trắc nghiệm toán 11 chuyên đề giới hạn

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Tác giả: PHẠM TRẦN LUÂN (TP Hồ Chí Minh)

Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)

GIỚI HẠN

CHUYÊN ĐỀ:

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Chủ đề 3:

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
 Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng K và x0  K . y  f  x  liên tục tại x0 khi
và chỉ khi lim f  x   f  x0 
x  x0

 y  f  x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

 a; b 

 y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng

và

lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  .

x a

x b

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên
khoảng đó.
y

y

a

x

a

O

x

O

b

Hàm số liên tục trên khoảng  a; b 

b

Hàm số không liên tục trên khoảng  a; b 

2. Các định lí
 Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên tập số thực  .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
 Định lí 2
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

1

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Giả sử y  f  x  và y  f  x  là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
a) Các hàm số f  x   g  x  , f  x   g  x  và f  x  .g  x  cũng liên tục tại x0 ;
b) Các hàm số

f  x

g  x

liên tục tại x0 , nếu g  x0   0 .

 Định lí 3
Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c   a; b  sao cho f  c   0 .

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 , thì phương trình f  x   0 có
ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng  a; b  .

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 .
VD 1.

Xét tính liên tục của hàm số f  x  

x
tại x0  3 .
x2

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   \{2} , chứa x0  3
Ta có:


f  3  3

x
 3  f  3
x 3
x 3 x  2
Vậy hàm số liên tục tại điểm x0  3 .



VD 2.

lim f  x   lim

 x2  1

Xét tính liên tục của hàm số f  x    x  1
2


neáu x  1
neáu x  1

tại x0  1 .

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   , chứa x0  1
Ta có:


f  1  2

x2  1
 lim  x  1  2  f 1
x 1
x 1 x  1
x 1
Vậy hàm số liên tục tại điểm x0  1 .


VD 3.

lim f  x   lim

x2  1

Xét tính liên tục của hàm số f  x    1

 2

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

2

khi x  1
khi x  1

tại x0  1 .

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   , chứa x0  1
Ta có:


f  1 



lim f  x   lim x2  1  2  f  1 .

1
;
2

x 1

x 1





Vậy hàm số gián đoạn tại điểm x0  1 .
 x 1

VD 4. Xét tính liên tục của hàm số f  x    2  x  1
  2x

Hướng dẫn giải

khi x  1
khi x  1

tại x0  1 .

Tập xác định: D   , chứa x0  1
Ta có:


f  1  2 ;



lim f  x   lim  2 x   2



lim f  x   lim

x 1

x 1

x 1

x 1
2  x 1

x 1

 lim

 x  1 

x 1

  lim 


2 x 1

1 x

x 1



2  x  1  2

Suy ra lim f  x   lim f  x   f 1  2
x 1

x 1

Vậy hàm số liên tục tại điểm x0  1 .
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng.
VD 1.

 2x2  2x
khi x  1

Cho hàm số f  x    x  1
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác

5
khi x  1


định của nó.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   .
Nếu x  1 thì f  x  

2 x2  2 x
là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là  ;1  1;  
x 1

Suy ra hàm số liên tục trên mỗi khoảng  ;1 , 1;   .
Nếu x  1 thì f  x   5
Ta có:


f  1  5 ;

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

2 x2  2 x
 lim  2 x   2  f 1 .
x 1
x 1
x 1
x 1
Suy ra hàm số gián đoạn tại điểm x  1 .


lim f  x   lim

Vậy hàm số trên liên tục trên mỗi khoảng  ;1 , 1;   và gián đoạn tại điểm x  1 .
Xét tính liên tục của hàm số f  x   1  x2 trên đoạn [1;1]

VD 2.

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D  [1;1] .

x0   1;1 , ta có
lim f  x   lim 1  x2  1  x02  f  x0 
x x0

x x0

Suy ra hàm số liên tục trên khoảng  1;1 .
Mặt khác: lim f  x   lim 1  x2  0  f  1
x 1

x 1

lim f  x   lim 1  x2  0  f 1
x 1

x 1

Vậy hàm số liên tục trên đoạn [1;1] .
Dạng 3. Tìm tham số để hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng.
VD 1.

 x2  x  2
khi x  2

Tìm giá trị của tham số m để hàm số f  x    x  2
liên tục tại x  1
m
khi x  2


Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   , chứa x  2
Ta có:


f  2  m ;



lim f  x   lim

x 2

x 2

x2  x  2
 lim  x  1  0 .
x 2
x2

Hàm số liên tục tại điểm x  2  f  2   lim f  x   m  0
x 2

Vậy m  0 thì hàm số liên tục tại điểm x  2 .
VD 2.

