Một số dạng toán tiêu biểu về phân số ôn thi VIOLYMPIC lớp 4+5

Hướng dẫn cách giải một số dạng toán về phân số
cho học sinh năng khiếu lớp 4 + 5
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
Đối với dạng bài về cấu tạo phân số, học sinh cần nắm được những kiến thức cơ
bản sau:
* Các kiến thức cần ghi nhớ:
1. Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết
thành phân số, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia:

a:b=

a
( với b ≠ 0 )
b

- Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi.
2. Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số mẫu số là 1: a =

a
b
, b=
1
1

3. Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó nhỏ hơn 1; phân số
nào có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1; phân số nào có tử số
bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số tự nhiên khác
0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho:

a×n

a
=
( n≠ 0 )
b× n
b

5. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với một số tự nhiên
khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho:

a:m
a
=
(m≠0)
b:m
b

6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử
số và mẫu số) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi. (với
phân số nhỏ hơn 1)
7. Phân số có mẫu số là 10, 100, 1000,… gọi là phân số thập phân.
8. Nếu cộng (trừ) thêm vào tử số đồng thời bớt (thêm) ở mẫu số của một
phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số
đó không thay đổi.
Khi học sinh nắm được kiến thức cơ bản, giáo viên đưa ra hệ thống bài
tập để hướng dẫn học sinh vận dụng và làm bài tập.


Bài toán 1: Cho phân số

3

, cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với
7

1 số tự nhiên ta được phân số bằng

7
. Tìm số đó
9

Hướng dẫn học sinh
- So sánh phân số đã cho với 1?
- Nhận xét gì về hiệu của mẫu số và tử số khi cộng thêm vào tử số và mẫu số
của phân số đó với một số tự nhiên?
- Khi đó bài toán trở thành dạng toán nào?
Bài giải
Cách 1: Hiệu của mẫu số và tử số của phân số

3
là:
7

7 - 3 = 4 (đơn vị)
Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng một số thì hiệu của mẫu số và tử số
vẫn không thay đổi. Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó
là 9 phần.
Ta có sơ đồ :
Tử số

4

Mẫu số
Hiệu số phần bằng nhau là:
9 - 7 = 2 ( phần )
Tử số của phân số mới là:
4 : 2 × 7 = 14
Số cộng thêm vào là:
14 - 3 = 11
Đáp số: 11
Cách 2: Hướng dẫn học sinh lập biểu thức.
Gọi số cộng thêm vào tử số và mẫu số là x ( x > 0 )
Khi cộng thêm x vào tử số và mẫu số ta được phân số mới là:
3+ x
7+ x

Ta có:

3+ x
7
=
7+ x
9


(3 + x) × 9 7 × (7 + x)
=
(7 + x) × 9 (7 + x) × 9

Vậy

(quy đồng mẫu số)

(3 + x) × 9 = 7 × (7 + x)
27 + 9 × x = 49 + 7 × x (một tổng nhân với một số)
2 × x = 49 - 27

(bớt 2 vế đi 7 × x)

2 × x = 22
x = 22 : 2
x = 11
Vậy số cộng thêm vào là: 11
Cách 3:

Hiệu giữa mẫu số và tử số ban đầu là:
7-3=4
Hiệu giữa mẫu số và tử số sau khi rút gọn là:
9-7=2
Phân số rút gọn số lần:
4: 2 = 2 ( lần)
Phân số mới là:
7 × 2 14
=
9 × 2 18

Số cộng thêm là:
14 - 3 = 11
Đáp số: 11
Bài toán 2: Cho phân số

11

.Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số
14

của phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị.
Hướng dẫn học sinh
- Bài toán cho biết gì? bài toán hỏi gì?
- Bài toán thuộc dạng toán nào?
- Nêu hướng giải.
Bài giải
Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số
đó là 11 phần như thế.


Hiệu số phần bằng nhau là :
14 - 11 = 3 (phần)
Tử số của phân số phải tìm là :
1995 : 3 × 11 = 7315
Mẫu số của phân số phải tìm là:
1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là :
a
b

