CHUYÊN đề hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

MINH HIẾU

{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
∆ABC
1. Cho có a =12, b =15, c =13
a. Tính số đo các góc của
b. Tính độ dài các đường trung tuyến ∆ABC của
∆ABC
c. Tính S, R, r
d. Tính
ha , hb , hc
2. Cho có AB = 6, AC= 8, A=120 0
∆ABC
a. Tính diện tích
∆ABC
b. Tính cạnh BC và bán kính R
3. Cho có a = 8, b =10, c =13
∆ABC
a. co góc tù hay không?
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
∆ABC
c. Tính diện tích
0
0
∆ABC cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp và
4. Cho có A=60 , B=45 , b=2 . Tính độ dài
∆ABC
∆ABC
diện tích tam giác

5. Cho AC = 7, AB = 5 và tính BC, S, , R
∆ABC
h 3
6. Cho có và a = 3 tính độ dài cạnh AB,
cos Aa =
ABC
mb =∆4,
mc 5= 2
AC
7. Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích .
S∆=ABC
3 3
Tính cạnh BC
8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp biết AB
= 2, AC = 3, BC = 4
∆
ABC
9. Tính của có các cạnh a, b, c thỏa
µA
b ( b 2 − a 2∆)ABC
= c ( a 2 − c2 )
hệ thức
10. Cho . CMR
∆ABC
tan A c 2 + a 2 − b 2
=
tan B c 2 + b 2 − a 2

a.
b.

c 2 = ( a − b ) + 4S
2

c.

S = 2 R 2 sin A sin B sin C

d.
e.

a = b cos C + c cos B

f.
11. Gọi G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.

S=

CMR

sin A =

∆ABC
MA2 + MB 2 + MC 2 = GA2 + GB 2 + GC 2 + 3GM 2

12. Cho có b + c =2a. CMR

4 ( ma 2 + mb 2 + mc 2 ) = 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )
∆ABC
sin B + sin C = 2sin A

(

)

(

A 4 3, −1 ,∆BABC
( 0,3) , C 8 3,3

r 2 uuur 2 uuuruuur
1 uuu
AB AC − AB AC
2

(

2

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

a.
a.

a.

)

2 1 1
= +

ha hb hc

a. Tính các cạnh và
các góc còn lại của

b. Tính chu vi và diện tích
14. Cho biết . Tính , cạnh b,c của

∆ABC
µ ∆=ABC
µA 0 20 ', C
µ = 730
a = 40, 6; B
36

Nguồn: ST

)

b.

b.
13. Cho biết

2
bc

1 − cos C
sin C

Trang 1

∆ABC


MINH HIẾU

{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

tam giác đó
15. Cho biết ; ; . Tính và cạnh c.
µ010
abµ =∆
36,
42,
64m'
16. Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến C
=µAABC
33
,B
0
vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người 75 ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị
trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là
. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?
17. 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở
·
·
= 87 0 , CBA
= 620
bên này bờ sông từ vị trí C ở bên CAB

kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC.
Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, và hai µAS ∆=ABC
α đường trung tuyến BM, CN vuông góc với
nhau. Tính .
Hướng dẫn giải:
Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc
2

với nhau thì .

2

2  2 
2
 mb ÷ +  mc ÷ = a
3  3 
⇔ 5a 2 = b 2 + c 2
⇔ a 2 = 5a 2 − 2bc cos A ⇒ bc =

Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt là
góc A, B, C. Chứng minh rằng.
lA =

⇔

4 a 2 + b2 c2
4 a 2 + c 2 b2
(
− )+ (
− ) = a2

9
2
4
9
2
4

Mặt khác
2

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

2

2a
2a
=
cos A cos α

l A , lB , lC độ dài các đường phân giác
2bc
A
cos
b+c
2

a.
b.
c.

1
S ∆ABC = bc sin A = a 2 tan α
2

A
B
C
cos
cos
12 1 21 1 1 1
2+
++ + =
> + +
lA
lBl A lB lC lC a b c

cos

Hướng dẫn giải:

a. Trước
hết chứng minh công
bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh

α
α
sin α = 2sin cos
2
2

A có thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.
11
A
SS∆∆ACD
cl
sin A
= bl
bcA sin
ABD
ABC =
22
2

,,
Mà
b.

