- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Oxyz vi tri tuong doi ly thuyet trac nghiem dap an va bai giai chi tiet
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.72 MB, 18 trang )
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp () : A1 x B1 y C1 z D1 0 và ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0
()//()
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
( ) ( )
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
( ) cắt ( )
A1 B1
B
C
A C
hoặc 1 1 hoặc 1 1
A2 B2
B2 C2
A2 C2
Đặc biệt: ( ) ( ) A1 B1 A2 B2 A3 B3 0
2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
x x0 a1t
Cho 2 đường thẳng: d : y y0 a2t qua M, có VTCP ad
z z a t
0
3
x x0 a1t
d ': y y0 a2 t qua N, có VTCP ad '
z z a t
0
3
Cách 1:
ad , ad '
ad , ad ' 0
ad , MN
a d , a d ' .MN
ad , MN 0
d d'
ad , ad ' 0
ad , MN 0 a d , a d ' .MN 0 a d , a d ' .MN 0
d // d '
d caét d '
d cheùo d '
Cách 2:
x0 a1t x0 a1t
Xé hệ phương trình: y0 a2t y0 a2 t (*)
z a t z at
0
3
0 3
Hệ có nghiệm duy nhất d và d ' cắt nhau
Hệ vô nghiệm d và d ' song song hoặc chéo nhau
Hệ vô số nghiệm d và d ' trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d ' .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Chú ý:
d
d
d
d
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ad kad
song song d
M d
ad kad
trùng d
M d
ad khoâng cuøng phöông ad
cắt d
a, a .MN 0
chéo d ad , ad .MN 0
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
x x0 a1t
Cho đường thẳng: d : y y0 a2 t và mp ( ) : Ax By Cz D 0
z z a t
0
3
x x0 a1t
y y a t
0
2
Xé hệ phương trình:
z
z
a
0
3t
Ax By Cz D 0
(*) có nghiệm duy nhất d cắt ()
(1)
(2)
(3)
(*)
(4)
(*) có vô nghiệm d // ( )
(*) vô số nghiệm d ( )
4. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu
2
2
S : x – a y – b z – c
2
R 2 tâm I a; b; c bán kính R và mặt phẳng
P : Ax By Cz D 0 .
Nếu d I , P R thì mp P và mặt cầu S không có điểm chung.
Nếu d I , P R thì mặt phẳng P và mặt cầu S tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện
của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
Nếu d I , P R thì mặt phẳng P và mặt cầu S cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có
2
2
2
2
x a y b z c R
phương trình :
Ax By Cz D 0
Trong đó bán kính đường tròn r R 2 d ( I , ( P )) 2 và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm
I mặt cầu S lên mặt phẳng P .
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng .
Để xét vị trí tương đối giữa và (S ) ta tính d I , rồi so sánh với bán kính R .
d I , R : không cắt (S )
d I , R : tiếp xúc với (S ) .
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng .
AB 2
d I , R : cắt (S ) tại hai điểm phân biệt A, B và R d
4
2
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng ( ) : x y 2 z 1 0 ; ( ) : x y z 2 0 ;
( ) : x y 5 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. ( ) / /( ) .
Câu 2.
B. ( ) ( ) .
C. ( ) ( ) .
D. ( ) ( ) .
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng 1 :
x 2 t
2 : y 3 2t có một vec tơ pháp tuyến là
z 1 t
A. . n (5; 6; 7)
B. . n (5; 6; 7)
C. n ( 2; 6;7) .
Câu 3.
Trong
không
gian
Oxyz ,
cho
hai
mặt
x 2 y 1 z
;
2
3
4
D. n ( 5; 6;7) .
phẳng
( P ) : 5 x my z 5 0
C. m 5; n 3 .
D. m 5; n 3 .
và
(Q ) : nx 3 y 2 z 7 0 . Tìm m, n để P / / Q .
3
A. m ; n 10 .
2
Câu 4.
Trong
không
3
B. m ; n 10 .
2
gian
Oxyz ,
cho
hai
mặt
phẳng
( P ) : 2 x my 4 z 6 m 0
và
(Q ) : ( m 3) x y (5m 1) z 7 0 . Tìm m để ( P ) (Q ) .
6
A. m .
5
Câu 5.
Trong
không
B. m 1.
gian
Oxyz ,
C. m 1 .
cho
hai
mặt
phẳng
D. m 4 .
( P ) : 2 x my 2 mz 9 0
và
(Q ) : 6 x y z 10 0 . Tìm m để ( P ) (Q ) .
A. m 4 .
Câu 6.
B. m 4 .
D. m 2 .
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : y 9 0 . Xét các mệnh đề sau:
(I) P / / Oxz
(II) P Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
A. Cả (I) và (II) đều sai.
C. (I) sai, (II) đúng.
Câu 7.
