Gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ thế và phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ
VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG CƠ LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. CAO THỊ VI BA

Hà Nội – 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao ThịVi Ba,người đã
tận tình hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực

hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại học
của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà
Nội, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè và
đồng nghiệp đã động viên cho tôi hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 9 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Hải Yến


MỤC LỤC

Mở đầu ………………………………………………………………………………...1
Chuơng 1. Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ………………………………….4
1.1. Gần đúng eikonal trong quang học………..……………………..................4
1.2. Phát biểu bài toán tán xạ……………………………….…………………...8
1.3. Lời giải phương trình Schrodinger……………………….……………….14
Chƣơng 2. Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm……….…25
2.1. Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài ……...25
2.2. Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng………………..........................30
Chƣơng 3. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể…………………………………................41
3.1.ThếYukawa ..…………………………………………………...................41
3.2. Thế Gauss………………………………………………………………...45
Kết luận…………………………………………………………………………...….50
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………...52
Phụ lục…………………………………………………………………………...…..54

MỞ ĐẦU
Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959
trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số
liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biểu diễn eikonal này có thể
thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phần (tìm hàm sóng
ở xa vô cùng), phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) và phương pháp
chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ điển) [3].Các
phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụng trong lý thuyết
trường lượng tử. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu một phương
pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiếm hàm cho bài toán tán xạ trong cơ học
lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loạn[9].
Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúng eikonaltrên
cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường lượng tử.Cơ
học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuôn khổ của nó với
giả thiết tính nhẵn của thế năng, đã thành công trong việc giải thích vật lý những đặc
trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron. Do mô hình quang học và phép gần
đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gần đúng chuẩn cổ điển
trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thế cho ta cơ sở để đưa vào Vật lý hiện đại
phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học.
Ở đây, chúng tôi trình bày vắn tắt các kết quả vận dụng phương pháp chuẩn cổ điển hay
còn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tán xạ năng lượng cao. Phương pháp WKB
được hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cổ điển.
Phép khai triển theo sóng riêng phần là một phương pháp chủ yếu để nghiên cứu tán xạ
năng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng lồ
sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả. Vì vậy, người ta phải đề xuất
các cách tiếp cận khác để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạt cơ bản.
Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chính là biểu diễn
eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3]. Lưu ý, biểu diễn eikonal cho biên

độ tán xạ góc nhỏ đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về tán
xạ các hạt với năng lượng cao.
Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ năng
lượng cao ở trường ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.
Luận văn gồm các phần:Mở đầu, Nội dung nghiên cứu được viết thành ba chương, Kết
luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.
Phần nội dung của luận văn gồm:
Chƣơng 1.Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế ngoài.
 Mục 1.1:Giới thiệu vắn tắt gần đúng eikonal được sử dụng trong quang học.
 Mục 1.2: Phát biểubài toán tán xạ trong cơ học lượng tử.
 Mục 1.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngoài ở xa vô cùng, từ
đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tán xạ.
Chƣơng 2.Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphương
pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.
 Mục 2.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở
thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.
 Mục 2.2: Tách các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài để thu được
biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phân phiếm
hàm bằng gần đúng quỹ đạo thẳng và khảo sát dáng điệu tiệm cận của biên độ tán
xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Điều kiện sử dụng gần đúng này
được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt và góc tán xạ.
Chƣơng 3.Tán xạ trên thế ngoài cụ thể.
Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thể.
 Mục 3.1: Nghiên cứu tán xạ thế Yukawa.
 Mục 3.2: Nghiên cứu tán xạ thế Gauss.
Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướng
nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới.

Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Feynman.
Vớivéctơ tọa độ phản biến là

x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z   t , x 

thì các véctơ tọa độ hiệp biến là

x  g  x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z    t ,  x  ,

trong đótensor metric có dạng

g   g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 


 0 0 1 0 


 0 0 0 1

Chƣơng 1
GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ[4]

1.1.

Gần đúng eikonal trong quang học

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học. Phương trình mô
tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n mà trong trường hợp tổng
quát là hàm số của tọa độ n  r  và có dạng
n2  2
  2 2  0 ,(1.1)
c t




ở đây  là thành phần bất kỳ của các vectơ E và H .
Nếu n là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc

i kr t

   0e 



. (1.2)



Số sóng k  k , tần số  và bước sóng  liên hệ với nhau bằng hệ thức
k n


c



2



.