Bài toán 3: Tìm phân số

7315
9310

> 1. Biết rằng khi lấy tử số cộng với 2 và lấy mẫu

số nhân với 2 ta được phân số mới bằng phân số ban đầu.
Hướng dẫn học sinh
- Xác định phân số lớn hơn 1 thì a > b.
- Xác định được phân số mới.
- Quy đồng mẫu số hai phân số đó.
Bài giải
Theo đề bài khi lấy tử số cộng với 2 và lấy mẫu số nhân với 2 ta được phân số
mới là:

a+2
b×2

Ta có:

a+2
a
=
b×2
b

Theo tính chất của phân số, ta có:
Vậy

a
a×2
=
b
b× 2
a+2
a×2

=
b×2
b× 2

Hay a + 2 = a × 2
2 = a (bớt 2 vế đi a )
Ta được:
Vì

a
b

>1 nên a > b,

a
2
=
b
b

hay 2 > b và b ≠ 0 nên b = 1

Ta được

a 2
=
b 1

Đáp số:

a
2
=
b
1


Bµi to¸n 4: Tìm số tự nhiên x biết
12 + x 2
=
43 − x 3

( 0 < x < 43 )
Hướng dẫn giải

- Nhận xét số thêm vào tử số và bớt ở mẫu số?
- Khi thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số thì tổng của tử và mẫu
có thay đổi không?
- Bài toán thuộc dạng toán nào? - Nêu hướng giải?
Bài giải
Khi thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số thì tổng của tử số và mẫu
số không thay đổi.Tổng của tử số và mẫu số là:
12 + 43 = 55
Ta có sơ đồ:
Tử số

55

Mẫu số
Tử số mới là:

55 : ( 2 + 3 ) × 2 = 22
Giá trị của x là:
22 - 12 = 10

Đáp số: x= 10
Cách 2: Quy đồng mẫu số:
12 + x 2
=
43 − x 3

( 0 < x < 43 )

(12 + x ) × 3 2 × ( 43 − x )
( 43 − x ) × 3 = 3× ( 43 − x ) ( Quy đồng mẫu số)

Vậy: ( 12 + x ) × 3 = 2 ×( 43 - x )
36 + x × 3 = 86 - 2 × x
x × 3 + x × 2 = 86 - 36
x × 5 = 50
x = 50 : 5
x = 10
Đáp số: x = 10


Bài toán 5: Rút gọn phân số
a,

121212
424242

b,

19999999999
99999999995

Hướng dẫn học sinh giải phần a
- Phát hiện quy luật của cách viết số.
- Lấy tử số và mẫu số cùng chia cho số được lặp lại ở mỗi tử số hoặc mẫu số
- Xác định xem tử số và mẫu số cùng chia được cho số nào lớn hơn 1?
-Tách tử số, mẫu số thành một tích, sao cho tích đó có cùng một thừa số.
- Nhận xét kết quả.
Bài giải
a)

121212 12 ×10101 12 3
=
=
=
424242 42 × 10101 42 13

Hướng dẫn học sinh giải phần b
- Nếu tử số cộng thêm 1, mẫu số cộng thêm 5 thì được phân số như thế nào?
- Để giá trị của phân số không thay đổi ta sử dụng phân số mới có tử số
bớt đi 1, mẫu số bớt đi 5.
Bài giải
b)

20000000000 − 1
20000000000 − 1
1

19999999999
= 100000000000 − 5 = 5 × (20000000000 − 1) = 5
99999999995

Bài toán 6: Nam viết

6 × 20 5
= Hãy nhận xét Nam viết đúng hay sai?
12 × 14 7

Hướng dẫn giải
- Xác định xem tử số và mẫu số của phân số

6 × 20
cùng chia được cho số
12 × 14

nào lớn hơn 1?
-Tách tử số, mẫu số thành một tích, sao cho tích của tử số và mẫu số có cùng
một thừa số.
Bài giải
Ta thấy:

6 × 20
2 × 3× 4 × 5 5× 2 × 3× 4 5
=
=
=
12 × 14 3 × 4 × 2 × 7 7 × 2 × 3 × 4 7

Vậy Nam viết đúng.
Bài toán7: Tìm tất cả các chữ số a và b để phân số

1a83b
là số tự nhiên:
45


Hướng dẫn giải
- Để phân số

1a83b
là số tự nhiên nghĩa là tìm a; b để số 1a83b chia hết cho 45
45

- Chuyển phân số

1a83b
về dạng thương.
45

- Dựa vào điều kiện chia hết cho 9 và 5 để thực hiện.
Bài giải
Để phân số

1a83b
là số tự nhiên nghĩa là tìm a; b để số 1a83b chia hết cho 45
45

Hay chia hết cho 9 và 5 ( vì 9 × 5 = 45 )

Vì 1a83b chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc 5
+

Nếu b = 0 thì 1a830 chia hết cho 9 khi:
(1 + a + 8 + 3 + 0 ) chia hết cho 9

Hay

(a +12) là số chia hết cho 9

Vậy a = 6
+

(1)

Nếu b = 5 thì 1a835 chia hết cho 9 khi
(1 + a + 8 + 3 + 5) chia hết cho 9

Hay ( a + 17) là số chia hết cho 9
Vậy a = 1

(2)

