Lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao Toán 10 HKI

Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII

CHƯƠNGIV.
IV. BẤ
BẤTT PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH VÀ
VÀ HỆ
HỆ BẤ
BẤTT PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH MỘ
MỘTT ẨẨNN
CHƯƠNG
Vấn đề 1: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Xét dấu của nhò thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a ≠ 0)
b
* B1. Giải phương trình: ax + b = 0 ⇔ x = −
a
* B2. Lập bảng xét dấu f(x):
x

−

–∞

f(x)

Trái dấu a

b
a
0

+∞
Cùng dấu a

Vấn đề 2: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Xét dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
∆ = b2 – 4ac (Hoặc ∆’ = b’2 – ac)
* ∆ < 0: f(x) cùng dấu với a, ∀x ∈ R.
b
* ∆ = 0: f(x) cùng dấu với a, ∀x ≠ − .
2a
* ∆ > 0: Giả sử f(x) = 0 có hai nghiệm pb x1 < x2.
x
–∞
x1
f(x)
Cùng dấu a
0
Trái dấu a

x2
0

+∞
Cùng dấu a

DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
1. Xét dấu tích, thương các nhò thức bậc nhất: Dựa vào bảng xét dấu trên
2. Xét dấu tam thức bậc hai: Bấm máy tính để biết dấu của ∆ (Vô nghiệm: ∆ < 0; nghiệm kép ∆ =
0; hai nghiệm phân biệt: ∆ > 0), từ đó suy ra dấu của tam thức.
3. Giải bất phương trình chứa tích, thương các nhò thức, tam thức : Xét dấu biểu thức ở vế trái,
sau đó dựa vào bảng xét dấu để lấy nghiệm
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
1/ f ( x) = 2 x 2 − 3x + 5

2 / f ( x) = −3x 2 + x − 6

3 / f ( x) = 4 x 2 − 4 x + 1

4 / f ( x) = −9 x 2 + 6 x − 1

5 / f ( x) = 2 x 2 + 7 x − 15

6 / f ( x) = −4 x 2 + 14 x − 6

7 / f ( x) = −5 x 2 − 4 x − 7

8 / f ( x) = 9 x 2 − 12 x + 4

10 / f ( x) =

14 x − 1
2
x − 4x + 3

2 x 2 + 7 x − 15

x−4
2x + 5
16 / f ( x) = 2 −
4 − 3x
13 / f ( x) =

19 / f ( x) = ( x − 1) ( 4 − x 2 )
22 / f ( x) =

15 x 2 − 7 x − 2
4 − 3x

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

11/ f ( x) =

16 x 2 − 8 x + 1
1 − 5x

2
3
+
x − 3 1− 2x
3x 2 − 2 x + 5
17 / f ( x) =
− 3x
x−2
x2 + x − 2
20 / f ( x) =
1 − 2x

14 / f ( x) =

23 / f ( x) = x ( 3 − 2 x )

3x 2 + 2 x + 5
1 − 3x
x 2 − 12 x
12 / f ( x) =
( x − 1) ( 2 − 3x )
9 / f ( x) =

3
4
−
x + 5 1− 2x
x +1 2x + 3
18 / f ( x) =
−
x − 3 2x − 1
7x − 4
21/ f ( x) =
−2
8x + 5
2x − x2
24 / f ( x) =
x ( 1 − 3x )
15 / f ( x) =

Trang 1

Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
1/ ( 1 − 2 x ) ( 4 x 2 − 2 x + 1) > 0

2/

1− 6x + 9x
>0
x2 − 4x − 5

x −1
x
−
>0
x + 1 5x − 4
x−7
10 / 3 + 2
≥0
x + x−6
3x − 4
1
13 / 2
<
x + 3x − 4 x + 1
7/

4x −1

≥0
−2 x 2 + 4 x − 5
3 x 2 + 16 x − 12
6/
<0
( x − 3) ( 1 − 4 x )

≤0

3/

4x − 4x +1
2x2 − x
5/
>0
3 − 7 x − 6 x2

2

4/

( x − 1) ( 1 − 3x )
2

2x −1 x +1
≤
x + 2 5x + 1
x2 + 7 x − 2
11/
<3

3x − 1
x+9
14 / 3 x − 1 +
>0
1− 6x
x 2 ( x 2 − 1)
17 /
≤0
2x + 5
x 2 − 3x + 1
20 /
<1
x2 −1
x 2 − 3x + 2
23 /
<0
1− 4x
x
3
26 /
+
<0
2
1− x
x +1

1− x
4
−
>0

4x + 2x +1 x + 7
1
3
12 / 2
< 2
x − 4 3x + x − 4
( 3x − 1) x > 0
15 / 2
x + 5x − 6

8/

9/

x − 2 x −1
≤
x
9− x
2x
x+3
19 /
−
>3
x−2 5− x
( 4 x − 1) ( x + 5 ) ≤ 0
22 /
x2 − x + 2
1
3
25 / ≥

x 1 − 5x
x ( x2 − 4)
28 /
≥0
29 / x ( x 2 − 9 ) ( 4 − 5 x ) > 0
3 − 2x
2
3
−4 x 2 + 4 x − 1
31/
<
32 /
>0
x −1 1 − 5x
3x 2 − 4 x − 7
Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
2x + m −1
mx − m + 1
>0
<0
1/
2/
x +1
x −1
2
4/ m( x − m) ≤ x − 1
5/ 3 − mx < 2( x − m) − (m + 1)
16 /

7/ mx + 1 > m 2 + x

8/ x − 1( x − m + 2) > 0

2

18 / ( 1 − 4 x 2 ) ( 2 − 3 x ) < 0
21/ ( 1 − x2 ) ( 4 x2 + x ) > 0
1
2
+
≥0
2x − 3 3 − x
x +1
x −1
27 /
≤
2x −1 2x +1
24 /

30 /

1
2
3
+
≤
x +1 x − 2 x + 3

m( x − 2) x − m x + 1
+

>
6
3
2
6/ (m + 1) x + m < 3m + 4
3/

9/ mx + 6 > 2 x + 3m

10/ x 2 − mx + m + 3 > 0
11/ (1 + m) x 2 − 2mx + 2m ≤ 0
12/ mx 2 − 2 x + 4 > 0
Bài 4. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
2
a) m 2 x + 4m − 3 < x + m 2
b) m x + 1 ≥ m + (3m − 2) x
2
c) mx − m 2 > mx − 4
d) 3 − mx < 2( x − m) − (m + 1)
Bài 5. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm
ii) vô nghiệm
a) (m − 5) x 2 − 4mx + m − 2 = 0

b) (m − 2) x 2 + 2(2m − 3) x + 5m − 6 = 0

c) (3 − m) x 2 − 2(m + 3) x + m + 2 = 0

d) (1 + m) x 2 − 2mx + 2m = 0

e) (m − 2) x 2 − 4mx + 2m − 6 = 0

f) (−m 2 + 2m − 3) x 2 + 2(2 − 3m) x − 3 = 0
Bài 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) 3 x 2 + 2(m − 1) x + m + 4 > 0

b) x 2 + (m + 1) x + 2m + 7 > 0

c) 2 x 2 + (m − 2) x − m + 4 > 0

d) mx 2 + (m − 1) x + m − 1 < 0

e) (m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2) > 0

f) 3(m + 6) x 2 − 3(m + 3) x + 2m − 3 > 3

Bài 7. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) (m + 2) x 2 − 2(m − 1) x + 4 < 0
Trang 2

b) (m − 3) x 2 + (m + 2) x − 4 > 0
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII
c) (m 2 + 2m − 3) x 2 + 2(m − 1) x + 1 < 0

d) mx 2 + 2(m − 1) x + 4 ≥ 0

e) (3 − m) x 2 − 2(2m − 5) x − 2m + 5 > 0

f) mx 2 − 4(m + 1) x + m − 5 < 0

Vấn đề 3: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:
x+3
1 − 3 x

>0
<0

 2
1/  x + 5
2 /  2 x + 5x − 7
3 x 2 + x − 2 ≤ 0
x2 + x − 2 ≥ 0


 x
≥0

4 / 3 − 2x
 x 2 − 3 x − 10 < 0


3
 1
+
<0


5 /  x −1 2x + 3
( x − 1) ( 2 − 5 x ) ≤ 0


 2x − 3
 1 − x < 2
7/
x−3 > 0
 x + 1

 x2 − 2 x − 6
 3 x + 8 ≥ 1
8/ 
1 − 4 x ≤ 0
 x
 2x − 3
<2
 4 − 3 x
11/ 
 ( x − 3) ( 3 − 5 x ) ≤ 0

1 − 2x

2
x+2
 1− x < x + 5
10 / 
( x 2 − 1) ( x + 1) ≥ 0


 2 x 2 + x − 17
 −3 x 2 − 2 x + 9
 11 − 3x < 2
> x +1


3x − 1
13 / 
14 / 
1− x
 2
( 1 − 4 x 2 ) ( 3 − 2 x ) < 0
≥0
2

 x ( 4 x − 12 x + 9 )
Bài 2. Giải các hệ bất phương trình sau:

