skkn vận dụng hằng đẳng thức vào giải phương trình vô tỉ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu.
Trong chương trình Toán bậc THPT, chuyên đề về phương trình là một trong
những chuyên đề xuyên suốt 3 năm học của học sinh. Đây là một nội dung quan
trọng bắt buộc học sinh bậc THPT phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương
trình một cách thành thạo.
Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại
không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại
phương trình này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với
những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề
quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua.
Khi làm việc với học sinh đặc biệt là các em lớp 10 bản thân tôi thấy kĩ năng
biến đổi đặc biệt là sử dụng hằng đẳng thức trong việc giải phương trình vô tỉ các
em gặp rất nhiều sự khó khăn. Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển
năng lực tư duy, kĩ năng biến đổi giải phương trình vô tỉ. Tôi quyết định chọn đề
tài“ Vận dụng hằng đẳng thức vào việc giải phương trình vô tỉ ” trong khuôn khổ
chương trình bậc THPT.
2. Tên sáng kiến:
“ Vận dụng hằng đẳng thức vào việc giải phương trình vô tỉ ”
3. Tác giả, đồng tác giả sáng kiến:
- Họ và tên:
- Địa chỉ tác giả sáng kiến:
- Số điện thoại:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
- Nguyễn Quang Huy
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Ôn thi học sinh giỏi môn toán lớp 10, 11, 12
- Tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp và học sinh
1

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Ngày 12/1/2016
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung của sáng kiến:
Trong những năm học qua tôi nhận thấy khi học sinh bắt gặp bài toán giải
phương trình vô tỷ thì thường tập trung vào phương pháp lũy thừa hai vế của
phương trình để mất dấu căn tuy nhiên đối với phương trình phức tạp sẽ gặp rất
nhiều khó khăn. Kĩ năng biến đổi của học sinh đặc biệt là các em học sinh lớp 10
rất yếu.
Tài liệu về các phương pháp giải phương trình vô tỉ thì rất nhiều tuy nhiên
các chuyên đề về sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đặc biệt là hằng đẳng
thức trong việc giải toán thì rất ít.
7.2 Các ví dụ minh họa
A = B
2
2
Dạng 1: A = B ⇔ 
;
 A = −B

A3 = B3 ⇔ A = B

Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
x 2 − 1 = 2x x 2 − 2x

(1)

Phân tích:
Số hạng 2x x 2 − 2x gợi cho ta đến số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên
do đó để xuất hiện hằng đẳng thức ta phải làm xuất hiện a 2 và b 2

Lời giải:
x ≤ 0
2
Điều kiện xác định: x − 2x ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 2
Phương trình (1) tương đương với:
x 2 − 2x − 2x x 2 − 2x + x 2 − 2x 2 + 2x + x 2 − 1 = 0

2


⇔

(

x 2 − 2x − x


⇔


)

2

= ( x − 1)

2



1
x ≥

2
x − 2x = 2x − 1  
⇔  2
⇔ x =1± 2
3x − 2x + 1 = 0
2


x − 2x = 1
 2
 x − 2x − 1 = 0
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 1 ± 2
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
2 x + 3 = 9x 2 − x − 4

(2)

Phân tích:
Số hạng 2 x + 3 gợi cho ta đến số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên do
đó để xuất hiện hằng đẳng thức ta phải làm xuất hiện a 2 và b 2
Lời giải:
Điều kiện xác định : x ≥ −3
Phương trình (2) tương đương với:
x + 3 + 2 x + 3 + 1 = 9x 2

⇔

(


⇔


)

2

x + 3 + 1 = (3x) 2
 3x − 1 ≥ 0
 2
x = 1
9x
−
7x
−
2
=
0
x + 3 = 3x − 1


⇔
⇔
 x = −5 − 97
x + 3 = −3x − 1  −3x − 1 ≥ 0


18

 9x 2 + 5x − 2 = 0

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x =

−5 − 97
18

Ví dụ 3. Giải phương trình sau:
3


x 2 − 3x + 1 = 2x − 1
Phân tích:
Để xuất hiện số hạng 2ab trong hằng đẳng thức số hạng

(3)
2x − 1 thiếu số 2.

Vì vậy để có số hạng 2ab trong hằng đẳng thức ta nhân cả hai vế của phương trình
với số 4.
Lời giải:
Điều kiện xác định : x ≥

1
2

Phương trình (3) tương đương với:

4 2x − 1 = 4x 2 − 12x + 4
⇔ 4 ( 2x − 1) + 4 2x − 1 + 1 = ( 2x − 1)

(

)

2

⇔ 2 2x − 1 + 1 = ( 2x − 1)

2

2

 2 2x − 1 = 2x − 2
⇔
⇔ x =2+ 2
 2 2x − 1 = −2x
Vậy phương trình có nghiệm : x = 2 + 2
Ví dụ 4. Giải phương trình sau:

( 4x − 1)

x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1

(4)