B
C
cos
2 = 1 + 1 ,
2 = 1 + 1
lB
2a 2c lC
2a 2b

cos

A
B

C
cos
cos
2+
2+
2 < 1+1+1
lA
lB
lC
l A lB lC

cos

2bc
A
S ∆ABC = S∆ABD + S ∆ACD ⇒ l A =
cos
A
b+c
2
cos
1
b
+
c
1
1


2 =

Tương tự
+

÷=
lA
2  bc  2b 2c
A
B
C
cos
cos
cos
2+
2+
2 = 1+1+1
⇒
lA
lB
lC
a b c

c. Ta có
⇒

Nguồn: ST

µA = 2α

1 1 1 1 1 1
+ + > + +

l A lB lC a b c
Trang 2


{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}
+ m, m+ m
mm , m
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt
m = aa b b c c
2
là độ dài các đường trung tuyến đi qua A,
MINH HIẾU

B, C, . Chứng minh rằng
S ∆ABC =

3
m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )
4

Hướng dẫn giải:

Gọi D là điểm đối xứng của A qua
trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành
S ∆GBD = S ∆GBC = S ∆AGB = S ∆AGC

Dễ thấy
Mà có ba cạnh

1

= S ∆ABC
3

2

⇒ S ∆GBD

2
= ÷
3

2
2
2∆GBD
ma , mb , mc
3
3
3
m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )

B

⇒ S ∆ABC = 3S∆GBD =

3
m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc )
4

a

b

C

x
c

Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn

A
d

có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Chứng minh rằng

SWABCD = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d )
P=

a+b+c+d
2

D

Với
Hướng dẫn giải:
Do ABCD nội tiếp nên

sin ·ABC = sin ·ADC
S ABCD = S ABC + S ADC =

1
( ab + cd ) sin B
2

AC = a +ABC
b 2 − 2ab cos B
2

2

cos ·ABC = − cos ·ADC

Trong tam giác có
Trong tam giác

có

=

1
( ab + cd ) 1 − cos 2 B
2

ADC
AC 2 = c 2 + d 2 − 2cd cos
D

2
2
2

⇒ a 2 + b 2 − 2ab cos
a 2 B+ =b 2c) −+( dc 2 +− d2cdcocD
(
)
⇔ cos B =
2(ab + cd )

Do đó

2
1 2
2
=
S ABCD =  ( ab
a + bcd2 ) − (1c−2 cos
+ d 2B
)
1
÷
( ab + cd ) 1 −2
÷
2
2(
ab
+
cd
)
22
11
2

2
2


2
= = (4a( +abb )+ cd
− ( )c −− d() a2 +( bc 2+) d− )( c−2 +( ad−2 )b) 
 
 
44 

 a + b + c − d  a + b − c + d  a − b + c + d   − a + b + c + d 
= 
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2





⇒ SWABCD = ( p − a)( p − bp)(=pa−+cb)(+pc−+dd)
2
Nguồn: ST

Trang 3


MINH HIẾU

{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

Với
Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng
a 2 + b 2 + c 2 cos A cos B cos C
=
+
+
2abc
a
b
c

Hướng dẫn giải:
Ta có
uuur uuu
r

u
uu
uu
r
uuur2 uuu
ruur u
rur 2 uuur uuu

⇔ AB 2 + BC 2 + CA
+
2
AB
.
BC
+
2
BC
.
CA
+ 2 AB.CA
AB + BC + CA = 0
⇔ a 2 + b2 + c 2 = 2ac cos B + 2bc cos A + 2ab cos C

(

⇔

Bài 23 Cho tam giác ABC có
ba cạnh là a, b, c là chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng .

)

a 2 + b 2 + c 2 cos A cos B cos C
=
+
+
2abc

a
b
c
2
0
2
a = x + x + 1, b120
= 2 x + 1, c = x − 1

Hướng dẫn giải:
x −1 > 0

⇔ x >1
2 x + 1 > 0
 x2 −1 + 2x + 1 > x2 + x + 1

2

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh
của tam giác
Với thì a > b và a > c nên a
là cạnh lớn nhất
Tính .

1
cos A = − ⇒ µA = 1200
2

Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
cot A + cot B + cot C =

a.
b.
Hướng dẫn

a 2 + b2 + c2
R
abc

giải:
a. Sử dụng định lí sin và cosin.
b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp
S ∆ABC

1
A
A
= pr = bc sin A =bc sin .cos
2
2
2

( 1)

sin

A
( p − b)( p − c)
=
2A

bc

Ta có
Từ hình vẽ:
O

S
A
A
r = ( p − a) tan ⇒ ∆ABC = ( p − a) tan
2
p
2

B

( S∆ABC )
p

Nguồn: ST

(2)

C

Từ (1) và (2)