 4x − 5
15 x − 8
< x +3
8 x − 5 > 2

1/ 
2/  7
2(2 x − 3) > 5 x − 3
 3x + 8 > 2 x − 5

4
 4

x
4
2 ≤ x + 3
4/ 
 2 x − 9 < 19 + x
 3
2

11 − x
≥ 2x − 5

5/  2
2 ( 3 x + 1) ≥ x − 8

2

 x 2 − 3x + 2
≥0

3 /  1− 2x
1 − 4 x 2 ≥ 0

 x−2
≥0
 3 − 4 x
6/
 3 < 1
1 − 2 x 4 x − 3
 x − 1 3x − 4
−

≥0

9/ x
6− x
 −3 x 2 + 5 x − 2 < 0

 2x

12 /  3 x − 4
( x − 1) ( 3 − x ) > 0

 2 − 3x
−x<3

15 /  3 x + 5
2 x 2 − 3x − 4 ≥ 0

4
1
 3 − 12 x ≤ x + 2
3/ 
 4x − 3 < 2 − x
 2
3

1
15 x − 2 > 2 x + 3
6/ 
2 ( x − 4 ) < 3 x − 14


2

 3 x − 1 3( x − 2)
 2 x − 3 3x + 1
5 − 3x
−1 >
 4 −
 4 < 5
7/ 
8/  4 x − 1 8x − 1 4 − 5 x2
5
x
3 x + < 8 −
3 −
>
−

18
12
9

2
3
Bài 3. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:


5
1
6 x + 7 > 4 x + 7

15 x − 2 > 2 x + 3
1/ 
2/ 
 8 x + 3 < 2 x + 25
2( x − 4) < 3 x − 14
 2

2
Bài 4*. Xác đònh m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 3


Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức
 x + m −1 > 0
a) 
3m − 2 − x > 0

 x + 4m 2 ≤ 2mx + 1
 x −1 > 0
b) 
c) 
mx − 3 > 0
3 x + 2 > 2 x − 1
Vấn đề 4: XÉT DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax2 + bx + c = 0 (1)
a ≠ 0

Lưu ý: (Nâng cao – tham khảo) Nếu đề
* (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 
cho tìm m để (1) có hai nghiệm thỏa điều kiện:
∆ > 0
x1 < α < x2; α < x1 < x2; x1 < x2 < α. Khi đó ta
* (1) có hai n0 trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔P < 0
∆ > 0 đặt: t = x – α ⇒ x =2 t + α
0
⇔
* (1) có hai n phân biệt cùng dấu

(1) ⇔ a(t + α) + b(t + α) + c = 0
P > 0
⇔ at2 + (2a + b)t + α2 + bα + c = 0 (2)
∆ > 0

(1) có hai nghiệm: x1 < α < x2 ⇔ (2)

* (1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  P > 0
có hai nghiệm trái dấu.
S < 0

(1) có hai nghiệm: α < x1 < x2 ⇔ (2)

có hai nghiệm dương phân biệt.
∆ > 0


(1) có hai nghiệm: x1 < x2 < α ⇔ (2)
* (1) có hai n0 dương phân biệt ⇔  P > 0

có
hai nghiệm âm phân biệt.
S > 0

Bài 1. Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm trái dấu
b/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
c/ Có hai nghiệm cùng dương.
d/ Có hai nghiệm cùng âm.
2
Bài 2. Cho phương trình: (m + 5)x + (m – 3)x + 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm trái dấu
b/ Có hai nghiệm cùng dấu
c/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
d/ Có hai nghiệm cùng âm.
2
Bài 3. Cho phương trình: (m + 2)x – 2mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm trái dấu
b/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
c/ Có hai nghiệm cùng dương.
d/ Có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
2
Bài 4. Cho phương trình: 4x – 2(m + 1)x + 3m – 2 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm trái dấu
b/ Có hai nghiệm cùng dấu
c/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
d/ Có hai nghiệm cùng âm.
2
Bài 5. Cho phương trình: (2 – m)x – 4x + 1 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm trái dấu

b/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
c/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
d/ Có hai nghiệm cùng âm.
e/ Có hai nghiệm thỏa điều kiện x1 ≤ x2 < 3f/ Có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 1.
Bài 6. Cho phương trình: (1 – m)x2 – (m + 7)x + 1 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có hai nghiệm trái dấu
b/ Có hai nghiệm cùng dấu
c/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
d/ Có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
Vấn đề 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Trang 4

A ≥ 0

A < B ⇔ B > 0
 A < B2


A ≥ 0

A ≤ B ⇔ B ≥ 0
 A ≤ B2


 A ≥ 0

B < 0
A > B ⇔ 
B ≥ 0


  A > B 2

 A ≥ 0

B ≤ 0
A ≥ B ⇔ 
B ≥ 0

  A ≥ B 2

A ≥ 0
A< B⇔
A < B
3
3
A < B ⇔ A< B

A ≥ 0
A≤ B⇔
A ≤ B

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII

 A > −B

A < B ⇔ −B < A < B ⇔ 
A < B
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:
1/ x 2 − 6 x + 2 > x + 1
2/ x 2 + x − 12 < x + 1

A > B
A >B⇔
 A < −B

A < B ⇔ A2 < B 2

4/

3/ x 2 − x − 12 < 7 − x

5/ 2 1 − x 2 < x + 2

6/ 1 − 4 x < 2 x + 1

7/ x 2 − 2 x > 2 x − 3

8/ x + 1 < x − 1 + x − 2

9/

10/ x 2 − 6 x + 2 > x + 1
13/ 7 − x − −3 − 2 x < 2 − x

11/ x 2 + x − 12 < x + 1

14/ x + 1 < x − 1 + x − 2

12/ 2 1 − x 2 < x + 2

x 2 − 3 x + 10 ≥ x − 2

15/ ( x + 1) ( x + 4 ) − 3 x 2 + 5 x + 2 < 6

x −5 − 9 − x >1

16/ x2 + 2 x 2 − 3 x + 11 ≤ 3x + 4

17/ (x + 5)(x – 2) + 3 x( x + 3) > 0
18/ 3x 2 + 5 x + 7 − 3 x 2 + 5 x + 2 ≥ 1
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
2
2
2
2
1/ x − x + 3 x − 2 ≤ 0
2/ x − 8 x + 15 < x − 3
3/ x − 5 x + 4 ≥ x + 6 x + 5
3x + 4
≥3
4/
x−2

x2 − 4 x
≥1
5/ 2

x + 3x + 2

2
7/ x − 1 − 2 x < 0

2
8/ x − 4 x + x + 1 < 1

≥2
x+2
2
9/ 4 − x + 3x − 6 x < 2 x − 6

1/ x + 18 < 2 − x

2/ x ≥ 24 − 5 x

3/ 1 − 13 − 3 x 2 > 2 x

4/ 5 − x 2 > x − 2

5/ x 2 − 3 x + 2 ≥ 2 x − 4

6/ −2 − 3 x − x 2 <

6/

x2 + x − x

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

x +1

BÀI TẬP ÔN TẬP
Bài 1. Giải các bất phương trình sau:
8 x 2 − 2 x − 15
1/
≥0
1 − 5x
x − 2 x +1
4/
−
≤0
5 − x 3x − 1
2 x2 + x − 4
7/
>2
9 − 2x
5x − 4
10 /
− x ≤1
x
Bài 2. Giải các hệ bất phương trình sau:

4x
<0
−12 x 2 + x + 1
x + 3 3x + 10
5/
>
x + 4 x + 10

2x
8/ 2
−3≥ 0
x − 3x + 2
x +8
11 /
≥ 1− x
−x − 4
2/

 4 x 2 − 20 x + 25
>0

1
−
3
x
2/
 2 ≤0
 x − 1
Bài 3. Tìm m để mỗi hệ bất phương trình sau có nghiệm:
3 x − 2 > −4 x + 5
x − 2 ≤ 0
1/ 
2/ 
3 x + m + 2 < 0
m + x > 1
 3x


1/  x + 1
( 1 − 2 x ) ( x 2 + 2 x + 5 ) ≥ 0


 x + m −1 > 0
4/ 
3m − 2 − x > 0
7 x − 2 ≥ −4 x + 19
7/ 
 2 x − 3m + 2 < 0
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

 x −1 > 0
5/ 
 mx − 3 > 0
 mx − 1 > 0
8/ 
(3m − 2) x − m > 0

3 x 2 + 12 x
>0
1− 7x
3 − x 3x + 4
6/
≤
x + 9 1− x
3x 2 + x + 2
9/
> 3x
5x − 3

5x + 4
2
12 / 3
−
≤0
x −1 x −1
3/

 x2 + 1
≥0

3 / 1 − 9 x 2
−2 x 2 − 11x + 21 > 0

 x 2 + 2 x − 15 < 0
3/ 
( m + 1) x ≥ 3
 x + 4m 2 ≤ 2mx + 1
6/ 
3 x + 2 > 2 x − 1

Trang 5


Tài liệu Toán 10 – HKII
Trường THCS – THPT Hồng Đức
Bài 4. Tìm m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
( x − 3) 2 ≥ x 2 + 7 x + 1
2 x + 7 < 8 x − 1
1/ 

2/ 
 −2 x + m + 5 ≥ 0
2m − 5 x ≤ 8
Bài 5. Cho phương trình: (2m + 3)x2 + 4mx + 4 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
b/ Có hai nghiệm cùng dương.
2
Bài 6. Cho f(x) = (m – 1)x – 2(1 – m)x + 2m – 3. Tìm m để:
a/ Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương.
b/ f(x) > 0, ∀x ∈ R
c*/ Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm cùng lớn hơn 1.
Bài 7. Cho f(x) = mx2 + (3m – 1)x + 1. Tìm m để:
a/ Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm cùng âm.
b/ f(x) < 0, ∀x ∈ R
c*/ Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x1 < 2 < x2.
Bài 8. Cho f(x) = (m + 4)x2 + (m + 5)x + 2m + 7. Tìm m để:
a/ Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu.
b/ f(x) > 0, ∀x ∈ R
c/ Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1; x2 thỏa – 1 < x1 < x2.
Bài 9. Cho f(x) = (2m + 1)x2 + 2(m – 2)x + m + 4. Tìm m để:
a/ Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dương.
b/ f(x) < 0, ∀x ∈ R
c*/ Phương trình f(x) = 0 có 2 ngiệm x1; x2 thỏa x1 < x2 < 1
Bài 10. Cho f(x) = x2 – (m + 3)x + 3m + 1. Tìm m để:
a/ Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm cùng dương.
b/ Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x1 < x2 < – 1
x2 + 5x + a
<7
Bài 11. Tìm các giá trò của a sao cho với mọi x, ta luôn có: −1 ≤ 2
2 x − 3x + 2