(1.3)


Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phẳng trong toàn không gian là
không đổi.
Nếu môi trường không đồng nhất thì n  r  sẽ là hàm của tọa độ và sóng phẳng (1.2) với
vectơ sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1.1).
Tuy nhiên, nếu bước sóng  nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d , mà ở đó chiết suất

n  r  thay đổi đáng kể, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là sóng

phẳng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng. Các hướng như vậy được gọi là tia.
Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng

  aei .

(1.4)

Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm  được gọi là eikonal. Ta có thể
khai triển nó thành chuỗi


  0  r   t


.
t

(1.5)

Vì ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi mô, có thể coi là sóng phẳng nên
so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được
 

k   ,    .
t

(1.6)

Thay (1.4) vào (1.1) ta được
(aei ) 

n2  2
(aei )  0, (1.7)
c 2 t 2

trong đó
 
(aei )  ((aei ))
 


 (aei  iaei  )





 

  2 aei  aiei   iaei   iaei i  iaei  2

 


  2 a  2ia  ia 2  a( ) 2  ei

(1.8)

Tương tự ta có
2
 2a
2
a 
 2
    i
i
ae


2
i


ia

a
    2t t t t 2  t   e
t 2



Thế (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta được

(1.9)


 

Δa  i 2a  iaΔ  a 

 

2


2
n2  r    2 a
a 
 2
   
 2  2  2i
 ia 2  a     0. (1.10)

c   t
t t
t
 t  

Phương trình (1.10) là phương trình chính xác, hoàn toàn tương đương với phương trình
(1.1).
Giả thiết rằng a và  là các hàm biến đổi chậm của tọa độ và thời gian, bỏ qua các số


 2 a  2 a 
,
,
trong (1.10), chúng ta thu được phương
t 2 t 2 t t



hạng chứa Δa , Δ , a. ,
trình eikonal cho 




 

2

 2
 n  r     2


   .
c

  t 

(1.11)

Thay (1.6) vào (1.11) ta được



 

2

  
  n  r   . (1.12)
c

2

Các phương trình (1.11) và (1.12) được gọi là các phương trình eikonal.
Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các mặt


  r , t   const ,


(1.13)



còn các tia được hướng theo k  .
Lưu ý sự tương tự ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phương trình
Hamilton-Jacobi, mà trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong trường thế
ngoài1. Trong trường hợp khi hàm Hamilton H  r, p  không phụ thuộc tường minh vào
thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng
  S 
H r,    E ,
 r 

(1.14)

ở đây E là năng lượng của hạt, S  r, t   S0  r   Et là hàm tác dụng. Xung lượng của hạt
bằng
1

Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton

thiết lập vào năm 1834.



  

p  S  r , t   S0  r  .

(1.15)

Theo Vật lý cổ điển, chuyển động của hạt trong hình thức luận Hamilton-Jacobi có thể so
với các mặt sóng mà nó được xác định bằng phương trình

S  r , t   const.

(1.16)

Quỹ đạo của hạt, như ta có thể suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này2.
Đối với hạt chuyển động trong trường thế V  r  thì xung lượng của hạtđược xácđịnh bởi

p 2  2m( E  V (r )). (1.17)

Từ (1.15) ta có

p 2  (S )2 . (1.18)

Kết hợp (1.17) và (1.18) ta thấy phương trình (1.14) có dạng


S 

2


 2m  E  V  r  

(1.19)

So sánh (1.15), (1.16) và (1.19) với (1.6), (1.13) và (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học cổ
điển, hàm tác dụng S  r, t  chính là eikonal   r, t  trong quang hình học và đại lượng

 

2m  E  V  r   tương tự với tổ hợp các đại lượng quang học n  r  .
c

Như vậy, các tia sáng trong môi trường với chiết suất n  r  trùng với quỹ đạo của hạt


trong trường thế V  r  mà đối với nó đại lượng 2m  E  V  r   tỷlệvới


2
c

2


n 2  r  . Hệ số tỷ

c2

lệ liên hệ giữa n2  r  và 2m  E  V  r  2 , là một đại lượng có thứ nguyên và không thể
ω
xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cổ điển. Nếu sử dụng sự tương tự này giữa
quang học sóng và cơ học cổ điển thì ta có thể viết
 2m
 c2
n2  r   2  E  V  r  2 . (1.20)



2



Lưu ý, tốc độ dịch chuyển u của mặt S  r , t   const trong không gian không trùng với tốc độ v

của hạt và liên hệ với vbằng hệ thức u 

E
.
mv


1.2.