Từ (1 ) và ( 2 ) Ta có:
Với a = 6, b = 0 có số 16830 chia hết cho 45
Với a = 1, b = 5 có số 11835 chia hết cho 45
Dạng 2: So sánh phân số
Để so sánh được các phân số với nhau, học sinh cần nắm được kiến thức sau:
1.Quy đồng phân số:
-

Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số

của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của
phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.
-

Quy đồng tử số: Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ nhất với

tử số của phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số
của phân số thứ nhất.
2. Khi so sánh 2 phân số :


- Nếu 2 phân số có cùng mẫu số: Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số
lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu 2 phân số có cùng tử số: Ta so sánh 2 mẫu số, phân số nào có mẫu
số nhỏ hơn thì lớn hơn.
- Không cùng mẫu số: Trước hết ta qui đồng mẫu số hoặc tử số rồi so
sánh như trường hợp trên.
3. Các phương pháp sử dụng để so sánh phân số
- Vận dụng quy tắc so sánh ở phần 2.
- So sánh qua 1 phân số trung gian.

e
a
c
c e
a
<

và < f thì < f
b
d
d
b

- So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số: 1 −
- So sánh " phần hơn " với 1 của 1 phân số:

a
c
< 1 − thì
b
d

a
c
−1 <
−1
b
d

thì

a
c
>
b
d
a

c
<
b
d

- So sánh phần nguyên: Trong hai phân số, phân số nào có phần nguyên
lớn hơn thì lớn hơn.
* Thông qua phần lý thuyết trên, học sinh luyện tập theo hệ thống bài tập sau:
Bài toán 1: So sánh 2 phân số

5
7
và
7
9

Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét mẫu số( tử số ) của hai phân số trên?
- Muốn so sánh được hai phân số đó ta làm thế nào?
- Có những cách nào để so sánh phân số?
Bài giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số 2 phân số
5 45
=
7 63

Mà:

;

7
49
=
9
63

45
49
5
7
<
. Vậy
<
63
63
7
9

Cách 2: Quy đồng tử số 2 phân số
5 35
=
7 49

Mà:

35
49

7
=

9

;
<

35
45

Cách 3: Tìm và so sánh phần bù với 1 của hai phân số:
5 2
1− = ;
7 7

1−

7
2
=
9
9

Vậy :

35
45
5
7
<
7
9

mà

2
7

>

2
9

5
7
<
7
9

nên

Bài toán 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

1 3 3
; ;
2 7 4

Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét mẫu số( tử số ) của ba phân số trên?
- Muốn so sánh được ba phân số đó ta làm thế nào?
- Có những cách nào để so sánh phân số?

Bài giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số:

Cách 2: Quy đồng tử số:

1
28
3 24
3
42
=
; =
; =
2
56
7 56
4
56
24
56

<

nên :

3
<
7

Ta thấy:

Ta có:

28
42
<
56
56
1
2

<

1
3
=
2
6

Ta thấy :

3
4

nên :

3
3
3
< <

7
6
4

3
<
7

1
2

<

3
4

Cách 3: Sử dụng phương pháp phần bù với 1
Ta có: 1 −
Mà

1 1
= ;
2 2

1−

3
4
3
1

=
; 1− =
4
7
7
4

1
4
3
1
3
1
< <
nên : < <
4
2
7
7
2
4

Cách 4: Lấy phân số
Ta có:

3
7

<

1
làm phân số trung gian:
2
3
1
=
6
2

;

3 3 1
3
> =
nên:
<
4 6 2
7

Bài toán 3: So sánh các phân số sau:

2007
2006

và

1
2

<

3
4

2006
2005

Đối với các phân số lớn hơn 1, khi hiệu giữa tử số và mẫu số không đổi,
hướng dẫn học sinh so sánh bằng cách dùng phần bớt:
Hướng dẫn häc sinh
- Nhận xét hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đó.


- Khi hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số đó không đổi ta dùng
cách so sánh nào?
- Nêu hướng giải.
Bài giải
2007
2006

Ta thấy

2006
2005

Vì:

1
<
2006

1
,
2005

= 1+

1
2006

= 1+

1
2005

Nên:

2007
2006
<
2006
2005

Bài toán 4: Không quy đồng mẫu số hai phân số hãy so sánh hai phân số sau:
13
7
và
27
15

Hướng dẫn học sinh
- Nêu các cách so sánh phân số.
- Nêu cách tìm phân số bằng nhau.
- Chọn phân số trung gian gián tiếp để so sánh.
Bài giải
7
14
15
1
1
1
=
=
= 15
30
30 30
2 30

Cách 1:
13
27

=

26
27
1
=
54
54

54

Vì :