Bài 12. Tìm các giá trò của m để hệ sau vô nghiệm:
 x + 4m2 ≤ 2mx + 1
mx + 9 < 3 x + m 2
1/ 
2/
3 x + 2 > 2 x − 1
4 x + 1 < − x + 6

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
1/ f ( x) = ( 1 − x 2 ) ( 2 x − 3)

2 / f ( x) = ( − x 2 + x − 3) ( 1 − x )

9 x 2 − 30 x + 25
1− 4x
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
2x2 + x − 5
1/
≤0
1 − 3x
8 − 2x
4/ 2
≥2
2 x + 3x − 2
3 / f ( x) =

7/

−3 x 2 − 14 x + 5

( x + 1)

2

>0

10 / ( 2 x 2 − x − 7 ) < ( x 2 − 1)
2

Trang 6

4 / f ( x) =
3x 2 − 3
+1 > 0
2− x
2 − x 3x + 8
5/
−
<0
x+4 x+3
2/

8/
2

1
2
−
x −1 x +1

11 / x − 1 < 2 x + 2

x2 + x − 6
3x − 7
3
6/ x+ < 4
x
2
1 − 3 x ) ( x − 1)
(
9/
<0
x2 − 4

3/

1
1
< 2
x − 5 x + 4 x − 7 x + 10
2

2

12 / x 2 + 5 − 3 3 x − 1 ≥ 0

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trường THCS – THPT Hồng Đức
Tài liệu Toán 10 – HKII
1 − 2x
x2 − x − 2
x4 − x2
13 / −3 <
≤4
14 / −2 ≤
≤2
15 / 2
≤0
x +1
3x − 7
x + 5x + 6
x +1
2x2 − x + 3
Bài 3. a. Cho f(x) =
. Tìm x để f(x) ≥ 3.
b. Cho f(x) =
. Tìm x để f(x) < 2.
2x −1
5x − 3
Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:
2
 x +1
 −3 x < 2 x − 5
<0

 x − 9 < 0


1/  x + 1
2/
3 /  2 − 3x
1
2
 x 2 − 2 x + 1 ≥ x − 1
( x − 1) ( 3 x + 7 x + 4 ) ≥ 0
3x 2 − 2 x − 5 > 0

 −3
2 − 5 x ≥ 3x 2
 2 x − 1 > 0

4/
5 / 1 − 2 x
 3 ≤2
 2 <0
 x
1 − 4 x
Bài 5. Cho phương trình: (4m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có 2 nghiệm phân biệt.
b/ Có hai nghiệm cùng dương.
2
Bài 6. Cho phương trình: (3 – 2m)x – 6x + 1 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có 2 nghiệm.
b/ Có hai nghiệm âm phân biệt.
2
Bài 7. Cho phương trình: (2m – 1)x – 6mx + 9 = 0. Tìm m để phương trình:
a/ Có ít nhất 1 nghiệm.

b/ Có hai nghiệm trái dấu.
c/ Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Bài 8. Cho f(x) = (m – 1)x2 – 2(2m – 3)x + 1. Tìm m để f(x) > 0, ∀x ∈ R.
Bài 9. Cho f(x) = (2m + 3)x2 + 2mx – m. Tìm m để f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Bài 10. Xét dấu các đa thức sau:
( 3x − 1) ( 2 x + 3)
2 − 3x
1/ f ( x ) =
2 / f ( x) = 2
3 / f ( x) = ( x 2 − 1) ( 1 − 3 x )
2− x
x − 6x − 7
−2 x 2 + x − 3
x −1
2x
x
2x −1
4 / f ( x) =
5 / f ( x) =
−
6 / f ( x) =
+ 2
1 − 3x x + 2
1 − x x −1
( 1 − 2 x ) ( 3x + 1)
2 x2 − 5x + 9
−2
4x −1
Bài 11. Giải các bất phương trình sau:
2 x 2 + 7 x − 15

1/
<0
1 − 3x
7 / f ( x) =

8 / f ( x) =

2/

2x2 − 2x − 6
+x
1− x

x
≥0
( x − 1) ( − x 2 + 5 x − 6 )

3/

2x − 3 x +1
−
<0
4 − x 5x − 4

1
x+6
≥
x +5 3− x
2 x 2 − 3x − 3
7/

≥x
5 x − 13
10 / 3 x − 1 − x + 2 ≤ 0

3x 2 + 2 x + 1
<3
3x − 1
1 x +1
8/ −
<0
x 5x − 3
11/ 2 x 2 − 3 x + x − 5 − 3 < 0

3x 2 + 5 x + 4
<1− x
x+4
3 x − 11
9/ 2−
>0
x −3
12 / x + 3 − x 1 − x ≥ 0

5x + 1
13 /
≤ x +1
2x − 5

14 / x − x − 3 x + 2 + 2 x > 0

x 2 − x − 15

15 / 2
<0
3x + 5 x − 2

4/

5/

2

2

6/

Bài 12. Giải các hệ bất phương trình sau:

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 7


Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức
 2 x 2 + 7 x − 15 < 0
1/ 
1 − 2 x ≥ 0
(1 − 2 x)(3x + 2) < 0
4/ 2
x − 4 ≥ 0

2 x 2 + x − 1 < 0
7/
3x − 1 ≥ 0

 −2 x 2 − x + 10 ≥ 0

2/ x
<0

1 − x

3x 2 + 2 x − 11 > 0

3 /  3x + 1
≥0

 2x +1

2 x 2 + 17 x + 21 ≥ 0
5/ 
3 x + 7 < 0

4 x 2 + x + 10 > 0
6/
2 x − 9 < 0

 x2 − 4x + 4 > 0
8/ 
4 x + 5 < 0
2

Bài 13. Cho tam thức f(x) = x + (m + 1)x – m – 2. Tìm m để f(x) < 0, ∀x ∈ R.
Bài 14. Cho tam thức f(x) = (m – 1)x2 – mx + 2m – 3. Tìm m để f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Bài 15. Cho tam thức f(x) = – mx2 + (m – 1)x – 2m – 1. Tìm m để f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R.
Bài 16. Cho tam thức f(x) = (m – 4)x2 – 2(3m – 14)x + 2m – 9. Tìm m để f(x) > 0, ∀x ∈ R.
Bài 17. Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2(5m + 2)x + 5m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm cùng dấu.
Bài 18. Cho phương trình (1 – m)x 2 + (5m + 3)x – m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt cùng dương.
Bài 19. Cho f(x) =

( m + 3) x 2 − 4 x + 1 . Tìm m để f(x) luôn có nghóa với mọi giá trò của x.

Bài 20. Cho f(x) =

( m + 1) x

1
2

− 2 ( m + 3) x + 3m

. Tìm m để f(x) có tập xác đònh là D = R.

Bài 21. Giải và biện luận các phương trình sau:
a/ m2x + 4m – 3 = x + m2
c/ (a + b)2x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2)x
Bài 22. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
2x + m x + m −1
−
=1

a/
x −1
x
2mx − 1
m +1
− 2 x −1 =
c/
x −1
x −1

b/ a2x + 2ab =b2x + a2 + b2
d/ a(ax + b) = 4ax + b2 – 5
m2 x
− m x = 2m + 1
b/
x −1
d/

x −1 + 2x − 3 = m

Bài 23. Giải và biện luận các phương trình sau:
a/ 2x2 + 12x – 15m = 0
b/ x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0
c/ x2 – mx + m – 1 = 0
d/ x2 – 2(m – 2)x + m(m – 3) = 0
Bài 24. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại.
3
a/ x2 – mx + m + 1 = 0; x0 = −
b/ 2x2 – 3m2x + m = 0; x0 = 1.
2

Bài 25. Trong các phương trình sau, tìm m để:
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả: x13 + x23 = 0; x12 + x22 = 3
a/ x2 – 2(m – 2)x + m(m – 3) = 0
b/ x2 – 2(m + 1)x + m2 – 2 = 0
Bài 26. Trong các phương trình sau, hãy:
 Giải và biện luận phương trình
 Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2, tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m
a/ x2 + (m – 1)x – m = 0
b/ x2 – 2(m – 2)x + m( m – 3) = 0
c/ (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0
d/ x2 – 2(m + 1)x + m2 – 2 = 0
2
Bài 27. Cho tam thức: f ( x) = 3x + 2(1 − 2m) x + 2 − m
a/ Tìm m để f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ R

Trang 8

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức
Tài liệu Toán 10 – HKII
b/ Tìm m để phương trình f ( x) = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
2
Bài 28. Cho tam thức: f ( x) = x − mx + m + 3
a/ Tìm m để f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
b/ Tìm m để phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm
c/ Tìm m để phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
2

Bài 29. Cho tam thức f ( x) = (3 − m) x − 2(m + 3) x + m + 2
a/ Tìm m để phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt
b/ Tìm m để f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ R

Bài 30. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a/ (m +1)2x > 2mx + m
b/ (m2 + m)x – m2 – 2m ≥ 0
c/ (m + 1)x ≤ 2m(x + 1) + 2 + x
d/ m2x – 1 > x + m
Bài 31. Giải bất phương trình
a/ 2x2 – 5x + 2 > 0
b/ (x–2)2(x–4) < 0
c/ 16x2 + 40x + 25 < 0
10
x +1
1
>0
>
d/ 25(x + 10)( – x + 1) ≤ 0
e/ 2
f/
x( x + 1)
x + x + 2 x +1
−25
2
4
5x −1
x + 1 −2 x + 1
<0
+