Phát biểu bài toán tán xạ trong cơ học lƣợng tử

Trước tiên, chúng ta xem xét gần đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát
biểu bài toán tán xạ. Nếusự tán xạ xảy ra trong thế năng có đối xứng cầu thì hàm sóng ở
xa vô cùng gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ có dạng


eikr

ikz
  r  ~ e  f  
,
r

(1.21)

trong đó, hàm số f   được gọi là biên độ tán xạ.
Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độ dòng
các hạt tán xạ theo công thức tổng quát




 *  *  , (1.22)
j

2mi 

và lưu ý
  f r
f (r ) 
. (1.23)
r r

Mật độ dòng của các hạt tới




 t* t  t  t* 
jt 

2mi 
  *   t
  t* 


 t ez
 t ez

2mi 
z
z 



e  ikz ez (ik )eikz  eikz ez (ik ) e ikz 
2mi

 k 
 

2(ik )ez 
ez  vez  v ,
2mi
m




(1.24)



trong đó, ez là véc tơ đơn vị theo trục z, v là vận tốc của hạt tới.


Như vậy, mật độ dòng tới jt có độ lớn là
jt  v (1.25)

Mật độ dòng của các hạt tán xạ
 *

  *
jtx 





 tx  tx  , (1.26)
tx
tx
2mi 






trong đó



eikr
 tx  f  

r


 *
e  ikr
 tx  f  
r





 eikr eikr
 tx r
 tx 
 f ( )  ik
 2

r r
r
r







e  ikr e ikr  r


*
*
 tx  f ( )  ik r  r 2  r .




 r

r

(1.27)

Thay (1.27) vào (1.26) ta được


1 ik 1  
2 r  ik
jtx  f ( )
 2   2

rr r
r r  2mi

 
2 r  2ik
 f ( ) 2 

r  r 2mi 



2 r  k 1 
2 v r
 f ( ) 2 

f
(

)
.

r  m r
r2 r

(1.28)



Trong trường hợp này, mật độ dòng tán xạ jtx chỉ có thành phần xuyên tâm
jtx  f  

2

v
. (1.29)
r2

Xác suất để cho hạt tán xạ rơi vào góc khối dΩ , bằng
jtx dS  jtx r 2 dΩ  f   vdΩ. (1.30)
2

Tỷ lệ giữa xác suất hạt tán xạ rơi vào góc khối dΩ và mật độ dòng xác suất của các hạt
tớiđược gọi là tiết diện tán xạ vi phân
d 

jtx dS
(1.31)
jt

Thay (1.25) và (1.30) vào (1.31), ta được
d  f   dΩ. (1.32)
2

Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi
2
d
 f   . (1.33)
d


Như vậy, việc xác định tiết diện tán xạ hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên
độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiến hành như sau: Tìm nghiệm của
phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại các
khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó f   là biên độ cần tìm.
Để tìm biên độ tán xạ f   , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger
 2
  
  E  V  r    r   0. (1.34)

 2m



Khi r   thì  r  có dạng tiệm cận (1.21).
Trong nhiều trường hợp ta có thể kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điều
kiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân. Điều này có thể thực hiện được nếu ta
sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do G0  r , r '  , mà nó thỏa mãn
 

phương trình


 E  H 0  i  G0  r , r '    E 
 




2
 
 
  i  G0 r , r '   r  r ' . (1.35)
2m










Ta cho G0  r , r '   q 2G0  r , r '  , rồi thế vào (1.35) ta được
 

 


2 2
 ' 
 
 
 E  H 0  i  G0  r , r    E  q  i  G0  r , r '     r  r ' 
2m


2
  


iq  r  r '  

1
 
 
e
dq
 E  H 0  i  G0  r , r '    E  q 2  i  G0  r , r '  
3
2m

 2  



(1.36)

Khi đó hàm G0  r , r '  có dạng
 





 
1
G0 r , r '   E  H 0  i 



  
iq r  r '





  
iq r  r '



e
e
 2m 1


dq  2
dq
3 
2 2
3 
2
m
2
m
  2  E
 2  E   q  i
 q 2  i 2
2


2m
  
  

iq (r  r')
ik (r  r')
2m dq
e
1 2m e

 2 

 
3
2
2
 (2 ) k  q  iò
4  2 | r  r ' |
1

(E 

2 k 2
2m
,ò 2  )
2m


(1.37)


Nhờ có G0  r , r '  phương trình (1.34) sẽ chuyển thành phương trình tích phân
 

 k  r   k  r   G0  r , r ' V  r '  k  r '  dr ' ,




 







(1.38)



ở đây k  r  là nghiệm bất kỳ của phương trình Schrodinger tự do,ví dụ: k  r   eikr .

