GIẢI TÍCH 1 ĐẠO HÀM

CHƢƠNG 3:

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN


Đạo hàm
Bài toán mở đầu 1:
Xét đƣờng cong y=f(x).
Một điểm P(a,f(a)) cố định trên đƣờng cong
Cho điểm Q(x,f(x)) chạy trên đƣờng cong tới điểm P.
Nếu cát tuyến PQ dần
đến vị trí giới hạn Pt thì
đƣờng thẳng Pt đƣợc
gọi là tiếp tuyến của
đƣờng cong tại P

Tiếp tuyến có hệ số góc:

f ( x )  f (a )
m  lim
x a
xa


Đạo hàm
Bài toán mở đầu 2:
Xét một vật chuyển động trên đƣờng thẳng.
Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0)
Tại thời điểm t nó ở vị trí M với hoành độ s= s(t)
Ta tính đƣợc quãng
đƣờng Δs = s – s0 trong

khoảng thời gian
Δt = t – t0.

M0

M

t0

t

Vận tốc trung bình là tỉ số Δs/ Δt. Vận tốc này sẽ càng
gần với vận tốc thực nếu khoảng thời gian càng nhỏ

s(t )  s(t0 )
s
v  lim
 lim
t 0 t
t t0
t  t0


Đạo hàm
Cả hai bài toán trên đều dẫn ta đến việc tính giới hạn
của tỉ số Δf/ Δx khi Δx→0. Tức là dẫn đến việc lập
hàm f(x) và tính đạo hàm của nó
Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định trong lân cận
của x0, đạo hàm tại x0 của hàm f(x) là
f ( x)  f ( x0 )

f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
 lim
x  x0
x 0
x  x0
x
Nếu giới hạn trên là hữu hạn
Các quy tắc tính đạo hàm
 f  g   f   g

 f .g   f g  gf

 f  f g  g f
g 
2
g
 


Đạo hàm
Bảng đạo hàm các hàm cơ bản
1
x 
x
x 
x

1/ a  a ln a  e  e
9 /  arccos x  

2
1

x
a 
2 / x  a.x a 1
1

1
1 10 /  arctan x  


3 /  log a x  
  ln x  
1  x2
x ln a
x
1

11 /  arccot x  
4 /  sin x   cos x
2
1 x
5 /  cos x    sin x
12 /  shx   chx
1
2

  shx
6 /  tan x  


1

tan
x
13
/
chx


2
cos x
1

1
14 /  thx   2
2

7 /  cot x    2  (1  cot x)
ch x
sin x
1

15 /  cthx    2
1
sh x
8 /  arcsin x  
1  x2

 

 

 


Đạo hàm

Đạo hàm 1 phía:
Đạo hàm trái:

f (x  x0 )  f ( x0 )
f  ( x0 )  lim 
x 0
x

Đạo hàm phải:

f (x  x0 )  f ( x0 )
f  ( x0 )  lim 
x 0
x

Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó
có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại x0 và 2 đạo hàm
đó bằng nhau
Đạo hàm vô cùng: Nếu

f (x  x0 )  f ( x0 )
lim


x 0
x

Thì ta nói hàm f có đạo hàm ở vô cực


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm f ( x)  3 x  1
Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có
1
f ( x) 
3 3 ( x  1)2
Nhƣ vậy, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tính
mà phải dùng định nghĩa
3
f (x  1)  f (1)
x

f (1)  lim
 lim
 
x0
x0 x
x

Vậy:

1

,x 1

 3
f ( x)   3 ( x  1)2
, x  1



Đạo hàm

Tại x=1:
f (1)  

Nên tiếp tuyến là
đƣờng thẳng x=1


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm của

 sin x
,x  0

f ( x)   x
1, x  0

Khi x≠0, ta tính bình thƣờng. Khi x=0, ta dùng đ/n

1  sin x 
f (x  0)  f (0)
 lim
 1  0

f (0)  lim

x 0 x  x
x0

x
Vậy:

 x cos x  sin x
,x  0

2
f ( x)  
x
0, x  0


Đạo hàm
Đạo hàm hàm hợp

h  f g  h  f .g 
Tức là y  g ( x), h( x)  f ( y)  h( x)  f ( y ).g ( x)
Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm : a. f(x) = tan (x3+x)
b. g(x) = esinx
2

( x  x)
3x  1
f ( x) 


