Một số bài toán tìm Giới Hạn Dãy Tổng

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG
Huỳnh Chí Hào
Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp

A. Một số kiến thức có liên quan.
Định nghĩa 1
Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un  un 1
Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un  un 1
Định nghĩa 2
Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M ,

n   *

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m,

n   *

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho m  un  M ,
Định lý 1
1) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Định lí 2
1) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới  .
2) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới  .
Định lý 3
1) Nếu một dãy  un  hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  un  cũng hội tụ đến a.
2)  un  hội tụ đến a   u2 n  và  u2 n 1  hội tụ đến a

Định lý 4

1

n  u
n 
n
1
2) Nếu lim un   và un  0, n   thì lim
0
n 
n  u
n

1) Nếu lim un  0 và un  0, n   thì lim

1

n   *


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

B. Các bài toán.
Bài toán 1.

u1  2
Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 

2
un 1  un  un  1, n  1
1 1
1
Tìm giới hạn sau: lim    ...   .
n  u
un 
 1 u1

(1)

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
Lời giải





Một số số hạng của dãy: 2,3, 7, 42,...
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1

Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
n   , un 1  un   un  1  0 , vậy  un  tăng.
2



Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
1
1
1
1



un 1  1  un  un  1 
un 1  1 un  un  1 un  1 un
1
1
1

(n  1, 2,...)

 
un un  1 un 1  1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1 1
1
1
  ...   1 
u1 u1
un
un 1  1






Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a  a 2  a  1  a 2  2a  1  0  a  1 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
lim un    lim  un 1  1    lim

n 

n 

n 

1
un 1  1



1 1

1 
1 

Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    ...    lim 1 
 1
n  u
un  n  un 1  1 
 1 u1



1 1
1
Vậy lim    ...    1  .
n  u
un 
 1 u1

2

0


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

Bài toán 2.

u1  1

Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un2

u

 un , n  1
 n 1
2011

u u
u 
Tìm giới hạn sau: lim  1  2  ...  n  .
n  u
un 1 
 2 u3

(1)

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
Lời giải

2012 20122
,
 1,...
2011 20113



Một số số hạng của dãy: 1,



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1



Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
un2
 0 , vậy  un  tăng.
n   , un 1  un 
2011
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
u2
un 1  n  un  un2  2011 un 1  un 
2011
u  u 
u
 n  2001 n 1 n
un 1
un .un 1







 1
un

1 
 2011 

un 1
 un un 1 

 n  1, 2,...

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1

u
u1 u2
1 
1 
  ...  n  2011 
  20111 

u2 u3
un 1
 u1 un 1 
 un 1 



(*)

(2)

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  1 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

a2
 a  a  0 (vô lý)
2011
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
a

2) Dãy  un 

3


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

1
0
n  u
n 1

lim un    lim un 1    lim

n 

n 



u u

u 
1 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...  n   lim 20111 
  2011
n  u
n 
u
u
u
3
n 1 
n 1 
 2




u u
u 
Vậy lim  1  2  ...  n   2011
n  u
un 1 
 2 u3

.

Bài toán 3.

u1  2

Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un2  2010un

u
, n  1
 n 1
2011

 u
un 
u
Tìm giới hạn sau: lim  1  2  ... 

n  u  1
u3  1
un 1  1 
 2

(1)

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass

Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1



Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được





un  un  1

 0 , vậy  un  tăng.
2011
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
u 2  2010un
un 1  n
 un2  2010un  2011un 1
2011
 un  un  1  2011 un 1  un 
n   , un 1  un 



 u  1   un  1
un

 2011 n 1
un 1  1
 un1  1 un  1



 1
un
1 
 2011


un 1  1
 un  1 un 1  1 

 n  1, 2,...

(*)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

un
u1
u
1 
 2  ... 
 20111 

u2  1 u3  1
un 1  1

 un 1  1 

4

(2)


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số



THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

a(a  1)
 a  a (a  1)  0  a  0  a  1 (vô lý)
2011
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
a

2) Dãy  un 

lim un    lim  un 1  1    lim

n 

n 

1

n 

un 1  1

0



 u

un 
u
1 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ... 
20111 
  nlim
  2011 .
n  u  1

u3  1
un 1  1 
 2
 un 1  1 



 u
un 
u
Vậy lim  1  2  ... 
  2011 . 
n  u  1


u
u
1
1
n 1
3
 2


Bài toán 4.

