Chuyên Đề Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Chuyên đề

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
“Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là một nội dung đặc biệt quan trọng
của giải tích toán học. Trong các đề thi ta thường gặp bài toán liên quan đến nội dung nầy
và đa số học sinh cũng thường có những sai lầm hoặc thiếu sót khi giải bài toán tiếp tuyến
Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi viết chuyên đề nầy với mục đích giúp học sinh hệ
thống được các kiến thức cơ bản và làm quen với các dạng bài tập liên quan đến “phương
trình tiếp tuyến”, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp và kỹ năng giải toán, giúp các em
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, khả năng tự học…, để học sinh ngày càng tự tin, hứng
thú học tập và học tốt hơn.
B. NỘI DUNG
I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững.

1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x ) tại điểm M(x0;y0) thuộc (C).
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x) đi qua điểm M(xM;yM).
Dạng 1: Biết M(x0;y0)
- Tính y’ sau đó tính y’(x0) hay f’(x0).
Cách 1:
y = f / ( x 0 )( x − x 0 ) + y 0
-- Viết
phương
trình
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc k:

y = k ( x − x M ) + y M (*)
Dạng 2:
Biết
x

0
- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường cong (C) khi hệ phương trình
- Có x0 tìm yf0(=x)f(x
= k0).( x − x M ) + y M
 đó
- Tính(**)
y’ sau
tính y’(x0) hay f’(xcó
0). nghiệm.
'
 f ( x) = k
/
- Viết phương trình y = f ( x0 )( x − x0 ) + y 0
- Giải hệ trên tìm k rồi thay vào (*) được phương trình tiếp tuyến.

3:Số
Biết
y0tuyến
=b của đồ thị là số nghiệm của hệ phương trình (**)
*Dạng
Chú ý:
tiếp
- Giải phương trình f ( x0 ) = b tìm x0 .
- Tính y’= f / ( x) suy ra f / ( x0 )
Cách 2:
Tìm phương
hoành độ
tiếp yđiểm
= f / x( x0)0 )( x − x 0 ) + y 0
- ( Viết

trình
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0;y0) là
y = f ' ( x 0 )( x − x0 ) + y 0
(1)
- Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(xM;yM) nên xM, yM là nghiệm đúng của
phương trình y M = f ' ( x0 )( x M − x0 ) + y 0 (2)
Giải phương
trìnhLạc
(2),Thôn
ta có x0, thế x0 vào phương trình (1) được
Tổ Toán 3 –- Trường
THPT An
Trang 1
phương trình tiếp tuyến.


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 2


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x ), biết hệ số góc của tiếp tuyến.
Dạng 1: Hệ số góc k cho trước.
- Tính y’= f / ( x)
- Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0.
- Có x0 tìm y0= f(x0).
- Viết phương trình y = f / ( x0 )( x − x0 ) + y 0

Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b
- Tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa k=a.
- Tìm được k, trở lại bài toán ở Dạng 1
* Chú ý: Hai đường thẳng d : y = ax + b và d ' : y = a ' x + b ' song song
a = a '
với nhau khi và chỉ khi 
b ≠ b '

Dạng 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b
- Tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa a.k=-1.
- Tìm được k, trở lại bài toán ở Dạng 1
Dạng 4: Tiếp tuyến tạo với tia Ox (chiều dương của trục hoành) một góc α
- Tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa: k = tan α
- Tìm được k, trở lại bài toán ở Dạng 1
Dạng 5: Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc α

k = tan α

- Hệ số góc k thỏa k = tan α ⇔ 
k = − tan α
-

Giải các phương trình trên tìm k, trở lại bài toán ở Dạng 1.

Dạng 6: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc α

-

k −a
1 + ka = tan α

k −a
= tan α ⇔ 
Hệ số góc k thỏa
1 + ka
 k − a = − tan α
1 + ka

-

Giải các phương trình trên tìm k, trở lại bài toán ở Dạng 1.

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 3


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
II. Các dạng bài tập thường gặp.
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

biết hoành độ tiếp điểm là

Giải
Ta có

Với

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

có dạng:

.

Bài 2. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
độ bằng

tại điểm có hoành

.
Giải

Ta có
Với

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

tại điểm

có dạng:

.
Bài 3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
độ bằng 7.