2

= ( p − a ) tan

A
A
A
bc sin .cos
p ( p − a)( p − b)( p − c)
A
2
2
2 ⇔
= bc ( p − a ) sin
p
2

A
( p − b)( p − c)
=
2
bc
1
= ( a + b − c) ( a + c − b)
4

⇒ sin

Bài 25. Tam giác ABC có tính
chất gì khi

x >1

S ∆ABC

Trang 4


{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

MINH HIẾU

Hướng dẫn giải:
Theo Hê rong
S ∆ABC

 a + b + c  a + b − c  a − b + c  −a + b + c 
= 
÷
÷
÷
÷
2
2


 2 2
 2 2

⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( −a + b + c )

⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( −a + b + c ) ⇔ b + c = a
2

Bài 26 Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt
giác. Chứng minh rằng:

2

Tam giác ABC
vuông tại A

2

r 1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam
≤
R 2

Hướng dẫn giải:
Ta có

4 p ( p − a ) ( p −S b ) ( p −abc
c
4 p − a) ( p − b) ( p − c)
r
S2
r = ,R = ) = (
⇒ =
=
2p −a −b c
4S
R pabc
pabcp

abc
( p − a )( p − b) ≤
=
2
2

Mà
( p − a )( p − c) ≤

2p−a −c b
=
2
2
( p − b)( p − c) ≤

Bài 27. Cho tam giác ABC. Chứng
minh rằng

r 1
abc
⇒ ( p − a ) (⇒
p − b≤
) ( p − c) ≤
R 2
8

a.

cos 2 A + cos 2 B 1
≤ ( cot 2 A + cot 2 B )

2
2
sin A + sin B 2
p<

3S ≥ 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C )

b.

p − a + p −b + p − c ≤ 3p

c.
d.

Hướng dẫn giải:
⇔

2 − s in A + sin B 1  1
1 
≤  2 + 2 ÷− 1
2
2
sin A + sin B
2  sin A sin B  ⇔
2

2

1 
 1

⇔ 4 ≤  2 + 2 ÷( sin 2 A + sin 2 B )
 sin A sin B 
⇔ 3abc2 ≤ aa33 + b3 b+3 c 3 c3 
3abc
⇔
≤ 2R  3 + 3 + 3 ÷
4R
 8 R 8 R 8R 

2p −b −c a
=
2
2

a. BĐT

S2 ≤

1 4
a + b4 + c4 )
(
16

2
1 1
1 
≤  2 + 2 ÷
2
sin A + sin B 2  sin A sin B 
2

b. 3S ≥ 2 R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C )

( x + y + z)

2

= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx

c. Từ
⇒ ( x + y + z ) > x2 + y2 + z 2
2

Nên x, y,z
dương thì áp

x + y + z > x2 + y 2 + z 2

dung vào CM
Nguồn: ST

Trang 5


{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

MINH HIẾU

p −a + p −b + p −c >

p−a + p−b+ p−c =

(

+

+

p

p −a + p −b + p −c

)

2

≤ 3( p − a + p − b + p − c ) = 3 p

2
=ap+(bp −−ca
)( pa−−bb)(+pc−c )−a + b + c 
 a + b + cS 
d.
=
÷
÷
÷
÷
2
2

2
2





1
1
=  (b + c) 2 − a 2   a 2 − (b − c ) 2  ≤  (b + c) 2 − a 2  a 2
16
16

=

1 2 2
1
b + c + 2bc − a 2 ) a 2 ≤ ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) a 2
(
16
16
1
1
= ( 2b 2 a 2 + 2c 2 a 2 − a 2 ) ≤ (a 4 + b 4 + c 4 )
16
16

Bài 28. Cho tam giác ABC.
Chứng minh rằng

S ∆ABC =

1 2
( a sin 2 B + b2 sin 2 B )
4

Hướng dẫn giải:
Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

B

A

C

C

C

A

B

C’

A

B

C’

Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,

C’

+ B là góc tù
Bài 29. Cho tam giác ABC. Chứng a 2 + b 2 + c 2 < 2ab + 2bc + 2ca
minh rằng
Hướng dẫn giải:
Ta có

a − b < c ⇔ ( a − b ) < c 2 ⇔ a 2 + b 2 − c 2 < 2ab
2

Bài 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các
cạnh bé nhất.
Hướng dẫn giải:

( a + b + c)
Nguồn: ST

2

≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 )
Trang 6


{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

MINH HIẾU

⇒ ( a + b + c ) ≤ 9 ( a 2 + b2 + c2 ) = 9
2

4

(

a a 3 b b3 c c 3

≤ ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 )

khi tam giác đều

)