C. m 2 .
B. (I) đúng, (II) sai.
D. Cả (I) và (II) đều đúng.
Trong không gian Oxyz , cho điểm I (2;6; 3) và các mặt phẳng: ( ) : x 2 0 ; ( ) : y 6 0 ;
( ) : z 3 0 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A. .
B. //(Oyz ) .
C. ( )//Oz .
D. qua I .
Câu 8.
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3 x 5 y z 2 0 và đường thẳng d :
x 12 y 9 z 1
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
4
3
1
A. d P .
B. d // P .
C. d cắt P .
D. d ( P ) .
Câu 9.
Trong không gian
Oxyz , cho mặt phẳng
P : 3 x 3 y 2 z 5 0 và
x 1 2t
d : y 3 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
z 3t
A. d / / P .
B. d P .
C. d cắt P .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
đường thẳng
D. d ( P ) .
3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 1 t
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 4 0 và đường thẳng d : y 1 2t .
z 2 3t
Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P là
A. Vô số.
B. 1.
C. Không có.
D. 2.
Câu 11. Trong không gian Oxyz , tọa độ giao điểm M của đường thẳng d :
x 12 y 9 z 1
và mặt
4
3
1
phẳng P : 3 x 5 y – z – 2 0 là
A. 0; 2;3 .
B. 0;0; 2 .
C. 0;0; 2 .
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P :
D. . 0; 2; 3 .
2 x my 3 z m 2 0 và đường thẳng
x 2 4t
d : y 1 t . Với giá trị nào của m thì d cắt P
z 1 3t
1
1
A. m .
B. m 1 .
C. m .
2
2
Câu 13. Trong
không
gian
Oxyz ,
cho
đường
D. m 1 .
x 2t
d : y 3 t
z 1 t
thẳng
( P) : m2 x 2my (6 3m) z 5 0 . Tìm m để d / /( P )
m 1
m 1
m 1
A.
.
B.
.
C.
.
m 6
m6
m6
Câu 14. Trong
không
gian
Oxyz ,
cho
hai
đường
thẳng
và
mặt
phẳng
D. m .
d:
x 1 y 7 z 3
2
1
4
và
x 6 y 1 z 2
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
3
2
1
A. song song.
B. trùng nhau.
C. cắt nhau.
D. chéo nhau.
d:
x 1 2t
x 2t
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d: y 2 2t và d ' : y 5 3t . Trong các
z t
z 4t
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
x 2 y z 1
x7 y2 z
và d ' :
.
4
6 8
6
9
12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A. song song.
B. trùng nhau.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d :
x 1 12t
x 7 8t
Câu 17. Hai đường thẳng d : y 2 6t và d : y 6 4t có vị trí tương đối là.
z 3 3t
z 5 2t
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 1 t
x 1 y 2 z 4
Câu 18. Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d :
và d ' : y t có vị trí
2
1
3
z 2 3t
tương đối là
A. trùng nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. cắt nhau.
x 1 t
x 1 y 2 z 4
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :
và d ' : y t cắt
2
1
3
z 2 3t
nhau. Tọa độ giao điểm I của d và d ' là
A. I (1; 2; 4) .
B. I (1; 2; 4) .
C. I ( 1; 0; 2) .
D. I (6;9;1) .
Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x 2 y 2 z 2 4 x 6 y 6 z 17 0 ; và mặt phẳng
( P ) : x 2 y 2 z 1 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Mặt cầu S có tâm I 2; 3; 3 bán kính R 5 .
B. Mặt phẳng P không cắt mặt cầu S .
C. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn.
D. Khoảng cách từ tâm của S đến P bằng 1 .
Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
: 2 x 2 y z 3 0 . Mặt cầu S
A. R 1 .
S
có tâm I 2;1; 1 tiếp xúc với mặt phẳng
có bán kính R bằng
B. R 2 .
C. R
2
.
3
D. R
2
.
9
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 2 y z 3 0 và điểm I (1; 0; 2) . Phương
trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P là
2
2
B. x 1 y 2 z 2 1 .
2
2
D. x 1 y 2 z 2 3 .
A. x 1 y 2 z 2 1 .
C. x 1 y 2 z 2 3 .
2
2
2
2
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 5 0 . Phương trình mặt
phẳng P tiếp xúc với S tại điểm M (1;1;1) là
A. 2 x y 3 z 4 0 .
C. 2 x 2 y z 7 0 .
B. x 2 y 2 z 1 0 .
D. x y 3 z 3 0 .
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 7 0 , mặt phẳng
P : 4 x 3 y m 0 . Giá trị của m
m 11
A.
.
m 19
để mặt phẳng P cắt mặt cầu S .
B. 19 m 11.
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
m 4
D.