2 2

khi x  2
m x
Tìm giá trị của tham số m để hàm số f  x   
liên tục trên 
1

m
x
khi
x

2






Hướng dẫn giải
Tập xác định: D   , chứa x0  1
Nếu x   ; 2    2;   thì f  x  là hàm đa thức có tập xác định 
Suy ra hàm số liên tục trên mỗi khoảng  ; 2  ;  2;   .
Nếu x  2 thì
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

4

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]




Chuyên đề: GIỚI HẠN

f  2   4 m2 ;
lim f  x   lim 1  m  x   2 1  m 

x 2 

x 2

lim f  x   lim m2 x2  4m2
x 2

x 2

Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  2

 lim f  x   lim f  x   f  2 
x 2

x2
2

 2 1  m   4m

 m  1

m  1

2
Vậy m  1 hoặc m 

1
hàm số trên liên tục trên  .
2

MỘT SỐ BÀI TẬP:

 x 2  5x  4
nÕu x  1


3
x

1
Bài tập 1: Xác định a để f ( x)  
a  1
nÕu x  1
 2

liên tục tại x0  1 .

Bài giải:
Ta có: f ( x0 )  f ( 1)  a 

1
2

x 2  5x  4
( x  1)( x  4)
( x  4)
 lim
 lim 2
 1.
và lim f ( x)  lim
3
2
x  x0
x 1
x


1
x

1
x 1
( x  1)( x  x  1)
( x  x  1)
Hàm số f  x  liên tục tại x0  1  lim f ( x)  f  1   a 
x 1

1
.
2

Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0  3 :
 x 2  5x  6
nÕu x  3
f ( x)   x  3
 2x  1
nÕu x  3


Bài giải:

 x 2  5x  6 
 lim  x  2   1 .
Ta có lim f  x   lim 
x 3
x 3

x  3  x3

và lim f  x   lim  2x  1  7
x 3

x 3

Do lim f  x   lim f  x   f  x  không tồn tại đạo hàm tại x0  3 .
x 3

x 3

Vậy hàm số f  x  không liên tục tại x0  3 .

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

5

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

 x2  1  1

nÕu x  0
Bài tập 3: Cho hàm số f ( x)   x 4  x 2
m  1

nÕu x  0


(m là tham số)

Tìm m để hàm số f  x  liên tục tại x  0 .
Bài giải:

Ta có: f  0   m  1
x2  1  1
x2
và lim f ( x)  lim
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x4  x2
x2 x2  1
x2  1  1
 x  1







Hàm số f  x  liên tục tại x  0  lim f ( x)  f (0) 

x 0



1
x2  1  1





1
2

1
3
 m1  m  .
2
2

 x2  4x  3
nÕu x  1

3
Bài tập 4: Cho hàm số f ( x)   x  1
. Tìm m để hàm số liên tục tại x  1 .
 1 mx  2
nÕu x  1
 4
Bài giải:

Ta có: lim f ( x)  lim
x 1

x 1

 x  1 x  3  lim  x  3   2
x2  4 x  3

lim
x 1
x3  1
 x  1  x2  x  1 x1  x2  x  1 3




1

m
Mặt khác: lim f ( x)  lim  mx  2     2
x 1
x 1
4
4

Để hàm số có giới hạn tại x  1 khi chỉ khi:
m
2
32
2   m 

x 1
x 1
4
3
3
2
m
Lúc đó: lim f ( x)  . Ta có: f ( 1)    2
x 1
3
4
Hàm số liên tục tại x  1 khi chỉ khi: lim f ( x)  f ( 1)
lim f ( x)  lim f ( x)  

x 1



m
2
32
2   m 
4
3
3

 x2  4
nÕu x  2

Bài tập 5: Xét tính liên tục hàm số f  x    x  2

 x 3  4 nÕu x  2


trên  .

Bài giải:

Dễ thấy f  x  liên tục trên  ; 2  và  2;   .
Ta có: f  2   4 .
và lim f ( x)  4 . Suy ra: lim f ( x)  f  2  . Vậy f  x  liên tục tại x  2 .
x 2

x 2

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Kết luận: Hàm số f  x  liên tục trên  .
 x 2  5x  6
nÕu x  3

Bài tập 6: Tìm a để hàm số f  x    x  3

 x 2  4a
nÕu x  3


liên tục trên  .

Bài giải:

Dễ thấy f  x  liên tục trên  ; 3  và  3;   .
Ta có: f  3   9  4a
và lim f ( x)  9  4a ; lim f ( x)  1 .
x 3

x 3

Hàm số f  x  liên tục trên   f  x  liên tục tại x  3
 lim f ( x)  lim f ( x)  f  3   9a  4  1  a  2 .
x 3

x 3

Dạng 4. Chứng minh phương trình f  x   0 có nghiệm  a; b 
VD 1.

Chứng minh rằng phương trình x3  2x  5  0 có ít nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đặt f  x   x3  2x  5 .
Tập xác định: D   .

Hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] và f  0  . f  2   0
Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   0; 2  .
Vậy phương trình x3  2x  5  0 có ít nhất một nghiệm.
VD 2.

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

1  m  x
2

5

 3x  1  0

Hướng dẫn giải





Đặt f  x   1  m2 x5  3x  1 .
Tập xác định: D   .

Ta có: f  0   1 , f  1  m2  1

 f  0  . f  1  0, m
Mặt khác: Hàm số f liên tục trên  nên liên tục trên đoạn [1; 0] .
Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   1; 0  .