Bây giờ, ta chứng minh  k  r  được xác định bằng phương trình (1.38) khi r   có
dạng tiệm cận (1.21).
Thay (1.37) vào (1.38) ta được
 
ik r  r '

   

1 2m e

'
' '
 k  r   eikr 
 ' V r  k r dr .
2  
4 
r r

(1.39)

Khi lấy tích phân theo dr ' ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng V  r '  (xem




hình 1). Khi r   ta có thể tính gần đúng như sau

 



r 'r
 '
r 
r r  r 
 r    r '.
r
r

(1.40)

eikr 1 2m ikr '  '   '  '
e V r  k r dr .
r 4 2 

(1.41)

Vậy khi r   biểu thức (1.39) có dạng




 k  r   eikr 


r
Đại lượng k  k
r

   

là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho

hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.

 
r r '


r
'

r
V (r ')
O
Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)

So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ
f    

   


m

 
 ikr
e
V r '  k r ' dr ' . (1.42)
2 
2 

Biểu thức (1.42) cho ta biên độ tán xạ f   , nếu biết nghiệm của phương trình
Schrodinger  k  r ' . Lưu ý, trong biểu thức (1.42) ta cần hiểu  k  r ' không phải toàn bộ
không gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế V  r ' .


1.3.

Lời giải của phƣơng trình Schrodinger trong gần đúng eikonal

Chúng ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.34) có dạng sóng phẳng mà trong quá trình
tương tác với thế năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bổsung   r  . Ta thu được






  r   eikr i  r  .

(1.43)

Thay (1.43) vào (1.34), ta có phương trình chính xác cho 
i

 2
2
2   

Δ 
2k      V  r   0 . (1.44)

2m
2m 

 

Nếu ta giả thiết rằng   r  là hàm nhẵn của tọa độ, như ta đã làm khi rút ra phương trình
eikonal trong quang học (1.12) thì trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo hàm bậc hai của  . Như
vậy trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là
 
  2
2m 
2k   r      r     2 V  r  .




So sánh (1.43) với (1.4) ta có vai trò eikonal bây giờ là đại lượng kr    r  .

(1.45)

Nếu năng lượng của các hạt va chạm là lớn, thì ở vế trái (1.45) số hạng thứ nhất

 2
2k    là vượt trội, và khi đó

 

 
m

k   r    2 V  r  .


(1.46)


Hướng vectơ sóng k theo trục z , ta được
  x, y, z 
z



1
V  x, y , z 
v

(1.47)

Khi z   thì chỉ tồn tại sóng tới  r   eikz . Từ phương trình (1.43) ta suy ra
  x, y, z     0 .

Giải phương trình (1.47) với điều kiện biên   x, y, z     0, ta được


 r   

z

1
V  x, y, z dz.
v 

(1.48)


Như vậy, nghiệm của phương trình Schrodinger trong gần đúng đang nghiên cứu có dạng
  i z




  r   exp ikr 
V  x, y, z  dz .

v 






(1.49)

Thay (1.49)vào (1.42) ta được
z

f    




m

e V r  e
2 
2 

iqr



i
V  x , y , z   dz 
v





dxdydz ,

(1.50)



ởđây q  k  k ' .
Bây giờ tanghiên cứu tán xạ góc nhỏ, sao cho sự thay đổi xung lượng trong quá trình tán


xạ q có thể lấy với độ chính xác


1
vuông góc với k , tức là vuông góc với trục Oz. Trong
k

trường hợp này,tích phân theo dz trongbiểu thức (1.50) là của một vi phân toàn phần bởi


 

vì qr  q r nên không phụ thuộc vào z (các vectơ này là vectơ hai chiều, vuông góc với
trục z và chúng ta ký hiệu bằng  ). Lấy tích phân theo dz trong (1.50), ta có
z

m

f    
2  2


iqr

 dxdye V  x, y, z  e



i
V  x , y , z   dz 
v





i

dz

z

 iq r     v  V  x , y , zdz
m
2


d b e     

de
2  2 
 i 
z
  i  V  x , y , zdz




m    2 iq r  v 
 z 

e
 z

 d b e


2  2  i  


i
 iq r   v  V  x , y , zdz 
mv
2
 

d b e
e 
1



2 i 


z
i
 iq r   v  V  x , y , zdz 
k
2
 

d b e
e 
1 .