.
m 12
C. 12 m 4 .
P : 2 x 3 y z 11 0 .
Mặt cầu
S có
tâm
I (1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm H , khi đó H có tọa độ là
A. H ( 3; 1; 2) .
B. H ( 1; 5;0) .
C. H (1;5;0) .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
D. H (3;1; 2) .
5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2
P : 2 x y 2 z 1. Giá trị của
A.
17
1
a .
2
2
B.
a
2
2
S : x a y 2 z 3 9 và
để P cắt mặt cầu S theo đường tròn C
Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
17
1
a .
2
2
C. 8 a 1 .
mặt phẳng
D. 8 a 1 .
x y 1 z 2
và và mặt cầu
2
1
1
x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 1 0 . Số điểm chung của và S là
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :
A. 0.
B. 0.
C. 2.
Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :
S :
D. 3.
x 2 y z 3
và và mặt cầu (S):
1
1
1
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 67 0 . Số điểm chung của và S là
A. 3.
Câu 29.
B. 0.
C. 1
D. 2.
Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là
2
2
2
A. x 1 y 2 z 3 9 .
C.
2
2
x 1 y 2 z 3
2
2
2
2
2
2
2
B. x 1 y 2 z 3 10 .
D. x 1 y 2 z 3 10 .
10 .
Câu 30. Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I 1; 2;3 và đường
x 1 y 2 z 3
. Phương trình mặt cầu tâm I , tiếp xúc với d là
2
1
1
thẳng d có phương trình
2
2
2
A. x 1 y 2 z 3 50 .
C.
2
2
x 1 y 2 z 3
Câu 31. Trong
không
gian
Oxyz ,
Q : 2 x my 2 z 3 0
P / / Q
A. 6 .
2
2
2
2
2
2
D. x 1 y 2 z 3 50 .
5 2.
cho
2
B. x 1 y 2 z 3 5 2 .
mặt
phẳng
ba
mặt
và R : x 2 y nz 0 . Tính tổng
B. 1.
Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P : x y z 1 0 ,
m 2n , biết rằng P R và
phẳng
C. 0.
P :
D. 6.
x 2 y 3 z 4 0 và đường thẳng d :
x m y 2m z
. Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt
1
3
2
phẳng P thuộc mặt phẳng Oyz .
A. m
4
.
5
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m
12
.
17
x 1 t
x 1 y 2 z 4
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :
và d ': y t cắt
2
1
3
z 2 3t
nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
A. 6 x 9 y z 8 0 .
B. 6 x 9 y z 8 0 .
C. 2 x y 3z 8 0 .
D. 6 x 9 y z 8 0 .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
6|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 34. Trong
không
gian
Oxyz ,
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
cho
hai
đường
thẳng
d:
x 7 y 5 z 9
3
1
4
và
x y 4 z 18
. Phương trình mặt phẳng chứa d và d ' là
3
1
4
A. 63x 109 y 20 z 76 0 .
B. 63x 109 y 20 z 76 0 .
d ':
C. 63x 109 y 20 z 76 0 .
Câu 35. Trong
không
gian
D. 63x 109 y 20 z 76 0 .
Oxyz ,
P : 2x 2 y z 7 0 .
cho
mặt
phẳng
Biết mp Q cắt mặt cầu
Q song song với mặt phẳng
S : x 2 ( y 2)2 z 12 25 theo một
đường tròn có bán kính r 3 . Khi đó mặt phẳng Q có phương trình là
A. x y 2 z 7 0 .
B. 2 x 2 y z 17 0 .
C. 2 x 2 y z 7 0 .
D. 2 x 2 y z 17 0 .
Câu 36. Trong không gian
Oxyz , mặt phẳng
P
Ox
chứa trục
và cắt
mặt cầu
( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có
phương trình là
A. y 2 z 0 .
B. y 2 z 0 .
C. y 3z 0 .
D. y 3 z 0 .
Câu 37. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I 2; 3; 1 sao cho mặt cầu cắt đường
x 11 2t
thẳng thẳng d có phương trình: d : y t
tại hai điểm A , B sao cho AB 16 là
z 25 2t
2
2
2
2
A. x 2 y 3 z 1 280 .
C.
2
2
x 2 y 3 z 1
2
2
2
B. x 2 y 3 z 1 289 .
17 .
D.
2
2
x 2 y 3 z 1
2
289 .
x5 y7 z
và điểm M (4;1;6) . Đường thẳng
2
2
1
d cắt mặt cầu S có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 . Phương trình của mặt cầu S là
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
A.
C.
2
2
2
x 4 y 1 z 6 9.
2
2
2
x 4 y 1 z 6 18.
