On THI HỌC SINH GIỎI toan 6

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
Trường THCS Cự Khê

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)
1) Chứng minh rằng: 31999 – 71997 5
2) Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp để:

chia hết cho 99

Câu 2: (5 điểm)
1) Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + … + 499 ; B = 4100
Chứng minh rằng: A <
2) So sánh C và D
C=

D =

3) Tìm các số nguyên x, y sao cho:
( x + 1). ( xy – 1) = 3
Câu 3: ( 2 điểm)
Tìm GTNN của hiệu giữa 1 số tự nhiên có hai chữa số với tổng các chữ số của nó.
Câu 4: (4 điểm)
Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h và đến B lúc 12h. Một xe con khởi hành từ B lúc 7
giờ rưỡi và đến A lúc 11 giờ rưỡi
a. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

b. Biết vận tốc xe con hơn vận tốc xe tải là 10km/h. Tính quãng đường AB?
Câu 5: (5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có độ dài là a. Gọi C là điểm thuộc tia đối của tia AB. Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng AC, N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính độ dài đoạn
thẳng MN
----------- Hết ----------(giám thị coi thi không giải thích gì thêm)


HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 6
Câu 1: (4 điểm)
1) 31999 = (34)499 . 33 = 81499. 27 có chữ số tận cùng là 7 (0,75đ)
71997 = (74)499.7 = 2041499 . 7 có chữ số tận cùng là 7 (0,75đ)
Vậy 31999 – 71997 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5 (0,5đ)
2) Đặt A =
99 A 11 và A 9 (0,5 đ)
Từ A 11 tìm được y – x = 3
Từ A 9 tìm được x + y = 4 hoặc y + x = 13 (1 đ)
(x + y và x – y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ)
TH: y – x = 3; x + y = 4 ( loại)
TH: y – x = 3; y + x = 13 x = 5, y = 8 (0,5 đ)
Đ/S: 519948
Câu 2: (5 điểm)
1) 4A = 4 + 42 + 43 + 44 +…+ 4100 (0,5đ)
A = 1 + 4 + 42 + 43 +…+ 499
3A = 4A – A = 4100 – 1 (0,5đ)
A=

<

=

(1đ)

Vậy A <
2)
C=

2013C =

D =
Vì

=1+

2013D =
<

(0,5đ)

=1+

(0,5đ)

nên 2013C < 2013D (0,5đ)

Vậy C < D
3) Vì ( x + 1). ( xy – 1) = 3 và x

Do đó: x + 1
Ta có:

Ư(3) = {

Z, y Z nên x + 1
} (0,5 đ)

Z, xy – 1

Z


x+1

1

-1

3

-3

xy – 1

3

-3

1

-3

x

0

-2

2

-4

1

1

0

y

(1 đ)
Vậy các cặp (x; y) thoả mãn là: (-2; 1); (2;1); (-4; 0)
Câu 3: (2 điểm)
- (a +b) = 9a (1 đ)
Biểu thức này có GTNN bằng 9 khi và chỉ khi a = 1, còn b tuỳ ý (0,1,2,..,9) (1 đ)
Câu 4: ( 4 điểm)
a. Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước.
Thời gian xe tải đi từ A đến B là 5h, xe con đi từ B đến A là 4h
Trong 1h, hai xe gần nhau được là:

=

(quãng đường AB) (0,5đ)

Xe con khởi hành sau xe tải là: 7h30p – 7h = 30p = h
Khi xe con khởi hành thì hai xe cách nhau là: 1

(quãng đường AB)
(1đ)

Hai xe gặp nhau sau:

= 2h

Hai xe gặp nhau lúc: 7h30p +2h = 9h30p (1đ)
b. 10km chính là :

( quãng đường AB) (0,5đ)

Vậy quãng đường AB dài là: 10 :
Câu 5: (5 điểm)
- Vẽ hình đúng cho (0,5đ)
C

M

= 200(km) (1đ)

N

A

B

Gọi độ dài đoạn thẳng AC là b. (0,5đ)
Vì C nằm trên tia đối của tia AB nên A nằm giữa C và B
ta có: CB = CA + AB = b + a (1đ)
M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên CM = MA =

(0,5đ)


N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN = NB =
M và N đều nằm trên tia CA vì CM < CN (
nên MN = CN – CM =

-

=

<

(0,5đ)
)

(2đ)

Vậy MN =

(Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)