Vậy phương trình 1  m2 x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

MỘT SỐ BÀI TOÁN:
Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: x17  x11  1 có nghiệm.
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

7

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Bài giải: Gọi f ( x)  x17  x11  1  f ( x) liên tục trên  .
f(0) = –1, f (2)  217  211  1  211 (26  1)  1  0  f (0). f (2)  0
Bài tập 2: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x3  5x2  x  1  0 .
Bài giải: Đặt f  x   2x3  5x2  x  1  f ( x) liên tục trên  .


 f 0  1
 f  0  . f  1  1  0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1; 0  .
Ta có: 
f


1


1






 f 0  1
và 
 f  0  . f  1  1  0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;1 .
f
1


1




Kết luận: Phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc  1;1 .
Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 5 nghiệm: x5  5x3  4x  1  0 .
Bài giải: Đặt f  x   x5  5x3  4x  1  f ( x) liên tục trên  .

 f  2   1
 3
73


Ta có:   3  73  f  2  . f     
0
32
 2
 f   2   32

 


3
 phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  2;   .
2


  3  73
73
 f   
và   2  32  f  0  . f  1  
0
32
 f  1  1

 3

 phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc   ; 1  .
 2

 f  1  1
1
13


tương tự   1  13  f  1 . f    
0
2
32
f



  2  32
  


1
 phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1;  .
2

  1  13
1
13
f  
*   2  32  f  1 . f    
 0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc
32
2
 f  1  1


1 
 2 ;1  .





 f  1  1
 f  1 . f  3   119  0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1; 3  .
* 
f
3

119





Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

8

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]


3
Mặt khác, các khoảng  2;   ,
2


Chuyên đề: GIỚI HẠN

 3

  2 ; 1  ,




1 1 
 1; 2  ,  2 ;1  ,  1; 3  là các khoảng rời nhau

 


đôi một, suy ra phương trình có ít nhất 5 nghiệm phân biệt. Mặt khác, (1) là phương trình bậc 5
nên có tối đa 5 nghiệm.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt. (đ.p.c.m)
Bài tập 4: Chứng minh phương trình

x3  6x  1  2  0 có nghiệm dương.

Bài giải:
Ta có:

x3  6 x  1  2  0  x3  6 x  1  2  x 3  6 x  3  0

Đặt f  x   x3  6x  3 , f ( x) liên tục trên 0;1

f  0   3 

  f  0  . f  1  0
f  1  4 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong  0;1 (đ.p.c.m)
Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình x5  10x3  100  0 có ít nhất một nghiệm âm.
Bài giải:

Gọi f  x   x5  10x 3  100  f ( x) liên tục trên  .
Ta có: f  0   100, f ( 10)  105  104  100  9.104  100  0
 f  0  . f  10   0 .

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm c   10; 0 
Bài tập 6: Chứng minh rằng phương trình x2 cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng  0;   .
Bài giải:

Gọi f  x   x 2 cos x  x sin x  1  f  x  liên tục trên  .
f  0   1, f     2  1  0  f  0  . f    0

 phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc  0;  
Bài tập 7: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm thực với mọi m :





a) m2  2m  2 x3  3x  3  0
Bài giải:







b) m4  m  1 x2017  x5  32  0



a) Xét hàm số f  x   m2  2m  2 x3  3x  3  f  x  liên tục trên  .
Ta có m2  2m  2   m  1  1  0, m  
2

f  0   3, f 1  m2  2m  2  0  f  0  . f 1  0

 f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm xo   0;1
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

9

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]



Chuyên đề: GIỚI HẠN



b) Hàm số f ( x)  m4  m  1 x2017  x5  32 là hàm đa thức nên liên tục trên  , do đó hàm số
liên tục trên đoạn 0;2  .





f  0   32  0 ; f  2   m  m  1 2
4

2017

2

2017

2
2

1 
1  1
2
 m     m      0, m  
2 
2  2



Suy ra f (0) f (2)  0, m  nên phương trình f  x   0 có một nghiệm thuộc khoảng  0; 2  nên
phương trình luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra:
a) 4x 4  2 x 2  x  3  0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn  1;1 .
b) 2x 3  6 x  1  0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn  2; 2  .

c) sinx  x  1  0 cã nghiÖm.
d) cosx  x cã nghiÖm.
  
e) cos2 x  2sinx  2 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn   ;  
 6 
5
4
f) x  3x  5x  2  0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn  2; 5  .
g) x 5  5x 3  4 x  1  0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn  2; 3 
h)

x 3  6 x  1  2  0 cã nghiÖm d­¬ng.

------------------------------------------------------------------------MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:


1
Bài tập 1: Giả sử hai hàm số y  f  x  và y  f  x   đều liên tục trên 0;1 và f (0)  f (1) .
2


1

Chứng minh rằng phương trình f ( x)  f  x    0 luôn có nghiệm trong đoạn
2


 1
0; 2  .