Câu 39. Trong
không
gian
Oxyz ,
2
2
2
2
2
2
B. x 4 y 1 z 6 18. .
D. x 4 y 1 z 6 16.
cho
cho
mặt
cầu
(S)
có
phương
trình:
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 0 và mặt phẳng ( P ) có phương trình 2 x 2 y z 7 0 .
Phương trình mặt phẳng (Q ) song song với ( P ) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có
chu vi bằng 6 .
A. 2 x 2 y z 17 0 . B. 2 x 2 y z 7 0 . C. 2 x 2 y z 7 0 . D. 2 x 2 y z 19 0 .
Câu 40. Trong
không
gian Oxyz ,
cho
đường
thẳng
x 2t
: y 1 mt và
z 2t
mặt
cầu.
( S ) : ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 1 . Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S ) là
15
5
15
5
A. m
hoặc m
B. m
hoặc m
2
2
2
2
5
15
C. m .
D. m .
2
2
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
7|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 1 và đường thẳng
x 2t
: y 1 mt . Giá trị của m để đường thẳng tiếp xúc mặt cầu ( S ) là
z 2t
15
5
hoặc m
2
2
5
15
C. m .
2
2
A. m
B. m
15
5
hoặc m .
2
2
D. m .
Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( x 1)2 ( y 3)2 ( z 2)2 1 và đường thẳng
x 2t
: y 1 mt . Giá trị của m để đường thẳng cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt là
z 2t
A. m .
C. m
15
5
hoặc m
2
2
5
15
D.
m .
2
2
.
B. m
15
5
hoặc m
2
2
Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có điểm A trùng với gốc của
hệ trục tọa độ, B ( a;0; 0) , D (0; a; 0) , A(0; 0; b) ( a 0, b 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh
CC . Giá trị của tỉ số
A.
1
.
3
Câu 44. Trong
không
a
để hai mặt phẳng ( ABD) và MBD vuông góc với nhau là
b
1
B. .
C. 1 .
D. 1.
2
gian
Oxyz ,
cho
mặt
phẳng
( P) : x 2 y 2 z 4 0
và
mặt
cầu
( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 1 0. Tọa độ của điểm M trên S sao cho d M , P đạt
GTNN là
5 7 7
B. ; ; .
3 3 3
A. 1;1;3 .
Câu 45. Trong
không
gian
Oxyz ,
cho
1 1 1
C. ; ; .
3 3 3
mặt
phẳng
D. 1; 2;1 .
2x 2 y z 9 0
và
mặt
cầu
( S ) : ( x 3)2 ( y 2)2 ( z 1)2 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ nhất là
11 14 13
A. M ; ; .
3 3 3
29 26 7
C. M ; ; .
3
3 3
29 26 7
B. M ; ; .
3
3
3
11 14 13
D. M ; ; .
3
3 3
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1;0;0 và đường thẳng d :
x 1 y 1 z 2
. Phương
1
2
1
trình mặt cầu S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là
20
.
3
16
2
C. x 1 y 2 z 2 .
4
A.
x 1
2
y2 z2
20
.
3
5
2
D. x 1 y 2 z 2 .
3
2
B. x 1 y 2 z 2
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
8|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x2
Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho d : y t và mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0.
z 1 t
Tọa độ điểm M trên S sao cho d M , d đạt GTLN là
A. 1; 2; 1 .
B. (2; 2; 1) .
C. (0; 2; 1) .
D.
3; 2;1 .
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;3; 3 thuộc mặt phẳng : 2 x – 2 y z 15 0 và
mặt cầu S : (x 2)2 (y 3)2 (z 5)2 100 . Đường thẳng qua A, nằm trên mặt phẳng
cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là
x 3 y 3 z 3
.
1
4
6
x 3 5t
C. y 3
.
z 3 8t
A.
B.
x 3 y 3 z 3
.
16
11
10
D.
x 3 y 3 z 3
.
1
1
3
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;3; 3 thuộc mặt phẳng : 2 x – 2 y z 15 0 và
mặt cầu S : ( x 2)2 ( y 3) 2 ( z 5)2 100 . Đường thẳng qua A , nằm trên mặt phẳng
cắt ( S ) tại A , B . Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là
x 3 y 3 z 3
.
16
11
10
x 3 5t
C. y 3
.
z 3 8t
A.
Câu 50. Trong
không
gian
Oxyz ,
cho
hai
B.
x 3 y 3 z 3
.
1
4
6
D.
x 3 y 3 z 3
.
16
11
10
điể m
A 3;0; 2 ,
B 3;0; 2
và
mặt
cầu
x 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 25 . Phương trı̀nh mă ̣t phẳ ng đi qua hai điể m A , B và cắt mặt cầu
S theo một đường tròn bán kính nhỏ nhấ t là
A. x 4 y 5 z 17 0 .
B. 3x 2 y z 7 0 .
C. x 4 y 5 z 13 0 .
D. 3x 2 y z – 11 0 .
C - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1
A
2
B
3
A
4
C
5
A
6
D
7
A
8
C
9
A
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B D D C A A C A A D
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
9|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
Chọn A.
