn hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d.
14
Nguyễn Thị Bích Diệp THCS Thị Trấn Vạn Hà Thiệu Hoá Thanh Hoá