Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Sách gốc phải có chữ ký của
tác giả hoặc của thành viên Lovebook. Bất kể cuốn
...........................................
sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành.

Lời chúc
& kí tặng

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
...............

LOVEBOOK.VN

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi
đầu trước giông tố!
Đặng Thùy Trâm
Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà
bằng cả con tim của mình nữa!
Lương Văn Thùy
LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ
đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp
Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương
tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty.


GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC
BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
OXYZ
Sách dành cho:









Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA
Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán
Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông
Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán
Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng
tạo và độc đáo.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội
Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896;
Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011
Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc – Tổng biên tập: TS. PHẠM THỊ TRÂM
Biên tập: LÊ THỊ THANH HOA
Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP
Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG
Sửa bản in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN
Đối tác liên kết xuất bản:
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP
Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội

SÁCH LIÊN KẾT
CHINH PHỤC BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ
Mã số: 1L – 547 ĐH2015
In 2000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm tại CÔNG TY CP IN VÀ TRUYỀN THÔNG KẾT THÀNH
Địa chỉ: Số 81, tổ 6 Phường Phú Diễn, Quận Bắc Từ Liêm, Hà Nội
Số xuất bản: 2639 – 2015/CXB,IPH/7 - 324/ĐHQGHN, ngày 14/09/2015
Quyết định xuất bản số: 560 LK-TN/ QĐ – NXBĐHQGHN, ngày 01/10/2015
In xong và nộp lưu chiểu năm 2015.


Chinh phục hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

I- GIỚI THIỆU CHUNG
II- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

NGUYỄN ANH VĂN – LÊ PHƯƠNG ANH
𝐅𝟏
(T9/2015)

LÊ HOÀNG NAM – NGUYỄN THÀNH ĐẠT

HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

III- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN
1.

NGUYỄN ANH VĂN
- Sinh ngày: 1-9-1995
- Quê quán: Hoàng Mai, tỉnh Nghệ An
- Sở Thích: Nấu ăn, một mình nghe Nhạc Trịnh.
- Học Vấn: Bác Sỹ Đa Khoa - Trường Đại Học Y
Dược Huế.
- Facebook:
/>04299588228
Câu nói ưa thích:
Sống trong đời sống cần có một tấm lòng .
Để làm gì em biết không ?
Để gió cuốn đi, để gió cuốn đi.
Phương chấm sống: Cần cù bù thông minh.
2.
HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH
- Sinh ngày: 30/04/1997
- Quê quán: Ứng Hòa, Hà Nội
- Sở thích: Nghe nhạc, xem phim, đọc sách...
- Học vấn: lớp Chất lượng cao sư phạm toán Khoa Toán Tin
ĐH sư phạm Hà Nội
- Facebook:
- Phương châm sống: Hãy sống như ngày mai phải chết


Chinh phục hình học giải tích Oxyz

3. LÊ HOÀNG NAM
- Sinh ngày: 28/8/92
- Quê quán: Đà Nẵng
- Sở thích: đọc sách, phim

- Học vấn: bác sĩ đa khoa, trường đại học Y Dược Huế
- Facebook: />- Câu nói ưa thích: "There are two ways to live your life - one
is as though nothing is a miracle, the other is as though
everything is a miracle." - Albert Einstein
- Phương châm sống: "Cái gì cũng có cái giá của nó"
4. NGUYỄN THÀNH ĐẠT
- Sinh ngày: 13/01/1996
- Quê quán: Hải Phòng
- Sở thích: đọc sách, lập trình, chế tạo máy.
- Học vấn: sinh viên KSCLC, Đại học Bách Khoa Hà Nội
- Facebook:
/>- Câu nói ưa thích: The only thing that interferes with my
learning is my education.
- Phương châm sống: Theo đuổi ước mơ để tạo nên những
điều kì diệu.
5. LÊ ANH PHƯƠNG
- Sinh ngày: 05/10/1995
- Quê quán: Thanh Oai Hà Nội
- Sở thích: đọc sách, xem anime và running man.
- Học vấn: Khoa Toán tin Đại học Sư phạm Hà Nội
- Facebook: />- Câu nói ưa thích:
Khi gió nổi lên,chúng ta phải tiếp tục sống.
Le vent se lève, il faut tenter de vivre
- Phương châm sống: YOLO – You only live once

Your dreams – Our mission


LỜI MỞ ĐẦU
Các bạn cảm thấy:

 Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về hình giải tích Oxyz?
 Kiến thức về hình giải tích Oxyz nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp và
rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK.
 Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài hình giải tích Oxyz?
 Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu
để mình có thể tự tin học?
 ….
Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục hình học giải tích Oxyz là cuốn
sách DÀNH CHO BẠN!!!!
Trong cuốn sách này bạn sẽ:
1. Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng.
Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các
đề thi. Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài
tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới.
2. Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất.
Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ
càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ
hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với hình giải tích Oxyz.
3. Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách.
Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả
trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/
Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về hình học giải tích Oxyz của các
tác giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả. Cuốn sách cũng là tâm huyết
của đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được
bài toán hình giải tích Oxyz trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới.
Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn
sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế. Chúng tôi
rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh
viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ

o Thư điện tử:
o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/
Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!


LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn
sinh thành và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người. Gia đình luôn là điểm tựa
vững chắc giúp chúng tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay.
Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ
chúng tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về
những kiến thức mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống.
Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái
nhà chung LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp
chúng tôi có động lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời.
Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy –
Giám đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng
tôi trong quá trình hoàn thành cuốn sách.
Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!!


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
1. Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề.
Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ
ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp
phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó. Các bạn không nên lướt qua đáp án vì
đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách.
2. Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?
Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!
- Hỏi bạn bè cùng lớp. Học thầy không tày học bạn.

- Hỏi thầy cô giáo trên lớp.
- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng.
- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử
dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/
3. Ghi chú, đánh dấu
Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức
mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy
quan trọng. Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp
toàn bộ những thứ bạn cần về phần Hình giải tích Oxyz, đặc biệt bạn cần xem lại những phần
mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính
thức.
4. Kết hợp với bộ đề.
Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ
đề để luyện tập. Vì sao lại thế ?
Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày
nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó. Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp
các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm.
Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không
nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm.
Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu
thuộc phần Oxyz.
Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách
Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn.


MỤC LỤC
Chuyên đề 1: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian

2. Tọa độ một điểm
3. Tọa độ của vectơ
4. Biểu thức tọa độ các phép toán trên vectơ
5. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút
6. Tích vô hướng của hai vectơ
7. Tích có hướng của hai vectơ
8. Ứng dụng của tích có hướng
II. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
3. Phương trình đoạn chắn
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
5. Công thức toán
III. Phương trình đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Phương trình chính tắc
4. Phương trình tổng quát
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
6. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
7. Công thức tính toán
IV. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
4. Vị trí tương đối của hai mặt cầu
B. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Chuyên đề II: Các bài toán về điểm
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm

2. Biểu diễn
3. Các phép tính liên quan đến điểm
B. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP
1. Các bài toán sư dụng vectơ để tìm điểm
2. Tìm điểm thuộc mặt phẳng kèm điều kiện phụ
3. Tìm điểm thuộc đường thẳng kèm điều kiện phụ
3. Tìm tập hợp các điểm trong không gian
4. Bài toán khoảng cách
Chuyên đề III: Phương trình mặt phẳng
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

13
13
13
13
13
14
15
17
19
22
23
27
27
27
27
28
29
31

31
31
31
32
32
32
32
34
34
34
35
35
36
53
53
53
53
56
56
56
64
79
103
110
119
119
119


2. Tích có hướng của hai vectơ ứng dụng trong mặt phẳng

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
5. Chùm mặt phẳng
6. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
7. Góc giữa hai mặt phẳng
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Chuyên đề IV: Phương trình đường thẳng
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm
2. Mô tả
3. Phương trình đường thẳng
4. Vị trí tương đối của đường thẳng
5. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
6. Góc giữa hai đường thẳng
7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Bài tập viết phương trình đường thẳng cơ bản
2. Vị trí tương đối của đường thẳng so với mặt phẳng
3. Vị trí tương đối của đường thẳng so với đường thẳng
4. Các bài toán liên quan đến khoảng cách
Chuyên đề 5: Phương trình mặt cầu
I. Lý thuyết trọng tâm
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và điểm
III. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
IV. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
V. Các bài tập nâng cao

119
120
120

120
120
121
121
169
169
169
169
169
170
172
172
172
172
172
177
184
201
222
222
223
232
255
264


Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện:
Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã”

Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh.

“Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa.
Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồ
mất dạng. Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão.
Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói:
– Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt cho tôi.
Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ.
Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây.
Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói:
– Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa cho tôi.
Con trai của ông lão rất thích cưỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi
nó chạy đi. Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên. Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất
xuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền.
Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra tai
họa cho con trai của ông lão như thế.
Ông lão thản nhiên nói:
– Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy mà được
phúc.
Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên. Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sung
vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ. Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều
tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.”
Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc. Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biết đâu
là họa hay là phúc.
Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ sự thản nhiên trước những
biến đổi thăng trầm trong cuộc sống. Ta không bao giờ thực sự biết được những điều còn ở phía phía trước
sẽ xảy ra như thế nào. Cuộc sống không phải lúc nào cũng như chúng ta mong đợi. Dẫu có đôi lúc làm bài
không như mong đợi, các em cũng đừng vội nản, vội bỏ cuộc nhé. Biết đâu, đó lại là cú hích cho các em vươn
xa hơn ở các kỳ thi sắp tới. 