≤ 2
+
≤1
g/
h/
k/
(− x + 2)(−3 x − 2)
x−3 x+3 x −9
18
9
2
1
x −1
1
2
+
≤0
≤1
>
3
l/
m/ − x + 3 1
n/ 2
x−
x −1 2x −1
x − 3x + 2
2
2
Bài 32. Giải các hệ bất phương trình sau:
( 5 x + 1) ( 9 − 25 x 2 ) > 0

1
 1
3 x + 1 ≥ 2 x + 7
x+2 > x−2

a/ 
b/ 
c/  x 2 − 3 x − 2
 4 x + 3 < 2 x + 19
≥ 2 ( x + 1)
( 5 x − 19 ) 2 < ( x − 23) 2


 x −1
 2x + 3
 x +1 x + 3
( x + 2)( x + 3)( x + 5) > 0
 x − 1 ≥ 1
 x + 2 > x + 4

d/ 
e/ 
f/  ( x + 1)(3 − 2 x)( x + 2)
≥0
 ( x + 2) ( 2x − 4) ≤ 0
 2 x + 5 ≤ 3x + 2

2 − x2




3
x
+
2
2
x
+
5

x −1
2
2
1− 2x
 1
 (4 x + x )(1 − 3 x)
 x +1
<0
 x + 1 − x 2 − x + 1 ≤ x3 + 1

 2 x + 1 ≥ 0

2x −1
g/ 
h/ 
i/ 
2
 (4 − x)(3 + 2 x) ≥ 0
 3x ( 1 − x ) > 0
 x2 + 2 x ≥ x − 1

2


 2 x + 1
4
9− x
Bài 33. Giải các hệ bất phương trình sau:
( x + 2) 2 ( x − 3) > 0
a/  2
 2 x − 3x + 1 < 0

( x + 2) 2 ( x − 3) > 0
b/  2
 2 x − 3x + 1 < 0

x +1
 2x
 2 x + 1 > x + 2
d/ 
 x−2 ≥ x+3
 2 x + 1 2 x − 5

 x2 + 2x + 5
 x + 1 ≥ x − 3
e/ 
 x+2 > x−2
 3 x + 1 2 x − 1

x+4
 x + 2 > 3

g/ 
x + 9 ≥ 4
x+2


 x2 + 2x + 4
 x + 1 ≥ x + 4
h/ 
 x+2 < x+4
 2 x + 3 2 x − 1

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

( x − 1) 2 ≤ 0
c/ 
( x + 1)( x − 2) < 0
 x 2 + 3x − 1
 2 − x > −x

3
2
f/ 
 ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 6 ) ≤ 0
 ( x − 7) 3 ( x − 2) 2

i/

x 2 − 5x + 4
≤1
x2 − 4

Trang 9


Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức
Bài 34. Giải các bất phương trình sau:
1/ 1 − 3 x < x + 3

2 / x 2 − 3x + 2 ≤ x + 1

3 / 3x − 5 ≥ x − 1

4 / 4 x2 + 7 x − 2 > 1 − 2 x

5 / − x2 + x − 1 ≤ 2 x + 5

6 / x2 − x ≤ x2 −1

7 / x2 + x − 6 < x −1

8 / 2x −1 ≤ 2x − 3

9 / 2x2 −1 > 1 − x

10 / x 2 − 5 x − 14 ≥ 2 x − 1

11/

13 / x 2 − 5 x + 4 ≤ x2 + 6 x + 5

14 / 4 x 2 + 4 x − 2 x + 1 ≥ 5

16 / 6

( x − 2 ) ( x − 32 )

3x + 4
≤3
x−2

≤ x 2 − 34 x + 48

12 /
15 /

17 /

Bài 35. Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2 − 5 x − 3 < 0
b) x − 8 > x 2 + 3 x − 4
d) x 2 + 4 x + 3 > x 2 − 4 x − 5
e) x − 3 − x + 1 < 2
2
2x − 5
x − 4x
+1 > 0
≤1
g) 2
h)

x −3
x +x+2
Bài 36. Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 + x − 12 < 8 − x
b)
d)

x 2 − 3 x − 10 > x − 2

e)

2x − 3
≥1
x−3
2x − 4
x 2 − 3 x − 10

>1

− x2 + x + 6
− x2 + x + 6
≥
2x + 5
x−4
c) x 2 − 1 − 2 x < 0
f) x 2 − 3x + 2 + x 2 > 2 x
x−2
≥3
i) 2
x − 5x + 6

x 2 − x − 12 < 7 − x

c)

− x 2 − 4 x + 21 < x + 3

3x 2 + 13 x + 4 ≥ x − 2

f)

2 x + 6 x2 + 1 > x + 1

g) x + 3 − 7 − x > 2 x − 8
h) 2 − x > 7 − x − −3 − 2 x
i) 2 x + 3 + x + 2 ≤ 1
Bài 37. Giải các bất phương trình sau:
2x − 5
1
x2 − 5x + 6 x + 1
<
≥
a) 2
b) 2
x − 6x − 7 x − 3
x + 5x + 6
x
2
1
2x −1

2
1
1
−
≥
−
≤0
c) 2
d) +
x − x + 1 x + 1 x3 + 1
x x −1 x +1
Bài 38. Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 − 4 x − 5 < 4 x − 17
b) x − 1 + x + 2 < 3
c) 2 x − 3 − 3 x + 1 ≤ x + 5
2x −1
1
x2 − 5x + 4
<
≤1
d)
e) 2
f) x − 6 > x 2 − 5 x + 9
2
x − 3x − 4 2
x −4
g) x 2 − 2 x − 3 − 2 > 2 x − 1
h) 2 x + 1 < x − 2 + 3 x + 1
CHƯƠNGV.
V. THỐ

THỐNNGG KÊ
KÊ
CHƯƠNG
I. Một số khái niệm:
• Một tập con hữu hạn các đơn vò điều tra được gọi là một mẫu.
• Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu.
• Các giá trò của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu.
II. Trình bày một mẫu số liệu:
• Tần số của một giá trò là số lần xuất hiện của mỗi giá trò trong mẫu số liệu.
• Tần suất fi của giá trò xi là tỉ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N:
ni

(thường viết tần suất dưới dạng %)
N
• Bảng phân bố tần số – tần suất
• Bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp
fi =

Trang 10

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII
Giá trò
x1
x2
…

xk

Tần số
n1
n2
…
nk
N

Tần suất (%)
f1
f2
…
fk
100 (%)

Lớp
[x1; x2)
[x2; x3)
…
[xk; xk+1)

Tần số
n1
n2
…
nk
N

III. Biểu đồ:

• Biểu đồ hình cột
• Biểu đồ hình quạt
IV. Các số đặc trưng của mẫu số liệu:
1. Số trung bình:
• Với mẫu số liệu kích thước N là { x1 , x2 ,..., x N } : x =

Tần suất (%)
f1
f2
…
fk
100 (%)

• Đường gấp khúc

x1 + x2 + ... + x N

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số: x =

N
n1 x1 + n2 x2 + ... + nk x k

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số ghép lớp: x =

N
n1c1 + n2 c2 + ... + nk ck
N

(ci là giá trò đại diện của lớp thứ i)
2. Số trung vò: Giả sử ta có một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm (hoặc

không tăng). Khi đó số trung vò Me là:
– Số đứng giữa nếu N lẻ;
– Trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu N chẵn.
3. Mốt: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trò có tần số lớn nhất và được kí hiệu là MO .
Chú ý: – Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu.
– Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vò làm đại diện
cho các số liệu của mẫu.
– Nếu quan tâm đến giá trò có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện. Một mẫu số
liệu có thể có nhiều mốt.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn: Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trò của
mẫu số liệu so với số trung bình ta dùng phương sai s2 và độ lệch chuẩn s = s2 .
• Với mẫu số liệu kích thước N là { x1 , x2 ,..., x N } :
1
s =
N
2

2

1 N
1 N 
∑ ( xi − x ) = N ∑ xi2 − 2  ∑ xi ÷
N  i =1 
i =1
i =1
N

2

= x 2 − ( x )2

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất:
2


1  k
−
ni xi ÷

∑ ni ( xi − x )
∑
∑
N 2  i=1
i =1
i =1

2
k
k
 k

= ∑ fi ( xi −x )2
= ∑ fi xi2 −  ∑ fi xi ÷
i =1
i =1
 i =1

• Với mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
1
s =

N
2

k

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

2

1
=
N

k

ni xi2

Trang 11


Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức
2


1  k
∑ ni (ci − x )
∑ − 2  ∑ nici ÷
N  i =1

i =1
i =1

2
k
k
 k

= ∑ fi (ci −x )2
= ∑ fi ci2 −  ∑ fi ci ÷
i =1
i =1
 i =1

(ci, ni, fi là giá trò đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ I; N là số các số liệu thống kê N =
n1 + n2 + ... + nk )
1
s =
N
2

k

2

1
=
N

k

ni ci2

Chú ý: Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình) của các số
liệu thống kê càng lớn.
Bài 1. Trong các mẫu số liệu dưới đây:
i) Cho biết dấu hiệu và đơn vò điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
ii) Lập bảng phân bố tần số, tần suất. Nhận xét.
iii) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất.
iv) Tính số trung bình, số trung vò, mốt.
v) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét.
1) Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử (đơn vò: giờ)
1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150
1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180
1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170
2) Số con của 40 gia đình ở huyện A.
2
4
3
2
0
2
2
3
4
5
2
2
5
2

