Khóa luận tốt nghệp sư phạm toán: Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
TRẦN MINH TRÍ
NGUYỄN THÀNH TÍN

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN
CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA
CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán.
Trình độ đào tạo: Đại học.

ĐỒNG THÁP, NĂM 2010


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
TRẦN MINH TRÍ
NGUYỄN THÀNH TÍN

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN
CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA
CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán.
Trình độ đào tạo: Đại học.
TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Giảng viên hướng dẫn:
ThS. Nguyễn Văn Dũng

ĐỒNG THÁP, NĂM 2010
LỜI CAM ĐOAN


3

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi , các số liệu và kết quả
nghiên cứu nêu đề tài nghiên cứu là trung thực được các tác giả cho phép sử dụng
và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác .

Tác giả khóa luận

Trần Minh Trí
Nguyễn Thành Tín

LỜI CẢM ƠN


4

Nghiên cứu khoa học là một vấn cần thiết đối với sinh viên hiện nay nói chung và
với bản thân tôi nói riêng . Khi tiến hành nghiên cứu khó tránh khỏi những khó
khăn ban đầu. Nhưng với sự nhiệt hướng dẫn , sự góp y chân thành của thầy hướng
dẫn những khó khăn dần được khắc phục . Vì vậy rất mong người đọc bỏ qua và tôi
kính mong nhận được sự phê bình , những y kiến đóng góp của quy thầy, cô cùng
các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn .
Tôi xin gởi đến thầy giáo Nguyễn Văn Dũng lời cảm ơn chân thành và lòng
biết ơn sâu sắc .
Đồng thời cũng biết ơn thầy, cô trường Trung học cơ sở Phong phú B đã tạo

điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm đề tài . Ngoài ra tôi cũng cảm ơn các bạn
trong tổ và tập thể đã giúp tôi tiến hành hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này .
Bên cạnh đó tôi rất chân thành cảm ơn sự giúp đở của thầy, cô trong khoa đã
đóng góp y kiến quý báo cho đề tài được hoàn thiện hơn .

Sinh viên thực hiện

Trần Minh Trí
Nguyễn Thành Tín

MỤC LỤC


5

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
PHẦN MỞ ĐẦU ………………………………………………………………. 8
1. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………………...8
2. Mục đích khoa học ……………………………………………………………9
3. Giả thuyết khoa học …………………………………………………………….9
4.Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………………………9
5. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………………….9
6.Cấu trúc đề tài ………………………………………………………………….9
PHẦN NỘI DUNG
Chương I : Cơ Sở Lí Luận
1.1)Những vấn đề chung về tư duy : ……………………………………………...10
1.1.1) Tư duy là gì ?

……………………………………………………………10

1.1.2) Tư duy toán học : …………………………………………………………11
1.1.2.1)Tư duy thuật toán : ………………………………………………………..12
1.1.2.2)Quy trình tựa thuật toán : …………………………………………………13
2.2) Thuật toán và tư duy thuật toán : …………………………………………….14
2.1.1)Khái niệm về tư duy thuật toán : ………………………………………… 14


6

2.1.2) Các tính chất của thuật toán : …………………………………………… 14
2.1.2.1)Tính đơn trị : ……………………………………………………………14
2.1.2.2)Tính dừng : ……………………………………………………………...15
2.1.2.3) Tính đúng đắn : …………………………………………………………15
2.1.2.4) Tính phổ dụng : …………………………………………………………15
2.1.2.5) Tính hiệu quả : ……………………………………………………….....16
2.1.3) Những bài toán điễn hình về kĩ năng luyện tập tư duy thuật toán trong dạy
học : …………………………………………………………………………….. 19
Chương II : Tổ chức dạy học chủ đề “ Hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn ” theo
hướng rèn luyện tư duy thuật toán ……………………………………….……….25
2.1) Thiết kế bài giảng theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán …………………..25
2.1.1) Cơ sở khoa học rèn luyện tư duy thuật toán ……………………..………. 26
2.1.2) Yêu cầu rèn luyện tư duy thuật toán ………………………………..…….. 26
2.1.3) Tác dụng rèn luyện tư duy thuật toán ……………………………..……... 26
2.1.4) Hệ thống kiến thức cơ bản lí thuyết giải hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn
………………………………………………………………………………. …….26
2.1.4.1) Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn ………………………26
2.1.4.2) Giải hệ hai phương trình bằng phương pháp thế ………………… ……..26