Chinh phục hình học giải tích Oxyz

Your dreams – Our mission

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

I- GIỚI THIỆU CHUNG
II- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

NGUYỄN ANH VĂN – LÊ PHƯƠNG ANH
𝐅𝟏
(T9/2015)

LÊ HOÀNG NAM – NGUYỄN THÀNH ĐẠT

HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH

III- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN
1.
NGUYỄN ANH VĂN
- Sinh ngày: 1-9-1995
- Quê quán: Hoàng Mai, tỉnh Nghệ An
- Sở Thích: Nấu ăn, một mình nghe Nhạc Trịnh.
- Học Vấn: Bác Sỹ Đa Khoa - Trường Đại Học Y
Dược Huế.
- Facebook:
/>04299588228
Câu nói ưa thích:
Sống trong đời sống cần có một tấm lòng .
Để làm gì em biết không ?
Để gió cuốn đi, để gió cuốn đi.

Phương chấm sống: Cần cù bù thông minh.
2.
HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH
- Sinh ngày: 30/04/1997
- Quê quán: Ứng Hòa, Hà Nội
- Sở thích: Nghe nhạc, xem phim, đọc sách...
- Học vấn: lớp Chất lượng cao sư phạm toán Khoa Toán Tin
ĐH sư phạm Hà Nội
- Facebook:
- Phương châm sống: Hãy sống như ngày mai phải chết


Chinh phục hình học giải tích Oxyz

3. LÊ HOÀNG NAM
- Sinh ngày: 28/8/92
- Quê quán: Đà Nẵng
- Sở thích: đọc sách, phim
- Học vấn: bác sĩ đa khoa, trường đại học Y Dược Huế
- Facebook: />- Câu nói ưa thích: "There are two ways to live your life - one
is as though nothing is a miracle, the other is as though
everything is a miracle." - Albert Einstein
- Phương châm sống: "Cái gì cũng có cái giá của nó"
4. NGUYỄN THÀNH ĐẠT
- Sinh ngày: 13/01/1996
- Quê quán: Hải Phòng
- Sở thích: đọc sách, lập trình, chế tạo máy.
- Học vấn: sinh viên KSCLC, Đại học Bách Khoa Hà Nội
- Facebook:
/>- Câu nói ưa thích: The only thing that interferes with my

learning is my education.
- Phương châm sống: Theo đuổi ước mơ để tạo nên những
điều kì diệu.
5. LÊ PHƯƠNG ANH
- Sinh ngày: 05/10/1995
- Quê quán: Thanh Oai Hà Nội
- Sở thích: đọc sách, xem anime và running man.
- Học vấn: Khoa Toán tin Đại học Sư phạm Hà Nội
- Facebook: />- Câu nói ưa thích:
Khi gió nổi lên,chúng ta phải tiếp tục sống.
Le vent se lève, il faut tenter de vivre
- Phương châm sống: YOLO – You only live once

Your dreams – Our mission


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Chuyên đề I: Hệ trục tọa độ trong không gian và công cụ giải toán
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Chúng ta đang sống trong một không gian ba chiều (3D), có sự tới lui, sang phải sang trái, lên xuống.
Tất cả những vật xung quanh chúng ta đều là 3D, ví như quyển sách bạn đang cầm có chiều cao, chiều rộng
và bề dày nhất định, và quan trọng hơn hết là nếu bạn muốn đo kích cỡ của quyển sách, bạn phải dùng
thước kẻ và đo theo những hướng vuông góc với nhau, ba kích cỡ đó giúp ta xác định hình dạng cuốn sách.
Hãy tưởng tượng ta đặt ba cái thước kẻ để đo ba kích thước của quyển sách từ một điểm bất kì trên gáy
sách hay đơn giản là dựng quyển sách lên và nhìn vào góc sách, ta sẽ thấy được hình dạng của một “hệ trục

tọa độ trong không gian”
z

y

O

x
Trong không gian hệ gồm ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz đôi một vuông góc với nhau được gọi là hệ
trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Gọi i, j, k lần lượt là ba vectơ đơn vị (vectơ đơn vị là vectơ có độ lớn bằng 1 và cùng hướng với
chiều dương của các trục tọa độ) trên ba trục Ox, Oy, Oz.
Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung, trục Oz gọi là trục cao.
Các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta kí hiệu chúng lần lượt là (Oxy),
(Oyz) và (Ozx).
Chú ý:
Do vectơ đơn vị có độ lớn bằng 1 và nằm trên các trục tọa độ vuông góc nhau nên ta có các đẳng thức sau:
+ Về độ lớn i  j  k  1.
+ Về quan hệ vuông góc i.j  j.k  k.i  0.
2. Tọa độ một điểm
Ta hẳn đã biết “điểm” không được định nghĩa nhưng thật không dễ dàng gì cho tới ngày nhân loại nhận
thức ra rằng không thể định nghĩa được mọi thứ. Một thời kì dài các nhà toán học luẩn quẩn trong việc định
nghĩa các khái niệm “nguyên thủy” như điểm, mặt phẳng, đường thẳng, … mà thực chất họ đã đưa ra định
nghĩa kiểu “cái chai là cái lọ cổ dài, cái lọ là cái chai cổ ngắn”. Trong hình học giải tích trong không gian, mặc
dù không định nghĩa được một điểm, nhưng ta có thể hình dung ra một điểm nhờ vào vị trí của điểm đó
trong hệ trục tọa độ, ta gọi đó là tọa độ một điểm trong không gian và luôn được biểu diễn bởi bộ ba số đặt





