Giới hạn dãy số lớp 11

THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
Nếu un  vnn,lim vn  0  lim un  0
 limc  c
 lim un  L  lim un  L

 limun  L  lim 3 un  3 L ;

 lim un  L, un  0n  L  0,lim un  L

u1
1
 lim un    lim  0
un
1 q
1
1
1
lim n  ; lim n  ; lim 3 n  ;
lim  0; lim
 0; lim 3  0;
n
n
n
1
lim q n   nếu q  1 ;
lim k  0, k  N *
lim q n  0 nếu q  1
n
lim nk  , k  N *

c
lim k  0
n
lim un   , lim vn  
lim un   , lim vn  L  0
lim un  L  0 , lim vn  0
Dấu của lim un .vn
Dấu của Dấu của
u
lim un lim vn lim un .vn
lim un
lim n
L
L
vn
vn






































 S  u1  u1q  u1q 2  ... 

B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
2n  1
1. lim
n 1

3n 2  4n  1
2. lim 2
2n  3n  7
n3  4
3. lim 3
5n  n  8

4. lim

n  2n  1 3n  2 

 6n  1

3

7. lim
8. lim

n 1
n2  2
n4
6. lim 2
n  3n  2
5. lim

9. lim

n  2n  1

 6n  1

3

n3  2
n 1
n  2n  1  3n 2  2 

 6n  1

3

Bài 2 tìm các giới hạn sau:

n 2
4. lim
ds0
n  n 1

n2  1
1. lim
2n  3
2 n 1
2. lim
ds2
n2 2
n 1
ds1
n 1
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1. lim n  1  n ds0



2. lim





3

n3  n  2
ds1
n2

3

n3  1  1

5. lim

3. lim

6. lim



n n2  1  3

n2  3  2

3. lim

n2  5n  1  n2  n ds3

3

4. lim
Tr-êng THPT Ng« QuyÒn
-1-

7. lim

n 2  3 n3  1  n n







3n2  2n  1  3n2  4n  8 ds



n2  4n  n ds-2

GV: Hµ C«ng Th¬


THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]





5. lim n  n2  3 ds0
7. lim
8. lim







n2  n3  n ds1/3

3

3

6. lim



n 1  n

9. lim



n  3 n  1 ds0
10. lim



n  3 1  n3



n2  1  n
3

n3  3n2  1  n2  4n



Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1  4n
3n  4n  5n
3n 2  4n  1
1. lim
3.
5.
lim
lim
3n  4n  5n
n 2 2n
1  4n
3n  4n 1

2n  6n  4n 1
2. lim n  2
4. lim
3n  6n 1
3  4n
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
sin n
sin10n  cos10n
1. lim
2. lim
n 1
n 2  2n
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1  3  5  ...  (2n  1)
 1
1
1 
1. lim
ds1/3
4. lim  
ds1
 ... 
3n2  4
n(n  1) 
1.2 2.3
1  2  3  ...  n
 1

1
1

2. lim
ds1/2
5. lim  
 ... 
n2  3
(2n  1)(2n  1) 
1.3 3.5
2
2
2
2
1  2  3  ...  n
3. lim
ds1/3
n(n  1)(n  2)
Bài 7 Tính các tổng sau:
1 1
3. S  1  0,1  (0,1)2  (0,1)3  ....
1. S  1    ...
2 4
4. S  2  0,3  (0,3)2  (0,3)3  ....
1 1 1
2. S  1     ...
3 9 27
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1. 1,1111….
3. 0,2222…
5. 0,23111…
2. 2,3333…
4. 0,212121….

GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :

 ,k  2l
1
 0 lim x k   lim x k  
k
x 
x 
x  x
x  x0
x  x0
 ,k  2l  1
lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L
1
0
x  x

lim x  x0 lim C  C lim

x  x0

lim f  x 

x  x0

L0
L0

x  x0

lim g  x 

x  x0






Tr-êng THPT Ng« QuyÒn
-2-

lim

x  x0

lim f  x  .g  x 

x  x0






GV: Hµ C«ng Th¬


lim f  x  lim g  x 

x0
THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠIxHỌC]
L

x  x0

Dấu của g(x)
Tuỳ ý
+
+
-

L>0
0
B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
x2  9
1. lim
x 3 x  3
2. lim  x 2  3x  1
x 1

Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
1. lim x đs2
x 2

2. lim  x  3 đs5

L<0

x2  9
x 3 x  4
2 x2  9
4. lim 2
x  x  4
3. lim

5.

