Một số phương pháp tìm không điểm chung của một họ hữu hai toán tử j đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM
KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU
HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM
KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU
HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRƯƠNG MINH TUYÊN

THÁI NGUYÊN-2015

i

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
TS. Trương Minh Tuyên, từ đáy lòng mình tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, các thầy, cô trong
khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, cũng như
các thầy, cô đã tham gia giảng dạy, truyền thụ những kiến thức quý báu cho tôi
trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo Ủy ban Nhân dân tỉnh Hưng Yên, Sở
Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên, Ban giám hiệu trường THPT Trần Hưng
Đạo cùng các đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên
tôi trong thời gian học tập và làm luận văn.
Tác giả


ii

Một số ký hiệu và viết tắt
E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

argminx∈X F (x)

tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

xn −→ x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

n→∞

x0

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

δE (ε)

mô đun lồi của không gian Banach E

F ix(T ) hoặc F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f

M

bao đóng của tập hợp M

o(t)

vô cùng bé bậc cao hơn t


iii

Mục lục

Lời cảm ơn
Một số ký hiệu và viết tắt
Mở đầu

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

i
iii
2
3

1.1. Không gian Banach lồi đều và không gian Banach có chuẩn khả
vi Gâteaux đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu và giới hạn Banach . . . . .

5

1.2.1. Ánh xạ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Toán tử j−đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2 Một số phương pháp tìm không điểm chung của một
họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu

13

2.1. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . 13
2.2. Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann . . 15
2.3. Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern . 17
2.4. Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm 20
2.5. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tài liệu tham khảo

37


1

Mở đầu

Cho E là một không gian Banach, bài toán xác định không điểm của lớp
toán tử loại đơn điệu có vai trò quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và
tối ưu hóa và một số ngành khoa học khác như vật lý, kinh tế, y học... Chẳng
hạn như bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert H, tìm một phần tử
x∗ ∈ ∩N
i=1 Ci = ∅, có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu
hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai , là dưới vi phân của hàm chỉ của tập Ci , hay
bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong
không gian Banach tương đương với bài toán xác định không điểm của hột họ
toán tử j-đơn điệu ... Do đó, vấn đề nghiên cứu các phương pháp giải hệ phương
trình với toán tử loại đơn điệu đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều người làm toán trên thế giới.
Khi A : H −→ 2H một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Hilbert
H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu và đơn điệu là trùng nhau),
thì R. T. Rockafellar [17] đã đề xuất phương pháp điểm gần kề để xác định dãy

{xn } như sau:
cn Axn+1 + xn+1

xn , x0 ∈ H,

(0.1)

ở đây cn > c0 > 0. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) chỉ thu được
sự hội tụ yếu của dãy {xn } về một không điểm của A.
Năm 2006 tác giả H. K. Xu [24] và năm 2009 các tác giả Y. Song, C. Yang
[19] đã đề xuất và nghiên cứu một cải biên của phương pháp điểm gần kề cho
bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A trong không gian
Hilbert, ông đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn } xác định bởi
xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, ...

(0.2)

với một số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {tn } và dãy sai số tính toán trong


2
mỗi bước lặp {en }, trong đó JrAn = (I + rn A)−1 .
Việc nghiên cứu mở rộng kết quả của H. K. Xu cho bài toán xác định không
điểm của một hay hữu hạn toán tử j-đơn điệu cũng đã thu hút sự quan tâm của
nhiều người làm toán, như: D. D. Sahu và J. C. Yao [18], T. M. Tuyen [22, 11]...
Mục đích của đề tài này là trình bày lại một số phương pháp xác định không
điểm của một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach. Cụ thể,
đề tài tập trung giải quyết các vấn đề sau:
1. Trình bày sự hội tụ yếu của phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương
pháp lặp Mann và sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề kết hợp

với phương pháp lặp Halpern cho bài toán xác định không điểm của một
họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach với tính liên tục
yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy;
2. Trình bày phương pháp prox-Tikhonov hiệu chỉnh với phương pháp xấp xỉ
mềm dựa trên toán tử Mier-Keeler co cho bài toán xác định không điểm
của một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach với chuẩn
khả vi Gâteaux đều.
Luận văn được chia làm hai chương chính. Chương 1 là chương có tính chất
chuẩn bị, nhằm trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach lồi
đều, không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh xạ đối ngẫu, toán
tử j-đơn điệu và giới hạn Banach. Chương 2 của luận văn tập chung trình bày
lại một số phương pháp cải tiến của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm
không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu, cùng với một ví dụ
số đơn giản được tính toán bằng phần mềm Matlab, nhằm minh họa thêm cho
các phương pháp.