Câu 2.
Chọn B.
1 có một VTCP là u1 2; 3;4 . 2 có một VTCP là u1 1; 2; 1 .
Do P song song với 1 , 2 nên P có một VTPT là n u1 , u2 5;6; 7
Câu 3.
Chọn A.
( ) : x y 2 z 1 0 có VTPT a 1;1;2
( ) : x y z 2 0 có VTPT b 1;1; 1
( ) : x y 5 0 có VTPT c 1; 1;0
Ta có a; c 2; 2; 2 0 và không song song nhau
Ta có a.b 0 ; a.c 0 ; b.c 0
( P ) : 5 x my z 5 0 có VTPT a 5; m;1
(Q ) : nx 3 y 2 z 7 0 có VTPT b n; 3; 2
2m 3 0
3
m
P // Q a; b 0 n 10 0 2
15 mn 0 n 10
Câu 4.
Chọn C.
P Q
Câu 5.
Chọn A.
Câu 6.
Chọn D.
2
m
4
6 m
1
m 3, m 1
m3
1
5m 1
7
5
( P ) : 2 x my 2 mz 9 0 có VTPT a 2; m; 2m
(Q ) : 6 x y z 10 0 có VTPT b 6; 1; 1
P Q a.b 0 2.6 m. 1 2m. 1 0 m 4
Oxz có VTPT a 0;1;0 ;
P / / Oxz đúng
Oy có VTCP a 0;1;0 cũng là VTPT của P
P Oy đúng
Câu 7.
Chọn A.
( ) : x 2 0 có VTPT a 1;0;0
( ) : y 6 0 có VTPT b 0;1;0
( ) : z 3 0 có VTPT c 0;0;1
A đúng vì ta có a.b 0 .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
10 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
B sai vì / /(Oyz ) sai vì b 0;1;0
C sai vì trục Oz có VTCP u 0;0;1 và u.c 1 0
D sai vì thay tọa độ điểm I vào ta thấy không thỏa mãn nên I .
Câu 8.
Chọn C.
a 3;5; 1
x 12 y 9 z 1
d:
có VTCP b 4;3;1
4
3
1
a.b 0 d không song song với P và d P
a; b 0 d không vuông góc P
P : 3x 5 y z 2 0 có VTPT
Câu 9.
Chọn A.
có VTPT a 3; 3; 2
a.b 0
x 1 2t
d : y 3 4t có VTCP b 2; 4;3 . Ta có A 1;3;0 d d // P
z 3t
A P
P : 3x 3 y 2 z 5 0
Câu 10. Chọn A.
P : x y z 4 0
có VTPT a 1;1;1
x 1 t
d : y 1 2t có VTCP b 1; 2; 3 . Ta có
z 2 3t
a.b 0
A 1;1; 2 d d P
A P
Câu 11. Chọn B.
x 4t 12
x 0
y 3t 9
y 0
Giải hệ
M 0; 0; 2 .
z t 1
z 2
3 x 5 y z 2
t 3
Câu 12. Chọn D.
P : 2 x my 3z m 2 0
có VTPT a 2; m; 3
x 2 4t
d : y 1 t có VTCP b 4; 1;3 . d cắt P a.b 0 2.4 m 3 .3 0 m 1
z 1 3t
Câu 13. Chọn C.
Ta có d đi qua M (2; 3;1) và có VTCP u ( 1;1;1) và ( P ) có VTPT n( m 2 ; 2m; 6 3m)
Để d song song với ( P ) thì
2
(1).m2 2m 6 3m 0
m 1
u n
u.n 0
m 5m 6 0
2
2
2m 3m 6 0
m 6
2m 2.(3)m 6 3m 0
M ( P)
M ( P)
Câu 14. Chọn C.
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
11 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
d có VTCP u (2;1; 4) và đi qua M (1; 7;3)
d ' có VTCP u ' (3; 2;1) và đi qua M '(6; 1; 2)
Từ đó ta có MM ' (5; 8; 5) và [u, u '] (9;10;7) 0
Lại có [u , u '].MM ' 0 suy ra d cắt d '
Câu 15. Chọn C.
d có VTCP u (2; 2;1) và đi qua M (1; 2; 0)
d ' có VTCP u ' ( 2;3;1) và đi qua M '(0; 5; 4)
Từ đó ta có MM ' (1; 7; 4) và [u, u '] ( 2;1;6) 0
Lại có [u, u '].MM ' 19 0 . Suy ra d chéo nhau với d ' .