1
Gợi ý: Đặt hàm số g( x)  f ( x)  f  x   liên tục trên 0;1 .
2

1
1
Ta có: g(0)  f (0)  f   ; g   
2
2


1
g(0).g      f (0) 
2


2

1
f    f (1) 

2

 1 
f    0
 2 

1
f    f (0)
2

 1
x  0; 
 2

Suy ra:


1
 g(0).g    0  ..ycbt...
2


x  0
 g(0).g  1   0  
2

x  1





2
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

10

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2a  3b  6c  0 thì phương trình: ax2  bx  c  0 có ít nhất một
nghiệm trên  0;1 .
Gợi ý:
Trường hợp1: a  0 . Ta có:
 2  4 a 2b
f (0)  c v¯ f   
 c
3
3 9
2 c
c
c2
 f (0). f     4 a  6b  9c    2(2 a  3b  6c)  3c     0
9
3
3 9


2
 f (0). f    0  ...ycbt...
3


2
2  2
2a  3b  0
 x    0; 
 f (0). f    0  c  0   2
3  3
3

ax  bx  0

bx  c  0

3b  6c  0

Trường hợp 2: a  0 . Ta có:

* Nếu b  0 th× c  0 và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có

nghiệm trên  0;1 .

b 1
* Nếu b  0 : x0      0;1
c 2

Bài tập 3: Cho hàm số y  f ( x) :

f : 0;1 
 0;1 và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại

c  0;1 sao cho: f (c)  c .

Gợi ý: Đặt hàm số g( x)  f ( x)  x liên tục trên 0;1
L­u ý:

f : 0;1 
 0;1
0  x  1  0  f ( x)  1

Ta có: g(0)  f (0)  0; g(1)  f (1)  1  0 do 0  f ( x)  1 ,x  0;1
Lúc đó: g(0).g(1)  0 ,x  0;1
Bài tập 4: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn 
 1;1 . Chứng minh rằng với mọi a, b  0 cho
trước, phương trình: f ( x) 
Gợi ý: Đặt h( x)  f ( x) 

af ( 1)  bf (1)
luôn có nghiệm thuộc 
 1;1 .
ab

af ( 1)  bf (1)
liên tục trên 
 1;1 .
ab

Ta có:

h(1)  f (1) 

af ( 1)  bf (1) a  f (1)  f ( 1)

;
ab
ab

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[Chuyờn Trc nghim Toỏn 11]
h( 1) f ( 1)

Chuyờn : GII HN

af ( 1) bf (1) b f ( 1) f (1)

ab
ab

h(1).h( 1)

ab f (1) f ( 1)

ab

2

0, a, b 0

Bi tp 5: Cho phng trỡnh: ax2 bx c 0

ac 0 . Bit rng

2a 6b 19c 0 . Chng minh

phng trỡnh cú nghim trờn 0;1 .

1
Gi ý: Xột du f (0). f
3
Bi tp 6: Cho phng trỡnh: ax3 bx2 cx c 0 ac 0 . Bit rng
phng trỡnh cú nghim trờn 0;1 .

a b c
0 . Chng minh
12 9 2

3
Gi ý: Xột du f (0). f
4
Bi tp 7: Cho phng trỡnh: ax2 bx c 0 ac 0 . Bit rng
minh phng trỡnh cú nghim trờn 0;1 .

a
b
c


0 . Chng
2001 2000 1999

2000
Gi ý: Xột du f (0). f

2001
Bi tp 8: Cho phng trỡnh: x4 x 2 0 (*) . Chng minh phng trỡnh (*) cú nghim
x0 1; 2 v x0 7 8 .

Gi ý:
Xột du f (1). f (2) . Chng minh x0 7 8 :

x04 x0 2 0 x04 x0 2 (1). áp dụng bất đằng thức Cauchy: x0 2 2 x0 (2)

Dấu bng xãy ra khi x0 2, vậy với x0 1; 2 thì dấu bng ở (2) không xãy ra.
Vậy ta có: x0 2 2 x0 (3)
Từ (1) v (3) suy ra: x04 2 x0 x08 8 x0 x0 7 8
Cách khác: Hoặc có thể chỉ rõ: f ( 7 8). f (2) 0.....
Bi tp tng t:

Bi tp 9: Cho phng trỡnh: x6 x 1 0 (*) . Chng minh phng trỡnh (*) cú nghim

x0 1; 2 v x0 13 4 .

Bi tp 10: Chng minh cỏc phng trỡnh sau õy luụn cú nghim vi bt k giỏ tr no ca
tham s m :
Giỏo viờn: PHM TRN LUN09321.09324

12

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
a) cosx  mcos2x=0

Chuyên đề: GIỚI HẠN
b) m( x  1)3 ( x  2)  2x  3  0

Gợi ý:

  1
 3
a) §Æt f ( x)  cosx  mcos2x. Ta cã: f   
v¯ f 
2
4
 4
    3 
1
Suy ra: f   . f 
   0.....

2

4  4 


1

2


b) §Æt f ( x)  m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3. Ta cã: f (1)  5 v¯ f ( 2)  1
Suy ra: f  1 . f  2   1  0.....

Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:





a) m2  m  1 x4  2 x  2  0

b) m( x 2  16)  x7 ( x  6)  0

c) m( x  1)( x  2)  (2 x  3)x 3  0

d) m(2 cos x  2)  2 sin 5x  1

Bài tập 12: Chứng minh với mọi a, b, c các phương trình sau đây luôn có nghiệm:
a) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0

b) ab( x  a)( x  b)  ac( x  c)( x  a)  bc( x  b)( x  c )  0
Gợi ý:

a) §Æt f ( x)  a( x  b)( x  c )  b( x  c )( x  a)  c( x  a)( x  b)
Ta cã f ( x) liªn tôc trªn R v¯:
 f ( a)  a( a  b)( a  c)

 f (b)  b(b  c)(b  a)

 f (c)  c(c  b)(c  a)
 f (0)  3abc
 f (0) f ( a) f (b) f (c)  3a 2 b 2 c 2 ( a  b)2 (b  c)2 (c  a)2  0
 f ( a) f (b)  0 hoÆc f (0) f (c)  0

 Tån t¹i x0 sao cho f  x0   0 (®pcm)
Bài tập 13:
a) Chứng minh rằng phương trình: x3  1000 x2 

1
 0 có ít nhất một nghiệm dương.
100

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình: x3  ax2  bx  c  0 có ít nhất một
nghiệm
Gợi ý:

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

13

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

a) §Æt f ( x)  x 3  1000 x 2 

Chuyên đề: GIỚI HẠN

1
liªn tôc trªn R.
100

1
 0 v¯ lim f ( x)   suy ra víi sè M  0 tuú ý th× f  M   0
x 
100
Lóc ®ã: f (0). f  M   0  ....
Ta cã: f (0)  

 lim f ( x)  
b)  x
,a , b , c  
lim
f
(
x
)


 x
Do lim f ( x)   nªn tån t¹i A  0 tuú ý sao cho: f ( A)  0

x 

T­¬ng tù: lim f ( x)   nªn tån t¹i B  0 tuú ý sao cho: f ( B)  0
x 

Tõ ®ã suy ra: f ( A). f ( B)  0  ...ycbt....
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1.
a.

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f ( x)  x3  2 x  1 tại x0  3. .

b.

 x3  8
khi x  2

Xét tính liên tục của hàm số y  g  x  tại x0  2 , biết g( x)   x  2
.
5
khi x  2


c.

Trong biểu thức xác định g  x  ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại
x0  2. .

Bài 2.

Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước.

a.

 x2  3x  2
khi x  2

tại điểm x  2. .
f ( x)   x  2
1
khi x  2


b.

 x3  1

f ( x)   x  1
 2


khi x  1

tại điểm x  1.

khi x  1

c.

 x2  4

khi x  2

f ( x)   x  2
tại điểm x  2.
4
khi x  2


d.

2

 x  4 khi x  2
tại điểm x  2.
f ( x)  

2 x  1 khi x  2

e.

y  1  3x tại x  2.

f.

 sin 3 x
khi x  0

y  f ( x) với f  x    x
tại x  0.
2

a  2 khi x  0


Bài 3.

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên các khoảng xác định của chúng.

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

14

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

a.

x2

f ( x)  

1  x

b.

2

4  3x khi x  2
f ( x)  

3
khi x  2

 x

Chuyên đề: GIỚI HẠN

khi x  0
khi x  0

c.

 x 2  5x  6
khi x  3

f ( x)   x  3
5
khi x  3


d.

 x2  x  2
khi x  2

f  x   x  2
5  x
khi x  2.


e.

 x3  8
khi x  2

g  x    4x  8
3
khi x  2.


Bài 4.

 x2  x  2
khi x  2

Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) =  x  2
liên tục tại x  2 .
m
khi x  2


Bài 5.

 3x  2 khi x  1
Cho hàm số f(x) =  2
.
x

1
khi

x


1


a.

Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  . Từ đó nêu lên nhận xét về tính liên tục của hàm số
trên tập xác định của nó.

b.
Bài 6.

Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Chứng minh rằng:

a.

Hàm số f ( x)  1  x2 liên tục trên đoạn 
 1;1 .

b.

Hàm số f ( x)  x  1 liên tục trên nữa khoảng 
 1;   .

c.

Hàm số f ( x) 

d.

Hàm số f ( x)  8  2 x2 liên tục trên nữa khoảng 
 2; 2  .

e.

1

Hàm số f ( x)  2 x  1 liên tục trên nữa khoảng  ;   .
2


f.

2

 x  1 khi x  0
Hàm số f ( x)  
gián đoạn tại điểm x  0.
2
x

2
khi
x

0




Bài 7.
a.

1
1  x2

liên tục trên khoảng  1;1 .

Tìm số thực m sao cho hàm số:
x2
khi x  1

liên tục trên  .
f ( x)  

2mx  3 khi x  0

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

15

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

b.

2

 x  m khi x  0
liên tục trên  .
f ( x)   x
khi x  0

2

c.

 x 2  3x  2

f  x    x 2  6 x  8
mx  m  1


khi x  2

liên tục trên  .

khi x  2.

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm trên  :

Bài 8.

a. sin x  x  1 .

b. sin x  2 tan 2x  2 .

Hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  có f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có

Bài 9.

nghiệm thuộc khoảng  a; b  hay không ? Cho ví dụ .
Hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  có f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có

Bài 10.

nghiệm thuộc khoảng  a; b  hay không ? Cho ví dụ .

x 1
và g  x   tan x  sin x . Với mỗi hàm số, hãy xác
x  x6
định các khoảng trên đó hàm số liên tục.
Cho các hàm số f ( x) 

Bài 11.

2

Chứng minh rằng phương trình:

Bài 12.
a.

x cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  0;   .

b.

x3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1. .

c.