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 3 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach lồi đều và
không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Mục 1.2 trình bày về ánh xạ
đối ngẫu, toán tử j-đơn điệu và giới hạn Banach, cùng với một số tính chất cơ
bản của chúng. Mục 1.3, giới thiệu một số bổ đề cần sử dụng trong chứng minh
các định lý ở chương sau của luận văn.

1.1.

Không gian Banach lồi đều và không gian Banach
có chuẩn khả vi Gâteaux đều

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ.
Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ,
nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại
phần tử x thuộc E sao cho
x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với mọi x∗ ∈ E.
Mệnh đề 1.1. [1] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
i) E là không gian phản xạ.
ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈
E, x = y mà x = 1, y = 1 ta có
x+y
< 1.
2


4
Chú ý 1.1. Định nghĩa 1.2 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương
sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa
x+y
mãn
= 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x = y ta có
2
tx + (1 − t)y < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó
SE = {x ∈ E : x = 1}.
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0,
tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta

luôn có
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2
Dễ thấy rằng nếu E là không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach
lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra điều đó.
Ví dụ 1.1. [1] Xét X = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn
.

β

xác định bởi
∞

x

β

= x

c0

+β
i=1

|xi |2
i2

1/2

, x = (xi ) ∈ c0 .

Khi đó, (X, . β ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian
lồi đều.
Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau:
Định nghĩa 1.4. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, hàm δE (ε) :
[0, 2] −→ [0, 1] được gọi là mô đun lồi của E nếu
x+y
δE (ε) = inf 1 −
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2
Nhận xét 1.1. Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục
và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi δE (2) = 1.
Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0.
Mệnh đề 1.2. [1] Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ.
Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E
được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE , tồn tại giới
hạn

d
x0 + ty − x0
( x0 + ty )t=0 = lim
.
t→0
dt
t

(1.1)

5
Định nghĩa 1.6. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi
x ∈ SE .
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn
(1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE .
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là thỏa mãn điều kiện của
Opial nếu với mọi dãy {xn } ⊂ E thỏa mãn xn

x ∈ E, ta đều có

lim inf xn − x < lim inf xn − y ,
n→∞

n→∞

với mọi y ∈ E mà y = x.
Ví dụ 1.2. Mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial.

1.2.

Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu và giới hạn
Banach

1.2.1.

Ánh xạ đối ngẫu

Dưới đây, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ đối ngẫu tương ứng với hàm
cỡ ϕ.

Định nghĩa 1.8. Một hàm liên tục, đơn điệu tăng ϕ : R+ −→ R+ được gọi là
một hàm cỡ nếu ϕ(0) = 0 và limt→∞ ϕ(t) = ∞.
Định nghĩa 1.9. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và ϕ là một
∗

hàm cỡ. Khi đó, ánh xạ Jϕ : E −→ 2E xác định bởi
Jϕ (x) = {f ∈ E ∗ : x, f = x . f , f = ϕ( x )}, x ∈ E
được gọi là ánh xạ đối ngẫu ứng với hàm cỡ ϕ.
Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đối ngẫu Jϕ ứng với hàm cỡ ϕ của không gian Banach
E được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu Jϕ là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E
thỏa mãn xn

x, thì Jϕ (xn ) hội tụ *yếu về Jϕ (x).


