Giải Tích 1 - Chương 1 - Giới Hạn Hàm Số

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục
(tiếp theo)

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)


2
Nội dung

I.2 – Giới hạn của hàm số


 – Hàm số.


 – Giới hạn của hàm số.


 – Vô cùng bé, Vô cùng lớn.
3
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm .
: ; :

g X Y f Y Z

→ →
Khi đó tồn tại hàm hợp .
:
f g X Z
→
o
( ( ))
h f g f g x
= =
o
Ví dụ.
2
( ) 3; ( )
g x x f x x
= − =
(
)
2
( ) ( ( ) ( 3) 3
f g x f g x f x x
⇒ = = − = −
o
2 2
( ) ( ( )) ( ) 3
g f x g f x g x x
⇒ = = = −
o
1. Hàm số
4
4

) ( ) 2 2
a f g x x x
= − = −
o
( ,2
]
f g
D
⇒ = −∞
o
) ( ) 2
b g f x x
= −o
[
]
0,4
g f
D
⇒ =
o
4
) ( )

c f f x x
=o
[
)
0,
f f
D

⇒ = +∞
o
) ( ) 2 2

d g g x x
= − −
o
[
]
2,2
g g
D
⇒ = −
o
Cho . Tìm các hàm sau và miền
Ví dụ.
( ) ; ( ) 2

f x x g x x
= = −
) ; ; ; .
b) c) d)
a f g g f f f g g
o o o o
xác định của nó:
5
Đầu vào
Đầu ra
6
Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại

đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu
Định nghĩa (hàm 1 – 1)
thì .
1 2
f
x x D
∀ ≠ ∈
1 2
( ) ( )
f x f x
≠
7
Hàm 1 – 1
Ví dụ.
Không là hàm 1 – 1
8
ký hiệu , xác định bởi .
Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền
Định nghĩa (hàm ngược)
giá trị E.
1
( )
x f y
−
=
1
( ) ( )
x f y y f x

−
= ⇔ =
9
Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
Chú ý:
khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của .
1
f
−
1
( ) ( )
a f b b f a
−
= ⇔ =
10
Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua
qua đường thẳng y = x.
1
f
−
Ví dụ. Vẽ đồ thị của
1
y x
= − −
Vẽ đồ thị của
và đồ thị hàm ngược.
11
Xét hàm lượng giác y = sin x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1.

-
,
2 2
π π
 
 
 
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arcsin
y x
=
12
Xét hàm lượng giác y = cos x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1.
[
]
0,
π
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arccos
y x
=
13
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arcsin x
-
,
2 2
π π

 
 
 
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arccos x
[
]
0,
π
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
14
Xét hàm lượng giác y = tanx
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1.
,
2 2
π π
 
−
 
 
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arctan
y x
=
15
Xét hàm lượng giác y = cot x

Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1.
(
)
0,
π
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu
arccot
y x
=
16
Miền xác định: R
Hàm arctan x
-
,
2 2
π π
 
 
 
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: R
Hàm arccotan x
(
)
0,
π
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.

17
Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic
sinh( )
2
x x
e e
x
−
−
=
cos hyperbolic
cosh( )
2
x x
e e
x
−
+
=
tan hyperbolic
sinh( )
tanh( )
cosh( )
x
x
x
=
cotan hyperbolic
cosh( )

coth( )
sinh( )
x
x
x
=
18
cosh( )
y x
=
Hàm
sinh( )
y x
=
Hàm
19
tanh( )
y x
=
Hàm
coth( )
y x
=
Hàm
20
Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)
2 2
1) cosh ( ) sinh ( ) 1
a a
− =

2 2
2) sinh(2 ) 2sinh( )cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh
( )

a a a a a a
= = +
3) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( )

a b a b a b
+ = +
4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( )

a b a b a b
− = −
5) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( )

a b a b b a
+ = +
6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( )

a b a b b b
− = −
21
và các công thức lượng giác hyperbolic khác.
Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công
thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay
sin bởi isinh.
Ví dụ. Từ công thức
2 2
cos sin 1

a a
+ =
ta có
2 2 2
cosh sin 1
i
a a
+ =
2 2
cosh sinh 1
a a
⇒ − =
22
Hàm cho bởi phương trình tham số.
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm .
0
t
Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
23
Ví dụ.
Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
2cos
3sin
(1)
x t
y t

=


=

Đây chính là phương trình của ellipse.
2 2
1
4 9
x y
⇒ + =
cos
2
(1)
sin
3
x
t
y
t

=


⇔


=



24
Ví dụ.
Phương trình tham số của đường
tròn tâm O bán kính R:
cos
sin

x R t
y R t
=


=

Phương trình tham số của đường
tròn tâm (a,b) bán kính R:
cos
sin

x a R t
y b R t
− =


− =

cos
sin

x a t

y b t
=


=

Phương trình tham số của ellipse là
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
25
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ.
D = (0,1)
Cho D là tập số thực. Điểm được gọi là điểm tụ của
0
x
Định nghĩa.
tập D nếu trong mọi khoảng đều chứa vô
0 0
( , )
x x
ε ε
− +
số các phần tử của tập D.
Điểm tụ của D là [0,1]
D có duy nhất một điểm tụ là 0

1
,
D n N
n
 
= ∈
 
 
1
( 1) ,
2
n
n
D n N
n
+
 
= − ∈
 
+
 
D có hai điểm tụ -1 và 1.