Giải

tại điểm có hoành

Ta có

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 4


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Với

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

có dạng:

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x3 − 4 x 2 + 2 biết tiếp điểm có
tung độ y0 = 2 .
Gọi tiếp điểm có tọa độ ( x0 ; y0 )

Giải

y0 = 2
⇔ − x03 − 4 x02 + 2 = 2

⇔ − x03 − 4 x02 = 0
 x0 = 0
⇔
 x0 = −4
'
y = −3 x 2 − 8 x
y' ( 0) = 0
y ' ( −4 ) = −16

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 và y = −16 x − 62 .
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 2 biết tiếp điểm có
tung độ y0 = 2 .
Gọi tiếp điểm có tọa độ ( x0 ; y0 )

Giải

y0 = 2
⇔ x04 − 4 x02 + 2 = 2
⇔ x04 − 4 x02 = 0
 x0 = 0
⇔  x0 = 2
 x0 = −2
y ' = 4 x3 − 8x

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 5


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

y' ( 0) = 0
y ' ( 2 ) = 16
y ' ( −2 ) = −16

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 , y = 16 x − 30 và y = −16 x − 30
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 3x + 2 biết tiếp điểm có tung
1− x

độ y0 = −2 .
Gọi tọa độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 )
Ta có: y0 = −2 ⇔

Giải

3x0 + 2
= −2
1 − x0

 x0 ≠ 1
⇔
 x0 = −4
⇔ x0 = −4
5
y'=
2
( 1− x)
y ' ( −4 ) =

1
5

1
5

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x −

6
5

2
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + x biết tiếp điểm có tung độ

x−2

y0 = −2 .

Gọi tiếp điểm có tọa độ ( x0 ; y0 )

Giải

y0 = −2
⇔

x02 + x0
= −2
x0 − 2


 x0 ≠ 2
⇔ 2


 x0 + 3x0 − 4 = 0
 x0 = 1
⇔
 x0 = −4
( 2 x + 1) ( x − 2 ) − ( x 2 + x ) x 2 − 4 x − 2
'
y =
=
2
2
( x − 2)
( x − 2)

y ' ( 1) = −5
y ' ( −4 ) =

5
6

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 6


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
5
6

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −5 x + 3 và y = x −

4
3

Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x 2 − 5 x + 6 biết tiếp điểm có
tung độ y0 = 2 .
Giải
Ta có: y0 = 2 ⇔ x02 − 5 x0 + 6 = 2
⇔ x02 − 5 x0 + 4 = 0

y' =

 x0 = 4
⇔
 x0 = 1
2x − 5

2 x2 − 5x + 6

3 2
4
3 2
y ' ( 1) = −
4
y '( 4) =

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

3 2
3 2
7 2
.
x − 2 2 và y = −
x+
4
4
4

Trang 7


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước.
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x 2 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(0;-1).
Giải
* Cách 1:
Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y ' = 2 x ⇒ y ' ( x0 ) = 2 x0 .
2
Phương trình tiếp tuyến d có dạng: y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = 2 x0 ( x − x0 ) + x0
2
2
Vì A(0;-1) ∈ d nên − 1 = 2 x0 (− x0 ) + x0 ⇔ x0 = 1 ⇔ x0 = ±1
•
Với x0 = 1 : Ta được phương trình tiếp tuyến d là: y = 2( x − 1) + 1 ⇔ y = 2 x − 1
•

Với x0 = −1 : Ta được phương trình tiếp tuyến d là: y = −2( x + 1) + 1 ⇔ y = −2 x − 1
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 x − 1, y = −2 x − 1 .
* Cách 2:
Gọi d là đường thẳng qua A(0;-1) có hệ số góc k.
⇒ Phương trình của d là: y = kx − 1
Đường thẳng d là tiếp tuyến của parabol y = x 2 ⇔ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ
(*)
kx − 1 = x 2
kx − 1 = x 2
⇔
⇒ 2 x 2 − 1 = x 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
Với hệ (*) 

2 /
k
=
2
x
k = x

• Với x = 1 ⇒ k = 2 ⇒ d : y = 2 x − 1
• Với x = −1 ⇒ k = −2 ⇒ d : y = −2 x − 1
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2 x − 1, y = −2 x − 1 .

( )

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 2 , biết rằng
tiếp tuyến đó đi qua điểm M(0;2).
Giải
Gọi d là đường thẳng qua M(0;2) có hệ số góc k.