2.1.4.3) Giải hệ hai phương trình bằng phương pháp cộng đại số …………….….29
2.1.4.4) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ………... …30
2.1.5) Nội dung thiết kế bài giảng :………………………………………….……. 31


7

2.2) Trình bài các bài toán điển hình dạng nâng cao có liên quan đến hệ hai phương
trình bậc nhất một ẩn theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán , bài giải và phát triển
bài toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán ………. 42
2.2.1) Trình bày các bài toán điển hình dạng nâng cao có liên quan đến hệ hai
phương trình bậc nhất một ẩn : …………………………………………….……. 45
2.2.2) Trình bày các bài toán nâng cao có liên quan đến hệ hai phương trình bậc
nhất một ẩn và phát triển bài toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán 61
Chương III : Quá trình thực nghiệm khẳng định giả thuyết khoa học ……. …….85
3.1) Kết quả thực nghiệm …………………………………………………………
3.2) Tiến trình thực nghiệm ……………………………………………………….
C) Kết luận ………………………………………………………………………..
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………. 90
1. Lí do chọn đề tài :
Trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Nhà nước luôn đạt
nhiệm vụ cao cho ngành giáo dục; phải tổ chức và phát triển của xã hội trên nền
tảng giáo dục là quốc sách hàng đầu.Giáo dục phải thực hiện một cách triệt để và
đúng mục đích mà nhà nước và xã hội quan tâm hiện nay.
Xây dựng và định hướng đổi mới Phương pháp dạy học môn Toán trong thời
đại hiện nay đã khẳng định “Phương pháp dạy học Toán trong nhà trường ở nhiều
cấp học là tính chủ động phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học,
hình thành và phát triển khả năng tự học, trau dồi các tính cách linh hoạt của tư
duy”. ( Chương trình bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên toán THCS chu kỳ III (
2004-2007) ban hành theo nghị quyết số : 14/2004/QĐ-BGD&ĐT,kí ngày 17 tháng

5 năm 2004 của bộ giáo dục và đào tạo, nhằm thực hiện nghị quyết số 40 /
2000/QH10 của Quốc hội khóa X và chỉ thị số 14 /2001/CT/TTg ngày 11 tháng 6


8

năm 2001 của Thủ tướng chính phủ về việc đổi mới chương trình giáo dục phổ
thông ).
Cho nên mỗi giáo viên THCS phải có hướng tích cực phát triển tư duy, chủ
động chiếm lĩnh tri thức, từ đó hình thành năng lực cần thiết và nhân cách trong đời
sống hàng ngày cũng như khi giải một bài toán cần phải hiểu rỏ và phân tích chính
xác làm gợi sáng thêm sự tìm tòi trong tư duy để đáp ứng nhu cầu,như thế tính cẩn
thận, tính chính xác,… là nền tảng khi làm bài tập là một năng lực không thể thiếu
cho người học toán và giải toán, cho phù hợp với người lao động trong thời đại
công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước giai đoạn hiện nay.
Để giúp học sinh có thể phát triển tư duy thuật toán và giải hệ phương trình
toán 9 và nhằm phát hiện nhanh, giải quyết có khả năng thực hiện lời giải chính xác,
chất lượng dạy và học trong công cuộc phát triển giáo dục đào tạo của cả nước
nhóm đã chọn và thực hiện nghiên cứu đề tài : “ Rèn luyện tư duy thuật toán cho
học sinh lớp 9 thông qua chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”.
2. Mục đích nghiên cứu :
- Hệ thống một số vấn đề về tư duy thuật toán và rèn luyện tư duy thuật toán cho
học sinh Trung học cơ sở
- Hệ thống các kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và một số dạng toán
liên quan .
- Thiết kế bài giảng và những phương pháp giải bài tập liên quan đến hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh .
3. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
Nội dung của đề tài này là tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy toán theo hướng
rèn luyện tư duy thuật toán ở trường THCS.