1

u1  2

Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
2
u  un 1  4un 1  un 1 , n  2
 n
2
 1
1

1 
Tìm giới hạn sau: lim  2  2  ...  2  .
n  u
un 
 1 u2

(1)

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1



Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
un  un 1 

un21  4 xn 1  un 1
2

 un 1 

un21  4 xn 1  un 1

2

Suy ra:  un  tăng.


Tính tổng:

5



2un 1
un21  4 xn 1  un 1

0


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

un  un 1 

2un 1
u

2
n 1

 4 xn 1  un 1

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

 un2   un  1 un 1






1
1
1


2
un un 1 un

(n  1, 2,...)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1 1
1
1 1 1
1
 2  ...  2  2    6 
2
u1 u2
un u1 u1 un
un

(*)

(2)

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

a 2  4a  a
 a  0 (vô lý)
2
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
a

2) Dãy  un 

lim un    lim

n 

n 

1
0
un



 1


1
1 
1
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  2  2  ...  2   lim  6 
n  u
un  n 
un
 1 u2



 1
1
1 
Vậy lim  2  2  ...  2   6
n  u
un 
 1 u2


6


.

Bài toán 5.

u1  2010
Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2

un  2009un  2011un 1  1  0, n  1


1
1
1
Tìm giới hạn sau: lim 

 ... 
.
n  u  2010
u2  2010
un  2010 
 1

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2010 , n  1



Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
6

(1)


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số





2

 0   un  tăng.
2010
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
un2  2009un  1
2
un  2009un  2011un 1  1  0  un 1 
2011
2
u  2009un  1
 un 1  1  n
1
2011
 u  1 un  2010 
 un 1  1  n
2011
1
1
1

(n=1,2,...)



un  2010 un  1 un 1  1
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1
1
1
1
1
1
1

 ... 




u1  2010 u2  2010
un  2010 u 1  1 un 1  1 2009 un 1  1

un 1  un



 u  1
 n

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

(*)

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  2010 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a 2  2009a  2011a  1  0  a  1 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
lim un    lim  un 1  1    lim

n 

n 

n 

1
un 1  1

0






 1
1
1
1
1 
1

 ... 
 lim 


Vì thế từ (2) ta suy ra: lim 


n  u  2010
u2  2010
un  2010  n  2009 un 1  1  2009
 1





1
1
1
1
Vậy lim 

 ... 



n  u  2010
u2  2010
un  2010  2009
 1

.

Bài toán 6.

1

u1 
Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
2009
u  2009u 2  u , n  1
n
n
 n 1
u u
u 
Tìm giới hạn sau: lim  1  2  ...  n  .
n  u
un 1 
 2 u3

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

7

(1)


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1



Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

un 1  un  2009un2  0   un  tăng.


Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
2009un2  un 1  un 



2009un2 un 1  un

u
1  1
1 

 n 
 

unun 1
unun 1
un 1 2009  un un 1 

(*)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
 1
u
u1 u2
1  1 1   1 1 
1 
  ...  n 
        ...   

u2 u3
un 1 2009  u1 u2   u2 u3 
 un un 1  




(n=1,2,...)

1 
1 
 2009 

2009 
un 1 

Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a  2009a 2  a  a  0 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
1
0
n  u
n 1

lim un    lim un 1    lim

n 

n 



 1 
u u
u 
1 
2009 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...  n   lim 

  1
n  u
un 1  n  2009 
un 1  
 2 u3



u u
u 
Vậy lim  1  2  ...  n   1
n  u
un 1 
 2 u3

.

Bài toán 7.

1

u1 

Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
2
u  u 2  u , n  1
n
n
 n 1
 1
1
1 
Tìm giới hạn sau: lim 

 ... 
.
n  u  1
u2  1
un 1  1 
 1
8

(1)


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  3



Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
un 1  un  un2  0   un  tăng.



Tính tổng:
un 1  un2  un 






1
un 1



1
1
1

 
un  un  1 un un  1

1
1
1
 
un  1 un un 1

(n  1, 2,...)