1
30

>

1
1
2 54

1
1
1
, Nên:
54
2 30

<

13
7
>
27 15

Vậy :

Cách 2:

=

7
10 3 2 3
= − = −
15
15 15 3 15
13
18 5 2 5
−
= −
=
27
27 27 3 27

Ta thấy:

3
5 1
=
=
15 25 5

1
1
2 54


Mà:

5
5 1
<
= ,
27 25 5

13
7
>
27 15

Nên:

Bài toán 5: So sánh A và B biết
A=

2008
987654321

+

2009
246813579

B=

2009
987654321

+

2008
246813579

- Nhận xét hai biểu thức A và B (chú ý tử số và mẫu số của mỗi phân số)
- Tách mỗi biểu thức thành tổng của 3 phân số, sao cho hai biểu thức đó có
phân số giống nhau
- So sánh phân số còn lại với nhau
Bài giải
Ta có:

2008
987654321

A=
=
B=
=

Ta thấy tổng
Mà:

+

2009
246813579

2008
2008

+
987654321
246813579
2009
987654321

2008
987654321

+
+

+

1
246813579

+

1
987654321

2008
246813579

2008
246813579

2008
2008

+
đều có mặt ở cả A và B
987654321
246813579

1
>
246813579

Vậy:

1
987654321

A>B

Bài toán 6: So sánh A và B biết
A=

2007
2008

+

2008
2009

2007 + 2008

B = 2008 + 2009

Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét biểu thức B.
- So sánh biểu thức B với 1.
- So sánh mỗi phân số của biểu thức A với phân số trung gian.
Bài giải


2007 + 2008

4015

B = 2008 + 2009 =
<1
4017
A=
Ta có:

2007
2008

+

2008
2009

2007
2007
1
>

=
2008
4014
2
2008
2008
>
2009
4018
2007
2008

Do đó:
Nên

2007
2008

Hay A > 1,

=
+

+

1
2

2008
1

1
>
+
2009
2
2
2008
> 1
2009

mà B < 1 Vậy: A > B

Khi học sinh đã nắm được các cách so sánh hai phân số với nhau, giáo
viên cho học sinh làm bài tập dạng sắp xếp các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn
hoặc từ lớn đến bé.
Bài toán 7: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
17 15 21 25 19 23
, , , , ,
26 22 34 42 30 38

Hướng dẫn học sinh
- So sánh các phân số đã cho với 1.
- Tách mỗi phân số đã cho thành tổng của hai phân số sao cho có một
phân số có giá trị bằng

1
.
2

- So sánh phân số còn lại của các phân số đó với nhau.

Bài giải
Ta có:

17 13 + 4 1 4
=
= +
26
26
2 26

25 21 + 4 1 4
=
= +
42
42
2 42

15 11 + 4 1 4
=
= +
22
22
2 22

19 15 + 4 1 4
=
= +
30
30
2 30

21 17 + 4 1 4
=
= +
34
34
2 34

23 19 + 4 1 4
=
= +
38
38
2 38


4
4
4
4
4
4
>
>
>
>
Vì:
> 26 30 34 38 42
22

Nên:

25 23 21 19 17 15
<
<
<
<
<
42 38 34 30 26 22

Đối với các bài toán so sánh phân số thuộc dạng “tìm nhóm phân số
nằm giữa hai phân số”
Để tìm được một nhóm phân số nằm giữa hai phân số nhỏ hơn 1đã cho thì
không hề đơn giản, nếu chúng ta không nắm vững và vận dụng linh hoạt tính
chất của phân số. Dùng tính chất của phân số để giải các bài tập về quy đồng
mẫu số, rút gọn phân số, so sánh phân số,… và giờ đây ta lại dùng nó để giải các
bài toán tìm nhóm phân số nằm giữa hai phân số.
Bài toán 8 : Tìm 5 phân số khác nhau lớn hơn

3
9
bé hơn
10
10

Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét tử số và mẫu số của hai phân số đó.
- Nếu để nguyên hai phân số đó ta có tìm được 5 phân số ở giữa hai phân
số đó không?
Bài giải

Ta có

3
10

<

4
5
6
7
<
<
<
10
10
10
10

Vậy 5 phân số khác nhau lớn hơn

<

8
10

<

9
10

3
9
bé hơn
là:
10
10

4
5
6 7 8
,
, , ,
10
10 10 10 10

Bài toán 9 : Tìm 5 phân số nằm giữa hai phân số

7
7
và
9
10

Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét tử số và mẫu số của hai phân số đó.
- Nếu để nguyên hai phân số đó ta có tìm được năm phân số ở giữa hai
phân số đó không?
- Cần tìm hai phân số bằng phân số

7
7
và
với điều kiện tử số bằng
9
10

nhau và mẫu số của hai phân số đó có hiệu không nhỏ hơn 6.