⇒ Phương trình của d là: y = kx + 2
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 8


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
d tiếp xúc (C) ⇔ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ (*)
 x 3 − 5 x 2 + 2 = kx + 2
 x 3 − 5 x 2 = kx
⇔ 2
⇒ x 3 − 5 x 2 = 3 x 2 − 10 x x
Với hệ (*)  2
3 x − 10 x = k
3 x − 10 x = k

(

)

x = 0
⇔ 2 x − 5x = 0 ⇔ 
x = 5
2

x
=
0
⇒
k

=
0
⇒d:y=2
• Với
5
25
25
• Với x = ⇒ k = − ⇒ d : y = − x + 2
2
4
4
3

2

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2, y = −

25
x+2.
4

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
tuyến đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.
Giải
lim − y = −∞

 1
x → − 
 2

⇒ Tiệm cận đứng là đường thẳng x = −

− x +1
, biết rằng tiếp
2x + 1

1
2

 1 
 2 

Giao điểm của đường tiệm cận đứng và trục Ox là A − ;0 
Gọi d là đường thẳng qua A, có hệ số góc k.



1
2

Phương trình đường thẳng d là: y = k  x + 
d tiếp xúc (C) ⇔ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ (*)
− x +1
1

 2 x + 1 = k  x + 2 

 ⇒ − x + 1 = − 3  x + 1 
Với hệ (*) 
−3

2 x + 1 (2 x + 1) 2 
2
 k=

(2 x + 1) 2
1
⇒ 2(2 x + 1)(− x + 1) = −3(2 x + 1) với x ≠ −
2
1
1
1
1
1
5
⇔ −2 x + 2 = −3 ⇔ x = ⇒ k = − ⇒ d : y = −  x +  ⇔ d : y = − x −
12
12 
2
12
24
2
1
1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = − x − .
12
24

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 9

Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến.
1
3

3
2
Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = − x − 2 x − 3 x + 1 , biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y =

3
x+9
4

b) Tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Giải
Ta có y ' = − x − 4 x − 3
2
a) Gọi tiếp điểm là M ( x0 ; y 0 ) . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: k = y ' ( x0 ) = − x0 − 4 x0 − 3
2

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y =
k = y' ( x0 ) =

3
3

2
⇔ − x 0 − 4 x0 − 3 = ⇔ 4 x 0 2
4
4

* Với x0 = −

3
x + 9 nên:
4

5

 x0 = − 2
+ 16 x0 + 15 = 0 ⇔ 
x = − 3
0
2


5
29
thì y 0 =
24
2
5 29
):
2 24

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( − ;

29 3
5
3
37
= ( x + ) hay y = x +
.
24 4
2
4
12
3
17
* Với x0 = − thì y 0 =
8
2
y−

3 17
):
2 8

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( − ;

17 3
3
3
13
= ( x + ) hay y = x +
8 4
2

4
4
3
37
3
13
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y = x +
và y = x + .
4
12
4
4
y−

b) Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó: y ' = − x 2 − 4 x − 3 = 1 − ( x + 2) 2 ≤ 1
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 10


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
2
Do đó hệ số góc lớn nhất là y ' ( x 0 ) = 1 ⇔ − x0 − 4 x0 − 3 = 1
2

⇔ − ( x 0 + 4 x 0 + 4) = 0

⇔ ( x 0 + 2) 2 = 0 ⇔ x 0 = − 2

* Với x0 = −2 thì y 0 =

5
3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-2;
y−

5
):
3

5
11
= x + 2 hay y = x +
3
3

Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2

x 2 − 3x + 1
, biết:
x−2
4
5

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = − x + 7
Giải
Ta có y ' =

x − 4x + 5
( x − 2) 2
2

 x0 ≠ 2
2
 x 0 ≠ 2
x0 − 4 x0 + 5

⇔  x0 = 1
=2⇔ 2
a) Ta có: k = 2 ⇔
2
( x0 − 2)
 x 0 − 4 x0 + 3 = 0
 x = 3
 0
* Với x0 = 1 thì y 0 = 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1; 1):
y − 1 = 2( x − 1) hay y = 2 x − 1 .
* Với x0 = 3 thì y 0 = 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (3; 1):
y − 1 = 2( x − 3) hay y = 2 x − 5
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y = 2 x − 1 và y = 2 x − 5 .
b) Gọi tiếp điểm là M ( x0 ; y 0 ) . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là:
k = y' ( x0 ) =