6
Chú ý 1.2. Cho ϕ là một hàm cỡ. Khi đó, hàm Φ : R+ −→ R+ xác định bởi
t

Φ(t) =

ϕ(s)ds
0

là hàm lồi, liên tục và đơn điệu mạnh trên R+ .
Trong trường hợp ϕ(t) = t2 , thì ánh xạ đối ngẫu ứng với hàm cở này được
gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Cụ thể hơn, ta có định nghĩa dưới đây:
Định nghĩa 1.11. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa
∗

trị J : E −→ 2E xác định bởi
J(x) = {f ∈ E ∗ : x, f = x 2 , x = f }
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.3. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh
xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.2. Trong không gian tuyến tính định chuẩn E bất kì, ta luôn có
J(x) = ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí HahnBanach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E.
Mệnh đề 1.3. [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập
hợp bị chặn trong E ∗ ;
iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi
E là không gian Banach trơn đều.


7
Ví dụ 1.3. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không
gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy
nó được xác định như sau:

θ nếu x = θ
J(x) =
{η } ∈ lq nếu x = {ξ } = θ,
n
n

trong đó ηn = |ξn |p−1 sgn(ξk )

1
x

p−2

với mọi k ≥ 1.

Định nghĩa 1.12. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Jϕ của không gian Banach E
được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu Jϕ là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E
thỏa mãn xn

x, thì Jϕ (xn ) hội tụ *yếu về Jϕ (x).

Chú ý 1.4. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí
hiệu nó bởi j.
Mệnh đề 1.4. [23] Giả sử không gian Banach E có ánh xạ đối ngẫu Jϕ ứng với
hàm cỡ ϕ. Cho Φ là hàm số xác định trong Chú ý 1.2. Khi đó:
i) Với mọi x, y ∈ E, bất đẳng thức sau thỏa mãn
Φ( x + y ) ≤ Φ( x ) + y, Jϕ (x + y) .
Trong trường hợp đặc biệt với mọi x, y ∈ E
x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y) .

ii) Nếu dãy {xn } trong E hội tụ yếu về một điểm x thuộc E, thì
lim sup Φ( xn − y ) = lim sup Φ( xn − x ) + Φ( y − x ), ∀y ∈ E.
n→∞

n→∞

Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn theo
tia cùng với một số tính chất của nó.
Định nghĩa 1.13. Cho E là một không gian Banach và C là một tập con lồi
đóng của E. Một ánh xạ QC : E −→ C được gọi là
a) co rút nếu Q2C (x) = QC (x), ∀x ∈ E;


8
b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn, tức là
QC (x) − QC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ E;
c) co rút không giãn theo tia nếu QC là co rút không giãn và thoả mãn tính
chất
QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.14. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được gọi
là
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn từ E
lên C;
c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn
theo tia từ E lên C.
Mệnh đề 1.5. [5] Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, một tập
con lồi đóng khác rỗng C của E, đều là tập con co rút của E.

Chú ý 1.5. Ánh xạ co rút từ E lên C trong mệnh đề 1.5 chính là phép chiếu
mêtric PC : E −→ C được xác định bởi
x − PC x = inf x − u , với mọi x ∈ C.
u∈C

Mệnh đề 1.6. [5] Cho G là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Banach trơn E. Ánh xạ co rút QG : E −→ G là một co rút không giãn theo tia
khi và chỉ khi
x − QG x, j(ξ − QG x) ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ G.

(1.2)

Nhận xét 1.3. Từ Mệnh đề 1.6 suy ra, nếu E là một không gian Banach trơn
và C là tập co rút không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút không giãn theo
tia QC : E −→ C là duy nhất.


9
1.2.2.

Toán tử j−đơn điệu

Định nghĩa 1.15. Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂ E −→
2E được gọi là j−đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y)
sao cho
u − v, j(x − y) ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y).

(1.3)

Chú ý 1.6. Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tử

j−đơn điệu trùng nhau.
Định nghĩa 1.16. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là m-jđơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của
I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Chú ý 1.7. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn
điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.4. [16] Cho H là một không gian Hilbert và f : H −→ R là một hàm
lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f (x) = {z ∈ H : f (y) − f (x) ≥ y − x, z , ∀y ∈ H}
là một toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.17. Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E
được gọi là không giãn nếu
T (x) − T (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ).
Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập
các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ).
Chú ý 1.8.

i) Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm

bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
ii) Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không gian
Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng
với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu.


10
1.2.3.