1
2
2
2
3
2
5
2
7
3
4
2
2
2
3
2
3
5
2
1
2
4
4
3
4
3
3) Điện năng tiêu thụ trong một tháng (kW/h) của 30 gia đình ở một khu phố A.
165
85
65

65
70
50
45
100
45
100
100 100 100
90
53
70
141
42
50
150
40
70
84
59
75
57
133
45
65
75
4) Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường THPT.
0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 6 6 0
1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 0 3 3 1 0
5) Nhiệt độ của 24 tỉnh, thành phố ở Việt Nam vào một ngày của tháng 7 (đơn vò: độ)
36

30
31
32
31
40
37
29
41
37
35
34
34
35
32
33
35
33
33
31
34
34
32
35
6) Tốc độ (km/h) của 30 chiếc xe môtô ghi ở một trạm kiểm soát giao thông.
40
58
60
75
45
70

60
49
60
75
52
41
70
65
60
42
80
65
58
55
65
75
40
55
68
70
52
55
60
70
7) Kết quả điểm thi môn Văn của hai lớp 10A, 10B ở một trường THPT.
Lớp 10A
Điểm thi
5 6
7
8

9 10
Cộng
Tần số
1 9 12
14 1
3
40
Lớp 10B
Điểm thi
6 7
8
9 Cộng
Tần số
8 18
10
4 40
8) Tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may.
Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng
Trang 12

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức
Tài liệu Toán 10 – HKII
Tần số
3
5
6
5

6
5
30
9) Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột.
21 17 22 18 20 17 15 13 15 20 15 12 18 17 25
17 21 15 12 18 16 23 14 18 19 13 16 19 18 17
10) Năng suất lúa (đơn vò: tạ/ha) của 120 thửa ruộng ở một cánh đồng.
Năng suất 30 32 34 36 38 40 42 44
Tần số
10 20 30 15 10 10
5
20
Bài 2. Trong các mẫu số liệu dưới đây:
i) Cho biết dấu hiệu và đơn vò điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?
ii) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. Nhận xét.
iii) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất.
iv) Tính số trung bình, số trung vò, mốt.
v) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét.
1) Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vò: g).
90
73
88
99
100 102 101
96
79
93
81
94
96

93
95
82
90
106 103 116
109 108 112
87
74
91
84
97
85
92
Với các lớp: [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120].
2) Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vò: m).
6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2 7,5 8,3
7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7 7,8 8,3 8,6 8,1
8,1 9,5 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8
Với các lớp: [6,5; 7,0), [7,0; 7,5), [7,5; 8,0), [8,0; 8,5), [8,5; 9,0), [9,0; 9,5].
3) Số phiếu dự đoán đúng của 25 trận bóng đá học sinh.
54
75 121 142 154 159 171 189 203 211 225 247 251
259 264 278 290 305 315 322 355 367 388 450 490
Với các lớp: [50; 124], [125; 199], … (độ dài mỗi đoạn là 74).
4) Doanh thu của 50 cửa hàng của một công ti trong một tháng (đơn vò: triệu đồng).
102 121 129 114 95
88 109 147 118 148 128 71 93
67
62
57 103 135 97 166 83 114 66 156 88 64

49 101 79 120 75 113 155 48 104 112 79 87 88
141 55 123 152 60
83 144 84
95
90
27
Với các lớp: [26,5; 48,5), [48,5; 70,5), … (độ dài mỗi khoảng là 22).
5) Điểm thi môn Toán của 60 học sinh lớp 10.
1 5 4 8 2
9
4
5
3
2 7 2 7 10 0
2 6 3 7 5
9
10
10
7
9 0 5 3 8 2
4 1 3 6 0 10
3
3
0
8 6 4 1 6 8
2 5 2 1 5
1
8
5
7

2 4 6 3 4 2
Với các lớp: [0;2), [2; 4), …, [8;10].
6) Số điện tiêu thụ của 30 hộ ở một khu dân cư trong một tháng như sau (đơn vò: kW):
50 47 30 65 63 70 38 34 48 53
33
39
32
40
50
55 50 61 37 37 43 35 65 60 31
33
41
45
55
59
Với các lớp: [30;35), [35; 40), …, [65;70].
7) Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng.
5
3
3
1
4
3
4
3
6
8
4
2
4

6
8
9
6
2
10 11 15
1
2
5
13
7
7
2
4
9
3
8
8
10 14 16 17
6
6
12
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 13


Tài liệu Toán 10 – HKII
Trường THCS – THPT Hồng Đức
Với các lớp: [0; 2], [3; 5], …, [15; 17].

8) Số người đến thư viện đọc sách buổi tối trong 30 ngày của tháng 9 ở một thư viện.
85 81 65 58 47 30 51 92 85 42
55
37
31
82
63
33 44 93 77 57 44 74 63 67 46
73
52
53
47
35
Với các lớp: [25; 34], [35; 44], …, [85; 94] (độ dài mỗi đoạn bằng 9).
9) Số tiền điện phải trả của 50 gia đình trong một tháng ở một khu phố (đơn vò: nghìn đồng)
Lớp
[375; 449] [450; 524] [525; 599] [600; 674] [675; 749] [750; 825]
Tần số
6
15
10
6
9
4
10) Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường (đơn vò: gam).
Lớp
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
[100; 110) [110; 120)

Tần số
3
6
12
6
3
Bài 3. Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán của 950 em học sinh Trường THPT A năm học 2013
– 2014 cho ta kết quả sau đây:
Điểm bài thi (x)
Tần số (n)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

38

112

...

176

183

119

...

50

25

24

Tần suất %
1,79 . . . . . . 13,05 . . .
...
. . . 8,63 . . . . . . . . .
a) Chuyển bảng trên thành dạng cột và điền tiếp vào các ô còn trống.

b) Vẽ biểu đồ hình cột tần số.
c) Vẽ biểu đồ hình quạt tần suất.
d) Dựa vào kết quả trên, hãy đưa ra nhận xét về kết quả điểm thi.
Bài 4. Cho bảng số liệu thống kê về thời gian (phút) hoàn thành một bài tập Toán của mỗi học sinh
lớp 10A.
20,8
20,7
23,1
20,7
20,9
20,9
23,9
21,6
25,3
21,5
23,8
20,7
23,3
19,8
20,9
20,1
21,3
24,2
22,0
23,8
24,1
21,1
22,8
19,5
19,7

21,9
21,2
24,2
24,3
22,2
23,5
23,9
22,8
22,5
19,9
23,8
25,0
22,9
22,8
22,7
a) Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số và tần suất ghép lớp với các lớp sau:
[19,5; 20,5); [20,5; 21,5); [21,5; 22,5); [22,5; 23,5); [23,5 24,5); [24,5; 25,5].
b) Dựa vào kết quả trên, nêu nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê đã cho.
c) Vẽ biểu đồ hình cột thể hiện bảng đã lập ở trên.
Bài 5. Kết quả học tập của An và Bình trong năm học vừa qua như sau:
Môn
Điểm TB của An
Điểm TB của Bình
Câu hỏi
Toán
8,0
8,5
a) Tính điểm trung bình
Lý
7,5

9,5
(không kể hệ số) của cả hai
Hóa
7,8
9,5
em An và Bình.
Sinh
8,3
8,5
b) Theo em, bạn nào học khá
Văn
7,0
5,0
hơn.
Sử
8,0
5,5
Đòa
8,2
6,0
Anh
9,0
9,0
T.dục
8,0
9,0
K.thuật
8,3
8,5
GDCD

9,0
10,0
Bài 6. Sản lượng lúa (tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng
tần số sau:
Sản lượng (x)
20
21
22
23
24
Trang 14

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức
Tài liệu Toán 10 – HKII
Tần số (n)
5
8
11
10
6
N = 40
a) Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 7. Trong tất cả các mẫu số liệu kích thước 5 với số trung vò là 12 và sô trung bình là 10. Hãy tìm
một mẫu số liệu có biên độ nhỏ nhất (biên độ của mẫu số liệu là hiệu giữa giá trò lớn nhất và bé
nhất của mẫu số liệu).
Bài 8. Một công ty có 45 chiếc xe. Mức tiêu thụ xăng (đơn vò là lít) của mỗi xe trong tuần qua

được ghi lại như sau:
123
132
130
119
106
97
121
109
118
128
132
115
130
125
121
127
144
115
107
110
112
118
115
134
132
139
144
104
128

138
114
121
129
128
116
138
129
113
105
142
122
131
126
111
142
a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp với các lớp là: [90; 100); [100; 110); [110; 120); [120; 130);
[130; 140); [140; 150).
b) Tính số trung bình và số trung bình (xấp xỉ) dựa trên dựa trên bảng phân bố tần số ghép lớp
nói trên.
c) Tính số trung vò.
Bài 9. Chiều cao của một mẫu gồm 120 cây được trình bày trong bảng phân bố tần số ghép lớp dưới
đây (đơn vò là mét):
Lớp
Tần số
Câu hỏi:
[1,7; 1,9)
4
[1,9; 2,1)
11

a) Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
[2,1; 2,3)
26
b) Vẽ đường gấp khúc tần số.
[2,3; 2,5)
21
c) Dựa trên hai biểu đồ này, có nhận xét gì
[2,5; 2,7)
17
về xu thế phân bố chiều cao của cây? Phần
[2,7; 2,9)
11
lớn số cây có chiều cao nằm trong khoảng
[2,9; 3,1)
7
nào?
[3,1; 3,3)
6
[3,3; 3,5)
7
[3,5; 3,7)
3
[3,7; 3,9)
5
[3,9; 4,1)
2
N=120
Bài 10. Có 100 học sinh dự thi học sinh giỏi Toán (điểm 20). Kết quả như sau:
Điểm
9