2 x3  6 x  1  0 có ít nhất hai nghiệm.

d.

cos x  x có nghiệm.

e.

x3  3x  1  0 có ba nghiệm

f.

x2  1  2x  2 có ít nhất hai nghiệm phân biệt .

g.

2x2  x  1  sin x có ít nhất hai nghiệm phân biệt .

Bài 13.

2

Chứng minh rằng phương trình

a.

x4  3x2  5x  6  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  1; 2  .

b.

x5  3x4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng  2; 5  .

c.

sin x  x  1 có ít nhất một nghiệm.

d.

x4  3x3  x  1  0 có nghiệm trong khoảng  1; 3  .

e.

x3  ax2  bx  c  0 luôn có ít nhất một nghiệm.

Bài 14.

Chứng minh rằng phương trình

1  m  x
2

5

 3x  1  0 luôn có nghiệm với

mọi tham số m .
Bài 15.

1

Cho hàm số f  x    x
1


khi x  0
khi x  0.

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

16

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
a.

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Chứng tỏ rằng f  1 . f  2   0 nhưng phương trình f  x   0 không có nghiệm thuộc
khoảng  1; 2  .

b.

Kết quả trên có mâu thuẫn với hệ quả không? Vì sao?

Bài 16.

Xét tính liên tục của các hàm số:

a.

2

khi x  0
 x  1
f  x  
tại điểm x0  0 ;
2
x

2
khi
x

0.



b.

3x  2


f  x   2

x  1

c.

 1

f  x   x  2
 1
 x

Bài 17.

khi
khi

khi

x  1
x  1.

trên tập xác định của nó ;

x1
trên tập xác định của nó.

khi x  1.

Tìm giá trị của tham số a để hàm số sau liên tục trên 1;  

 x 1  2
khi x  1; 5    5;  

.
f  x   x  5
1
a2  a  khi x  5

2

Bài 18.

Chứng minh rằng nếu hàm f  x 

liên tục trên khoảng

 a; b 

thì hàm số

F( x)  f ( x) cũng liên tục trên  a; b  .

Bài 19.

 sin 2 x
,x  0

x
Xét tính liên tục của hàm số sau trên  : f  x   

 1 , x  0.
 2

Bài 20.

Nếu hàm f  x  liên tục trên các khoảng  a; b  và b; c  thì có thể khẳng định được

chắc chắn nó liên tục trên khoảng  a; c  hay không ? Xét tính liên tuc của hàm số sau
2

 1  x  1, 1  x  1
trên khoảng  1;   : f  x   

 x  1  1, x  1;

Cần bổ xung hêm điều kiện gì để khẳng định trên chắc chắn ?

Bài 21. Hàm f  x  liên tục trên các khoảng  a; b và b; c  thì có thể khẳng định được chắc
chắn nó liên tục trên khoảng  a; c  hay không ? Vì sao ?
Bài 22. Chứng minh rằng phương trình:
a.

2x3  6x  1  0 có ít nhất hai nghiệm ;

b.

cos x  x có nghiệm.

c.

x3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 .

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

17

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

Bài 23. Dùng định nghĩa , chứng minh các hàm số sau liên tục trên  .
a.

y  x2  1

b.

y  cos 2x.

Bài 24. Dùng định nghĩa , chứng minh hàm số
3x  1
liên tục trên R \1 .
x 1

a.

y

b.

y  x  1 liên tục trên  1;   .

 1  cos 2 x
,x  0

Bài 25. Tìm giá trị của tham số a để hàm số f  x   
liên tục tại x  0.
x
2
a  2, x  0


IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Xét hai mệnh đề

2 x  1,
I. Hàm số f ( x)  
1  x ,

khi x  0
khi x  0

 2x  1
,

II. Hàm số f ( x)   x
2,



liên tục trên 

khi x  0

liên tục tại x  0

khi x  0

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I.

B. Chỉ II .


 x,
Câu 2. Cho hàm số f ( x)  

1  m,
A. m  3 .

khi x  [0; 4]
khi x  ( 4; 6]

B. m  4 .

C. Cả I và II.

D. Không có .

. Định m để f ( x) liên tục trên [0; 6] :
C. m  0 .

D. m  1 .

Câu 3. Cho hàm số f ( x)  x  3x  1 xác định trên  . Số nghiệm của phương trình f ( x)  0
3

trên  là:
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [1; 4] sao cho f (1)  3 , f (4)  5 . Có thể nói gì về
số nghiệm của phương trình f ( x)  8 trên đoạn [1; 4] :
A. Vô nghiệm.

B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có hai nghiệm.

D. Không thể kết luận gì.

 x4  x
 2

 x  x
Câu 5. Hàm số f ( x)  3
1



khi x  0; x  1
khi x  1
khi x  0

A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [-1;0]
B. Liên tục tại mọi điểm x thuộc R.
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

18

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = -1.
D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.

 x.c osx
 2
 x
Câu 6. Hàm số f ( x)  

1  x
 x 3

khi x  0
khi 0  x  1
khi x  1

A. Liên tục tại mọi điểm x thuộc R.
B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.
D. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x = 0 và x = 1.

x2  2x
với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu
x
thì hàm số liên tục trên  .