Câu 16. Chọn A.
d có VTCP u (4; 6; 8) và đi qua M (2; 0; 1)
d ' có VTCP u ' ( 6;9;12) và đi qua M '(7; 2;0)
Từ đó ta có MM ' (5; 2;1) và [u , u '] 0
Lại có [u , MM '] 0 . Suy ra d song song với d ' .
Câu 17. Chọn A.
d có VTCP u (12; 6;3) và đi qua M ( 1; 2;3)
d ' có VTCP u ' (8; 4; 2) và đi qua M (7; 6;5)
Từ đó ta có MM ' (8; 4; 2) . Suy ra [u , MM ']=0 và [u , u '] 0 . Suy ra d trùng với d ' .
Câu 18. Chọn D.
d có VTCP u ( 2;1;3) và đi qua M (1; 2; 4)
d ' có VTCP u ' (1; 1;3) và đi qua M '( 1; 0; 2)
Từ đó ta có MM ' ( 2; 2; 6)
[u , u '] (6;9;1) 0 và [u , u '].MM ' 0 . Suy ra d cắt d ' .
Câu 19. Chọn A.
1 t 1 t 2 2 3t 4
2
1
3
2 t t 2 6 3t
2
1
3
t2
Từ đó suy ra giao điểm I của d và d ' là I (1; 2; 4)
Câu 20. Chọn B.
2
2
2
S : x 2 y 3 z 3 5 có tâm I 2; 3; 3
2 2. 3 2. 3 1
d I ; P
1 R 5
2
2
2
1 2 2
P cắt S theo giao tuyến là một đường tròn
và bán kính R 5
Câu 21. Chọn B.
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
12 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
P
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
tiếp xúc S R d I ; P
2.2 2.1 1. 1 3
2
22 2 1
2
2
Câu 22. Chọn A.
P
tiếp xúc S R d I ; P
2.1 2.0 2 3
2
22 2 1
2
2
2
1 S : x 1 y 2 z 2 1
Câu 23. Chọn A.
P tiếp xúc với S tại điểm M (1;1;1) P qua M (1;1;1) và có VTPT IM với
I 1; 2; 2 là tâm của mặt cầu S . Ta có IM 2; 1;3 P : 2 x y 3 z 4 0
Câu 24. Chọn B.
( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 2 z 7 0 có tâm I 1;0;1 và bán kính R 3
P
cắt mặt cầu d I , P R
4.1 3.0 m
42 32
3 m 4 15 19 m 11
Câu 25. Chọn D.
S có tâm I (1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng P tại điểm H H là hình chiếu của I lên
x 1 2t
P . Đường thẳng đi qua I 1; 2;1 và vuông góc với P là d : y 2 3t t R
z 1 t
H 1 2t;3t 2;1 t d . H P 2 1 2t 3 3t 2 1 t 11 0 t 1 H 3;1; 2
Câu 26. Chọn C.
2
2
2
S : x a y 2 z 3 9 có tâm I a; 2;3 và có bán kính
P cắt mặt cầu S theo đường tròn C d I ; P R
2.a 2 2.3 1
22 12 22
R3
3 2a 7 9 8 a 1
Câu 27. Chọn A.
Đường thẳng đi qua M 0;1;2 và có VTCP u 2;1; 1
Mặt cầu S có tâm I 1;0; 2 và bán kính R=2
u
498
, MI
Ta có MI 1; 1; 4 và u , MI 5; 7; 3 d I ,
6
u
Vì d I , R nên không cắt mặt cầu S .
Câu 28. Chọn D.
Đường thẳng đi qua M 2;0;3 và có VTCP u 1;1; 1
Mặt cầu S có tâm I 1;2; 3 và bán kính R=9
u
366
, MI
Ta có MI 3; 2; 6 và u , MI 4; 9; 5 d I ,
3
u
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
13 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vì d I , R nên cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt.
Câu 29. Chọn D.
Gọi M là hình chiếu của I 1; 2;3 lên Oy, ta có: M 0; 2; 0 .
IM 1;0; 3 R d I , Oy IM 10 là bán kính mặt cầu cần tìm
2
2
2
Phương trình mặt cầu là x 1 y 2 z 3 10.
Câu 30. Chọn A.
u
, AM
5 2
Đường thẳng d đi qua I 1; 2; 3 và có VTCP u 2;1; 1 d A, d
u
2
2
2
Phương trình mặt cầu là : x 1 y 2 z 3 50.
Câu 31. Chọn C.
P : x y z 1 0 có VTPT a 1;1;1
Q : 2 x my 2 z 3 0 có VTPT b 2; m; 2
R : x 2 y nz 0 có VTPT c 1;2; n
P R a.c 0 n 1; P / / Q
2 m 2
m2
1 1 1
Vậy m 2n 2 2 1 0
Câu 32. Chọn C.