x 2

3. lim  2 x 2  3x  5 đs-9

6.

x 2

4. lim  x  3 x  2  đs-6
x 0

Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
1. lim  x3  2 x  đs 
x 

2.

lim  x3  2 x  đs 

x 

5 x 2  3x  1
đs5/2
x 
2 x2  3
5 x 2  3x  1
4. lim
đs5/2
x 
2 x2  3
x4  5x2  1
5. lim
đs1/2
x 
2 x4  3
x4  5x2  1
6. lim
đs1/2
x 
2 x4  3
3x  1
7. lim 2
đs0
x  2 x  3
3x  1
8. lim 2
đs0
x  2 x  3
3x 2  1
9. lim 3
đs0

x  2 x  5
3x 2  1
10. lim 3
đs0
x  2 x  5
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
5x  2
1. lim
đs 
2
x 3
 x  3
3.

lim

 2x  3 
2. lim  
đs 
2
x 3
  x  3 
5x  2
3. lim
đs 
x 3 x  3
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
2 x 2  3x  1 ,x  2
Cho hàm số : f  x   
,x  2

3x  7
Tr-êng THPT Ng« QuyÒn
-3-

f  x
x  x0 g  x 
0




lim

7.

5x  2
đs7/2
x 1 x  1

lim

x 2  3x  1
đs3
lim
x 2
x 1
5  2x  x 1
đs2/3
lim
x 2

x 1

x2  2 x  2
đs 
x 
x 1
x2  2 x  2
12. lim
đs 
x 
x 1
11. lim

13. lim

x2  2 x

14. lim

x 2  2 x đs 

15. lim

4 x2  1
2
đs 
3x  1
3

x 

x 

x 

đs 

3x  x 4  5 x 1
16. lim
đs
x  2 x 2  4 x  5
2
17. lim

x 

18. lim

x 

x2  3  4x
4 x2  1  x

đs5 , -1

9x2  1  4 x2  2 x
đs 1
x 1

5x  2

đs 
x 3 x  3
x2  5x  2
5. lim
đs 
x 2
x2
x2  5x  2
6. lim
đs 
x 2
x2

4. lim

GV: Hµ C«ng Th¬


THUVIENDIENTU.ORG [T SCH LUYN THI I HC]
Tỡm cỏc gii hn sau:
1. lim f x
x 1

x 0

Bi 7 Tỡm cỏc gii hn sau::(dng

4.
5.
6.

x 2 2 x 15
s8
x 3
x 3
x2 2 x 3
s2
lim
x 1
x2 1
x 2 3x 2
s1/2
lim 2
x 2
x 2x
x 2 3x 2
s1/5
lim 2
x 2 x x 6
x3 x 2 x 1
s0
lim 2
x 1
x 3x 2
x4 a4
s4a3
lim
xa x a

x 1

x h
lim

9.
10.
11.

x 1
s1/2
x 1
x 1 2
2. lim
s1/24
x 3
x2 9
2 x3
3. lim
s-1/8
x 1
x2 1

s2x
h
x 4 6 x 2 27
s-36/5
lim 3
x 3 x 3 x 2 x 3
x5 1
lim 3 s5/3

x 1 x 1
xm 1
sm/n
lim n
x 1 x 1
4 x 6 5 x5 x
s10
lim
2
x 1
1 x

4 x 1 3
s1/6
x2 4
2x 5 7 x
5. lim
s1/12
x 2
x2 2 x
3
4x 2
6. lim
s1/3
x 2
x2

4. lim
x 2

0
)
0
3

3

1 3 1 x
s1/9
x 0
3x
3
x 1
4. lim
s-2/3
2
x 1
x 3 2
3
x7 2
5. lim
s1/2
x 1
x 1

3. lim

x2

0

)
0

x 1

1. lim

2

h 0

8.

1. lim

x 1
s1/6
2
x 1 x 1
x x2
2. lim
s9/8
x 2
4x 1 3

3. lim f x

x 3

7.

Bi 8 Tỡm cỏc gii hn sau::(dng

Bi 9Tỡm cỏc gii hn sau:(dng

2. lim f x

x 2

0
)
0

1. lim

3.

3. lim f x

x 3

Bi 6 Tỡm cỏc gii hn sau::
1 2 x 2 ,x 1
Cho hm s : f x
5 x 4 ,x 1
Tỡm cỏc gii hn sau:
1. lim f x

2.