Câu 7. Cho f  x  

A. 0.
Câu 8. Cho f  x  

B. 1.

C.

1
2

.

D.

1
2 2

.

với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì

x
x 1 1

hàm số liên tục trên  .
A. 0.

B. 1.

C.

2.

D. 2.

x 2  5x
với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì hàm
3x
số liên tục trên  .

Câu 9. Cho f  x  

A.

5
.
3

B.

 x2

 x
Câu 10. Cho hàm số f  x   0

 x


1
.
3

C. 0.

5
D.  .
3

khi x  1, x  0
khi x  0

. Hàm số f  x  liên tục tại:

khi x  1

A. mọi điểm thuộc  .

B. mọi điểm trừ x  0 .

C. mọi điểm trừ x  1 .

D. mọi điểm trừ x  0 và x  1 .

Câu 11. Hàm số f  x  có đồ thị như hình bên không liên tục
tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?
A. x  0 .
B. x  1 .
C. x  2 .
D. x  3 .
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

19

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Câu 12. Cho hàm số f ( x) 
A. ( 3; 2) .

x2  1
, f ( x) liên tục trên các khoản nào sau đây?
x2  5x  6
B. (3; )
C. (; 3) .
D. (2; 3) .

 tan x

Câu 13. Cho hàm số f ( x)   x
 0


 
A.  0;  .
 2

Chuyên đề: GIỚI HẠN

x0
x=0

  
C.   ;  .
 4 4



B.  ;  .
4



2 2

 ax
Câu 14. Cho hàm số f ( x)  
2

(2  a)x

A. 1 và 2 .

. f  x  liên tục trên các khoản nào sau đây?

 2,a
x> 2

D.  ;   .

. Giá trị của a để f  x  liên tục trên  là:

B. 1 và 1 .

C. . 1 và 2 .

D. 1 và 2 .

Câu 15. Cho hàm số f ( x)  x  1000x  0,01. Phương trình f (x)=0 có nghiêm trong khoảng
3

2

nào trong các khoảng sau đây?
I. (-1;0)
A. Chỉ I.

II. (0;1)

III. (1;2)

B. Chỉ I và II.

 x2

 2x 2
Câu 16. Cho hàm số f ( x)  
 1 x
 x sin x


C. Chỉ II.

D. Chỉ III.

x 1
0  x < 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
0<0

định sau:

A. f  x  liên tục trên  .

B. f  x  liên tục trên  \ {1}.

C. f  x  liên tục trên  \{0}.

D. f  x  liên tục trên  \{0;1}.

 2x
 x2  1

Câu 17. Cho hàm số f  x   cos x
x3  1



khi 0  x  1
khi x  0

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng

khi x  1

định sau:
A. Hàm số liên tục tại mọi x   .
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x  0.
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  1 .
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x  0 và x  1 .



3x

Câu 18. Cho hàm số f ( x)   1  (1  x)2

m


 x  0
 x  0

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

Để f(x) liên tục tại x = 0, ta chọn:

20

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]
A. m  1 .

Câu 19. Cho hàm số

Chuyên đề: GIỚI HẠN

B. m  1

 x2  3


f ( x)  x  3
 2 3


3
D. m   .
2

C. m  3 .

x 3

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

x= 3

I. f ( x) liên tục tại x  3 ; II. f ( x) gián đoạn tại x  3 ; III. f ( x) liên tục trên  .
A. Chỉ I và II.

B. Chỉ II và III.

C. Chỉ I và III.

D. Cả I,II,III đều đúng.

Câu 20. Tìm khẳng định đúng trong hai khẳng định sau:
I. f(x)=x3  3x2  1 liên tục trên . ; II. f(x)=

1
x 1

2

liên tục trên khoảng  1;1

III. f ( x)  x  2 liên tục trên khoảng  2;  
A. Chỉ I.

B. Chỉ I và II.

( x  1)2

Câu 21. Cho hàm số f ( x)   x 2  3
 k2


A. k  2 .

9x
x
m
3
x

D. Chỉ I,III.

x>1
x < 1 tìm k để f (x) gián đoạn tại x = 1.
x=1

B. k  2 .

3 


Câu 22. Cho hàm số f ( x) 




C. Chỉ II và III.

C. k  2 .

D. k  1 .

0 x9
x  0 Gia trị của m để f (x) liên tục trên 0;  
x9

là:
A.

Câu 23.

1
.
3

B.

1
.
2

C.

1
.
6

D. 1.

 x 2  7 x  10
khi x  2

. Hàm số liên tục tại x  2 thì giá trị của a là:
Cho f ( x)  
x2
a
khi x  2

A. 3.

B. 2.

C. 5.

D. Một số khác.

 x2  2x

 x 2  x  6 khi x  2
. Hàm số bị gián đoạn tại điểm nào sau đây?
Câu 24.
Cho f ( x)  
2
khi x  2
 5
A. x  2.
B. x  3.
C. x  0.
D. Một điểm khác.

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

21

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

ax 2  1 khi x  1
. Hàm số liên tục trên  khi a có giá trị là:
2
khi
x

1


B. 0.
C. 1.
D. Một số khác.

Cho f ( x)  

Câu 25.