2

x0 − 4 x0 + 5
( x0 − 2) 2
4
5

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + 7 nên
 x0 ≠ 2
2
 x 0 ≠ 2
x0 − 4 x0 + 5 5
4
5

⇔  x 0 = 0
.= ⇔  2
y ' ( x 0 ).(− ) = −1 ⇔ y ' ( x 0 ) = ⇔
2
4
5
4
( x 0 − 2)
 x 0 − 4 x0 = 0
 x = 4
 0
1
* Với x0 = 0 thì y 0 = −
2

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 11


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
1
2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (0; − ):
1 5
5
1
= x hay y = x − .
2 4
4
2
5
= 4 thì y 0 =
2

y+

* Với x0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( 4 ;

5
):
2

5 5

5
5
= ( x − 4) hay y = x − .
2 4
4
2
5
1
5
5
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y = x − và y = x − .
4
2
4
2
y−

Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) y = x 3 − 3 x + 2 , biết tiếp tuyến song song với trục hoành.
b) y = 2 x 2 − 3 x + 9 , biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450.
Giải
2
a) Ta có y ' = 3 x − 3 . Tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc là đạo hàm
y ' ( x 0 ) = 0 ⇔ 3 x 0 2 − 3 = 0 ⇔ x 0 = ±1 .
* Với x0 = 1 thì y 0 = 0 : loại
* Với x0 = −1 thì y 0 = 4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-1; 4):
y − 4 = 0 hay y = 4.
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm: y = 4.
b) Ta có y ' = 4 x − 3 . Tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450 nên hệ số góc

y ' ( x 0 ) = ± tan 45 0 = ±1 .
* Với y ' ( x 0 ) = 1 ⇔ 4 x0 − 3 = 1 ⇔ x0 = 1 ⇒ y 0 = 8
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1; 8):
y − 8 = x − 1 hay y = x + 7 .
1
⇒ y0 = 8
2
1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( ; 8):
2
1
17
y − 8 = −( x − ) hay y = − x + .
2
2
17
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y = x + 7 và y = − x + .
2

* Với y ' ( x0 ) = −1 ⇔ 4 x0 − 3 = −1 ⇔ x0 =

Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = sin 2 x
a) Tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x = π .
b) Tiếp tuyến song song với phân giác y = x .
Giải
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 12

Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
a) Ta có x0 = π ⇒ y 0 = 0

y ' = 2 cos 2 x ⇒ y ' (π ) = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( π ; 0):
y = 2( x − π ) .
b) Tiếp tuyến song song với phân giác y = x có hệ số góc bằng 1 nên:
1
π
y' ( x0 ) = 1 ⇔ 2 cos 2 x0 = 1 ⇔ cos 2 x0 = ⇔ x0 = ± + kπ , k ∈ Z
2

π
3
+ kπ thì y 0 =
6
2
π
Các tiếp tuyến: y = 1( x − − kπ ) +
6
π
3
* Với x0 = − + kπ thì y 0 = −
6
2
π
Các tiếp tuyến: y = 1( x + − kπ ) −
6

6

* Với x0 =

Bài 5. Cho đồ thị (C): y =

3
π
3
= x − − kπ +
,k ∈ Z .
2
6
2

3
π
3
= x + − kπ −
,k ∈ Z .
2
6
2

x −1
x +1

a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm mà (C) giao với trục Oy.
b) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng: 2 x + y + 2015 = 0 .

Giải
Ta có y ' =

2
( x + 1) 2

a) Ta có: Gọi A(0;-1) là giao điểm của (C) va trục Oy Phương trình tiếp tuyến tại A có
dạng: y + 1 = 2( x − 0) ⇔ y = 2 x − 1 .
b) 2 x + y + 2015 = 0 ⇒ y = −2 x − 2015 .
Gọi tiếp điểm là M ( x0 ; y 0 ) . Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 x + y + 2015 = 0
nên y ' ( x0 ).(−2) = −1 ⇔ y ' ( x0 ) =

1
2

 x 0 ≠ −1
2
1
 x0 ≠ −1

.= ⇔ 
⇔
⇔  x 0 = 1
2
2
2
( x 0 + 1)
( x 0 + 1) = 4
  x = −3
 0

= 1 thì y 0 = 0

* Với x0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1; 0):
1
1
1
( x − 1) hay y = x − .
2
2
2
y
=
2
= −3 thì 0

y−0 =

* Với x0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-3; 2):
1
1
7
( x + 3) hay y = x + .
2
2
2
1
1
1

7
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = x − và y = x + .
2
2
2
2
y−2=

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 13


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
1
3

Bài 6. a) Cho đồ thị hàm số y = − x 3 + x 2 − 5 x + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, sao cho tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
1
3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ( x − 2) 3 , biết tiếp tuyến hợp
với trục hoành một góc 450
Giải
2
a) Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: y ' ( x0 ) = − x0 + 2 x0 − 5
2
Ta có: y ' ( x0 ) = − x0 + 2 x0 − 5 = −( x0 − 1) 2 − 4 ≤ −4 .