2 i



z

Biên độ tán xạ
  i  V b , z 'dz ' 
' 

 
k

v
f    f k , k 
d 2beiqb  e 
 1 ,



2 i









(1.51)



mv p
 .
ở đây b   x, y,0  ; k 



Đối với các thế năng có tính đối xứng thì trong (1.51) có thể lấy tích phân theo góc
phương vị. Sử dụng công thức tích phân Bessel
J n ( z) 

1
2 i n

2

 d e

iz cos in

e .

(1.52)

0

Trong công thức (1.52)cho n  0, z  qb , ta có
1
2

2

 d e

iqb cos 

 J 0 (qb). (1.53)

0

Trong công thức (1.51) ta thấy


e



i
V b , z ' dz '
v

 





 1  const ,

0  b  r
nên khi chuyển hệ  dxdy   bdbd 
0    2
r
2
r
' 
k
k
iqb cos
 f    f k , k 

const  bdb  d e

const  bdb2 J 0 (qb)
2 i
2 i
0
0
0





  i  V b, zdz 

' 
v
 f k , k  ik bdbJ 0  qb   e 
 1 ,


0






với q  2k sin


2



(1.54)



,  là góc giữa k và k ' .

Biểu thức (1.51) cho phép giải thích vật lý dưới đây (xem hình 2). Từng phần của sóng
phẳng tới, đi qua vùng tác dụng của thế với thông số ngắm b , sẽ nhận sự dịch chuyển
củapha,mà nó tỷ lệ với tích phân dọc theo quỹ đạo thẳng, song song với trục z:



V
b
 , z  dz  .



 


b


r

z

O


k
Hình 2.Việc lấy tích phân trong pha eikonal trong công thức (1.51)
II tiến hành dọc theo đườngI chấm chấm,
được
I- vùng tương tác của thế, II- sóng phẳng tới.


Bây giờ chúng ta sẽ tìm các điều kiện cho thế năng, năng lượng của hạt bị tán xạ và góc
tán xạ, để cho biểu thức (1.51) là đúng. Để đạt được mục tiêu này, ta cần thiết lập
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
2. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
Tiếng Anh
3. Barbashov B.M. and Nesterenko V.V. (1978), Lectures on eikonal Approximation
for High Energy Scattering, Dubna, Preprint, JINR.USSR.
4. Barbashov B.M (1965), “Functional Intergrals in Quantum Electrodynamics and
Infrared Asymptotics of Green Function”, JEFT, v.48, p. 607.
5. Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N.,
Tavkhelidze A.N. (1970), “Eikonal Approximation in Quantum Field Theory”,
Teor.Mat.Fiz., v.5, p.330.
6. Barbashov B.M., Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N.,
Tavkhelidze A.N. (1970), Phys.Lett., v.33B, p.484.
7. Barbashov B.M., Blokhintsev D.I., Nesterenko V.V., and Pervushin V.N., Soviet

Journal Particles and Nuclei, (Fiz El. Cht Atom Yad) Optical Model of Strong
Interactions and Eikonal Approximation in Scattering Theory, 4 (1973),
pp. 623-661.
8. Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N.,
Tavkhelidze A.N. (1970), “Straight-line Paths Approximation in Quantum Field
Theory”, Phys. Lett., v.33B, pp.484-488.
9. Feynman R. and Hibbs (1968), “Quantum Mechanics and Trajectory”, Mir.
10. Glauber R.J. (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, p.315.
11. Matveev V.A. and Tavkhelize A.N. (1971), “On The Representation of Scattering
Amplitudes as Path Integrals in Quantum Field Theory”, Translated from Theor.


Phys. and Math, v.9, p.44.
12. Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1989), “Gauge Invariant Quantization of Abelian
and non-Abelian Theories, The survey article”, Forschritte Der Physik, N8, pp.611656.
13. Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V. (1974), “High Energry Scattering of the
Composite Particle in the Functional Approach”, JINR, P2-8258, Dubna, pp.1-21;
Journal of Theor. And Math.Phys, vol.24 (2) (1975), pp.768-775, TMF, vol.24 (2)
(1975) pp.195-205.
14. Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V. (1976), “Bramsstrahlung Approximation for
Inclusive Processes”, Journal of Theor. And Math.Phys. Vol.29 (1976), pp.10031011.
15. Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with
Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor. And
Math.Phys, vol.29 (2), pp.1003-1011, TMF, vol.29 (2), pp.178-190.