trong dấu ngoặc tròn x;y;z .





Với mọi điểm M, tồn tại duy nhất bộ ba số x; y;z sao cho OM  xi  yj  zk.

LOVEBOOK.VN | 13


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz





Ta gọi bộ ba số x; y;z là tọa độ của điểm M.







z



Kí hiệu: M x; y;z hay M  x;y;z .
Như vậy: M  x;y;z   OM  xi  yj  zk



K



Nếu điểm M có tọa độ là x; y;z thì x được gọi

M

là hoành độ, y được gọi là tung độ, z được gọi là
cao độ của điểm M.



y

O



Ví dụ: OM  3i  4j  2k  M 3;4;2 .



J

x

Việc xác định tọa độ M ta làm tương tự như xác
định tọa độ điểm trong hình học phẳng. Ban đầu
ta hạ các đường vuông góc từ M xuống các trục:

I

N



MK  Oz, MN  xOy , sau đó tiếp tục hạ NI  Ox,NJ  Oy ta sẽ được MI  Ox, MJ  Oy. Ta được tọa độ

điểm M là x  OI, y  OJ, z  OK
Nhận xét:
Điểm M thuộc các trục Ox, Oy, Oz:

M  Ox  M  x;0;0 ;

M  Oy  M 0; y;0 ;
M  Oz  M 0;0;z  .

 
 
Điểm M thuộc mặt phẳng  Oyz  có x  0 , tức là M 0;y;z 
Điểm M thuộc mặt phẳng  Oxz  có y  0 , tức là M  x;0;z 
Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy có z  0 , tức là M x;y;0

3. Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j, k trên các trục, với mọi vectơ u tồn tại duy nhất bộ









ba số x; y;z sao cho u  xi  yj  zk . Ta gọi bộ ba số x; y;z là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxyz.









Kí hiệu: u x; y;z hoặc u  x;y;z .
Do đó u  xi  yj  zk  u  x;y;z .
Ví dụ 1. Tọa độ của các vectơ đơn vị




k  0.i  0.j  1.k  k  0;0;1 .

j  0.i  1.j  0.k  j  0;1;0 ,

i  1.i  0.j  0.k  i  1;0;0 ,

Do đó tọa độ của ba vectơ đơn vị i, j, k lần lượt là i  1;0;0 , j  0;1;0 , k   0;0;1



Ví dụ 2. u  3i  5j  u 3;5;0



 1

1
v  2i  j  3k  v   2; ; 3  .
2
 2

Nhận xét: Tọa độ điểm M chính là tọa độ vectơ OM.

LOVEBOOK.VN | 14


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz
4. Biểu thức tọa độ các phép toán trên vectơ
a) Tổng, hiệu của hai vectơ. Tích của một vectơ với một số



 



Cho hai vectơ u x1 ;y1 ;z1 ,v x2 ;y 2 ;z2 , ta có:

u  v   x1  x2 ; y1  y 2 ;z1  z2 
u  v   x1  x2 ; y1  y 2 ;z1  z2 
ku   kx1 ;k y1 ;k z1  , k  , k  0.









Ví dụ 1. Cho hai vectơ u  1;2;1 ;v  5;0;2 , tính các vectơ sau:
b) u  v

a) u  v

c) 4u
Lời giải:



  
b) u  v  1  5;2  0;1  2   4;2; 1
c) 4u   4.1; 4.2; 4.1   4; 8; 4
Ví dụ 2. Cho ba vectơ a  1; 2;3 , b  3; 1;2 ,
a) u  v  1  5;2  0;1  2  6;2;3





c  0;1; 2 , tính các vectơ sau:

1
2
c) w  a  b  c
2
3

1
b) v  a  3b  2c
2

a) u  2a  3b  c

Lời giải:
a) Ta có:

2a  2; 4;6  ,





3b  9; 3;6 ,





c  0;1; 2 .



  



Do đó u  2a  3b  c  2  9  0; 4  3  1;6  6  2  11; 8;14 .
b) Ta có:

1
1
3
a   ; 1;  ,
2
2
2
3b   9; 3;6  ,





2c  0;2; 4 .