- Tìm hai phân số bằng phân số

7
7
và
bằng cách nhân cả tử số và mẫu
9
10

số của hai phân số này với cùng một số tự nhiên lớn hơn 6
Bài giải
7 7×6
42
=
=
9 9× 6
54

Ta có:

7
7×6
42
=
=
10
10 × 6
60

Vậy:

7 42
42
42
42
42
42
42
7
=
>
>
>
>
>
>
=
9 54
55
56

57
58
59
60
10

Vậy 5 phân số nằm giữa hai phân số

7
7
và
là:
9
10

42 42 42 42 42
, , , ,
55 56 57 58 59

*Chú ý: Ta có thể nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số đó với số tự
nhiên khác lớn hơn 6.Tuy nhiên khi đó sẽ có nhiều hơn 5 phân số nằm giữa hai
phân số, ta chọn 5 phân số tùy ý trong các phân số ở giữa.
Bài toán 10 : Hãy viết 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số

6
7
và
7
8

Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét tử số và mẫu số của hai phân số đó.
- Khi hai phân số có tử số hoặc mẫu số không bằng nhau ta có thể tìm
ngay phân số bằng phân số

6
7
và được không?
7
8

- Khi đó ta cần quy đồng tử số hoặc mẫu số của hai phân số đã cho.
Bài giải
Cách 1: Quy đồng mẫu số của hai phân số đã cho để được hai phân số có cùng
mẫu số.
Ta có:

6
6×8
48
=
=
;
7
7×8
56

7 7×7
49
=

=
8 8× 7
56

Nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số mới quy đồng với 5
Ta có:

48
48 × 5
240
=
=
;
56
56 × 5
280

49
49 × 5
245
=
=
56
56 × 5
280


6
7
và chính là bốn phân

7
8

Vậy 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số
240
245
và
280
280

số nằm giữa hai phân số
Các phân số đó là:

241
,
280

242 243 244
,
,
280 280 280

Cách 2: Quy đồng tử số của hai phân số đã cho để được hai phân số có cùng tử số.
6 6× 7
42
=
=
;
7 7×7
49

Ta có:

7
7×6
42
=
=
8
8× 6
48

Nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số mới quy đồng với 5
Ta có

42 42 × 5
210
=
=
;
49 49 × 5
245

42 42 × 5
210
=
=
48 48 × 5
240
6

7
và chính là bốn phân
7
8

Vậy 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số
210
210
và
245
240

số nằm giữa hai phân số
Các phân số đó là:

210 210 210 210
,
,
,
244 243 242 241

Cách 3: Vì hai phân số đã cho có tử số là hai số tự nhiên liên tiếp (6 và 7), mẫu
số là hai số tự nhiên liên tiếp (7 và 8), nên ta có thể tìm phần bù đến 1 của
chúng sẽ có cùng tử số vì thế ta có thể tìm 4 phân số nằm giữa hai phân số bù
của hai phân số rồi suy ra 4 phân số nằm giữa hai phân số cần tìm.
Ta có: 1 −

6
1
=

;
7
7

1−

1
1× 5
5
=
=
7
7×5
35

Giữa hai phân số
Mặt khác:

1−

7
1
=
8
8

1
1× 5
5
=

=
8
8× 5
40
5
5
5
và
có 4 phân số là:
,
35
40
36
5
36

=

31
36

1−

5
32
=
37
37

1−

5
=
38
1−

5
5
5
,
và
37 38
39

33
38
5
34
=
39
39


Vậy 4 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số

6
7
và chính là bốn phân số:
7
8

31 32 33 34
,
,
,
36 37 38 39

Dạng 3: Các phép tính với phân số
Để thực hiện được các phép tính với phân số, học sinh cần nắm được các kiến
thức sau:
1. Phép cộng: Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số
với nhau và giữ nguyên mẫu số.

a
b

+

c
a+c
=
b
b

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai
phân số đó.

a
c
a× d + c×b

+
=
b
d
b×d

2. Phép trừ (tương tự như phép cộng)
3. Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số
nhân với mẫu số.

a
c
×
b
d

=

a×c
b×d

4. phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ
nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

a
c
a
d
a×d
: = ×

=
b
d
b
c
b×c

5. Các tính chất của phép tính trên phân số .
a. Tính chất giao hoán.
b.Tính chất kết hợp:

a
c
c
a
+
=
+
;
b
d
d
b

a
c
×
b
d

a
c e
a
c e
+ + f = + ( + f );
b
d
b
d

c
a
×
d
b

a c
e a c e
( × )× = ×( × )
b d
f b d f

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
e
a
c e
a
c
a
× ( + ) =

×
×
+
f
b
d f
b
d
b

=


Khi học sinh đã nắm được các quy tắc của bốn phép tính: cộng, trừ,
nhân, chia phân số và các tính chất của phân số, giáo viên cho học sinh luyện tập
các bài toán sau:
* Đối với các bài toán tính nhanh, hoặc tính giá trị của biểu thức
Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách nhanh nhất
a.