4.Giả thuyết khoa học :


9

Nếu thiết kế bài giảng và giải toán hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo
hướng tăng cường tư duy thuật toán thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng đào tạo
môn toán lớp 9 trong nhà trường phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu :
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu .
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lí thuyết .
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn .
- Phương pháp thực nghiệm .
6. Phạm vị nghiên cứu :
Đại số 9
7. Cấu trúc đề tài :

A. Phần Mở đầu :
Phần này chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, giả
thuyết khoa học và các phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu.

B. Các kết quả nghiên cứu :
Phần này chúng tôi trình bày lại toàn bộ các kết quả nghiên cứu lý thuyết và
thực tiễn của đề tài, bao gồm:

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN


10

Trong chương này chúng tôi trình bày cơ sở lí luận cho đề tài “Rèn luyện tư duy
thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua việc dạy chủ đề hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn ”.
Chúng ta đã biết trong quá trình dạy học, việc phát triển tư duy học sinh là
một trong những nhiệm vụ quan trọng của giáo dục phổ thông. Trong đời sống và
các ngành khoa học khác, toán học đóng vai trò rất quan trọng. Ở các trường phổ
thông hiện nay, trong tất cả các môn học thì Toán là một môn học quan trọng nhất,
không thể thiếu trong bất cứ kỳ thi nào.Ý thức được tầm quan trọng của toán học,
giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Toán học đòi hỏi tính
trừu tượng cao độ, tính chính xác cao, suy luận logic chặc chẽ. Toán học còn có khả
năng dạy học cho học sinh tư duy chính xác, tư duy logic. Việc tìm kiếm lời giải
của một bài toán có tác dụng rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, tò mò, dự
đoán… qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh biết sáng tạo. Qua thực tiễn
giảng dạy cho thấy, để hình thành lời giải, cách trình bày của một bài toán thì học
sinh gặp không ít khó khăn nhất là đối với học sinh còn hạn chếvề kiến thức trong
môn toán .
“ Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua chủ đề hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn ”.
1.1)

Những vấn đề chung về tư duy :
1.1.1) Tư duy là gì ?
Tư duy là sự phản ánh trong óc ta những sự vật, hiện tượng trong

những mối quan hệ và mối quan hệ có tính qui luật của chúng. Trong quá
trình tư duy ta dùng các khái niệm. Nếu cảm giác, tri giác, biểu tượng là sự
phản ánh các sự vật và hiện tượng cụ thể riêng lẽ thì khái niệm là sự phản
ánh những đặc điểm chung, bản chất của một loại sự vật và hiện tượng giống
nhau. Như vậy tư duy đó là sự phản ánh thực tế một cách khái quát, gián
tiếp. Tư duy phản ánh thực tế một cách khái quát vì nó phản ánh những

thuộc tính của hiện thực thông qua các khái niệm mà các khái niệm lại tách


11

ra khỏi những sự vật cụ thể. Những cái chứa đựng những thuộc tính này. Tư
duy phản ánh hiện thực một cách gián tiếp vì nó thay thế những hành động
thực tế với chính các sự vật bằng hành động tinh thần với những hình ảnh
của chúng, nó cho phép giải quyết những nhiệm vụ thực tế thông qua hoạt
động tinh thần (lý luận) bằng cách dựa trên những tri thức về các thuộc tính
và các quan hệ của các sự vật được củng cố trong khái niệm .
1.1.2)Tư duy toán học :
Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học, toán học và sự vận dụng kiến thức toán học vào thực tế.
Mặt khác tư duy toán học có tính chất đặc thù riêng được qui định bởi bản chất toán
học của khoa học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện
tượng toán học của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung
của tư duy mà nó sử dụng. Tư duy toán học là quá trình phức tạp, nó gồm các dạng
cơ bản sau: khái niệm, phán đoán, tiền đề, định lý, suy luận, các quy tắc suy luận,
các phương pháp suy luận lý thuyết .
* Khái niệm: là một thao tác logic nhằm phân biệt đối tượng đang xét với những
đối tượng khác và vạch ra nội hàm của khái niệm. Một khái niệm toán học là khó
hay dễ đối với sự tiếp thu của học sinh tùy theo độ liên kết logic của khái niệm đó là
phức tạp hay đơn giản.
* Phán đoán: là một hình thức của tư duy trong đó khẳng định điều là thuộc về
hay không thuộc về một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và
nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi. Mỗi khoa học thực chất là
một hệ thống các phán đoán về các đối tượng mà mỗi khoa học đó nghiên cứu.
Nhiệm vụ của khoa học là xác định tính đúng đắn hay tính sai lầm của các luận
điểm.