(*)

Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
1
1
1
1

 ... 
 2
u1  1 u2  1
un 1  1
un 1
Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:
n 

2) Dãy  un 

a  a 2  a  a  0 (vô lý)
không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên:
lim un    lim un 1    lim

n 

n 

n 

1
0
un 1



 1

1
1 
1 
Vì thế từ (2) ta suy ra: lim 

 ... 
 lim  2 

2
n  u  1

u2  1
un 1  1  n 
un 1 
 1



 1
1
1 
Vậy lim 

 ... 
2
n  u  1
u2  1
un 1  1 
 1

.

9


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

Bài toán 8.
u  1

Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  1
un 1  1  u1u2 ...un , n  1

(1)

1 1
1
Tìm giới hạn sau: lim    ...  
n  u
un 
 1 u2

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Tìm giới hạn của dãy mới
Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1



Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
un 1  1  u1u2 ...un  un 1  1  un 1  u1u2 ...un 1  1
 un 1  1  un  un  1



1
un 1  1



1
1
1


un  un  1 un  1 un

1
1
1


un un  1 un 1  1

 n  1, 2,...

1 1
1
1 1
1  1
1
1
1
  ...      ...    


 2
u1 u2
un u1  u2
un  u1 u2  1 un 1  1
un 1  1
1 1

1
1 
1
Do đó: lim    ...    lim  2 
 2  lim

n  u
n  u
un  n 
un 1  1 
n 1  1
 1 u2
Suy ra:




Vì un 1  1  u1u2 ...un  u1 1  u1 



1 1
1

Vậy lim    ... 
n  u
un
 1 u2

n 1

 2n 1 nên lim  un 1  1  
n 


1
2
  2  nlim
 u
n 1  1


.

Bài toán 9.
u1  1
Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un 1  un  un  1 un  2  un  3  1, n  1
 1
1
1 
Tìm giới hạn sau: lim 

 ... 


n  u  2
u2  2
un  2 
 1

10

(1)


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính tổng đã cho theo một số số hạng của dãy  un 

+ Tìm giới hạn của dãy mới
Lời giải



Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1



Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
un 1 

u

2
n



 3un  1

2

 un2  3un  1  un 1  1   un  1 un  2 



Suy ra:




1
un 1  1



1

 un  1 un  2 

1

1

un  1 un  2



1
1
1


un  2 un  1 un 1  1

(n  1, 2,...)

1
1
1
1
1
1
1

 ... 


 
u1  2 u2  2
un  2 u1  1 un 1  1 2 un 1  1

 1
1
1
1 
1  1
1
Do đó: lim 

 ... 
 lim  
  lim


n  u  2
u2  2
un  2  n  2 un 1  1  2 n un 1  1
 1
Vì un 1  u 2  3un  1  un 1  3un  3n 1  un 1  1  3n 1  1 nên lim  un 1  1  
n 

 1
1
1  1
1
1

 ... 
  lim

Vậy lim 


n  u  2
u2  2
un  2  2 n un 1  1 2
 1

.

Bài toán 10.

u1  3

Cho dãy số thực  un  xác định bởi: 
un2  2007un  2

u
, n  1
 n 1
2010

 u  1 u2  1
u 1 
Tìm giới hạn sau: lim  1

 ...  n

n  u  2
u3  2
un 1  2 
 2

Hướng dẫn tư duy:
+ Tính một số số hạng của dãy
+ Tính tổng đã cho theo một số hạng của dãy  un 

+ Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass



Lời giải
(u  1)(un  2)
u  2007un  2
Biến đổi un 1 
 un 1  un  n
2010
2010
2
n

Vì u 1 = 3 nên 3 = u 1 < u 2 11

( 1)


Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp

 Giả sử dãy {u n }bị chặn trên   L : limu n = L ( L > 3)

Suy ra limu n1 = lim

un2  2007un  2
L2  2007 L  2
hay L =
2010
2010

 L 2 -3L+2 = 0  L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3)
1
0
n  u
n

Do đó {u n } không bị chặn trên hay lim u n = +  hay lim
 Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2010(u n1 -un)


un  1
1
1
= 2010 (
) (*)
un 1  2
un  2 un 1  2

 Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được:
Sn =


Vậy lim S n = 2010

.

n

ui  1
1
= 2010 ( 1)
un 1  2
i 1  2

u
i 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002.
[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009.
[4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011.
[5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009.
[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010.

12