1
  17
3
1
1
Do đó v  a  3b  2c    9  0; 1  3  2;  6  4     ;0;   .
2
2
2
2
  2

 

c) Ta có:



 



a  1; 2;3 ,

3 1 

1
b   ;  ;1  ,
2
2 2 

2  2 4
c   0; ;   ,
3  3 3


1
2
3
1 2
4   1 13 10 
Do đó w  a  b  c   1   0;2   ;3  1     ; ;  .
2
2 3
3 2 6
3
2
3

b) Hai vectơ bằng nhau

LOVEBOOK.VN | 15


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz



 



Cho hai vectơ u x1 ;y1 ;z1 ,v x2 ;y 2 ;z2 . Hai vectơ u và v được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng tọa độ.

 x1  x 2

u  v  y1  y 2
z  z
2
 1

 





Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 1; 2;3 , G 2; 4;6 là trọng tâm tam giác. Tìm tọa độ trung điểm M của
BC.



Gọi tọa độ điểm M là M  xM ;y M ;zM

Lời giải:



A

2
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có AG  AM
3
Ta có AG  2  1; 4  2;6  3  1; 2;3 ,



AM  xM  1;y M  2;zM  3

G


C

2

2
2 2
4 2
 AM   xM  ; y M  ; zM  2 
3
3 3
3 3
3



B

M

2
2
5

 3 xM  3  1
xM 


2

4
2
2
Vì AG  AM   y M   2  y M  5
3
3
3

15
2
zM 
z

2


3
2

3 M

5
15 
Vậy tọa độ trung điểm của BC là M  ; 5;  .
2
2
Nhận xét: Khi gặp bài toán liên quan tới tìm điểm, ta nên gọi tọa độ điểm đó theo ẩn, sau đó dựa vào dữ kiện
đề bài để lập ra các phương trình, hệ phương trình thể hiện mối liên hệ giữa các ẩn.
Ví dụ 2. Cho hai vectơ u  m  1;3;2  n  , v 2;3k;7  . Tìm m, n, k biết u  v.
Lời giải:
Áp dụng trực tiếp công thức hai vectơ bằng nhau, ta có:
 m  1  2 m  1


u  v  3  3k  k  1
2  n  7
n  5


c) Hai vectơ cùng phương



 



Cho hai vectơ u x1 ;y1 ;z1 ,v x2 ;y 2 ;z2 , hai vectơ u và v được gọi là cùng phương (nghĩa là hai vectơ có

x1  kx2

giá song song hoặc trùng nhau) khi và chỉ khi tồn tại số thực k, k  0 sao cho u  kv, hay y 1  ky 2

z1  kz2



Chú ý: Nếu x2y2z2  0, rút k ra từ hệ 1 ta được: u và v cùng phương 









Ví dụ 1. Hai vectơ tơ u 2;2;4 và v 1;1;2 cùng phương vì u  2v hay do
LOVEBOOK.VN | 16

x1
x2



y1
y2



2 2 4
  .
1 1 2

z1
z2

.

1 


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

Ví dụ 2. Cho hai vectơ a  1;3;7  , b  6;2;8  , chứng minh rằng hai vectơ a và b không cùng phương.
Lời giải:
Ta có hai cách chứng minh hai vectơ không cùng phương:
Cách 1: (Chứng minh bằng phản chứng)
Giả sử hai vectơ a và b cùng phương, khi đó tồn tại số thực k, k  0 sao cho a  kb

1

k  6

1  6k

3


Hay ta có 3  2k  k  ( hệ phương trình vô nghiệm do k không thể đồng thời bằng ba giá trị).
2
7  8k


7

k  8

Do đó không tồn tại k để hai vectơ a và b cùng phương, nên điều giả sử là sai.
Vậy hai vectơ a và b không cùng phương.
Cách 2: (Sử dụng chú ý)
1 3
Vì  nên hai vectơ a và b không cùng phương.
7 2
Nhận xét: Trong giải bài tập, cách 2 cho phương pháp thử nhanh hơn, nhưng không phải trường hợp nào
0 1
cũng có thể áp dụng cách 2. Ví dụ: cho u  0; 1;0 , v  0;2;0 , khi đó ta không thể ghi vì 
nên hai
0 2
1
vectơ u và v không cùng phương được, và hiển nhiên ta thấy hai vectơ này cùng phương do u   v .
2
Hai vectơ cùng hướng, ngược hướng:
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng

Nếu k  0, u và v cùng hướng

Nếu k  0, u và v ngược hướng

Hệ quả:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k khác 0 sao cho AB  kAC.
 Đây là một hệ quả quan trọng , từ hệ quả ta có thể suy ra cách chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng
hàng hay chứng minh ba điểm A, B, C lập thành một tam giác, ta chỉ cần chứng minh không tồn tại số thực
k để AB  kAC .
5. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút



 



Định lí. Cho hai điểm A x A ;y A ;z A ,B xB ;y B ;zB , ta có:

AB   xB  x A ; y B  y A ;zB  z A 
Nhận xét:
- Ta nhớ rằng phải ‘lấy tọa độ điểm sau trừ tọa độ điểm trước’.
LOVEBOOK.VN | 17


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz
- Bản chất của công thức này suy ra từ quy tắc ba điểm của phép hiệu hai vectơ
Với ba điểm O, A, B ta có AB  OB  OA.