* Suy luận: là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp. Đó là quá trình tư duy
xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới. Suy


12

luận là quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định gọi là quy luật, quy tắc suy
luận. Muốn suy luận đúng phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy.
Đặc điểm cơ bản của tư duy toán học:
- Phản ánh hiện thực khách quan một cách chính xác.
- Tính trừu tượng.
- Có liên quan mật thiết với các lĩnh vực khoa học.
Con đường cơ bản hình thành tư duy toán học:
- Tư duy toán học cũng là một phần của tư duy biện chứng do đó con đường cơ
bản hình thành tư duy toán học cũng chính là con đường nhận thức biện chứng đó
là: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về
thực tiễn ”.
- Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng
trong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học hay trong quá trình áp dụng
Toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân v.v... Thứ hai, tư
duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học
Toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng
của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó
sử dụng.
- Tư duy toán học biểu lộ qua hoạt động toán học do vậy tư duy toán học cũng là
tư duy khoa học tự nhiên. Tư duy khoa học tự nhiên đặc trưng bởi các kỹ năng thực
hiện việc giải quyết các giai đoạn của các vấn đề khoa học, tập hợp của các kỹ năng
này xác định phương pháp khoa học tự nhiên của nhận thức. Phương pháp này bao
gồm những yếu tố sau: Sự hiểu vấn đề, sự xác định đúng vấn đề và sự giới hạn vấn
đề khác với vấn đề khác, sự nghiên cứu tất cả các tình huống liên quan với vấn đề

đã cho, sự kế hoạch hóa việc tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, sự lựa chọn giải
thuyết có xác suất lớn hơn, sự kế hoạch hóa và tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả


13

thuyết, sự rút ra kết luận và chứng minh, sự lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết
vấn đề, sự mở rộng kết luận cho tình huống mới.
Như vậy tư duy toán học biểu lộ ở các giai đoạn “tiền lôgic”: hình thành giả
thuyết lẫn giai đoạn “lôgic” chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết, mở rộng giả
thuyết, phát hiện các ứng dụng đa dạng của giả thuyết trong các tình huống mới.
Tính chất đặc thù của tư duy toán học biểu lộ không chỉ ở cái vốn có của nó với
bản chất là tư duy khoa học mà còn ở tính đặc biệt của các hình thức riêng rẽ (các
biến dạng của sự biểu lộ tư duy). Trong quá trình mô tả các hình thức này, tư duy
toán học thường được tách ra bởi các thuật ngữ riêng: Tư duy cụ thể và tư duy trừu
tượng, tư duy hàm, tư duy trực giác, tư duy thuật toán, v.v...
1.2) Tư duy thuật toán :
Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán.
1.2.1) Thuật toán: là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác
định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước
thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước.
Các thuật toán phải thỏa mãn ba yêu cầu cơ bản:
- Tính xác định ai cũng phải hiểu theo cùng một cách mỗi giai đoạn của quá
trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất.
-

Tính số đông: phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định các bài
toán.

-

Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra
thì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn.

Trong dạy học, thuật toán dạy học là hệ thống những quy định nghiêm ngặt
được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn.


14

Chẳng hạn sử dụng thuật toán dạy học để dạy khái niệm có thể giúp cho học
sinh nắm chính xác khái niệm có nghĩa là nắm vững các thuộc tính đặc trưng của
các đối tượng được phản ánh vào các khái niệm. Các thuộc tính đặc trưng này hợp
thành một hệ thống dấu hiệu có một cấu trúc lôgic nhất định.
Khái niệm thuật toán là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là tư
duy thuật toán .
- Phương thức tư duy này biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động (T 1) - (T5) sau
đây :
(T1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự nhất định phù hợp với một thuật
toán.
(T2) Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự
xác định.
(T3) Khái quát hóa một quá trình diễn ra trong một số đối tượng riêng lẻ thành một
quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
(T4) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
(T5) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện
thuật toán tối ưu.
Mỗi khả năng trên là một thành tố của tư duy thuật toán. Thành phần đầu tiên
thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần sau thể hiện năng lực xây
dựng thuật toán. Các hoạt đông (T 1) - (T5) được gọi là hoạt động tư duy thuật toán.