4
9
×
5
7

-

b.

1995
1997

1990
1997
×
1993
1994

×

4
3
×
5
14

×

1993
1995

×

997
995

Hướng dẫn học sinh phần a
a,

4
9
×
5
7

4
3
×
5
14

-

- Quan sát nhận xét các phép tính trong biểu thức.
- Vận dụng một số nhân một hiệu để tính.
- Hai tích trên có thừa số nào giống nhau?
Bài giải
a,

4
9 4
3
×
- ×
5
7 5
14

=

4
9
3
×( )
5
7
14

=

4 15
×
5 14

=

4×3
14

=

12
14

=

6
7

Hướng dẫn học sinh phần b
b.

1995
1997

×

1990
1997
×
1993
1994

×

1993
1995

×

997
995

-Vận dụng tính chất giao hoán của phép nhân để nhóm các phân số, tạo ra
phân số mới có tử số bằng mẫu số.
- Rút gọn các phân số đó.
Bài giải
b.

1995
1997

=(

1995
1997
1990 1993
997
×
)×(
×
)×
1997
1994
1993 1995
995

×

1990
1997
×
1993
1994

×

1993
1995

×

997
995


=(

1995
1990
×
)
1994
1995

=

1990
1994

=

995 × 2 × 997
=1
997 × 2 × 995

×

997

995

997
995

×

Bài toán 2: Tính nhanh giá trị biểu thức sau
677 × 874 + 251

A = 678 × 874 − 623
Hướng dẫn học sinh

- Hướng dẫn học sinh vận dụng một số nhân một tổng để biến đổi biểu thức.
- Nhận xét các số ở tử số và mẫu số.
- Biến đổi bằng cách tách tử số hoặc mẫu số để xuất hiện các thành phần
giống nhau ở cả tử số và mẫu số.
- Rút gọn phân số.
Bài giải
Ta đặt tử số là:

678 × 874 - 623

Ta tính tử số

678 × 874 - 623
= (677 + 1) × 874 - 623
= 677 × 874 + 874 - 623
= 677 × 874 + 251

Vậy

677 × 874 + 251

A = 678 × 874 − 623 = 1

Bài toán 3: Tính nhanh
a,
b,

595959
454545

-

14141414
15151515

1991×1999 −1990 ×1999
1991×1992

×

2008 − 1004 × 2
123

Hướng dẫn học sinh phần a
- Tìm quy luật đặc biệt của tử số và mẫu số của mỗi phân số.
- Tách mỗi tử số và mẫu số đó thành một tích hai thừa số.
- Rút gọn phân số.

Bài giải
a,

595959
454545

595959
454545

Ta có:

14141414
15151515

Do đó ta có:
b,

-

14141414
15151515

59 ×10101

59

= 45 ×10101 =
45

14 ×1010101

14

42

= 15 ×1010101 =
=
15
45
595959
454545

1991×1999 −1990 ×1999
1991×1992

×

14141414
59
42
17
=
=
15151515
45
45
45
2008 − 1004 × 2
123

Hướng dẫn học sinh
- Tử số của phân số nào dễ trừ nhẩm và kết quả bằng bao nhiêu.
- Thực hiện tính tử số của thừa số thứ hai.
- Tính giá trị của biểu thức.
Bài giải
b)
=

1991×1999 −1990 ×1999
2008 − 1004 × 2
×
1991×1992
123
1991×1999 −1990 ×1999
×
1991×1992

2008 − 2008
123

=

1991×1999 −1990 ×1999
0
×
1991×1992
123

=

1991×1999 −1990 ×1999
× 0=0
1991×1992

Bài toán 4: Tìm kết quả của biểu thức sau
72 + 36 × 2 + 24 × 3 + 12 × 6 + 168
2 + 2 + 4 + 6 + 10 + .... + 68

Hướng dẫn học sinh
- Vận dụng tính chất một số nhân một tổng để biến đổi biểu thức.
-Tìm quy luật dãy số 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + … + 68
- Thực hiện tính giá trị của biểu thức.
Bài giải