Phân tích:
Số hạng ( 4x − 1) x 2 + 1 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên vì

vậy để xuất hiện hằng đẳng thức ta phải thử nhân vào 2 vế của phương trình với 2,
4,8,..
Lời giải:
Phương trình (4) tương đương với :
8 ( 4x − 1) x 2 + 1 = 16x 2 + 16x + 8

4


⇔ ( 4x − 1) − 8 ( 4x − 1) x 2 + 1 + 16 ( x 2 + 1) = 16x 2 − 24x + 9
2

)

(

2

⇔ 4x − 1 − 4 x 2 + 1 = ( 4x − 3)

2

 2 x 2 + 1 = 2x − 1
4
⇔
⇔x=
3
 2 x 2 + 1 = 1
Vậy phương trình có nghiệm: x =

4
3

Ví dụ 5. Giải phương trình sau:
3−x =x

(5)

3+x

Phân tích:
Với điều kiện 0 ≤ x ≤ 3 hai vế của phương trình dương ta bình phương hai
vế phương trình (5)
Lời giải:
Với điều kiện 0 ≤ x ≤ 3 phương trình tương đương với :
x3 + 3x 2 + x − 3 = 0
3

3
1 
10
10 − 1

⇔x+
=
⇔
x
=
÷
3 3 3

3


vậy phương trình có nghiệm: x =

3

10 − 1
3

Ví dụ 6. Giải phương trình sau:
2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2 ) = 2 x + 3 3 3x ( x + 2 )

2

(6)

Giải
Phân tích:
Hai số hạng 3 3 9 x 2 ( x + 2 ) và 3 3 3 x ( x + 2 ) gợi cho ta số hạng 3a 2 b và
2

3ab 2 vì vậy để có hằng đẳng thức ta cần xuất hiện a 3 và b3 .
5


Lời giải:
Phương trình tương đương với
x + 2 − 3 3 3x( x + 2) 2 + 3 3 9 x 2 ( x + 2) − 3 x = 0
⇔

(

3

x + 2 − 3 3x

)

3

= 0 ⇔ x =1

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
2
2
2
2
Dạng 2: A1 + A 2 + A 3 + ... + A n = 0 ⇔ A1 = A 2 = A 3 = ... = A n = 0

Ví dụ 7. Giải phương trình sau:
4 x + 1 = x 2 − 5x + 14

(7)

Phân tích:
Số hạng 4 x + 1 gợi cho ta đến số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên. Thử
hai trường hợp:
Trường hợp 1: a = 2 và b = x + 1
Trường hợp 2: a = 1 và b = 4x + 4

Lời giải:
Điều kiện xác định : x ≥ -1
Phương trình tương đương với:
x 2 − 5x + 14 − 4 x + 1 = 0
⇔ x 2 − 6x + 9 + x + 1 − 4 x + 1 + 4 = 0
⇔ (x − 3)2 + ( x + 1 − 2)2 = 0
(x − 3)2 = 0
x − 3 = 0
⇔
⇔
⇔x=3

2
x
+
1
−
2
=
0
(
x
+
1
−
2)
=
0




Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
Ví dụ 8. Giải phương trình sau:
x 2 + 9x + 20 = 2 3x + 10
Phân tích :

6

(8)


Số hạng 2 3x + 10 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức trên. Ta
phải làm xuất hiện a 2 và b 2 để xuất hiện hằng đẳng thức
Lời giải :
Điều kiện xác định : x ≥ −

10
3

(3x + 10 − 2 3x + 10 + 1) + x 2 + 6x + 9 = 0
⇔

(

)

2

3x + 10 − 1 + ( x + 3) = 0
2

 3x + 10 − 1 = 0
⇔
⇔ x = −3
 x + 3 = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = −3
Ví dụ 9. Giải phương trình sau:
x x 2 − x + 1 + 2 3x + 1 = x 2 + x + 3

(9)

Phân tích :
Số hạng x x 2 − x + 1 và 2 3x + 1 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng
thức trên. Muốn xuất hiện hằng đẳng thức ta cần thử nhân cả hai vế của phườn trình
với 2,4,6…
Nhẩm thấy phương trình có nghiệm x=1
Lời giải :
Điều kiện xác định: x ≥ −

1
3

Phương trình tương đương với.
2x x 2 − x + 1 + 4 3x + 1 = 2x 2 + 2x + 6
⇔

(

x2 − x + 1 − x

) (
2

+

)

2

3x + 1 − 2 = 0

 x 2 − x + 1 − x = 0
⇔
⇔ x =1
3x
+
1
−
2
=
0

7


Vậy phương trình có nghiệm : x = 1
Ví dụ 10. Giải phương trình sau:
4x 2 + 3x + 3 = 4x x + 3 + 2 2x − 1

(10)

Phân tích :
Số hạng 4x x + 3 và 4x x + 3 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng
thức trên
Phương trình có một nghiệm x=1
Lời giải :
Điều kiện xác định : x ≥