Do vậy việc hình thành và phát triển tư duy thuật toán được hiểu là hình thành và
phát triển mỗi thành tố hay tổ hợp các thành tố của tư duy thuật toán.
Thuật toán, còn gọi là thuật giải , là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay
phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng


15

thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết
quả sau cùng như đã dự đoán.
Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm giải
quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ
một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Nó được sử dụng rộng rãi và sâu sắc, trong
quá trình giải một bài toán nói riêng và một loạt các bài toán nói chung, theo các
bước một cách có hệ thống chặt chẽ, hay nói khác hơn là tuân theo một qui tắc giải
toán cụ thể, cho từng loại bài toán cùng loại hay cùng kiểu.
1.2.2) Qui trình tựa thuật toán :
a) Qui trình dạy học :
Chẳng hạn, Qui trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
b) Qui trình tựa thuật toán :
Trong quá trình giải bài tập toán học, người ta thường dùng một tập hợp các
hành động dẫn đến lời giải bài toán. Việc mô hình hóa các hoạt động trong giai
đoạn đầu của quá trình học tập là một trong những con đường có thể hình thành ở
người học khả năng tiến hành các hoạt động giải toán, bởi vì theo các nhà tâm lí
học, hiệu quả của mô hình hoạt động theo kiểu trong nhiều trường hợp phụ thuộc
rất lớn và tính đầy đủ của việc hình dung được các thành phần cấu trúc và chức

năng trong mô hình hoạt động, ta gọi đó là các qui trình tựa thuật toán. Các quy
trình này có thể được xem là một động thái tích cực nhằm hình thành ở học sinh văn
hóa thuật toán.


16

2.1 ) Thuật toán và tư duy thuật toán :
2.1.1) Khái niệm trực giác về thuật toán :
Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định
một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối
tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó ta thu được kết
quả mong muốn.
2.1.2) Các tính chất của thuật toán :
2.1.2.1) Tính đơn trị :
Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị,
nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác sơ cấp trên
cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả .
Ví dụ 1 : Quy trình 4 bước của Pôlya để giải bài toán là :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng chương trình giải bài toán .
Bước 3 : Thực hiện chương trình giải bài toán
Bước 4 : Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải bài toán .
Quy trình này không phải là một thuật toán .Chằn hạn ,bước 1 , bước 2 ,
bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác
nhau .
Từ tính đơn trị ta cũng thấy tính hình thức hoá của thuật toán. Bất kể cơ
cấu nào, chỉ cần thực hiện đúng các thao tác sơ cấp một cách hình thức theo đúng
trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những
thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho các thiết

bị tự động thực hiện thuật toán, làm một số công việc thay thế cho con người.


17

2.1.2.2 ) Tính dừng :
Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các
thao tác sơ cấp đã chỉ ra thì thuật toán phải đi đến kết thúc.
Tính dừng luôn giúp ta thu được kết quả mong muốn sau khi thực hiện thuật toán.
2.1.2.3) Tính đúng đắn :
Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giúp chúng ta thực hiện
đúng vấn đề đã đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn.
2.1.2.4) Tính phổ dụng :
Thuật toán thường được xây dựng để giải không phải chỉ một bài toán
riêng lẻ mà cho cùng một lớp bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể
khác nhau.
Nhờ tính chất này người ta sáng tạo những thuật toán rồi từ đó xây dựng
những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán.
2.1.2.5) Tính hiệu quả :
Khía cạnh đầu tiên của tính hiệu quả là tính tối ưu. Trong số nhiều thuật
toán cùng giải một bài toán, hãy chọn ra một thuật toán tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu ở
đây được hiểu là:
+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.
Một khía cạnh khác của tính hiệu quả là tính hiện thực. Một bài toán dù đã
có thuật giải nhưng nếu ta không có đủ thời gian để đi đến kết quả cuối cùng thì
thuật toán đó cũng ít ý nghĩa, thiếu tính hiện thực. Vì vậy, khi xây dựng một thuật
toán cần đảm bảo thời gian thực hiện nó là chấp nhận được. Quan điểm khai thác
hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng

18

nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong
quá trình hình thành và vận dụng nội dung này. Tương thích với khái niệm thuật
toán có những hoạt động đáng chú ý sau:
- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật toán ;
- Phân tích một quá trình hình thành thao tác được thực hiện theo một trình
tự xác định ;
- Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẽ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng;
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;
- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc.
Phương thức vận động tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động trên
được gọi là tư duy thuật toán . Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tư duy thuật
toán. Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần
còn lại thể hiện năng lực xây dựng thuật toán. Các hoạt động trên được gọi là hoạt
động tư duy thuật toán . chúng ta đã hiểu : “ Trình tự là một sắp xếp lần lượt ,thứ tự
trước sau ” . “Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc
nào đó ” .
Ví dụ 3 : Quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Bước 1 : Chọn ẩn số , biểu thị những đại lượng chưa biết qua ẩn và
những đại lượng đã biết .
Bước 2 : Lập phương trình
Bước 3 : Giải phương trình
Bước 4 : Kiểm tra kết quả và trả lời .


19

Một quy trình có thể chia thành các bước . “ Một bước là một phần chia nhỏ
của một quy trình , một quá trình , một giai đoạn , mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định ” . “ Hoạt động là tiến hành những việc làm có quan hệ với
nhau chặt chẽ nhằm một mục đích nhất định , hoặc là thực hiện một chức năng nhất
định nào đó trong một chính thể ” . Một hoạt động có thể có một hay nhiều thao
thác . “ Thao thác là thực hiện những động tác nhất định để làm một việc gì đó ” .
Quy trình giải một bài toán của Pôlya được mỗi người vậm dụng theo cách
riêng của mình , theo kinh nghệim riêng của bản thân và đạt được mức độ hữu hiệu
khác nhau . Tuy rằng quy trình đó không hướng dẫn người giải một cách tỉ mỉ , chi
tiết từng thao thác cụ thể , mà chỉ những định hướng suy nghĩ, gợi ý thao thác, song
do tầm khái quát và dung nạp được nhiều kinh nghiệm quý báu , nên đã nhiều chục
năm quy trình đó vẫn tỏa ra có hiệu quả.
“ Trong phần lớn các trường hợp , kết quả hoạt động của con người thuộc
vào mức độ chuẩn xác do nhận thức được bản chất thuật toán của các hoạt động
của mình . Nhờ kinh nghiệm có được , khi giải quyết một loại công việc người ta
biết : Cần phải có hoạt động ? Mỗi hoạt động có các thao thác gì ? thứ tự thao thác
như thế nào ? Việc tìm một dãy các hoạt động , các thao thác, theo đó giải quyết
được vấn đề , có thể xem như đã xây dựng được một thuật toán nào đó, mà việc
tuân theo một cách “ Máy móc ” sẽ dẫn đến kết quả ” .
“ Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và
chính xác để người ” hay máy ” thực hiện một loạt các thao thác nhằm đạt được
mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định ” . Như vậy thuật toán là một
quy trình đặc biệt .
Trong thuật toán , các thao thác được chỉ dẫn rỏ ràng và chính xác để dù là
người hay máy thực hiện đều dân đến kết quả của bài tóan .
* Các đặc điểm của thuật toán :
a) Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định .

20

b) Mỗi bước là một thao thác sơ cấp, trường hợp đặc biệt cũng có thể là một
thuật toán đã biết .
c) Về thuật toán người ta thường nêu bật 3 tính chất đạc trưng : Tính kết thúc
( sau một số hữu hạn bước thực hiện ) , tính xác định ( các bước rõ ràng , thao
thác chính xác . Trong cùng một điều kiện , hai bộ xử lý cùng thực hiện một
thuật toán thì phải cho ra cùng một kết quả ) , tính phổ dụng ( giải quyết được
các bài toán cùng loại ) .
Phương châm phục vụ các quy trình có tính chất thuật toán để xác định
trong các bài toán ở trường Phổ thông trung học là :
- Chỉ dực vào những kiến thức có trong Sách giáo khoa .
- Các bước trong quy trình được sắp xấp hợp lý theo trình tự từ dễ thực
hiện đến khó thực hiện hơn, từ các thao thác thường gặp nhất, phổ biến
nhất đến các thao thác ít gặp hơn .
- Kết quả chưa đạt được ở bước này thì thực hiện tiếp theo cho đến hết,
đến bước nào đó có kết quả thì dừng lại .
- Ngôn ngữ diễn đạt trong quy trình là ngôn ngữ phổ thông, dễ hiểu,
chính xác.
3.1. Những bài toán điển hình về kĩ năng luyện tập tư duy thuật toán
trong dạy học :
Những bài toán được trình bày dưới đây mục đích chính là minh họa việc rèn
các hoạt động tư duy thuật toán :
Ví dụ 4 : Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta
làm theo ba bước :
Bước 1 : Lập hệ phương trình .