7
3
7
5
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = −4( x − 1) ⇔ y = −4 x + .
3
3

Do đó y ' ( x0 ) lớn nhất khi y ' ( x0 ) = -4, tương ứng x0 = 1 , suy ra y 0 = − .

b) Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: y ' ( x0 ) = ( x0 − 2) 2
Tiếp tuyến tại M hợp với trục hoành một góc 450 nên:

( x0 − 2 ) 2 = −1(VN )
 x0 = 3
⇔
y ' ( x 0 ) = ± tan 45 = ±1 ⇔ 
2
 x0 = 1
( x0 − 2 ) = 1
1
1
Vậy có hai tiếp điểm là M 1 (3; ) và M 2 (1;− ) lần lượt ứng với hai tiếp tuyến là:
3
3
1
8
y − = x − 3⇔ y = x −
3
3

1
4
và y + = x − 1 ⇔ y = x − .
3
3
0

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 14


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

III. Bài tập bổ sung.
3
2
Bài 1. Cho đường cong ( C ) : y = x − 3x . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) trong các
trường hợp sau:
a) Tại điểm M ( 1; −2 ) .

b) Tại điểm thuộc ( C ) và có hoành độ bằng -1.
c) Tại giao điểm của ( C ) với trục hoành.

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( −1; −4 )
Giải
2
a) Ta có: y ' = 3x − 6 x
x0 = 1 ⇒ y ' ( 1) = −3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −3x + 1
b) Gọi tọa độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 )
x0 = −1 ⇒ y0 = −4

y ' ( −1) = 9

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9 x + 5
c) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) với trục hoành là:
x = 0
x3 − 3x 2 = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔ 
x = 3
y ' ( 0) = 0

y ' ( 3) = 9

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 0 và y = 9 x − 27 .
d) Ta có phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tiếp điểm M 0 ( x0 ; y0 ) là:
y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0

(

⇔ y = 3 x02 − 6 x0

)( x−x ) + x
0

3
0

− 3 x02

Vì tiếp tuyến đi qua A ( −1; −4 ) nên:

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 15


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
−4 = ( 3 x02 − 6 x0 ) ( −1 − x0 ) + x03 − 3 x02

⇔ 3 x0 ( x0 + 1) ( x0 − 2 ) − ( x03 − 3 x02 + 4 ) = 0

⇔ ( x0 + 1) ( 3 x02 − 6 x0 ) − ( x0 + 1) ( x02 − 4 x0 + 4 ) = 0
⇔ ( x0 + 1) ( 2 x02 − 2 x0 − 4 ) = 0
⇔ 2 ( x0 + 1)

2

( x0 − 2 ) = 0

 x0 = −1
⇔
 x0 = 2
y ' ( −1) = 9

y ' ( 2) = 0

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9 x + 5 và y = −4 .
3x + 1

. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết:
1− x
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : x − 4 y − 21 = 0 .

Bài 2. Cho đường cong ( C ) : y =

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : 2 x + 2 y − 9 = 0 .
Giải
Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
1
4

a) ( d ) : x − 4 y − 21 = 0 ⇔ y = x −

21
4
1
1
⇔ y ' ( x0 ) =
4
4
4
1
⇔
=
2
( 1 − x0 ) 4

Vì tiếp tuyến song song với ( d ) nên có hệ số góc là k =


 x0 ≠ 1
⇔
2

( 1 − x0 ) = 16
 x0 ≠ 1
⇔
1 − x0 = ±4
 x0 = −3 ⇒ y0 = −2
⇔
 x0 = 5 ⇒ y0 = −4

1
1
5

1  y = 4 ( x + 3) − 2 ⇔ y = 4 x − 4
Có hai tiếp tuyến có hệ số góc k = : 
4
 y = 1 ( x − 5 ) − 4 ⇔ y = 1 x − 21 ( loại )