72 + 36 × 2 + 24 × 3 + 12 × 6 + 168
2 + 2 + 4 + 6 + 10 + .... + 68

Ta đặt tử số là: 72+ 36 × 2 + 24 × 3 + 18 × 4 + 12 × 6 + 168
=72 + 72 + 72 + 72 + 72 + 168
= 72 × 5 + 168
=528
Ta đặt mẫu số là:

2 + 2 + 4 + 6 + 10 + … + 68

Quy luật của dãy số: Từ số thứ ba trở đi số sau bằng tổng của hai số liền trước.
Ta có dãy số đầy đủ là: 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + 16 + 26 + 42 + 68 = 176
Giá trị của biểu thức trên là:

Bài toán 5: Theo phân số

c
d

=3

. Nếu rút gọn phân số

Nếu giảm tử số đi 12 đơn vị thì được phân sô

c
d

thì được phân số

36
c
. Tìm phân số
đã cho.
49
d

Hướng dẫn học sinh
- Hướng dẫn học sinh lập biểu thức theo dữ kiện của đầu bài.
- Hướng dẫn tìm thành phần chưa biết của biểu thức.
Bài giải
Cách 1:

Ta có:

c − 12 36
=
d
49
c
12 36
- =
d
d 49
12 6 36 6
= −
=
d 7 49 49
12 6 12
=
=
d 49 98

Từ hai phân số bằng nhau ta có: d = 98
Với d = 98

Ta có

c 6
6
=
nên c = × 98 = 84
98 7
7

Vậy phân số

c
d

là

84
98

Cách 2:
- Hướng dẫn học sinh lập biểu thức theo dữ kiện của đầu bài.

6
.
7


- Dựa vào dữ kiện của đề bài tìm ra tỷ số.
- Dựa vào tỷ số, vẽ sơ đồ.
Bài giải
c
6
42
=
=
d
7
49

Ta có:
c − 12
d

Và

=

36
49

Vậy nếu mẫu số d gồm 49 phần bằng nhau, thì tử số c gồm 42 phần như
thế, và (c - 12) gồm 36 phần như thế
Suy ra 12 bằng: 42 - 36 = 6 (phần)
Vậy 1 phần là: 12 : 6 = 2
Vậy c là:

2 × 42 = 84

d là:

2 × 49 = 98

Vậy phân số

c
là:
d

84
98

* Đối với các bài toán tìm thành phần chưa biết của phép tính
Bài toán 6: Tìm y
1

1

1

1

( 1× 3 + 3× 5 + 5 × 7

1

2

+ 7 × 9 + 9 ×11 ) × y =
3

Hướng dẫn học sinh
Hướng dẫn học sinh nhận xét các phân số của thừa số thứ nhất, rút ra nhận xét
các phân số đó đều có tử số là 1, mẫu số là tích 2 số lẻ liên tiếp.
-Thừa số thứ nhất của mẫu số thứ hai là thừa số thứ hai của mẫu số liền trước
- Hướng dẫn nhân thừa số thứ nhất với 2.
- Viết từng phân số thành hiệu của hai phân số mà số trừ của cặp liền trước bằng
số bị trừ của cặp liền sau.
Bài giải

Ta tính biểu thức trong ngoặc đơn
1

1

1

( 1× 3 + 3× 5 + 5 × 7
=

2
1
× ( 1× 3
2

2

+ 3× 5

1

1

+ 7 × 9 + 9 ×11 )
2

2

2

+ 5× 7 +
+ 9 ×11 )
7×9


=

1
1
1 1
1 1 1 1
1 1
× (1 − + +
- + - + - )
2
3
3 5
5 7 7 9
9 11

=

1
1
× (1 − )
2
11

=

1
10
10
5
×
=
=
2
11
22
11
5
11

Suy ra

× y=
y=
y=

2
3
2
5
:
3 11
22
15

Đáp số: y =

22
15

Bài toán 7: Tìm số tự nhiên x biết
2
3

a,

=

x
54

b,

10
15
=
x
6

Hướng dẫn học học sinh
- Hướng dẫn học sinh dựa vào cách tìm phân số bằng nhau.
- Dựa vào quy đồng tử số hoặc mẫu số để làm bài.
Bài giải
a,

2

3

=

x
54

Cách 1: Dựa vào quy đồng mẫu số
Ta thấy:
Vậy:
Nên

2 ×18
x
2
= = 3×18
54 3

=

36
54

36
x
=
54
54

Cách 2: Dựa vào tìm thành phần

chưa biết để tìm x
Ta thấy:

2
x
=
3
54

x =

x = 36

2
× 54 ( tìm số bị chia)
3

x = 36
Đáp số:
b,

Cách 1: dựa vào rút gọn phân số
Ta có:

x = 36

10
15
=
x

6

15:3
15
= 6:3
6

=

5
2

Cách 2: Dựa vào tìm thành phần
chưa biết để tìm x
10
15
=
x
6


Hay:
Vậy:

