PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội- Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình
hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan
tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên
cứu tại Khoa.
Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học
vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại
học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,
những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận
văn này.
Tác giả
Đào Thị Bích Thảo



MỤC LỤC
TỔNG QUAN .............................................................................................................1
Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ......................................3
1.1 Một số khái niệm cơ bản....................................................................................3
1.2. Phép biến đổi tọa độ .........................................................................................5

1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ............................................................................................5
1.2.2. Hệ tọa độ cong ...............................................................................................8
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ......................................................................................9
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide ....... Error! Bookmark not defined.
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ........................... Error! Bookmark not defined.
1.3.1. Tenxơ hạng nhất .......................................... Error! Bookmark not defined.
1.3.2. Tenxơ hạng hai ............................................ Error! Bookmark not defined.
1.3.3. Khai triển cụ thể........................................... Error! Bookmark not defined.
1.4. Đạo hàm hiệp biến .......................................... Error! Bookmark not defined.
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ................................... Error! Bookmark not defined.
1.4.2. Kí hiệu Christoffel ....................................... Error! Bookmark not defined.
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất ...... Error! Bookmark not defined.
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ........ Error! Bookmark not defined.
Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠError! Bookmark
not defined.
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động. ......... Error!
Bookmark not defined.
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị Error!
Bookmark not defined.
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng ........ Error! Bookmark not defined.
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ........... Error! Bookmark not defined.
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng ............ Error! Bookmark not defined.
2.3.3. Phƣơng trình cân bằng ................................. Error! Bookmark not defined.
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ........................ Error! Bookmark not defined.


TỔNG QUAN
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết
các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn
hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà

toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học
khác. Trong luận văn này tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các
tập véctơ hình học.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các
phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thƣờng chỉ nêu ra trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ
thức Côsi mà không nói rõ các bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi
của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phƣơng
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phƣơng trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu đƣợc các
phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng nhƣ hệ phƣơng trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
- Chƣơng 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị ở chƣơng 2.

1


- Chƣơng 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phƣơng trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phƣơng trình liên hệ
biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài

toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.
Nội dung của luận văn sẽ đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây:

2


Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Tenxơ là trƣờng hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số
hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ
cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trƣng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dƣới.
Ví dụ nhƣ

.

Theo quy ƣớc: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu
nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử
,

,

,

biểu thị 1 trong 9 phần tử
,

Hạng của tenxơ

Hạng của tenxơ xác định bằng số lƣợng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Nhƣ
vào một chỉ số nên
chỉ số

nên

là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử.

là hệ thống hạng 2 bao gồm

phụ thuộc

phụ thuộc vào 2

phần tử.

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm

phần tử.

Quy ƣớc về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số
lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số nhƣ vậy là chỉ số câm nên nó
có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ:
Hệ thống đối xứng
Xét hệ thống hạng hai

3

Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống

gọi là hệ thống đối xứng.
.

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống

là hệ thống phản đối xứng.

Ví dụ hệ thống Kronecker
nếu

là hệ thống đối xứng

nếu
Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số

Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu hệ thống

đối xứng theo 2 chỉ số

thì

Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau

khi
là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

khi

Cụ thể:

,
,

Cách thành phần còn lại của

.

Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số.

4


Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ phản biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đềcác
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
với véc tơ cơ sở
(Hình 1)
là véctơ bán kính của
O

điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.
Hình 1.

Véc tơ

đƣợc biểu diễn dƣới dạng
(1.1)

Xét điểm Q là lân cận của điểm P.

là độ dài bình phƣơng vô cùng nhỏ của

5


Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở
trực giao nên tích vô hƣớng

=0 nếu

,

là các véctơ đơn vị và
nếu

Suy ra:

a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ)
Xét một hệ thống có các thành phần

trong hệ cơ sở

Phép cộng

Nhân với một số

Nhân vô hƣớng

Nhân véctơ

Hay viết dƣới dạng:

6

.

nên

.

Tích hỗn hợp

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là

)

b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng đƣợc thực hiện tƣơng
tự nhƣ đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng đƣợc với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :
Phép cộng

Phép trừ

7


Phép nhân vô hƣớng

Tích tenxơ

Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong

là véctơ bán kính
của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ
cong.
Biểu diễn véc tơ dƣới dạng :

O

Hình 2
Hệ tọa độ cong
tơ cơ sở
Lấy điểm

với hệ véc
(Hình 2).
là lân cận của điểm

8

.


Độ dài bình phƣơng của véc tơ vô cùng nhỏ

đƣợc xác định bằng

Trong đó
Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ

và

Phép cộng, trừ

Tích vô hƣớng

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính

của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

biểu diễn dƣới

dạng:

Với các véc tơ cơ sở
Trong tọa độ cong

là không đổi.
bất kỳ, các biến

liên hệ với tọa đồ Đề các

miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị.
và
Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.

9

trong

Ta có:

Suy ra 2 ma trận

là nghịch đảo của nhau.

Ta kí hiệu :

hay

(1.3)

Các véctơ

thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó
là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ

;

là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ

;

là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ

.

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến

liên hệ theo hệ

thức sau
(1.4)
Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô
cùng nhỏ từ
kính

tới điểm

cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán

của điểm .

10


Tài liệu tham khảo
[1]. Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2]. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3]. A. W. Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed. Wiley.
[4]. D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics:
Second Edition, Westview Press.
[5]. Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics,
Cambridgr University Press.
[6]. Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company,
New York.

[7]. Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New
York.
[8]. I.N. Broustein, K.A. Semendyayev, G. Musiol,H. Muehlig (2004), Handbook
of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York.
[9]. J.H. Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum
Mechanics, Trafford Publishing.
[10]. Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger
Dordrecht Heidelberg London New York.
[11]. Ralph Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu (1988), Tensor Analysis, and
Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York.
[12]. R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York:
Dover.
[13]. R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics,
New York: Dover.
[14]. Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry
and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York.

11