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Tần số
1
1
3
5
8
13
19
24
14
10
2
a) Tính số trung bình.
b) Tính số trung vò và mốt, nêu ý nghóa.
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bài 11. Cho bảng số liệu thống kê:
Thời gian (phút) hoàn thành một bài tập toán của mỗi học sinh lớp 10A.
20,8
20,7
23,1

20,7
20,9
20,9
23,9
21,6
25,3
21,5
23,8
20,7
23,3
19,8
20,9
20,1
21,3
24,2
22,0 23,8
24,1
21,1
22,8
19,5
19,7
21,9
21,2
24,2
24,3
22,2
23,5
23,9
22,8
22,5

19,9
23,8
25,0
22,9
22,8
22,7
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 15


Tài liệu Toán 10 – HKII
Trường THCS – THPT Hồng Đức
[19,5 ; 20,5)
[20,5 ; 21,5)
[21,5 ; 22,5)
[22,5 ; 23,5)
[23,5 ; 24,5)
[24,5 ; 25,5]
b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê đã cho.
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
Bài 12. Cho bảng số liệu thống kê:
Sản lượng thuỷ sản nuôi trồng năm 2000 (đơn vò: tấn) của 30 tỉnh từ Thừa Thiên - Huế trở ra:
775
51
522
40
280

1245
1942
557
86
131
834 391
433
20
89 33
312
872
1763
303
200
554 1902
27
626
94
74
1165
419
164
a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất:
[20 ; 320); [320 ; 620); [620 ; 920); [920 ; 1220); [1220 ; 1520); [1520 ; 1820); [1820 ; 2120]
b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét các số liệu thống kê đã cho.
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
Bài 13. Cho bảng số liệu thống kê:
Giá trò thành phẩm quy ra tiền (đơn vò: nghìn đồng) trong 30 ngày sản xuất của một phân xưởng
hoá chất.

180
186
190
204
192
200
201
203
191
202
212
205
211
240
216
208
209
222
221
220
225
206
228
231
220
239
210
213
202
203

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp như sau:
[180 ; 192); [192 ; 204); [204 ; 216); [216 ; 228); [228 ; 240]
b) Biết rằng đònh mức lao động của phân xưởng là “mỗi ngày phải sản xuất được tối thiểu 204
nghìn đồng”. hãy xác đònh xem số ngày mà phân xưởng hoàn thành đònh mức lao động chiếm một tỉ
lệ là bao nhiêu phần trăm (trong 30 ngày được khảo sát).
c) Tính số trung bình cộng x
d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
Bài 14. Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới
2500g. Sau đây là kết quả khảo sát ở 43 tỉnh (đơn vò : %).
5,1
5,2
5,2
5,8
6,4
7,3
6,5
6,9
6,6
7,6
8,6
6,5
6,8
5,2
5,1
6,0
4,6
6,9
7,4
7,7
7,0

6,7
6,4
7,4
6,9
5,4
7,0
7,9
8,6
8,1
7,6
7,1
7,9
8,0
8,7
5,9
5,2
6,8
7,7
7,1
6,2
5,4
7,4
a) Hãy lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp gồm 5 lớp. Lớp thứ nhất là nửa khoảng
[4,5; 5,5), lớp thứ hai là [5,5 ; 6,5), … (Độ dài mỗi nửa khoảng là 1)
b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
d) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.
e) Tìm số trung vò và mốt.
f) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
Bài 15. Kết quả của một kì thi môn Tiếng Anh của 32 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau

(thang điểm 100).
68
52
49
56
69
74
41
59
79
61
42
57
60
88
87
47
65
55
68
65
50
78
61
90
86
65
66
72
63

95
72
74
a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp, sử dụng: [40 ; 50) ; [50 ; 60) ; … ; [90 ; 100)
Trang 16

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII
b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
c) Vẽ đường gấp khúc tần số.
d) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
e) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.
f) Tìm số trung vò và mốt.
g) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

Vấn đề 5: GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC GÓC α:
1. Công thức lượng giác cơ bản:
sin 2 x + cos 2 x = 1
sinxπ
cosx
cosx
cotx =
sinx




 x ≠ + kπ ÷
2



1π
cos 2 x
1
1 + cot 2 x =
sin 2 x



 x ≠ + kπ ÷
2



tanx =

1 + tan 2 x =

tanx.cotx=1

(x

(x

≠ kπ )

≠ kπ )

π

x ≠ k ÷
2


* Chú ý:
sin(α + k2π) = sinα tan(α + kπ) = tanα
cos(α + k2π) = cosα cot(α + kπ) = cotα
2. CT liên hệ giữa các góc liên quan đặc biệt:
2.1. Góc đối nhau:
2.2. Góc bù nhau:
sin( – α) = – sinα
sin( π – α) = sinα
cos( – α) = cosα
cos( π – α) = – cosα
tan( – α) = – tanα
tan( π – α) = – tanα
cot( – α) = – cotα
cot( π – α) = – cotα
2.3. Góc phụ nhau:
π

π

sin  − α ÷ = cos α cos  − α ÷ = sin α
2


2

π

π

tan  − α ÷ = cot α cot  − α ÷ = tan α
2

2


3. Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
4. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a
= 2cos2a – 1
= 1 – 2sin2a

2 tan a 
π
π
π
 a ≠ + kπ , a ≠ + k ÷
2
1 − tan a 

2
4
2
5. Công thức hạ bậc:
1 + cos2a
cos 2 a =
2
1
−
cos2a
sin 2 a =
2
1 − cos2aπ

tan 2a =
 a ≠ + kπ ÷
1 + cos2a 
2


6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
a+b
a − b
cosa + cosb = 2cos
cos
2
2
a+b
a − b
cosa – cosb = – 2sin

sin
2
2
a+b
a − b
sina + sinb = 2sin
cos
2
2
a+b
a − b
sina – sinb = 2cos
sin
2
2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cosa.cosb = [ cos(a + b) + cos(a – b)]
2
1
sina.sinb = – [ cos(a + b) – cos(a – b)]
2
1
sina.cosb = [ sin(a + b)+ sin(a – b)]
2

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

tan 2a =

Trang 17


Trường THCS – THPT Hồng Đức
sin(a ± b)
tan a ± tan b =
cos a.cos b
Bài 1. Tính các giá trò lượng giác còn lại của góc α biết:
7
a / cos α = −
900 < α < 1800 )
(
4
5
π
c / sin α =  0 < α < ÷
6
2
3  3π

e / cos α = 
< α < 2π ÷
5 2


Tài liệu Toán 10 – HKII

 3π


b / tan α = −5 
< α < 2π ÷
 2

7
d / cot α = ( 1800 < α < 2700 )
4
9π

f / tan α = −  < α < π ÷
8 2


5
π

2700 < α < 3600 )
h / cot α = 7  0 < α < ÷
(
3
2

4 π
x

Bài 2. Biết cosx = −  < x < π ÷. Tính sinx, tanx, cotx, cos2x, sin2x, sin3x, cos3x, cos4x, sin .
7 2
2

x

0
0
Bài 3. Biết tanx = − 5 ( 270 < x < 360 ) . Tính sinx, cosx, cotx, cos2x, sin2x, sin3x, cos4x, cos .
2
1
π
x
x
Bài 4. Biết sinx = −  π < x < ÷. Tính cosx, tanx, cotx, sin2x, cos2x, sin3x, cos4x, sin , cos
5
2
2
2
x
x
0
0
Bài 5. Biết cotx = 2 2 ( 180 < x < 270 ) . Tính sinx, cosx, tanx, sin2x, sin3x, cos4x, sin , cos .
2
2
Bài 6. Chứng minh rằng:
1 + sin 2a + cos2a
sin α
1 + cosα
2
tan α sin α
1/
= cot a
2/
+

=
3/
−
= cosα
1 + s in2a − cos2a
1 + cosα
sin α
sin α
sin α cot α
1 − cos 2 x + sin 2 x
1
1
1 + tan 4 x
4/
= tan x
5/
+
=
1
6
/
= tan 2 x
2
2
2
2
1 + cos 2 x + s in2x
1 + tan α 1 + cot α
tan x + cot x
cosα

1
2
1 + cos 2 x
7/
+ tan α =
8 / (cot α + 1) 2 + (cot α − 1) 2 =
9/
= cot 2 x
2
1 + sin α
cosα
sin α
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
1 + cos 2 x 1 + cos 4 x
sin 2 x − tan 2 x
10 /
= cot 2 x
11/
×
= cot x
12 /
= tan 6 x
1 − cos 2 x
cos 2 x
sin 4 x
cos 2 x − cot 2 x
sin 2 x + 2 cos 2 x − 1
sin x
1 − cosx

13 / tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x
14 /
= sin 2 x
15 /
=
2
cot x
1 + cosx
s inx
2
sin α
sin α + cosα
2
16 / ( 1 + s inx + cosx ) = 2 ( 1 + s inx ) ( 1 + cosx )
17 /
+
= sin α + cosα
sin α − cosα
1 − tan 2 α
18 /1 + sin α + cosα + tan α = (1 + cosα )(1 + tan α )
Bài 7. Rút gọn biểu thức sau:
a / A = sin 4 α + sin 2 α cos 2α + cos 2α
b / B = sin α cosα ( tan α + cot α )
g / sin α = −

sin α
sin α
+
1 − cosα 1 + cosα
Bài 8. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:

a/ sin( A + B) = sin C ; cos(B + C) = −cosA
b/ tan( A + C ) = − tan B; cot(A + B) = −cotC
A+B
C
B+C
A
A+C
B
A+B
C
= cos ; cos
= sin
= cot ; cot
= tan
c/ sin
d/ tan
2
2
2
2
2
2
2
2
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
A
B
C
a. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC .
b. cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin .

2
2
2
c/C =

Trang 18

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Tài liệu Toán 10 – HKII
c. tan A + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
A
B
B
C
C
A
tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1
2
2
2
2
2
2

Trường THCS – THPT Hồng Đức
d.

A

B
C
A
B
C
+ cot + cot = cot .cot .cot
2
2
2
2
2
2
Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số x:
sin 4 x + cos 4 x − 1
a. A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x)
b. B =
sin 6 x + cos 6 x − 1
sin 3 x cos3x
−
c. C = sin4x + cos4x – sin6x – cos6x – sin2x.cos2x
d. D =
sin x
cosx
4
4
2
2 2
8
8
e. E = 2(sin x + cos x + sin x.cos x) – (sin x + cos x)

 3π

π
  3π

+ x ÷− tan  + x ÷cot 
− x÷
f. F = cos(π − x) + sin  −
 2

2
  2

8
8
6
6
4
g. G = 3(sin x – cos x) + 4(cos x – 2sin x) + 6sin x


1
1
2
2

÷
sin
x
.

c
os
x
+
h. H =
2
2
 1 − sin 2 x(1 + cos 2 x)
÷
1
−
c
os
x
(1
+
sin
x
)


Bài 11. Rút gọn các biểu thức:
1/ 5 tan 540o + 2 cos1170o + 4sin 990o − 3cos 540o
25π
13π
19π
2 / 3sin
− 3 tan
+ 2 cos
6

4
3
π
3π
5π
7π
9π
11π
3 / cos 2 + cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
12
12
12
12
12
12
2
o
2
o
2
o
2
o
4 / cos 15 + cos 35 + cos 55 + cos 75
π
3π

5π
7π
9π
11π
5 / sin 2 + sin 2
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
12
12
12
12
12
12
2
o
2
o
2
o
2
o
6 / sin 15 + sin 35 + sin 55 + sin 75
π

 3π

7 / sin(π + a) − cos  + a ÷+ cot(2π − a) + tan 
+

2

 2

2
o
o
o
2
cos 696 + tan( −260 ).tan 530 − cos 156
8/
tan 2 252o + cot 2 342o
e. cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1

f. cot

2

 π
   3π



9 / sin  − x ÷+ sin(π − x)  + cos 
− x ÷+ cos(2π − x) 


 2
   2


cot(5,5π − a ) + tan(b − 4π )
10 /
cot(a − 6π ) − tan(b − 3,5π )
2

2

2

 17π
 7π
   13π

11 /  tan
+ tan 
− b ÷ + cot
+ cot ( 7π − b ) 
4
4
 2
 


9π 

 5π

12 / sin ( 13π + α ) − cos  α −
−α ÷
÷+ cot ( 12π − α ) + tan 

2 

 2


Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 19


Trường THCS – THPT Hồng Đức
13 / tan 50o.tan190o.tan 250o.tan 260o.tan 400 o.tan 700o

Tài liệu Toán 10 – HKII

5π 
7π 

 9π


14 / sin ( 7π + α ) + cos  α −
− α ÷+ 2 tan  α −
÷− cot ( 3π − α ) + tan 
÷
2 
2 

 2



7π 

 3π

 3π

15 / cos ( 15π − α ) + sin  α −
+ α ÷.cot 
−α ÷
÷− tan 
2 

 2

 2

π

 2π

 5π

 3π

16 / sin  − a ÷.tan 
+ a ÷.cos 
+ a ÷+ tan(π + a ).tan 
−
3


 3

 3

 2

Bài 12. Rút gọn biểu thức:
cos a − cos 3a + cos 5a − cos 7 a
1. A = tan 20o tan 40o tan 60o tan 80 o
2. B =
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7 a
π
π


cos  a + ÷+ cos  a − ÷
π
π


cos  2a − ÷− cos  2a + ÷
3
3


3. C =
4. D =
6
6



cos a −
a
cot a − cot
2 cos a
2
5. E = sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o
6. F = cos 2 3 + cos 2 1 − cos 4 cos 2
1
1
cos a + 2 cos 2a + cos 3a
2
7. G = cos 2a cos a − cos 4a − cos 2a
8. H =
4
2
sin a + sin 2a + sin 3a
o
o
o
o
o
9. J = sin1 + sin 91 + 2sin 203 (sin112 + sin158 )
0
0
0
0
0
10. I = cos 35 + cos125 + 2sin185 ( sin130 + sin140 )

11. K = cos a + cos ( a + b ) + cos ( a + 2b ) + ... + cos ( a + nb ) ( n ∈ N )
Bài 13. Chứng minh:
sin a + sin 3a + sin 5a + ... + sin ( 2n − 1) a
3
o
o
o
o
= tan na
a. sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 =
b.
cos a + cos 3a + cos 5a + ... + cos ( 2n − 1) a
16

( n + 1) a
na
sin
2
2
c. sin a + sin 2a + sin 3a + ... + sin na =
a
sin
2
Bài 14. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
C
a. sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
2

2
2
A
B
C
b. cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin
2
2
2
2
2
2
c. sin A + sin B + sin C = 2 ( 1 + cos A cos B cos C )
sin

d. cos 2 A + cos2 B + cos 2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C
A
B
C
e. sin A + sin B − sin C = 4sin sin cos
2
2
2
A
B
C
f. cos A + cos B − cos C = 4 cos cos sin − 1
2
2
2

g. sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
h. cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C
i. sin 2 A + sin 2 B − sin 2 C = 2sin A sin B cos C
Bài 15. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a. A = 4 cos 4 x + cos 2 2 x − 4 cos 2 x cos 2 x


2
2 π
2 π
b. B = cos x + cos  + x ÷+ cos  − x ÷
3

3

Trang 20

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII
x 
3π 
4
2
2π
c. C = 4sin x + sin 2 x + 4cos  − ÷;  π < x <
÷

2 
 4 2 

 2π

2
2  2π
+ x ÷+ sin 2 
− x÷
d. D = sin x + sin 
 3

 3


BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG
Bài 1. Cho cos 2 x =

1
8

π

 0 < x < ÷. Tính sinx, cosx, tanx,cotx, sin2x
4


Bài 2. a. Tính giá trò của biểu thức A =

1

3
−
0
sin10 cos100

1 − cos x + cos 2 x
= cot x
sin 2 x − sin x
sin 2 x − 2sin x cos x − 2cos 2 x
Bài 3. a. Tính giá trò của biểu thức A =
biết cot x = −2
2sin 2 x + 1
1π
π
sin x + sin 2 x + sin 3 x
b. Cho A =
. Rút gọn A, suy ra giá trò của A biết sin 2 x =  < x < ÷
3 4
2
cos x + cos 2 x + cos3 x
π

c. Chứng minh sin 2 x + cos 2 x = 2 cos  2 x − ÷
4

b. Chứng minh:

7
0
0

(Với 90 < α < 180 ). Tính sinα, cosα, tanα,cotα, sin2α, cosα
4
Bài 5. Chứng minh đẳng thức:
1 + sin 2a + cos 2a
π
 π

= cot a
a. sin 3 x = 4sin x.sin  + x ÷sin  − x ÷
b.
1 + sin 2a − cos 2a
3
 3

Bài 4. Cho cos α = −

π

π

c. cos3 x = 4cos x.cos  + x ÷cos  − x ÷
d. cos5a cos3a + sin 7 a sin a = cos 2a cos 4a
3

3

0
0
0
Bài 6. Cho tan α = 2 (Với 180 < α < 270 ). Tính: sin α , cos α , cot α , sin(45 + α )

Bài 7. a. Biết

cos 7a + cos 4a + cos a 1
= . Tính cos8a
sin 7 a + sin 4a + sin a 2

b. Rút gọn A = 2sin x(cos x + cos3 x + cos5 x) . Suy ra giá trò của: T = cos

π
3π
5π
+ cos
+ cos
7
7
7

c. Tính giá trò của biểu thức A= tan 90 − tan 630 + tan810 − tan 27 0
Bài 8. Cho biết một giá trò lượng giác, tính giá trò của biểu thức, với:
cot a + tan a
3
π
; sin a =  0 < a < ÷
a) A =
cot a − tan a
5
2
8 tan 2 a + 3cot a − 1
1
;sin a = ( 900 < a < 1800 )

b) B =
tan a + cot a
3
2
sin a + 2sin a.cos a − 2 cos 2 a
khi cot a = −3
c) C =
2sin 2 a − 3sin a.cos a + 4 cos 2 a
sin a + 5cos a
khi tan a = 2
d) D =
sin 3 a − 2 cos3 a
8cos3 a − 2sin 3 a + cos a
khi tan a = 2
e) E =
2 cos a − sin 3 a
Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 21


Tài liệu Toán 10 – HKII
Trường THCS – THPT Hồng Đức
sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x
2
= tan 4 x
a)
b) (tan 2 x − tan x)(sin 2 x − tan x) = tan x
2

2
4
cos x − sin x + sin x
6 + 2 cos 4 x
1 + cos x 1 − cos x 4 cot x
2
2
−
=
c) tan x + cot x =
d)
1 − cos 4 x
1 − cos x 1 + cos x sin x
sin 2 x
cos 2 x
0
0
−
= sin x.cos x
e) 1 −
f) cos x + cos(120 − x ) + cos(120 + x) = 0
1 + cot x 1 + tan x
x
3x
π