2 3
cos ( x  x) cos 2 ( x3  x)
3

g ( x)  esin x .(sin x)  cos x.esin x


Đạo hàm

Đạo hàm của các hàm hợp cơ bản



 e


. f ( x)
1

2 /  ln f ( x)  
. f ( x)
f ( x)

1/ e



f ( x)

3 / f ( x)

a

f ( x)

  a. f ( x)


a 1

9 /  arccos f ( x)  

. f ( x)

4 /  sin f ( x)   cos f ( x). f ( x)

5 /  cos f ( x)    sin f ( x). f ( x)

f ( x)
cos2 ( f ( x))
 f ( x)

7 /  cot f ( x)   2
sin f ( x)

6 /  tan f ( x)  

8 /  arcsin f ( x)  

10 /  arctan f ( x)  

f ( x)
1  f 2 ( x)
 f ( x)
1  f 2 ( x)

f ( x)
1  f 2 ( x)

 f ( x)

11 /  arccot f ( x)  
1  f 2 ( x)


Đạo hàm
2

x
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm y  cos  sin 
 3
x
x 1
x 1


x
x
y  2cos  sin  .sin  sin  . cos  .cos .sin(2sin )
3 3

 3
 3 3
3
3
Ví dụ: Tính đạo hàm của y  3 shx  1
Đặt: u  shx

Thì: y  3 u  1

( shx)
.
Suy ra: y( x)  y(u ).u( x) 
3 3 (u  1)2 2 shx
chx

6 3 ( shx  1)2 shx
1


Đạo hàm
Đạo hàm hàm ngƣợc
Giả sử hàm 1-1: y = f(x) có hàm ngƣợc là x = g(y).
Tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn khác 0 thì
hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và

1
g ( y0 ) 
Hay ta còn viết

f ( x0 )

1
x( y ) 
y( x)


Đạo hàm
3
y

2
x
1
Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngƣợc của hàm
3
2

y

2
x

1

y

6
x
 0x  0
Do

Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngƣợc ta đƣợc

1
1
x( y ) 
 2 , x  0
y( x) 6 x

1
x( y ) 
y 1 2
3
6 (
)
2
Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngƣợc của hàm y = chx
1
1
1
y  shx  x  

y shx
ch2 x  1



1
y2 1

Đạo hàm

Đạo hàm của hàm cho bởi phƣơng trình tham số

 x  x(t )
Cho hàm y=f(x) đƣợc cho bởi pt tham số 
 y  y (t )
Đạo hàm của hàm y đƣợc tính bởi

y(t )
y( x) 
x(t )

Ví dụ: Tính y’(x) biết y(t) = etcost, x(t) = etsint

y(t ) (et cos t ) et (cos t  sin t )
y( x) 
 t
 t
x(t ) (e sin t ) e (sin t  cos t )

cos t  sin t
y( x) 
sin t  cos t


Đạo hàm

Đạo hàm dạng u(x)v(x):

Ta viết lại dạng uv thành u ( x)v ( x )  ev ( x )ln u ( x )



Suy ra : u ( x)

e

v( x)

  e

v ( x )ln u ( x )

 u ( x)   u ( x)
v( x)





v ( x )ln u ( x )






u( x) 
. v( x)ln u ( x)  v( x)


u ( x) 


u( x) 
 v( x)ln u ( x)  v( x) u ( x) 



v( x) 


Đạo hàm
Ví dụ: Tính đạo hàm

y

x
2 ln x

x
 x   x ln 2 
ln 2 
ln x  1 
ln
x
ln
x
ln
x

ln 2. 2 
y   2    e
 e


 

ln
x



 

x
(ln x)
Ví dụ: Tính đạo hàm y  ln x
x

Lấy ln 2 vế hàm đã cho
Lấy đạo hàm 2 vế:

Vậy:

(ln x)
y  ln x
x

x



ln y  ln((ln x) x )  ln( xln x )
y
x 
ln x 
 ln((ln x) )  ln( x )
y





 



x
(ln
x
)
1 2ln x 

2
 ( x ln(ln x)   (ln x)  xln x  ln ln x  ln x  x 


Đạo hàm cấp cao
Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x). Lấy đạo
hàm của hàm z, ta đƣợc đạo hàm cấp 2 của hàm

f(x) – kí hiệu là f ( x)
Tiếp tục quá trình đó, ta gọi đạo hàm của đạo hàm
cấp (n-1) là đạo hàm cấp n

f ( n) ( x)  ( f ( n1) ( x))
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 1, 2 của hàm y = tan(x2+1)
2
2
2x
2cos( x  1)  2.2 x.2 x.sin( x  1)

y 
 y 
2 2
cos ( x  1)
cos3 ( x 2  1)


Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao của hàm cho bởi pt tham số
Cho hàm y = y(x) xác định bởi x = x(t), y = y(t)
y(t )
Đạo hàm cấp 1: y( x) 
x(t )
Tức là đạo hàm cấp 1 cũng là hàm cho bởi pt tham số
y(t )
x  x(t ), y 
 g (t )
x(t )
g (t ) y(t ) x(t )  y(t ) x(t )


Đạo hàm cấp 2: y( x) 
x(t )
( x(t ))3
Tƣơng tự, đạo hàm cấp (n-1)
vẫn là hàm cho bởi pt tham
số nên đạo hàm cấp n đƣợc
tính theo cách trên

y

( n)

y

( x) 

( n 1)

( x)

x(t )




t


Đạo hàm cấp cao

Ví dụ: Tính y’, y’’ biết x = e2t sht, y = e2tcht
2t

y (t ) e (2cht  sht ) 2cht  sht
y( x) 
 2t

x(t ) e (2sht  cht ) 2sht  cht

2
2

(2
sht

cht
)

(2
cht

sht
)
 2cht  sht 
2


(2
sht


cht
)
2
sht

cht

 
y( x) 
2t
e
(2sht  cht )

x (t )

3( sh t  ch t )
 2t
e (2sht  cht )3
2

2


Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao của hàm hợp – CT Leibnitz
Cho hàm hợp h = f o g
Đh cấp 1: h  f .g 
Suy ra đh cấp 2: h( x)  ( f (u ).g ( x)).g ( x)  f (u ).g ( x)

Đạo hàm của tích

Bằng QUY NẠP, ta chứng minh đƣợc
n

( n)
k ( k ) ( n k )
(
f
.
g
)

C
 n . f .g
CT Leibnitz:
k 0

Trong đó, ta quy ƣớc f(0) = f (đh hàm cấp 0 bằng
chính nó)


Đạo hàm cấp cao
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm y = sinx.ln(x+1)
3

y (3)   C3k (sin x)( k ) (ln( x  1))(3k )
k 0

y (3)  C30 (sin x)(0) (ln( x  1))(3)  ...  C33 (sin x)(3) (ln( x  1))(0)

y

(3)

2
1
1
 sin x
 3cos x
 3sin x
 cos x.ln( x  1)
3
2
x 1
( x  1)
( x  1)


Đạo hàm cấp cao
Đh cấp cao một số hàm thƣờng gặp

1 / ( x a )( n)  a(a  1)...(a  n  1) x a n
2 / (eax )( n)  a neax
3 / (ln( x  1))( n)

4 / (sin ax)

(1)n1 (n  1)!

( x  1)n



( n)

 a sin(ax  n )
2

( n)

 a cos(ax  n )
2

5 / (cos ax)

n

n



 1 


x

1



( n)

(1)n n!

( x  1)n1


Đạo hàm cấp cao

Ví dụ: Tính y(n) biết y = (2x2-x+3)sin(2x+1)
Đặt f(x) = 2x2-x+3, g(x) = sin(2x+1) thì y = f.g
Áp dụng CT Leibnitz với lƣu ý: với mọi k>2 thì f(k)=0
n

y ( n)   Cnk f ( k ) g ( nk )
k 0

 ( n1)  Cn2 f g ( n2)
 Cn0 f (0) g ( n)  Cn1 f g

2
n
 (2 x  x  3)2 sin(2 x  1  n )
2
 n(4 x  1)2

n 1



sin(2 x  1  (n  1) )

2

n(n  1) n2


4.2 sin(2 x  1  (n  2) )
2
2


Đạo hàm cấp cao
Phƣơng pháp tính đạo hàm cấp cao.
1. Phân tích thành tổng các hàm đã biết.
2. Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là
hàm đa thức (chỉ có đạo hàm khác không đến 1 cấp
hữu hạn), hoặc f và g là các hàm đã có CT tính đh cấp
n sau đó sử dụng công thức Leibnitz
3. Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)