4
4
4
1
5
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = x −
4
4

9
2
Vì tiếp tuyến vuông góc với ∆ nên có hệ số góc là: k = 1 ⇔ y ' ( x0 ) = 1

b) ( ∆ ) : 2 x + 2 y − 9 = 0 ⇔ y = − x +

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 16


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
⇔

4

( 1 − x0 )

2

=1

 x0 ≠ 1
⇔
2
( 1 − x0 ) = 4
 x0 = −1 ⇒ y0 = −1
⇔
 x0 = 3 ⇒ y0 − 5

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
* y + 1 = 1( x + 1) ⇔ y = x
* y + 5 = 1( x − 3 ) ⇔ y = x − 8

3
2
2
2
Bài 3. Cho hàm số y = 2mx − ( 4m + 1) x + 4m có đồ thị ( Cm ) . Hãy tìm m để đồ thị hàm

số tiếp xúc với trục Ox .
Giải
2
Ta có y = ( x − 2m ) ( 2mx − x − 2m )

⇒ y ' = ( 2mx 2 − x − 2m ) + ( x − 2m ) ( 4mx − 1) .

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( x − 2m ) ( 2mx 2 − x − 2m ) = 0


2
( 2mx − x − 2m ) + ( x − 2m ) ( 4mx − 1) = 0
  x − 2m = 0

2
 2mx − x − 2m = 0
⇔
2

 2mx − x − 2m = 0
 4mx − 1 = 0

(I)
(II)

m = 0
 x = 2m
⇒
( I) ⇔ 
2 .
2
 2m ( 4m ) − 2m − 2m = 0  m = ±

2

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 17


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số


m ≠ 0
m ≠ 0


1
1


⇔ x =
( II ) ⇔  x =
(Hệ vô nghiệm).
4m
4m


  1 2 1
16m 2 + 1 = 0
− 2m = 0
 2m 
÷ −
  4m  4m
m = 0
Vậy giá trị cần tìm của m là 
2 .
m=±

2
3
Bài 4. Cho hàm số y = x + 1 − k ( x + 1) có đồ thị ( Ck ) .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của ( Ck ) với trục
tung.
b) Tìm k để tiếp của ( Ck ) ở câu a) tạo với hệ trục tọa độ một tam giác có diện tích
bằng 8.
Giải
a) Đồ thị ( Ck ) của hàm số cắt trục Oy tại A(0;1 − k ) . Ta có
y ' = 3x 2 − k ⇒ y '(0) = −k .

Do đó phương trình tiếp tuyến của ∆ của ( Ck ) tại A là y = −kx + 1 − k .
 1− k 
;0 ÷ ( k ≠ 0 ) .
 k


b) Ta có ∆ cắt Oy tại A(0;1 − k ) , cắt Ox tại B 

Vì A và B không trùng với O nên k ≠ 1 . Theo giả thiết S ∆OAB = 8 nên

( 1− k )
1
1− k
OA.OB = 8 ⇔ OA.OB = 16 ⇔ 1 − k
= 16 ⇔
2
k
k

2

= 16

( 1 − k ) 2 − 16k = 0
k = 9 ± 4 5
⇔
⇔

.

( 1 − k ) 2 + 16k = 0
 k = −7 ± 4 3

Vậy k = 9 ± 4 5 , k = −7 ± 4 3 .
Bài 5. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 có đồ thị ( C ) . Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ
đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , trong đó có hai tuyến vuông góc với nhau.
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 18


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Giải
Gọi M ( a, 0 ) ∈ Ox , phương trình đường thẳng d qua M và có hệ góc k là: y = k ( x − a ) .
Ta có d tiếp xúc với ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2
 x + 3 x = k ( x − a )
 2
3 x + 6 x = k

(1)
(2)

3
2
2
3
2
Thay k ở (2) vào (1) ta được x + 3x = ( 3x + 6 x ) ( x − a ) ⇔ 2 x − 3 ( a − 1) x − 6ax = 0

x = 0
⇔ x  2 x 2 − 3 ( a − 1) x − 6a  = 0 ⇔  2
 2 x − 3 ( a − 1) x − 6a = 0

( 3)

.