2

( a + b + c)
≥
19 ( a +1b + c1)
4

⇒ a +b +c
3

Bài 31. Cho tam giác
ABC. Chứng minh rằng

3

3

1
8
= ( a + b + c )3 = p 3
91
9
+
+
≤
a 2 b 2 c 2 4r 2

Hướng dẫn giải:
1
1
≤ 2
2
a
a − (b − c ) 2
1
1
1
1
≤ 2
, 2≤ 2
2
2
b
b − (c − a ) c

c − (a − b) 2
1 1 1
1
1
1
+ 2+ 2≤ 2
+ 2
+ 2
2
2
2
a b c
a − (b − c) b − (c − a) c − (a − b) 2
1
1
1
=
+
+
( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b)
1
1
1
=
+
+
4 ( p − b) ( p − c) 4 ( p − c) ( p − a ) 4 ( p − a ) ( p − b)
p
p2
p2

1
=
=
= 2 = 2
4( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4S
4r
a 2 ≥ a 2 − (b − c) 2 ⇒

Tương tự
Nên

Bài 32. Cho tam
giác ABC. Chứng minh rằng
a.
b
c.
Hướng dẫn giải:
a.

Mà
b.

c.

Ta có
Nguồn: ST

a
b
c

+
+
≥3
b+ c −a a +c −b a +b−c
1 1 1 1
+ + =
ha hb hc r
hb hc ha 1
+ +
>
ha2 hb2 hc2 r

b+c−a+c+a−b
=c
2
c+a −b+ a +b−c
(c + a − b)(a + b − c) ≤
=a
2
b+c−a+b+a−c
(b + c − a )(b + a − c) ≤
=b
2
abc
⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a ) ≤ abc ⇔
≥1
( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a )
a
b
c

a
b
c
+
+
≥ 33
.
.
=3
(b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c )
b+c −a a +c −b a +b−c
1
p a
b
c
p = ( a + b + c) ⇒ =
+
+
2
S 2S 2S 2S
1 1 1 1 11 11
⇔ = + ++ =+
⇔
S ha 2Shb 2hSc r2S
2
2
2
2 S  a p 2aS  b b 2cS  c  1
⇔


÷ +

÷ +

÷ ≥
b2  22S  2 c  2 S  2 a 2 2S 2 r
a b c
2S
a b c
⇔
+ + ≥
⇔
+ + ≥ 2p
b
c a
r
b
c a
a2
a2
2
2
a + b ≥ 2ab ⇒
+ b ≥ 2a ⇔
≥ 2a − b
b
b
(b + c − a )(c + a − b) ≤

Trang 7

{CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC}

MINH HIẾU

Tương tự

,

bc 2
≥ 2cb − ac
a
c
a 2 b2 c 2
⇔
+ + ≥ a+b+c = 2p
b 2 c a2 0
sin B + sin
A≤C
60= 2sin 2 A

Công lại ta có
Bài 33. Cho tam giác ABC có .
Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải:

sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A ⇔ b 2 + c 2 = 2a 2

cos A =

b +c −a
2

2

2

=

b2 + c2
2
2
2 = b + c ≥ 1 = cos 600
4
4
4
4bc
2
3 2bc
3
a + b = c3

b2 + c2 −

Bài 34. Cho tam
2bc
giác ABC có . Chứng minh rằng có một góc
tù.
Hướng dẫn giải:

3

4
4 4
4
 43

 43

4
4
3
3 3
a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b 3 ÷

4 4
4
4 4 2 2
 4

≥ a 4 + b 4 + a 3 b 3  a 3 + b 3 ÷ ≥ a 4 + b 4 + 2a 3 b 3 a 3 b 3


Mà
a 2⇒
+ bc22 −>ca22 +2 b2
0
cos
C

=
= a 4 + b 4 + 2a 2b 2 = 2( ab
a 2 + b 2 <) 0 ⇒ C ≥ 90
Bài 35. Tam giác ABC có
a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2
4
3

4
3

4
3

4

thì có tính chất gì?
( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a) ( p − a )( p − b)
S2
( p − a )( p − b)( p − c)
a + b + c = 36 2 = 36
= 36
p
p
p
2

2

2

Hướng dẫn giải:
2 ( p − b)( p − c) ≤ ( 2 p − b + 2 p − c ) = a

Ta có

( p − b)( p − c) ( p − c)( p − a ) ( p − a )( p − b) abc
≤
p
8p
9abc
2
2
2
2
2
2
⇔ a +b +c ≤
⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ≤ 9abc
a+b+c
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
⇒

Mà

⇒ ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≤ 9abc
⇔ a ( b − c) + b ( c − a) + c ( a − b) ≤ 0 ⇔ a = b = c
2

Vậy tam giác ABC có thì tam giác

ABC đều.

2

2

a 2 + b 2 + c 2 = 36r 2

______HẾT_____
* Learning is the eye of the mind *

Nguồn: ST

Trang 8