2. lim f x

6. lim
x 1

x 1
s2/3
x 1

1 x 1 x
s5/6
x 0
x
x 1 x 4 3
8. lim
x 0
x
x 9 x 16 7
9. lim
x 0
x
3

7. lim

3

10. lim
x 1

x2 2 3 x 1

x 1

2

Bi 10:Tỡm caực giụựi haùn sau
Tr-ờng THPT Ngô Quyền
-4-

GV: Hà Công Thơ


THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
1.
2.
3.
4.

 x  x  x
lim  2 x  1  4 x  4 x  3 
lim  x  x  1  x  x  1 
lim  x  1  x 
2

lim

x 

2

5.
6.

x 

2

2

7.

x 

3

3

8.

x 

Bài 11:Tìm các giới hạn sau
1 
 2
1. lim  2


x 1 x  1
x 1 


3 
 1
2. lim 


x 1 1  x
1  x3 


lim ( x  x 2  5 x ) (Đs:-5/2)

x  

lim ( x 2  x  x 2  1 ) (Đs:1/2)

x  

lim x 2 .

x 

lim

x 



3



3

x3  1  x



x3  5 x 2  3 x3  8 x



1
1


3. lim  2
 2

x 1 x  3 x  2
x  5x  6 


BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
 x2  9
 x 2
khi x  3

khi x  4


1. f(x) =  x  3
tại x0=3
x

5

3
7. f  x   
tại x0=4
6
khi x  3

3

khi x  4
 2
 x 2  25
khi x  5

2. f(x) =  x  5
tại x0=5
 x 2 +4 khi x  2
8. f  x   
tại x0=2
9
khi x  5

2 x  1 khi x  2
 2  7 x  5 x 2  x3

 x 4  x 2  1 khi x  1
khi x  2

2
9.
tại x0= -1
f
x




3. f  x    x  3x  2
3x  2
khi x  1

1
khi x  2

2

khi x  0
x
tạix0=2
10. f  x   
tại x0=0
3
1

x

khi
x

0


x  x2
khi x  1
 3
 x 5
4. f  x    x  1
tại x0= -1
 2 x  1  3 khi x  5
4

11. f  x   
tại x0=5
khi x  1
 3
3

khi x  5
 2
1  2 x  3
khi x  2

x3  2 x 2  1
5. f  x    2  x
tại x0=2
12. f  x  

tại x0=2
1
x

2
khi
x

2

x4  x 1
 3 3x  2  2
13. f(x)=
tại x0 = 5
khi x  2

x 5
x

2
6. f  x   
tại x0=2
3
khi x  2
 4
14. Chứng minh các hàm số
 x2  2 x  3
khi x  1

a) f  x    x  1

liên tục trên R
4
khi x  1

b)

 x3  x  2
 x3  1 khi x  1
f  x  
liên tục trên R
4
khi x  1
 3

Tr-êng THPT Ng« Qun
-5-

GV: Hµ C«ng Th¬


THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
 x2  7  4
khi x  3
 2
c) f  x    x  5 x  6
liên tục trên R \ 2
3

khi x  3
 4

15. tìm a để hàm số liên tục trên R

 x2
a 2 x 2 khi x  2
khi x  1

1) f  x   
2) f  x   
2ax  3 khi x  1

1-a  x khi x  2
 x2  4
khi x  2

3) f  x    x  2
a
khi x  2

 x3  2 x 2  5 khi x  0
16. Cho hàm số f(x) = 
khi x  0
4 x  1
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác đònh của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0).
17. Tìm a để hàm số liên tục tại x0
 1 x  1 x
 x3 2
khi x  1
khi x  1



a) f  x    x  1
tại x0=1
x

1
c) f  x   
tại x0=1
a+1
khi x  1

a  4 - x
khi  1

x2
 x2 2
khi x  2

 3 3x  2  2
b) f(x) =  x 2  4
tại x0=2
khi x  2

a
2

x
khi x  2

d) f  x   
tại x0=2

ax  1
khi x  2

4

18.

cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
x2  2 x
x2  2 x
a) f  x  
b) f  x  
x
x2
Có thể gán cho f  0  một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f  x  liên tục tại x=0

19.

20.
21.
22.

ax 2 khi x  2
Cho hàm số f(x) = 
3 khi x  2
Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thò hàm số với a tìm được.

Chứng minh rằng phương trình x3 + 3x2 +5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1)
Chứng minh rằng phương trình x3-3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Chứng minh rằng phương trình x5-3x4 +5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong

khoảng (-2 ;5 )

Tr-êng THPT Ng« Qun
-6-

GV: Hµ C«ng Th¬