Giải pháp hữu ích về BĐT tam giác

Trường Đại Học Đà Lạt
Khoa Tại Chức
Tiểu luận:
Đề tài:
" VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
TAM GIÁC VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ
DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP"
Người thực hiện: Đỗ Thừa Trí
Lớp : Toán chuyên tu 2006
Đà Lạt, tháng 08, năm 2007
I
A
B
d
B'
I
1
I. GIỚI THIỆU:
Bất đẳng thức tam giác là một trong những bất đẳng thức quan trọng trong
toán học nói chung và hình học nói riêng. Nó không những được ứng dụng rộng rãi
vào việc giải quyết nhiều bài toán hình học mà nó còn được sử dụng như một công
cụ hữu hiệu nhằm giải quyết một số bài toán số học và đại số. Không những thế, bất
đẳng thức tam giác còn được vận dụng nhằm giải quyết nhanh và chính xác một số
bài toán mang tính chất thực tế.
Để hiểu sâu hơn về nó, chúng ta hãy cùng khám phá trong phần tiếp theo.
II. NỘI DUNG:
1. Đònh lý 1: Trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh thứ ba.
Chứng minh: AC + BC > AB
Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho BC = DC.
Suy ra:
∆

BCD cân tại C
⇒
CBD = CDB (1)
Rõ ràng C
∈
AD nên tia BC ở giữa hai tia BA và BD
⇒
ABD > CBD (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: ABD > CDB
⇒
ABD > ADB
Xét
∆
ABD ta có: ABD > ADB
⇒
AD > AB
AC + CD > AB
AC + BC > AB (vì CD = BC)
⇒
đpcm
Vì vai trò của ba cạnh AB, AC, BC là như nhau nên tương tự như trên, ta cũng chứng
minh được: BC + AB > AC và AB + AC > BC
GT ABC
AC + BC > AB
KL BC + AB > AC
AB + AC > BC

A
C
B

D
2. Đònh lý 2: Trong một tam giác, hiệu hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh thứ ba.
Chứng minh:
Ta có: AC + BC > AB (đònh lý 1)
⇒
AB – BC < AC
BC + AB > AC (đònh lý 1)
⇒
AC – AB < BC
AB + AC > BC (đònh lý 1)
⇒
BC – AC < AB
3. Một số dạng toán thường gặp giải bằng phương pháp bất đẳng thức tam giác:
Bài 1: Một tam giác cân có độ dài cạnh thứ nhất bằng 5,7 cm và cạnh thứ hai bằng
2,7 cm. Tính chu vi của tam giác cân nói trên.
Giải:
Gọi x (cm) là độ dài cạnh thứ ba của tam giác cân trên.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
5,7 – 2,7 < x < 5,7 + 2,7
Suy ra: 3 < x < 8,4
Vì tam giác trên là tam giác cân nên ta có: x = 5,7 cm ( x không thể là
2,7 vì điều kiện x > 3)
Do đó: chu vi của tam giác cân là: 5,7 + 5,7 + 2,7 = 14,1 cm
Bài 2: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là:
AB = 4a + 5b; AC = 2a + 5b và BC = a + b. Hãy so sánh a và b.
Giải:
Rõ ràng ta thấy: AB là cạnh lớn nhất.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 4a + 5b < (2a + 5b) + (a + b)
⇒
4a + 5b < 3a + 6b

⇒
a < b
GT ABC
AB – BC < AC
KL AC – AB < BC
BC – AC < AB

A
C
B
D
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a + b
≥
3c.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c thì c là số nhỏ nhất.
Giải:
Giả sử c
≥
b. Vì a < b + c
⇒
a + b < 2b + c
Vì c
≥
b nên
⇒
a + b < 2b + c
≤
3c.
Hay a + b < 3c (trái với giả thiết)
Vậy: c < b (1)

Vai trò của a và b là như nhau nên tương tự ta chứng minh được: c < a (2)
Từ (1) và (2)
⇒
đpcm.
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CMR có các số dương x, y, z sao cho: a = x + y; b = y + z; c = z + x
Giải:
Ta có:





=+
=+
=+
cxz
bzy
ayx





=+
−=−
=+
⇔
cxz
bazx

ayx





=+
−+=
=+
⇔
cxz
bcax
ayx
2







−=
−=
−+
=
⇔
xcz
xay
bca
x

2









−+
=
−+
=
−+
=
⇔
2
2
2
acb
x
cba
y
bca
x
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:
a + c > b
⇔
a + c – b > 0

⇔
0
2
>
−+
bca
. Hay x > 0
Tương tự, ta cũng chứng minh được: y > 0; z > 0. Bài toán được chứng minh.
Bài 5: Có hai làng A và B ở gần một con sông. Người ta dự đònh xây dựng một nhà
máy nước sạch ở ngay bờ sông để cung cấp cho hai làng trên. Nếu bạn là kó
sư phụ trách thiết kế xây dựng nhà máy thì bạn sẽ dự đònh đặt nhà máy ở vò
trí nào sao cho đường ống dẫn nước từ nhà máy đến hai làng A và B là ngắn
nhất? Hãy giải thích sự lựa chọn của bạn!
Giải:
Giả sử hai làng được thể hiện là hai điểm A và B, bờ sông là đường
thẳng d như trong hình vẽ.
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d.
Gọi I là giao điểm của AB' và đường thẳng d. Ta có: IB = IB'
Gọi I
1
∈
d, I
1
≠
I. Ta có: I
1
B = I
1
B'. Vì I
1

≠
I
∆∃
AI
1
B'
Do đó: AI
1
+ I
1
B' > AB'
AI
1
+ I
1
B' > AI + IB'
AI
1
+ I
1
B > AI + IB
Như vây: với điểm I
1
∈
d, I
1
≠
I thì khoảng cách từ I
1
đến A và B đều

lớn hơn khoảng cách từ I đến A và B. Do đó, I là vò trí cần đặt nhà máy.
A
B
d
B'
I
I
1