A  x A ;y A ;z A   OA   x A ;y A ;z A  , B  xB ;y B ;zB   OB   xB ;y B ;zB  ,



từ đó thay vào công thức AB  OB  OA ta được AB  xB  x A ; y B  y A ;zB  zA
Khoảng cách giữa hai điểm



 





Cho A x1 ; y1 ;z1 ,B x2 ; y2 ;z2 , khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

 x2  x1    y2  y1   z2  z1 
2

AB  AB 

2

2

Tọa độ của các điểm đặc biệt
 x  kxB y A  ky B z A  kzB 
- Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k: k  1 : M  A

;
;
,
 1k
1k
1  k 






 x  x B y A  y B z A  zB
;
;
- Trung điểm I của AB có tọa độ là: I  A
 2
2
2




 


 ,


 

- Cho tam giác ABC với tọa độ ba điểm: A x A ;y A ;zA ,B xB ;y B ;zB , C xC ;y C ;zC



 x  xB  xC y A  y B  y C z A  zB  zC
;
;
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: G  A

3
3
3




 

 

 


 .


- Cho tứ diện ABCD với tọa độ bốn đỉnh A x A ; y A ;zA ,B xB ; y B ;zB , C xC ;y C ;zC , D xD ;y D ;zD



 x  x B  x C  x D y A  y B  y C  y D z A  z B  zC  z D 
;
;
Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ là: G  A


4
4
4



 

 





Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 1;1; 2 , B 3;1;6 , C 1;1; 1 , G là trọng tâm tam giác, M là trung điểm

2
BC. Tính các vectơ sau: AB, AG, AM, từ đó thấy rằng AG  AM.
3
Lời giải:

 1  3  1 1  1  1 2  6  1 
;

;
Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có G 
  G 1;1;1
3
3
 3




 3  1 1  1 6  1 

5
;
;
M là trung điểm của BC nên M 
  M  2;1; 
2
2 
2
 2



 

AG   1  1;1  1;1  2   2;0;3

AB  3  1;1  1;6  2  4;0;8


5  
9
AM   2  1;1  1;  2    3;0;  .
2  
2

Ta có

2
2
9
AM   3;0;   2;0;3  AG (đpcm).
3
3
2







 



Ví dụ 2. Cho hai điểm A 1; 2;0 ,B 2;2; 3 , tính khoảng cách giữa hai điểm A, B
Lời giải:
Áp dụng công thức trên ta có khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

LOVEBOOK.VN | 18




Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

2  1  2  2   3  0
2

AB 

2

2

 26

 



 



Ví dụ 3. Chứng minh rằng tam giác có ba đỉnh A 1; 2;4 , B 3;0; 1 , C 6;0;6 là một tam giác cân.
Lời giải:

Ta có AB 

3  1  0  2   1  4
2

2

2

6  1  0  2  6  4
2

AC 

2

2

 33

Do AB=AC nên tam giác ABC cân tại A.



 33

 

 



Ví dụ 4. Cho ba điểm A 1;2;3 , B 5;1;0 , C 1;1;0 ,
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C lập thành một tam giác.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
d) Tính chu vi tam giác ABC.
Lời giải:
a) Để chứng minh ba điểm A, B, C lập thành một tam giác, ta cần chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng
hàng hay hai vectơ AB, AC không cùng phương.
Ta có AB   4; 1; 3 , AC   2; 1; 3

4 1

nên hai vectơ AB, AC không cùng phương, do đó ba điểm A, B, C lập thành một tam giác.
2 1
 1 51 21 1 3 0  0 
5 4 
;
;
b) G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có G 
  G  ; ;1 
3
3 
 3
3 3 
Vì

c) Để ABCD là hình bình hành thì AB  DC



Ta gọi tọa độ điểm D là D x;y;z









AB  4; 1; 3 , DC  1  x;1  y; z



1  x  4 x  5


Vì AB  DC nên 1  y  1  y  2
z  3
z  3







Vậy D 5;2;3 .

d) Ta có:

AB  42   1   3  26
2

BC  BC 

2

AC 

 1  5  1  1  0  0
2

2

2

 2   1   3
2

2

2

 14

6

Vậy chu vi của tam giác ABC là CABC  AB  AC  BC  26  14  6.