Giới hạn Banach

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach:

Cho f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ . Ta sử dụng fn (xn+m ) để
ký hiệu
f (xm+1 , xm+2 , ..., xm+n , ...),
với m = 0, 1, 2, ....
Định nghĩa 1.18. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ được gọi
là một giới hạn Banach nếu f

= f (1) = 1 và fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mọi

x = (x1 , x2 , ...) ∈ l∞ .
Chú ý 1.9. Ta ký hiệu giới hạn Banach bởi LIM . Khi đó, LIM = 1 và
lim inf xn ≤ LIMn xn ≤ lim sup xn với mọi (xn ) ∈ l∞ .
n→∞

1.3.

(1.4)

n→∞

Một số bổ đề bổ trợ

Định nghĩa 1.19. Một ánh xạ φ : (X, d) −→ (X, d) từ không gian mêtric
(X, d) vào chính nó được goi là Meir-Keeler co trên X, nếu và chỉ nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu d(x, y) < ε + δ, thì d(φx, φy) < ε với mọi
x, y ∈ X.
Chú ý 1.10. Ta ký hiệu ΣX là tập các ánh xạ Meir-Keeler co trên X.
Bổ đề 1.1. [20] Cho φ là một ánh xạ Meir-Keeler co trên tập con lồi C của
không gian Banach E. Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại r ∈ (0, 1) sao cho
x − y ≥ ε suy ra φx − φy ≤ r x − y với mọi x, y ∈ C.

(1.5)

Chú ý 1.11. Từ Bổ đề 1.1, với mỗi ε > 0, tồn tại r ∈ (0, 1) sao cho
φx − φy ≤ max{ε, r x − y },
với mọi x, y ∈ C.

(1.6)


11
Bổ đề 1.2. [20] Cho C là một tập con lồi của không gian Banach E. Cho T là
một ánh xạ không giãn trên C và φ là một ánh xạ Meir-Keeler co trên C. Khi
đó, với mỗi t ∈ (0, 1), ánh xạ x → (1 − t)T x + tφx là Meir-Keeler co trên C.
Bổ đề 1.3. [8] Cho E là một không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteaux đều,
C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng E và {xn } là một dãy bị chặn trong E. Cho
LIM là giới hạn Banach và y ∈ C sao cho LIMn xn − y

2

= inf x∈C xn − x 2 .

Khi đó, LIMn x − y, j(xn − y) ≤ 0 với mọi x ∈ C.
Bổ đề 1.4. [4] Cho E là không gian Banach thực phản xạ và có ánh xạ đối ngẫu
Jϕ tương ứng với hàm cỡ ϕ liên tục yếu theo dãy. Giả sử C là tập con lồi, đóng
của E, T : C → C là một ánh xạ không giãn và f : C → C là một ánh xạ co.
Khi đó với t ∈ (0, 1), tồn tại duy nhất xt thỏa mãn
xt = tf (xt ) + (1 − t)T (xt ).

(1.7)

Hơn nữa T có điểm bất động nếu và chỉ nếu dãy {xt } bị chặn khi t → 0+ và
trong trường hợp này, {xt } hội tụ mạnh tới một điểm bất động của T khi t → 0+ .
Chú ý 1.12. [25] Ta kí hiệu

C

là tập các ánh xạ co từ tập con lồi và đóng

C trong không gian Banach E vào chính nó. Khi đó ta có thể xác định ánh xạ
Q:

C

−→ C bởi Q(f ) = limt→0 xt . Đặc biệt nếu f (x) = u, với mọi x ∈ C thì

QF (T ) xác định bởi QF (T ) u = limt→0 xt là một co rút không giãn theo tia từ C
lên F (T ).
Bổ đề 1.5. [3] Cho C là tập con lồi và đóng của không gian Banach phản xạ
E. Cho N ≥ 1 là số nguyên dương và Sm : C → C, m = 1, 2, ..., N là các ánh
xạ không giãn. Giả sử ∩N
m=1 F (Sm ) = ∅. Khi đó,
giãn và F (
(0, 1) thỏa

N
N
m=1 βm Sm ) = ∩m=1 F (Sm )
N
mãn m=1 βm = 1.