3
d P A Oyz A 0; a 2; a
2
3
a 2m
a 2 2m a
a 2
2
Ad 0 m
3
3
2
2 a 2 2m 3m m 1
Câu 33. Chọn B.
d có VTCP u ( 2;1;3) và đi qua M (1; 2; 4)
d ' có VTCP u ' (1; 1;3) và đi qua M '(1;0; 2)
Mặt phẳng ( P ) chứa d và d ' đi qua giao điểm của d và d ' ; có VTPT n [u, u ']
Khi đó ta có ( P ) đi qua M (1; 2; 4) và có VTPT n [u , u '] (6;9;1)
Phương trình mặt phẳng ( P ) cần tìm là 6( x 1) 9( y 2) ( z 4) 0 6 x 9 y z 8 0
Câu 34. Chọn C.
d có VTCP u (3; 1; 4) và đi qua M ( 7;5;9)
d ' có VTCP u ' (3; 1; 4) và đi qua M '(0; 4; 18)
Từ đó ta có MM ' (7; 9; 27) , u cùng phương với u ' và [u; MM '] 0
Suy ra d song song d ' . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d ' .
P đi qua M (7;5;9) và có VTPT n u; MM ' 63;109; 20
Vậy phương trình mặt phẳng P là
63( x 7) 109(y 5) 20(z 9) 0 63x 109 y 20 z 76 0
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
14 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 35. Chọn D.
S có tâm I 0; 2;1 và bán kính R 5
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I lên Q
Q cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính r 3 IM R 2 r 2
Q // P : 2 x 2 y z 7 0 Q : 2 x 2 y z m 0 m 7
2.0 2. 2 1.1 m
m 7
d I , Q
IM 4 m 5 12
2
m 17
22 2 12
Vậy Q : 2 x 2 y z 17 0
52 32 4
Câu 36. Chọn A.
( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 có tâm I 1; 2; 1 và bán kính R 3
P
cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r 3 R I P
Chọn điểm M 1;0;0 Ox IM 0; 2;1
n i; IM 0; 1; 2 , với i 1; 0; 0 .
P qua O 0;0;0 và có VTPT n 0; 1; 2 P : y 2 z 0
Câu 37. Chọn D.
Đường thẳng d đi qua M 11; 0; 25 và có VTCP u 2;1; 2
Gọi H là hình chiếu của I trên (d).
2
u, MI
AB
2
Có: IH d I , AB
15 R IH
17 .
2
u
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu: x 2 y 3 z 1 289.
Câu 38. Chọn C.
d đi qua N ( 5; 7; 0) và có VTCP u (2; 2;1) ; MN ( 9;6; 6) .
Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đến đường thẳng d MH = d ( M , d ) 3 .
2
AB
Bán kính mặt cầu S : R MH
18 .
2
2
2
2
2
2
PT mặt cầu S : x 4 y 1 z 6 18.
Câu 39. Chọn A.
( S ) có tâm I (1; 2;3) , bán kính R 5 .
Do (Q ) / /( P ) (Q ) : 2 x 2 y z D 0 ( D 7)
Đường tròn có chu vi 2 .r 6 r 3 d ( I , (Q )) d R 2 r 2 52 32 4
2.1 2(2) 3 D
22 22 (1)2
D 7
4 5 D 12
D 17
Vậy (Q ) có phương trình 2 x 2 y z 17 0
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
15 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 40. Chọn A.
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ( S ) ta có
(2 t 1) 2 (1 mt 3) 2 (2 t 2)2 1
(1 t ) 2 (4 m t) 2 (2 t 2)2 1 m 2 5 t 2 2(5 4m)t 20 0
(1)
15
m 2
Để không cắt mặt cầu ( S ) thì (1) vô nghiệm, hay (1) có ' 0
.
m 5
2
Câu 41. Chọn B.
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ( S ) ta có
(2 t 1) 2 (1 mt 3) 2 (2 t 2)2 1
(1 t ) 2 (4 m t) 2 (2 t 2)2 1 m 2 5 t 2 2(5 4m)t 20 0
(1)
15
m
a 0
2 .
Để tiếp xúc mặt cầu ( S ) thì (1) có nghiệm kép, hay (1) có
0
5
m
2
Câu 42. Chọn D.
Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ( S ) ta có
(2 t 1) 2 (1 mt 3) 2 (2 t 2)2 1
(1 t ) 2 (4 m t) 2 (2 t 2)2 1 m 2 5 t 2 2(5 4m)t 20 0
(1)
Để cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có
' 0
5
15
m .