5×2
10
5
=
= 2×2
x

2

x = 10 : ( Tìm số chia)

10
4

=

x=4

10
10
=
x
4

Đáp số: x = 4

Nên: x = 4
Bài toán 8: Tìm phân số có mẫu số là 9 , biết rằng khi cộng tử số với 10, nhân
mẫu số với 3 thì giá trị của phân số không đổi.
Hướng dẫn học sinh
- Xác định được phân số cần tìm.
- Lập được phân số mới.
- Lập biểu thức theo dữ kiện đề bài.
Bài giải
Gọi phân số đó là

x

9

Theo bài ra ta có:

x
=
9

x + 10
9×3

x
=
9

3× x
27

Suy ra:

(x>0)

x + 10
27

=

( quy đồng mẫu số )

3 × x = x + 10

x × 2 = 10

( bớt hai vế đi x)

x

= 10 : 2

x

=5

Vậy phân số cần tìm là

5
9

Bài toán 9: Tìm x, y , z sao cho

10
15

=

x
9

8

= y

=

z
21

Hướng dẫn học sinh
- Dựa cách tìm phân số bằng nhau để tìm các phân số còn lại
- Nêu cách tìm phân số bằng nhau
Bài giải
Ta có

10:5
10
= 15:5
15

=

2×3
2
6
= 3× 3 =
3
9

10:5
10
= 15:5
15

=

2× 4
2
= 3× 4
3

=

8
12


10:5
10
= 15:5
15

=

2× 7
2
= 3× 7
3

=

14
21

Vì vậy ta chọn x = 6 , y = 12 , z = 14 thì được
10
x
=
15
9

8

= y

=

z
21

Dạng 4: Toán có lời văn về phân số
Trên cơ sở học sinh đã nắm được các dạng toán của phân số như: Các bài
toán về cấu tạo phân số, so sánh phân số và đặc biệt là các bài toán về thực hành
bốn phép tính trên phân số, giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài toán có lời
văn về phân số.
Bài toán 1: Thanh và Bình có 56 000 đồng trong đó
2
3

1
số tiền của Thanh bằng
2

số tiền của Bình. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

Hướng dẫn học sinh
- Xác định dạng toán.
- Quy đồng tử số ( hoặc quy đồng mẫu số ) để giải.
- Vẽ sơ đồ tìm hai số khi biết tổng và tỷ số để giải.
Bài giải
Cách 1: Quy đồng tử số
Vì:

1
2
2
2
=
Nên số tiền của Thanh bằng
2
4
4
3

số tiền của Bình.

Coi số tiền của Thanh là 4 phần, thì số tiền của Bình là 3 phần bằng nhau như
thế. Ta có sơ đồ
Số tiền của Thanh
56 000 đồng

Số tiền của Bình
Số tiền của Thanh là:

56000 : ( 3 + 4 ) × 4 = 32 000 ( đồng )
Số tiền của Bình là:
56 000 - 32 000 = 24 000 (đồng )
Đáp số: Số tiền của Thanh : 32 000 đồng


Số tiền của Bình: 24 000 đồng
Cách 2: Quy đồng mẫu số
Ta có
Vậy

1
3
=
,
2
6

2
4
=
3
6

3
4
số tiền của Thanh bằng
số tiền của Bình
6
6

Hay 3 lần số tiền của Thanh bằng 4 lần số tiền của Bình
Coi số tiền của Thanh là 4 phần thì số tiền của Bình là 3 phần bằng nhau như
thế. Ta có sơ đồ:
Số tiền của Thanh
56 000 đồng

Số tiền của Bình
Số tiền của Thanh là:
56000 : ( 3 + 4 ) × 4 = 32 000 ( đồng )
Số tiền của Bình là:
56 000 - 32 000 = 24 000 ( đồng )
Đáp số: Số tiền của Thanh: 32 000 đồng
Số tiền của Bình: 24 000 đồng
Bài toán 2: Ba người bán táo được lãi 72 000 đồng , người thứ nhất được
số tiền lãi, người thứ hai được

3
số tiền lãi. Hỏi người thứ ba được bao nhiêu
8

tiền?
Hướng dẫn học sinh
- Bài toán cho biết gì? Bài toán yêu cầu gì?
- Bài toán thuộc dạng toán nào?
- Nêu hướng giải.
Bài giải
Cách 1: Hướng dẫn giải theo cách tìm phân số của một số
Người thứ nhất được số tiền là:
72 000 ×

1
= 12 000 (đồng )
6

Người thứ hai được số tiền là:

1
6