1
2

Phương trình (8) tương đương với:

( 2x −

x+3

) + (1−
2

2x − 1

)

2

=0

2x − x + 3 = 0
⇔

⇔ x =1
1
−
2x
−
1
=
0

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 11. Giải phương trình sau:
x 2 − 2 ( x + 1) 3x + 1 = 2 2x 2 + 5x + 2 − 8x − 5

Lời giải :
Phương trình tương đương với

( x +1−

) (
2

3x + 1 +

)

(11)

2

x + 2 − 2x + 1 = 0

 x + 1 − 3x + 1 = 0
⇔
⇔ x =1
 x + 2 − 2x + 1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm : x = 1
Ví dụ 12. Giải phương trình sau:
x 4 − x 2 + 3x + 5 − 2 x + 2 = 0
Phân tích:
Số hạng 2 x + 2 = 0 gợi cho ta số hạng 2ab trong hằng đẳng thức
Lời giải:
Điều kiện xác định: x ≥ −2
8

(12)


Phương trình tương đương với
( x4 − 2 x 2 + 1) + ( x2 + 2 x + 1) + x + 2 − 2 x + 2 + 1 = 0

(

⇔ ( x 2 − 1) + ( x + 1) +
2

2

(

)

)

2

x + 2 −1 = 0

 x2 − 1 = 0

⇔ x + 1 = 0
⇔ x = −1

 x + 2 −1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm: x = −1
Ví dụ 13. Giải phương trình sau:
2 x + 1 + 6 9 − x 2 + 6 ( x + 1)(9 − x 2 ) = − x 3 − 2 x 2 + 10 x + 38

(13)

Lời giải:
Điều kiện xác định −1 ≤ x ≤ 3
Phương trình tương đương với

( −x − x + 9x + 9 − 6 ( x + 1) ( 9 − x ) + 9) +
3

2

2

(

) (

)

+ x + 1 − 2 x +1 + 1 + 9 − x2 − 6 9 − x2 + 9 = 0
⇔

(

( x + 1) ( 9 − x

2

) − 3) + (
2

) (
2

x +1 −1 +

)

2

9−x −3 =0
2

 ( x + 1) ( 9 − x 2 ) − 3 = 0


⇔  x +1 −1 = 0
⇔x=0

2
 9− x −3= 0

Vậy phương trình có nghiệm x=0
Ví dụ 14. Giải phương trình sau:
x2 + x − 9 = x − 2 + x2 − 8 +

( x − 2 ) ( x2 − 8)

Lời giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 2
Đặt u = x 2 − 8 ; v = x − 2
Phương trình trở thành
9

(14)


u 2 + v 2 + 1 = u + v + uv

⇔ ( u 2 − 2uv + v 2 ) + ( u 2 − 2u + 1) + ( v 2 − 2v + 1) = 0
u = 1
2
2

2
⇔ ( u − v ) + ( u − 1) + ( v − 1) = 0 ⇔ 
v = 1
 x 2 − 8 = 1
u = 1
⇔ x=3
Với 
ta có: 
v = 1
 x − 2 = 1
Vậy phương trình có nghiệm x=3
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau :
1.

2x − 1 = x 2 − 3x + 1

3. 7x 2 + 7x =
5.

2.

4x + 9
28

( 4 − x ) ( 12 + x )

4x
=4 x
x+3

4. 2 2x − 1 = x 2 − 2x

3x − 2 = −4x 2 + 21x − 22

7. ( x + 3)

x+3 +

6. 1 + x − 2x 2 = 4x 2 − 1 − 2x − 1

= 28 − x

9. 2 ( 1 − x ) x 2 − 2x + 2 = x 2 + 1

8. x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1
10. x + 4 x + 3 + 2 3 − 2x = 11

7.3 Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
- Ôn luyện học sinh giỏi THPT
- Tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp và học sinh.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Giáo viên THPT giảng day môn toán
- Học sinh khá giỏi môn toán lớp 10, 11, 12
- Học sinh có khả năng biến đổi hằng đẳng thức, có sự đam mê giải toán
10. Đánh giá kết quả đạt được.
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả:

10


- Giúp học sinh tăng kĩ năng biến đổi vận dụng các hằng đẳng thức trong
việc giải phương trình, đặc biệt là kĩ năng “ tách, ghép, thêm, bớt ”.
- Học sinh yêu thích giải toán hơn đặc biệt là giải phương trình vô tỉ
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
- Học sinh tự tin hơn trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Học sinh đam me giải toán đặc biệt là giải phương trình vô tỉ
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu (nếu có):

Số Tên tổ chức/cá
TT
1
2

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực

nhân

áp dụng sáng kiến

............., ngày.....tháng......năm......

............., ngày.....tháng......năm......

Thủ trưởng đơn vị.

Tác giả sáng kiến

Nguyễn Quang Huy

11