2
2
Câu 43. Chọn D.
b
Ta có AB DC C a; a; 0 C ' a; a; b M a; a;
2
A ' B A ' D A ' X BD
với X là trung điểm BD
AB AD BC CD a
MB MD
MX BD
A ' BD ; MBD
A ' X ; MX
a a
a a
a a b
X ; ;0 là trung điểm BD ; A ' X ; ; b ; MX ; ;
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
a
a a b
A ' BD MBD A ' X MX A ' X .MX 0 0 1
2
b
2 2
Câu 44. Chọn C.
Ta có: d ( I , ( P )) 3 R 2 ( P ) ( S ) .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
16 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x 1 t
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với P có pt: y 1 2t , t .
z 1 2t
5 7 7
1 1 1
Tọa độ giao điểm của d và S là A ; ; , B ; ;
3 3 3
3 3 3
Ta có: d ( A, ( P )) 5 d ( B, ( P )) 1. d ( A, ( P )) d ( M , ( P )) d ( B, ( P )).
Vậy d ( M , ( P))min 1 M B.
Câu 45. Chọn A.
Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; 2;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) : d ( I ; ( P )) 6 R nên ( P ) cắt ( S ) .
Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P ) lớn nhất M (d ) đi qua I và vuông góc với ( P )
x 3 2t
Phương trình (d ) : y 2 2t .
z 1 t
Ta có : M (d ) M (3 2t; 2 2t;1 t )
10
29 26 7
t 3 M 1 3 ; 3 ; 3
Mà : M (S )
10
11 14 13
t M 2 ; ;
3
3 3 3
11 14 13
Thử lại ta thấy : d ( M 1 , ( P )) d ( M 2 , ( P )) nên M ; ; thỏa yêu cầu bài toán
3 3 3
Câu 46. Chọn A.
Đường thẳng đi qua
Ta có MI 0; 1;2 và
M 1;1; 2 và có VTCP u 1; 2;1
u , MI 5; 2; 1
u, MI
Gọi H là hình chiếu của I trên d . Có: IH d I , AB
5.
u
Xét tam giác IAB, có IH R.
3
2 IH 2 15
R
2
3
3
2
Vậy phương trình mặt cầu là x 1 y 2 z 2
20
.
3
Câu 47. Chọn C.
Ta có: d ( I , d ) 1 R suy ra (S) tiếp xúc với d và tiếp điểm là H (2; 2; 1)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d H(2; 2; -1).
x 1 t
Đường thẳng IH có pt: y 2 , t .
z 1
Tọa độ giao điểm của IH và (S) là A(0; 2; 1), B H (2; 2; 1).
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
17 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Ta có: d ( A, ( d )) AH 2 d ( B, ( P )) BH 0. d ( A, ( d )) 2 d ( M ,( d )) d ( B, ( d )) 0.
Vậy M (0; 2; 1) .
Câu 48. Chọn A.
Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10 . Do d ( I , ( )) R nên luôn cắt S tại A ,
B.
2
Khi đó AB R 2 d (I, ) . Do đó, AB lớn nhất thì d I , nhỏ nhất nên qua H , với
x 2 2t
H là hı̀nh chiế u vuông gó c củ a I lên . Phương trı̀nh BH : y 3 2t
z 5 t
H ( ) 2 2 2t 2 3 – 2t 5 t 15 0 t 2 H 2; 7; 3 .
x 3 y 3 z 3
Do vâ ̣y AH (1; 4; 6) là vé c tơ chı̉ phương củ a . Phương trı̀nh củ a
1
4
6
Câu 49. Chọn A.
Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 , bán kính R 10 . Do d (I, ( )) R nên luôn cắt S tại A ,
B.
2
Khi đó AB R 2 d (I, ) . Do đó, AB nhỏ nhất thì d I , lớn nhất nên là đườ ng
thẳ ng nằ m trong (α), qua A và vuông gó c vớ i AI . Do đó có vé ctơ chı̉ phương
u AI , n (16;11; 10)
x 3 y 3 z 3
Vậy, phương trı̀nh củ a :
.
16
11
10
Câu 50. Chọn D.
Mặt cầu S có tâm I 0; 2;1 , bán kính R 5 . Do IA 17 R nên AB luôn cắt S . Do
đó ( ) luôn cắt S theo đường tròn C có bán kính r R 2 d I ,
2
. Đề bán kính
r nhỏ nhất d I , P lớn nhất.
Mă ̣t phẳ ng đi qua hai điể m A , B và vuông gó c vớ i mp ABC .
Ta có AB (1; 1; 1) , AC ( 2; 3; 2) suy ra ABC có
n AB, AC (1; 4; 5)
(α) có véctơ phá p tuyế n n n, AB (9 6; 3) 3(3; 2;1)
vé ctơ
phá p
tuyế n
Phương trı̀nh : 3 x – 2 2 y –1 1 z – 3 0 3x 2 y z –11 0 .
Chuyên đề 8.5 – Vị trí tương đối
Cần file Word vui lòng liên hệ:
18 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