6. Tích vô hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa
Tích vô hướng của hai vectơ u và v được xác định như sau:

 

u.v  u . v .cos u, v với u, v  0.
Trong đó: u , v là độ lớn của hai vectơ u và v
LOVEBOOK.VN | 19


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

 u, v  là góc tạo bởi hai vectơ u , v 0   u, v   180
b) Biểu thức tọa độ



 



Cho u x1 ; y1 ;z1 , v x2 ; y 2 ;z2 .
Tích vô hướng u.v  x1 x2  y1 y2  z1z2 .









 

Ví dụ. u  1;2;3 ,v  2;1;1  u.v  1 2  2.1  3.1  3.



2



Độ lớn của vectơ u x1 ;y1 ;z1 là u  u  x12  y12  z12 .
2

 

Ví dụ. Vectơ u(1;2; 2) có độ lớn là u  u  12  22  2

2

3.

c) Góc giữa hai vectơ



 



Cho u x1 ; y1 ;z1 , v x2 ; y 2 ;z2 . Ta có:

 

u.v

cos u, v 

u v

x1 x2  y1 y 2  z1z2



x12  y12  z12 . x22  y 22  z22



với u, v  0. 1

 x1 y 2  x 2 y 1    x 1 y 3  x 3 y 1    x 2 y 3  x 3 y 2 
2

 

sin u, v 

2

2

x12  y12  z12 . x22  y 22  z22

Chú ý:

với u, v  0.



- Ta có thể nhớ nhanh công thức 1 là ‘’cos bằng tích vô hướng chia tích độ dài’’.
- Công thức thứ 2 rất ‘’ít gặp’’ trong các dạng bài tập và được suy ra từ công thức 1.

 

Đặc biệt: u  v  u.v  0  cos u, v  0  x1 x2  y1 y 2  z1z2  0
Ví dụ 1. Cho ba vectơ a  1;5;3 , b  1; 2;2 , c  0;1;0 . Tính:

 

 
d) 2a  3  b.c  .b  c .b
2

a) a.b .c
2

b) a . b.c
2

2

2

c) a .b  b .c  c .a
Lời giải :

 

a.b  1.1  5. 2  3.2  3

a) Ta có:

 





Do đó a.b .c  3.c  0; 3;0 .
2

a  12  52  3  35.

b) Ta có:

 

b.c  1.0  2 .1  2.0  2
2

 

Do đó a . b.c  35.  2  70.
2

2





a  12  52  3  35  a .b  35b  35; 70;70 ,

c) Ta có:

2

2

 

b  12  2  2  9  b .c  9c  0;9;0 ,
2

2

2





c  02  12  0  1  c .a  a  1;5;3 .
2

2

2

Do đó a .b  b .c  c .a  35  0  1;1  70  9  5;70  0  3  36; 56;73.
LOVEBOOK.VN | 20


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz
d) Ta có:



2a  2;10;6



 

b.c  2  3 b.c .b  3.( 2).b  6b   6;12; 12
2

2





c  1  c .b  b  1; 2;2 .

 

2

Do đó 2a  3 b.c .b  c .b  2  6  1;10  12  2;6  12  2  9; 4;20 .
Ví dụ 2. Cho ba vectơ a  1;5;3 , b   9; 9;9 , c  5;1;0
Tìm vectơ u biết rằng vectơ u thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau u.a  42 , u.b  54 , u.c  18
Định hướng: Khi gặp những dạng bài tìm vectơ hay tìm điểm, trước hết ta phải gọi điểm và vectơ đó theo
ẩn, sau đó sử dụng những dữ kiện đề bài để lập các phương trình, hệ phương trình giải ra ẩn. Những dạng
bài này sẽ giúp chúng ta ghi nhớ công thức và biết cách ứng dụng công thức vào bài tập.
Lời giải:
Gọi tọa độ của vectơ u   x;y;z 

u.a  42
 x  5y  3z  42
x  2




u.b  54  9x  9y  9z  54   y  8

5x  y  18
z  0


u.c  18

Theo giả thiết ta có

Vậy tọa độ vectơ cần tìm là u  2;8;0
Ví dụ 3. Tìm vectơ u biết rằng vectơ u vuông góc với hai vectơ a  1; 2;1 , b  0; 1;5 và thỏa mãn

u.c  9 với c  2; 2;1 .
Lời giải:
Gọi tọa độ của vectơ u   x;y;z  .
Ta có u  a  x  2y  z  0 , u  b  y  5z  0

u.c  9  2x  2y  z  9 , do đó ta có hệ:
 x  2y  z  0
x  9


  y  5z  0   y  5
2x  2y  z  9 z  1


Vậy tọa độ vectơ cần tìm là u   9;5;1 .
Ví dụ 4. Tính góc tạo bởi hai vectơ u và v biết rằng:
a) u 1; 3; 4  và v 0; 2;1

 

a) Ta có cos u, v 

u.v
u v



b) u 1; 0; 0 và v  1;3;5

 

Lời giải:

1.0  3. 2  4.1



 

2

12  32  42 . 02  2  12

Vậy góc tạo hai vectơ u và v là  với cos  

2
130

2
130

.