21

- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng .
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã
biết .
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .
Bước 2 : Giải hệ phương trình nói trên .
Bước 3 : Trả lời . Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình ,
nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận .
2 x − 3 y = 3
x − 3y + 3 = 0

Ví dụ 5 : Giải các hệ sau bằng đồ thị : 

Bước 1 : Xác định tọa độ của (d) : 2x – 3y = 3 và (d/ ) : x - 3y + 3 = 0 .
Bước 2 : vẽ đồ thị hàm số
- Chọn các giá trị thích hợp cho hai đường thăng ( d) và ( d/ )
2
3

* ( d ) : 2x- 3y =3 ⇔ y = x − 1 .
Cho x = 0 ta được y = -1 .
Cho x =3 ta được y = 1 .
* ( d/ ) : x - 3y + 3 = 0 ⇔ y =

x
+1
3

cho x = 0 ta được y =1
cho x = -3 ta được y = 0 .
Vì hệ số góc của ( d ) và ( d / ) khác nha nên chúng cắt nhau . Ta nhận

thấy chúng cắt nhau tại điểm A có tọa độ ( 6,3 )
Bước 3 : Thử lại


22

Thế x = 6 và y = 3 vào phương trình của d và d/ , ta được :
2.6 – 3.3 : (đúng)
6-3.3+3 = 0 ( đúng )
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x = 6; y = 3 )
 2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
( x + y ) + 2( x − y ) = 5

Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình : 

Phân tích , tìm lời giải : ( áp dụng phương pháp cộng đại số )
Bước 1 : xét hệ phương trình và đặt ẩn : x + y = 0 ; x – y = 0 .
- Nhân phương trình hai với – 2 ; ta được một phương trình mới tương đương :
 2( x + y ) + 3( x − y ) = 4

 −2( x + y ) − 2( x − y ) = −10

⇔ x – y = -6 ⇒ y = x – 6

Bước 2 : Tìm giá trị của x ,y
Thay : y = x - 6 ; Ta được :x + x – 6 + 2 [x – (x – 6 ) ] = 5
x + x – 6 + 12 = 5
2x = -1
x=−

khi x = −

1
2

1
1
13
thì y = − − 6 = −
2
2
2

Bước 3 : Trả lời

x=−

1
2

; y=−

13
.
2

Khi học sinh mới học về phương trình bậc hai , yêu cầu các em giải phương
trình theo các bước chặt chẽ như trên đây là rất cần thiết . Tất nhiên , việc rèn luyện

23

cho học sinh tính tổ chức , tính trật tự của các hành động đối với các thuật toán ,
hoặc theo các quy định có tính chất thuật toán phải kết hợp chặt chẽ với vịêc rèn
luyện cho học sinh tính linh hoạt và sáng tạo .
Việc giải một bài toán cũng như giải quyết bất cứ một việc gì , thường được
tiến hành theo 4 bước :
Bước 1 : Tìm hiểu đề toán
Bước 2 : Xây dựng chương trình giải ( tìm cách giải )
Bước 3 : Thực hiện chương trình giải ( trình bày lời giải )
Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu câu ,lời giải đã tìm được .
Đôi khi, mỗi bước trên đây lại là một bài toán nhỏ hơn và cũng được giải theo 4
bước như trên :
Ví dụ 7 : Một người thợ đứng trước một cái máy hỏng , phải sửa. Việc sửa cái máy
này là một bài toán phải giải . Thông thường phải qua 4 bước :
- Định hướng : Xác định nguyên nhân hỏng máy ( tìm hiểu vấn đề )
- Xây dựng kế hoạch, chương trình sửa chữa ;
- Thực hiện kế hoạch, chương trình sửa chữa ;
- Kiểm tra lại sau sửa ( xem máy có chạy bình thường không )
Ngay bước đầu tiên ( xác định chổ hỏng ) cũng là một vấn đề để giải quyết , một bài
toán phải giải , và thường cũng qua các bước như trên :
- Định hướng : xác định tính chất , đặc điểm của cái hỏng ( thí dụ đối với một máy
thu thanh hỏng : điện có vào máy hay không vào máy , máy kêu hay không kêu ,
nếu kêu thì rè , nhỏ hay có tiếng ồn ,...
- Xây dựng kế hoạch để tìm đúng chổ hỏng và nguyên nhân ;