Với x = 0 thì y = 0, k = 0 , phương trình tiếp tuyến là y = 0 .
Do đó, từ M kẻ được ba tiếp tuyến đến ( C ) , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
khi phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 sao cho y ' ( x1 ) . y ' ( x2 ) = −1 , tức là

a ≠ 0
a ≠ 0


2
∆
>
0
⇔

9 ( a − 1) + 48a > 0


2
2
2
( 3x1 + 6 x1 ) ( 3 x2 + 6 x2 ) = −1

9 ( x1 x2 ) + 18 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 = −1

a ≠ 0

  a < −3

⇔ 
( vì
1
  a > − 3

81a 2 − 81a ( a − 1) − 108a + 1 = 0

 x1 x2 = −3a


3 ( a − 1)
 x1 + x2 =

2

)

a ≠ 0

  a < −3
1
⇔ 
⇔a=
.

1
27
  a > − 3

−27 a + 1 = 0
 1



Vậy chỉ có điểm M  ;0 ÷ thỏa điều kiện đề bài.
 27 
Bài 6. Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của
x −1

khoảng từ I (1; 2) đến tiếp tuyến đó bằng

( C ) , biết

2.

Giải
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 19


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số



Lấy M ∈ ( C ) ⇒ M  x0 ;


2 x0 − 1 
÷, x0 ≠ 1 .
x0 − 1 

Phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại M là
y=

−1

( x0 − 1)

( x − x0 ) +

2

2 x0 − 1
2
⇔ x + ( x0 − 1) y − 2 x02 + 2 x0 − 1 = 0
x0 − 1

Theo giả thiết d ( M , d ) = 2
1 + 2 ( x0 − 1) − 2 x0 2 + 2 x0 − 1
2

⇒

1 + ( x0 − 1)

4

⇔ 2 − 2 x0 = 2 1 + ( x0 − 1)

= 2

4

2
4
⇔ ( 2 − 2 x0 ) = 2 1 + ( x0 − 1) 



⇔ 2 ( x0 − 1) − 4 ( x0 − 1) + 2 = 0
4

2

 x0 = 3
2
⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔ 
.
 x0 = 2

Ta được hai tiếp tuyến thỏa đề bài: x + y − 1 = 0, x + y − 5 = 0 .
IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
điểm cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 2.
1
3

Đáp số: y = 3 x − 1, y = x +

2x − 1
, biết rằng tiếp
x +1

1
3

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (Cm) của hàm số y = x3 + mx + m + 1 tại
giao điểm của đồ thị (Cm) với trục Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp số: d : y = mx + m + 1 và m = 1; m = −3 + 2 2
x 2 − 2x + 2
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
, biết:
x −1

a) Tại điểm mà đồ thị hàm số giao với trục tọa độ.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −3x + 15 .

Đáp số: a) y = -2
b) y = −3x + 7 và y = −3x − 1
Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 (1)
Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 20


Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
a) Tại điểm mà đồ thị hàm số (1) giao với trục Ox có hoành độ là số nguyên.
b) Biết tiếp tuyến đó vuông góc đường thẳng x − 3 y + 50 = 0 .
c) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -2).
Đáp số: a) y = −3x + 3
b) y = −3x + 3
3
4

c) y = -2 và y = − x +

5
2

Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

1
−x+2
, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − 8 .
x+2
2
3
2
b) y = −2 x + 3 x + 9 x , biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

a) y =

Đáp số: a) y = −2 x − 5 + 4 2 và y = −2 x + 5 − 4 2
b) y =

21
1
x−
2
4

Bài 6. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x 3 − 3 x 2 + 3 đi qua điểm E(

23
;−1 )
9

Đáp số: Có ba tiếp tuyến thỏa đề bài:
5
88
y = −1, y = 9 x − 24, y = − x +
3
27

C. KẾT LUẬN
Những dạng bài tập được nêu ra trên đây chỉ là những dạng cơ bản nhất mà chúng
tôi mong muốn học sinh nắm vững để làm nền tảng cho việc giải các bài tập đòi hỏi khả
năng tư duy cao hơn mà các em sẽ gặp sau nầy. Sự thiếu sót của chúng tôi khi viết chuyên
đề trên là không thể tránh khỏi. Mong được sự thông cảm của quý vị đồng nghiệp và các
em học sinh. Được giúp học sinh và được biết các em thành công dù bất cứ ở đâu, bất cứ
lúc nào cũng mãi là niềm vui của mỗi chúng tôi.

Tổ Toán 3 – Trường THPT An Lạc Thôn

Trang 21