2 cos x − 2 cos  + x ÷
cot 2 − cot 2
2
2

4
 = tan x
=8
g)
h)
x

2
2 3x 
π

cos .cos x. 1 + cot
2sin  + x ÷− 2 sin x
÷
2
2 

4

π
 1 2 

6
6
4
4
i) cos x − sin x = cos 2 x 1 − sin 2 x ÷
k) cos x − sin x + sin 2 x = 2 cos  2 x − ÷
 4



4
Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
4
4
6
6
a) 3(sin x + cos x) − 2(sin x + cos x)
b) cos6 x + 2sin 4 x cos 2 x + 3sin 2 x cos 4 x + sin 4 x
π
π
π
3π 




c) cos  x − ÷.cos  x + ÷+ cos  x + ÷.cos  x +
÷
3

4
6

4 



 2π


2
2  2π
+ x ÷+ cos 2 
− x÷
d) cos x + cos 
 3

 3

1
Bài 11. a) Chứng minh: cot α − cot 2α =
.
sin 2α
1
1
1
1
+
+
+
= cot x − cot16 x .
b) Chứng minh:
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin16 x
Bài 12. a) Chứng minh: tan α = cot α − 2 cot 2α .
1
x 1
x
1
x
1

x
b) Chứng minh: tan + 2 tan 2 + ... + n tan n = n cot n − cot x .
2
2 2
2
2
2
2
2
1
4
1
=
−
Bài 13. a) Chứng minh:
.
4 cos 2 x sin 2 2 x 4sin 2 x
1
1
1
1
1
+
+ ... +
=
−
2
x
x
x

x .
b) Chứng minh:
4 cos 2
4 2 cos 2 2
4 n cos 2 n sin x 4 n sin 2 n
2
2
2
2
1
3
Bài 14. a) Chứng minh: sin x = (3sin x − sin 3 x) .
4
1 n
x

3 x
3 x
n −1
3 x
b) Chứng minh: sin + 3sin 2 + ... + 3 sin n =  3 sin n − sin x ÷.
3
3
3
4
3

1
tan 2α
=

Bài 15. a) Chứng minh: 1 +
.
cos 2α
tan α
1 
1  
1  tan 2n x

b) Chứng minh:  1 +
.
÷1 +
÷... 1 +
÷=
tan x
 cos 2 x  cos 2 2 x   cos 2n x 
sin 2α
Bài 16. a) Chứng minh: cos α =
.
2sin α
x
x
x
sin x
cos .cos 2 ...cos n =
x .
b) Chứng minh:
2
2
2
2n sin n

2
Bài 17. Đơn giản các biểu thức sau:
o
o
o
o
o
o
o
o
o
a) A = tan 3 .tan17 .tan 23 .tan 37 .tan 43 .tan 57 .tan 63 .tan 77 .tan 83
2π
4π
6π
8π
+ cos
+ cos
+ cos
b) B = cos
5
5
5
5
Trang 22

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Trường THCS – THPT Hồng Đức

Tài liệu Toán 10 – HKII
11π
5π
.cos
c) C = sin
12
12
π
5π
7π
11π
0
0
.sin
d) D = sin .sin .sin
HD: a) Sử dụng tan x.tan(60 − x).tan(60 + x) = tan 3 x .
24
24
24
24
Bài 18. Chứng minh:
π
2π
3π
1
3
o
2
o
+ cos

=
a) cos − cos
b) 8sin 18 + 8sin 18 = 1
7
7
7
2
1
1
4
π
π
π
π
+
=
= cot
c) 8 + 4 tan + 2 tan + tan
d)
o
o
cos 290
3.sin 250
3
8
16
32
32
8 3
e) tan 30o + tan 40o + tan 50o + tan 60o =

cos 20o
3
3 +1
f) cos12o + cos18o − 4 cos15o.cos 21o.cos 24o = −
2
o
o
o
o
g) tan 20 + tan 40 + 3.tan 20 .tan 40 = 3
π
3π
9π 1
2π
4π
10π
1
+ ... + cos
=
+ cos
+ ... + cos
=−
h) cos + cos
i) cos
11
11
11 2
11
11
11

2
1
Bài 19. a) Chứng minh: sin x.cos x.cos 2 x.cos 4 x = sin 8 x .
8
π
3π
5π
b) Áp dụng tính: A = sin 60.sin 420.sin 660.sin 780 , B = cos .cos .cos
.
7
7
7
3 1
1
4
Bài 20. a) Chứng minh: sin x = − cos 2 x + cos 4 x .
8 2
8
π
3
π
5π
7π
3
4
+ sin 4
+ sin 4
+ sin 4
b) Áp dụng tính: S = sin
.

ĐS: S =
16
16
16
16
2
1 − cos 2 x
Bài 21. a) Chứng minh: tan x =
.
sin 2 x
3π
5π
2 π
+ tan 2
+ tan 2
b) Áp dụng tính: S = tan
.
12
12
12
Bài 22. Không dúng máy tính, hãy tính giá trò các biểu thức sau:
0
0
a) sin18 , cos18
b) A = cos 2 180.sin 2 360 − cos 360.sin180
c) B = sin 2 240 − sin 2 60
d) C = sin 20.sin180.sin 220.sin 380.sin 42 0.sin 580.sin 62 0.sin 780.sin 820
0
0
HD:

a) Chú ý: sin 540 = cos 360 ⇒ sin ( 3.18 ) = cos ( 2.18 )
1
0
0
b) Sử dụng: sin x.sin ( 60 − x ) .sin ( 60 + x ) = sin 3 x
4
Bài 23. Chứng minh rằng:
a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sin a .
b) Nếu sin(2a + b) = 3sin b thì tan(a + b) = 2 tan a .
Bài 24. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) b cos B + c cos C = a cos( B − C )
b) S = 2 R 2 sin A.sin B.sin C
A
B
C
c) 2 S = R (a cos A + b cos B + c cos C )
d) r = 4 R sin sin sin
2
2
2
Bài 25. Chứng minh rằng:
sin B + sin C
a) Nếu sin A =
thì tam giác ABC vuông tại A.
cos B + cos C
tan B sin 2 B
=
b) Nếu
thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
tan C sin 2 C

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 23


Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức
sin B
= 2 cos A thì tam giác ABC cân.
c) Nếu
sin C

CHƯƠNGIII.
III. PHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁ
PHÁPP TỌ
TỌAA ĐỘ
ĐỘ TRONG
TRONG MẶ
MẶTT PHẲ
PHẲNNGG
CHƯƠNG
I. ĐƯỜNG THẲNG:
r r
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ u ≠ 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
r
r
Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác đònh nếu biết một điểm và một VTCP.
r r
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng: Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường
thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
r
r
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác đònh nếu biết một điểm và một VTPT.
r
r
r r
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của ∆ thì u ⊥ n .
3. Phương trình tham số của đường thẳng:
r
Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u2 ) .
 x = x0 + tu1
Phương trình tham số của ∆: 
(1)
( t là tham số).
 y = y0 + tu2
Nhận xét:

 x = x0 + tu1
– M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: 
.
 y = y0 + tu2
u2
– Gọi k là hệ số góc của ∆ thì: k =
u1

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
r
Cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u = (u1; u2 ) .
x − x0 y − y0
=
Phương trình chính tắc của ∆:
(2)
u1
u2
Trang 24

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên


Tài liệu Toán 10 – HKII

Trường THCS – THPT Hồng Đức

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình Ax + By + C = 0 với A 2 + B2 ≠ 0 được
gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét:
r
r
– Nếu ∆ có phương trình Ax + By + C = 0 thì ∆ có VTPT là n = ( A; B ) và VTCP u = (− B; A)
r
hoặc u = ( B; − A) .
r
– Nếu ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n = ( A; B ) thì ∆: A(x – x0) + B(y – y0) = 0
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆

Tính chất đường thẳng ∆
C=0
∆ đi qua gốc toạ độ O
Ax + By = 0
A=0
∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox
By + C = 0
B=0
∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy
Ax + C = 0

• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆:

x y
+ = 1 . (phương trình
a b

đường thẳng theo đoạn chắn) .
• ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k ⇒ ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường
thẳng theo hệ số góc)
6. Vò trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 . Toạ độ giao điểm của ∆1 và
 a1 x + b1 y + c1 = 0
∆2 là nghiệm của hệ phương trình: 
(1)
 a2 x + b2 y + c2 = 0
a1 b1
≠
• ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm
⇔

(nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
a2 b2
a1 b1 c1
= ≠
• ∆1 // ∆2
⇔ hệ (1) vô nghiệm
⇔
(nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
a2 b2 c2
a1 b1 c1
= =
• ∆1 ≡ ∆2
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm
⇔
(nếu a2 , b2 , c2 ≠ 0 )
a2 b2 c2
7. Góc giữa hai đường thẳng:
r
r
Cho ∆1: a1 x + b1 y + c1 = 0 (có n1 = (a1; b1 ) ) và ∆2: a2 x + b2 y + c2 = 0 (có n2 = ( a2 ; b2 ) ).
r r
r r
(n1 , n2 )
khi (n1 , n2 ) ≤ 900
·
(∆1 , ∆ 2 ) =  0 r r
r r
0
180 − (n1 , n2 ) khi (n1 , n2 ) > 90
r r

n1.n2
a1b1 + a2b2
r r
·
·
cos(∆1 , ∆ 2 ) = cos(n1 , n2 ) = r r =
n1 . n2
a12 + b12 . a22 + b22

• ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 .
• Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì:
+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho ∆: ax + by + c = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
ax + by0 + c
d ( M 0 , ∆) = 0
a 2 + b2
• Vò trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng:
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; yN ) ∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) > 0 .
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + by N + c) < 0 .
Chú ý:

Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên

Trang 25