phuong trinh duong thang

Kiểm tra bài cũ

Câu hỏi:

Trong không gian cho hai mặt
phẳng (P), (Q) . Nêu các vị trí
tương đối giữa hai mặt phẳng?


Tiết 44 : Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng




Giả sử cho hai mặt phẳmg
(P) , (Q) có phương trình lần
lượt là :
(P): Ax + By + Cz + D = 0
(Q):

A’x + B’y + C’z +D’ =0


Điểm M(x;y;z) thuộc giao
tuyến của hai mặt phẳng
(P), (Q) khi nµo?

Khi đó điểm M(x;y;z)
thuộc d khi và chỉ khi
toạ độ của nó nghiệm
đúng phương trình của
(P) và (Q) hay là nghiƯm
cđa hƯ:


 Ax + By + Cz + D = 0

 A' x + B ' y + C ' z + D' = 0

(I)

Ngược lại mỗi điểm M(x;y;z) thoả mÃn hƯ (I)
víi ®iỊu kiƯn
A + B + C ≠ 0, A' +B ' +C ' ≠ 0
2

Vµ

2

2

2

2

A : B : C ≠ A' : B ' : C '

2

(II)


Hệ (I) với các điều kiện (II) gọi là
phương trình tổng quát của đường
thẳng.
Ví dụ:

2 x + 3 y + 5 z − 6 = 0

− 9 x + 6 y + 8 z − 23 = 0


2.Phương trình tổng quát của đường thẳng

?

Một đường thẳng được hoàn toàn xác
định khi nào ?
Đường thẳng d hoàn toàn xác đinh khi biết điểm

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

u (a; b; c) 0
Mà đường thẳng chứa nó song song
hoặc trùng với d
Và


Điểm M(x;y;z) nằm trên d khi và
chỉ khi tồn tại sè t sao cho :
M 0 M = tu
Hay cã nghÜa lµ :

x
 = x 0 +ta

y
 = y 0 +tb.
 = z +tc
z
0


(a + b + c ≠ 0)
2

2

2

(3)

Như vậy phương trình (3) với
điều kiện

(a + b + c 0)
2

2

2

Gọi là phương trình tham số của đư
ờng thẳng , t gọi là tham số


3. Phương trình chính tắc của đường thẳng.
Giả sử đường thẳng d có phương trình
x
= x 0 +ta

y
= y 0 +tb. Víi a,b,c kh¸c 0
 = z +tc
z
0


Khư t ta được:

x x0
y y0
z z0
=
=
a
b
c


Chó ý : nÕu hai trong ba sè a,b,c b»ng 0 th× quy
­íc mÉu b»ng 0 th× tư cịng b»ng không.
ví dụ : a =0 thì

x x0 = 0
x x0
y y0
z z0
=
=
a
b
c

Phương trình

(a + b + c 0)
2

2

2

Gọi là phương trình
chính tắc của d


4. Các ví dụ :

?

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm phân biệt A(1;2;5) và B(-3;2;4)

Hướng dẫn : chọn véc tơ chỉ phương là:
AB (4;0;1)

đương thẳng cần tìm đi qua A

x
Nên có dạng : =1 4t

y
.
=2
=5 −t
z


HÃy tìm phương trình chính tắc của d ?
Khi đó phương trình chính tắc có dạng:
x 1 y 2 z − 5
=
=
−4
0
−1


Bài toán: chon đáp án đúng cho
câu hỏi sau:
Đường thẳng d đi qua M(2;0;-3) và vuông góc
với mặt phẳng (P) :2x-3y+5z-4=0 có phương
trình chính tắc là :
a.

x 2 y z +3
= =
−2
3
5

b.

x−2
y
z+3
=
=

2
−3
5


HÃy chỉ ra phương trình tổng quát của đư
ờng thẳng d ?
Từ phương trình :

Ta rút ra hệ

x 2
y
z +3
=
=
2
3
5

3
x +2 y −6 =0
.

5
 y +3 z +9 =0


Cách chuyển từ phương trình tổng
quát sang phương trình tham sè

 Ax + By + Cz + D = 0
Tõ hÖ 
 A' x + B ' y + C ' z + D' = 0
Chän ®iĨm M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

Vµ chän vÐc tơ chỉ phương

Thuộc đường thẳng

u = [n1 , n2 ]

Khi đó ta viết được phương trình tham số của d


ví dụ :

Chuyển phương trình sau
sang dạng tham số ?

2x + y − z − 3 = 0

x + y + z −1= 0


(d)


Chọn điểm A(2;0;-3) thuộc đường thẳng d.

Chọn véc tơ chỉ ph­¬ng

1 −1 −1 2 2 1
u =(
;
;
) ⇒ u (2;−3;1)
1 1 1 1 1 1
Khi đó ta được
phương trình:

x
=2 +2t

y
3
 =− t .
 =− +t
z
3


(t ∈ R)


Cách chuyển phương trình từ tham số
sang tổng quát.
Từ phương tr×nh

x − x0
y − y0
z − z0

=
=
a
b
c
y − y0
x − x 0
=
 a

b

 y − y0 = z − z0
 b
c


Chuyển về dạng:

đưa về dạng :

x
= x 0 +ta

y
= y 0 +tb.
 = z +tc
z
0


Ví dụ : Chuyển phươngtrình sau sang
phương trình tổng quát ?
x
 =2 +2t

y
3
. (t ∈ R )
 =− t
 =− +5t
z
3


Đáp số

3 x + 2 y 6 = 0

5 y + 3 z + 9 = 0