LOVEBOOK.VN | 21


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

 

b) Ta có cos u, v 

u.v
u v

 

1. 1  0.3  0.5



 1

2

12  02  02 .

Vậy góc tạo hai vectơ u và v là  với cos  



 32  52

1
35

1
35

.

7. Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ: u  x1 ; y1 ;z1  , v  x2 ; y2 ;z2 
Tích có hướng của hai vectơ u và v là một vectơ n có tọa độ được xác định như sau:
 y1
n
y
 2

z1 z1
;
z2 z2

x1

;

x1

x2 x2

y1 
   y1z2  y2z1 ; z1 x2  z2 x1 ; x1 y2  x2 y1 
y 2 

Kí hiệu: n  u, v 
Ví dụ. Cho hai vectơ u và v . Tính tích có hướng n  u, v  với
a) u  1; 3; 5 , v  0; 2; 1

b) u   1; 2; 4 , v  7; 1; 2

c) u  7; 4;3 , v   2; 0; 6

d) u   3;3;1 , v  1;1; 1
Lời giải:

Tích có hướng của hai vectơ u và v là

3
a) n  u, v   
 2

5 5
;
1 1

2
b) n  u , v   
 1

 4 4
;
2 2

 4
c) n  u, v   
0

3 3
;
6 6

3
d) n  u, v   
1

1 1
;
 1 1

3
  13; 1; 2
2 

1 1

;
0 0

2
  0; 26; 13
1 

 1 1
;
7 7

7 7
4 
;
   24; 48; 8
 2 2
0
3 
   4; 2; 6  .
1

 3 3
;
1 1

Nhận xét: Với ba vectơ đơn vị i, j, k, ta có:

i, j  k,
 

 j,k   i ,
 

k,i   j.
 

Do

0
i  1;0;0 , j  0;1;0 , i, j  
1



0 0
;
0 0



1 1
;
0 0

Chứng minh tương tự ta được hai đẳng thức còn lại.





















j  0;1;0 , k  0;0;1   j, k   1;0;0  i ,
 
k  0;0;1 , i  1;0;0  k,i   0;1;0  j.
 
Tính chất của tích có hướng

a) Cho u, v  0. Gọi n  u, v  , ta có: n  u, n  v.

 

b) n  u, v   u v sin u , v

c) Nếu hai vectơ u, v cùng phương thì : u,v   0
 

LOVEBOOK.VN | 22

0
  0;0;1  k ,
1


Your dreams – Our mission

Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz
Nếu ba vectơ u, v, w đồng phẳng thì: u,v  w  0
 

Do đó để chứng minh u, v, w không đồng phẳng, ta cần chứng minh: u, v  w  0.
 
8. Ứng dụng của tích có hướng
a) Tính diện tích hình bình hành, hình tam giác
Ta vẽ các vectơ OA  u , OB  v , khi đó ta được n  u, v  là một
vectơ vuông góc với hai vectơ u và v như hình vẽ.
Ta gọi S là diện tích hình bình hành có hai cạnh là OA, OB.
Áp dụng tính chất thứ 2 của tích có hướng

B

 

O

n  u, v   u v sin u , v  OA.OB.sin AOB  S
Do đó độ dài của vectơ u , v  bằng số đo diện tích hình bình



hành có hai cạnh OA, OB.

A

Từ đó ta có hình bình hành ABCD, công thức tính diện tích hình bình hành là:

SABCD   AB,AC


Diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành ABCD, do đó
1
SABC   AB,AC 

2
b) Tính thể tích hình hộp, hình tứ diện
ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp với đáy ABCD có diện
tích S, chiều cao h  AH
Ta biểu diễn tích có hướng  AB, AD là một vectơ


vuông góc với mặt đáy ABCD.

 là góc hợp bởi hai vectơ AA ' và  AB, AD như



H

A’

B’

hình vẽ.
Thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là

C

D

VABCD.A'B'C'D'  S.h   AB, AD .AH


  AB,AD . AA' . cos    AB,AD AA'





C’

D’

A

B

Vậy thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

VABCD.A 'B'C'D'   AB,AD AA'


Do thể tích tứ diện bằng

1
thể tích hình hộp nên thể tích tứ diện ABCD là:
6

1
AB,AC .AD

6
c) Tổng hợp các ứng dụng của tích có hướng
Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta cần chứng minh:
VABCD 

 AB, AC  0


Để chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện, ta chỉ cần chứng minh:

 AB, AC AD  0


LOVEBOOK.VN | 23