24

- Thực hiện kế hoạch đó .

Ví dụ 8 : Tìm nghiệm mỗi hệ phương trình dưới đây bằng phương pháp hình học
x − y = 1
x + y = 3

( áp dụng phương pháp đồ thị ) : 

Bước 1 : Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng
d1 : x - y = 1 và d2: x + y = 3 .
Bước 2 : Xác định tọa độ giao điểm A của d 1 và d2 , ta thấy A có hoành độ
xA = 2 , tung độ yA = 1 . Vậy ( 2,1 ) là nghiệm của hệ phương trình đã cho .
Bước 3 : Vẽ đồ thị :
y
D2 : x + y = 3

D1 ; x – y = 1

:x
D1

=
–y

1

x

Qua các ví dụ trên đây ta thấy rằng việc giải toán theo thuật toán là một quy
trình được điều khiển chặt chẽ , không thể tùy tiện; quy trình đó có thể mọi người
thực hiện ( hoặc thực hiện bằng máy ) và với những dữ kiện cho trước , bao giờ
cũng đưa đến một kết quả . Mặt khác thuật toán được dùng không chỉ để giải một

bài toán cụ thể nào đó , mà giải một loạt các bài toán cùng loại hay cùng kiểu, do đó
có thể coi các thuật toán như là một phương pháp hoạt động chung của con người .


25

Trong quá trình phát triển , toán học luôn luôn hướng vào việc tìm các thuật
toán ngày càng tổng quát để giải các lớp bài toán ngày càng rộng theo một cách
thống nhất . Trong sự phát triển của khoa học và công nghệ hiện đại , với vai trò đặc
biệt của máy tính điện tử , vấn đề xây dựng các thuật toán để giải các bài toán trở
nên cực kỳ quan trọng . Việc giảng dạy thuật toán cho học sinh trung học phổ thông
phải làm quen với các phương pháp có tính chất thuật toán ( tức là phương pháp suy
nghĩ , phương pháp làm việc trong đó quy định rỏ các công việc cần tiến hành theo
một trình tự chặt chẽ để hoàn thành công việc ) có ý nghĩa rất lớn , về mặt kiến thức
, kĩ năng , cũng như về mặt tư duy và nhân cách ( biết suy nghĩ logic theo một trật
tự nhất định , có ý thức kĩ luật, biết tôn trọng những quy tắc đã định trước đó ,vv...
CHƯƠNG II : TỔ CHỨC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ” THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT
TOÁN .
2.1 Thiết kế bài giảng theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán:
2.1.1. Cơ sở khoa học rèn luyện tư duy thuật toán:
Trong học toán điều quan trọng là học sinh phải có tính tư duy thuật
toán, do đó giáo viên cần giúp cho học sinh nắm vững về cách thức, thủ thuật và
trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định.
Tạo cho học sinh có tính tư duy thuật toán là giúp học sinh nắm vững
cách thức thực hiện các thao tác, trình tự tiến hành thực hiện các thao tác bằng
nhiều phương pháp như phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, phương pháp
hình học.
2.1.2 . Yêu cầu khi rèn luyện tư duy thuật toán:
- Cần theo mức độ tăng dần , từ dễ đến khó, từ trường hợp đơn giản

đến phức tạp, …
- Phải đọc kĩ , hiểu thật chính xác vấn đề của bài tập đặt ra .