A. 2.

x2  4 x
Câu 26. Cho f ( x) 
. Để hàm số liên tục trên  thì phải định nghĩa f (0) bằng giá trị
2x
nào sau đây?
A. 0.
Câu 27. Cho f ( x) 

B. 4.

C. 2.

D. 2.

3x
. Để hàm số liên tục tại x  0 thì phải định nghĩa f (0) bằng giá
x 1 1

trị nào sau đây?

A. 3.
Câu 28. Cho f ( x) 

B. 6.

C. 4.

D. 0.

x4  4 x
. Để hàm số liên tục tại x  0 thì phải định nghĩa f (0)
2x

bằng giá trị nào sau đây?
A.

1
.
4

Câu 29. Cho f ( x) 

B.

1
.
2

C. 0.

D. 4.

1
. Để hàm số liên tục tại x  1 thì phải định nghĩa f (1) bằng giá trị
x 1

nào sau đây?
A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. Không xác định được f (1).

Câu 30. Cho f ( x) 

2 x 2  sin 5 x
. Để hàm số liên tục tại x  0 thì phải định nghĩa f (0) bằng
x

giá trị nào sau đây?
A. 2.

B. 0.

C. 5.

D. Không xác định được f (1).

 x3  8
 x x  2 khi x  {  2; 0}

 

khi x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 31.
Cho hàm số f ( x)  6
5
khi x  0


A. Hàm số không xác định tại x  2.
B. Hàm số không xác định tại x  0.
Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

22

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

C. Hàm số liên tục tại x  0.

D. Hàm số liên tục tại x  2.


x 3  1 khi x 1
Câu 32. Cho hàm số f  x  
. Khi đó lim f  x bằng

x1

2
khi
x

1


A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .
D. không tồn tại.
Câu 33. Cho hàm số f  x 

x  3  3 x
với x  0 . Để hàm số f  x liên tục trên  thì
x

f 0 bằng

A.

2 3
.

3

B.

3
.
3

C. 1 .

D. 0 .

x 2  3x  2
Câu 34. Cho hàm số f  x 
với x  1 . Để hàm số f  x liên tục trên  thì f 1
x 1

bằng
A. 2 .

B. 1 .

Câu 35. Cho hàm số f  x 

D. 1 .

C. 0 .

x
x 4 2

với x  0 . Để hàm số f  x liên tục trên  thì f 0

bằng
B. 2 .
C. 4 .
D. 1 .


x3  8

khi x  2

Câu 36. Cho hàm số f  x   4 x  8
. Hàm số f  x liên tục tại


khi x  2


3
A. x  2 .
B. x  3 .
C. x  2 .
D. x  3 .


x2  4x  3

khi x  3


Câu 37. Cho hàm số f  x   x  3
. Để hàm số f  x liên tục tại x  3 thì a


khi x  3


a
A. 0 .

bằng
A. 2 .

B. 4 .
 x2 - 5x  6



Câu 38. Cho hàm số f  x  
 4x - 3 - x




1  ax
bằng
4
A.  .
3

B. 3 .

D. 2 .

C. 0 .

khi x  3

. Để hàm số f  x liên tục tại x  3 thì a

khi x  3

C. 0 .

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

D.

23

2
.
3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]



5  4x  x


Câu 39. Cho hàm số f  x   1  x




( a  4)x
bằng

Chuyên đề: GIỚI HẠN

khi x  1

. Để hàm số f  x liên tục trên  thì a

khi x  1

B. 1 .
C. 1 .
D. 0 .


3x  1  3 2  6 x

khi x  1


Câu 40. Cho hàm số f  x  
. Để hàm số f  x liên tục trên 
x 1


khi x  1


a  x
thì a bằng
A. 3 .

A. 2 .

B. 1 .

3


3x  2  2


Câu 41. Cho hàm số f  x  
x2




a
bằng

A. 0 .

B. 2 .

C.

1
.
4

khi x  2

D.

5
.
4

. Để hàm số f  x liên tục trên  thì a

khi x  2

C.

1
.
4

D. 1 .



x2  1

khi x  3, x  1


x 1


khi x  1
Câu 42. Cho hàm số f  x  
. Hàm số f  x liên tục tại:
4



x  1 khi x  3





A. mọi điểm thuộc  .
B. mọi điểm trừ x  1 .
C. mọi điểm trừ x  3 .

D. mọi điểm trừ x  1 và x  3 .
HẾT

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

24

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]

Chuyên đề: GIỚI HẠN

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án

Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
Trong tài liệu này, tác giả có sử dụng phần lí thuyết và một số câu hỏi của quý thầy cô
Team Huế (CLB Giáo viên trẻ TP Huế), sách trắc nghiệm 2007, tài nguyên Page Toán học Bắc
Trung Nam. Dù biên soạn rất kỹ, song chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Mong bạn đọc phản
hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên. Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các em học
sinh chuyên đề này!
Tác giả: PHẠM TRẦN LUÂN
Địa chỉ: Trường THPT Võ Thị Sáu_Quận Bình Thạnh_TP Hồ Chí Minh
SĐT: 09321.09324
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324…

25

CLB Giáo viên trẻ TP Huế