N
m=1 βm Sm

là ánh xạ không

ở đây {βm } là dãy số thực trong khoảng

Bổ đề 1.6. [10] Cho E là không gian Banach lồi đều, s > 0 là số thực dương.
Khi đó tồn tại hàm lồi, liên tục và tăng ngặt g : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn
g(0) = 0 và
N

N

βm xm
m=1

2

≤

βm xm
m=1

2

− β1 β2 g( x1 − x2 ),

12
với mọi x1 , x2 , ..., xN ∈ Bs (0) = {x ∈ E : x < s} và β1 , β2 , ..., βN ∈ (0, 1) sao
cho

N
m=1 βm

= 1.

Bổ đề 1.7. [6] Cho E là không gian Banach lồi đều và C là tập con lồi đóng khác
rỗng của E. Cho S : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó I − S là demi-đóng
tại 0.
Bổ đề 1.8. [25] Cho {an }, {bn }, {cn } và {σn } là các dãy số thực không âm thỏa
mãn:
i) an+1 ≤ (1 − bn )an + bn cn + σn , bn < 1,
ii)

∞
n=0 bn

= +∞, lim supn→∞ cn ≤ 0,

iii)

∞
n=0 σn

< ∞.

Khi đó, limn→∞ an = 0.

13

Chương 2
Một số phương pháp tìm không điểm chung của
một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu

Chương này chúng tôi tập trung trình bày về một số phương pháp cải tiến
của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm chung của một họ
hữu hạn toán tử j-đơn điệu. Mục 2.1 trình bày sơ lược về một số phương pháp
tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 2.2 và Mục 2.3 trình bày về
phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann và phương pháp
lặp Halpern trong tài liệu [26]. Mục 2.4 trình bày về phương pháp prox-Tikhonov
kết hợp với phương pháp xấp xỉ gắn kết trong tài liệu [22] và [11].

2.1.

Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh
xạ không giãn

Bài toán: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Tìm x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ .
Chú ý 2.1. Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C
và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T . Tuy nhiên điều
này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn.
Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, W. R. Mann [13] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:
x0 ∈ C là một phần tử bất kì,
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn ,

n ≥ 0,

(2.1)


14
ở đây {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1,

∞
n=0 αn

=

∞. Dãy lặp (2.1) được gọi là dãy lặp Mann. Mann W. R. đã chứng minh rằng,
nếu dãy {αn } được chọn thỏa mãn

∞
n=1 αn (1 − αn )

= ∞, thì dãy {xn } xác định

bởi (2.1) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T . Chú ý rằng nếu H
là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (2.1) chỉ cho sự hội tụ yếu.
Phương pháp lặp Halpern
Năm 1967, B. Halpern [9] đã đề xuất phương pháp lặp
x0 ∈ C là một phần tử bất kì,
xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn ,

n≥0

(2.2)

ở đây u ∈ C và {αn } ⊂ (0, 1). Dãy lặp (2.2) được gọi là dãy lặp Halpern. Ông
đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (2.2) về điểm bất động của ánh xạ
không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1).
Phương pháp lặp xấp xỉ mềm
Năm 2000, Moudafi [15] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh
được các kết quả sau:
(1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi:
x0 ∈ C, xn =

1
εn
T (xn ) +
f (xn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn
1 + εn

(2.3)

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),
trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0.
(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi:
zn+1 =

1
εn

T (zn ) +
f (zn ), ∀n ≥ 0.
1 + εn
1 + εn

(2.4)

1
= 0, thì {zn } hội
εn+1
εn
tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
Nếu limn→∞ εn = 0,

∞
n=1 εn

= +∞ và limn→∞

1

−

x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ).


15
Ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1). Tức là
f (x) − f (y) ≤ c x − y ∀x, y ∈ C.
Chú ý 2.2. Khi f (x) = u với mọi x ∈ C, thì phương pháp xấp xỉ mềm của

Moudafi trở về phương pháp lặp của Halpern.

2.2.

Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp
lặp Mann

Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phương trình
với toán tử đơn điệu và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert H.
Xét bài toán
Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗ )

0,

(2.5)

với A : D(A) ⊂ H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại.
Năm 1976, R. T. Rockafellar [17] đã xét phương pháp lặp
cn Axn+1 + xn+1

xn , x0 ∈ H,

(2.6)

ở đây cn > c0 > 0 và gọi là phương pháp điểm gần kề. Rockafellar cũng đã chỉ
ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn } xác định bởi (2.6) về một nghiệm của bài toán
(2.5).
Chú ý 2.3. Phương pháp điểm gần kề được B. Martinet đề xuất lần đầu tiên
trong tài liệu [14] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên
tục dưới ψ : H −→ R ∪ {+∞} ở dạng sau:

1
xn+1 = argminy∈H ψ(y) +
xn − y
2cn

2

với mọi n ≥ 1.

(2.7)

..

Năm 1991, Guler [7] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp lặp (2.6)
không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát.
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu kết quả của S. Wang, T. Li trong tài liệu
[26] cho bài toán xác định không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử j-đơn
điệu trong không gian Banach lồi đều thỏa mãn điều kiện của Opial và có ánh
xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy, bởi sự kết hợp giữa phương pháp điểm gần
kề và phương pháp lặp Mann.


16
Định lí 2.1. [26] Cho E là không gian Banach lồi đều và thỏa mãn điều kiện của
Opial và cho Ai , 1 ≤ i ≤ N là các toán tử m-j-đơn điệu trong E với ∩N
i=1 D(Ai )
−1
là tập lồi và ∩N
i=1 Ai (0) khác rỗng. Cho {αn } và {βn,i } là các dãy số thực dương

nằm trong khoảng (0, 1), {ri }N
i=1 là các số thực dương. Cho {xn } là dãy được xác
định bởi x1 ∈ ∩N
i=1 D(Ai ) và
N

βn,i Jri xn , ∀n ≥ 1,

xn+1 = αn xn + (1 − αn )

(2.8)

i=1

ở đây Jri = (I + ri Ai )−1 . Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
a) 0 < a ≤ αn ≤ b < 1,
b)

N
i=1 βn,i

= 1 và 0 < c ≤ βn,i < 1 với mọi n, i ≥ 1 ở đây a, b, c là các số

thực
−1
thì dãy {xn } hội tụ yếu về phần tử x∗ ∈ ∩N
i=1 Ai (0).
−1
Chứng minh. Trước tiên, ta sẽ chỉ ra dãy {xn } bị chặn. Cố định p ∈ ∩N
i=1 Ai (0),

ta có
N

βn,i Jri xn − p

xn+1 − p ≤ αn xn − p + (1 − αn )
i=1
N

≤ αn xn − p + (1 − αn )

βn,i Jri xn − p
i=1

≤ xn − p .
Suy ra dãy { xn − p } đơn điệu giảm và do đó tồn tại giới hạn limn→∞ xn − p
và dãy {xn } bị chặn.
Áp dụng Bổ đề 1.6, ta có
N

xn+1 − p

2

≤ αn xn − p

2

+ (1 − αn )

2

βn,i Jri xn − p
i=1

N

− αn (1 − αn )g

xn −

βn,i Jri xn
i=1
N

≤ xn − p

2

− αn (1 − αn )g

βn,i xn − Jri xn
i=1

.


17
Do đó

N

αn (1 − αn )g

βn,i xn − Jri xn

≤ xn − p

2

− xn+1 − p 2 .

i=1

Từ điều kiện a) và sự hội tụ của dãy { xn − p }, ta nhận được
N

βn,i xn − Jri xn

lim g

n→∞

= 0,

i=1

và suy ra
N

βn,i xn − Jri xn = 0.

lim

n→∞

i=1

Từ điều kiện b), suy ra limn→∞ xn − Jri xn = 0 với mỗi i ∈ {1, 2, ..., N }. Vì
dãy {xn } bị chặn nên tồn tại dãy con {xnj } hội tụ yếu tới x∗ . Sử dụng Bổ đề
−1
1.7 ta thu được x∗ ∈ F (Jri ), tức x∗ ∈ ∩N
i=1 Ai (0).

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra dãy {xn } hội tụ yếu tới x∗ . Giả sử tồn tại dãy con
{xnk } của dãy {xn } hội tụ yếu đến x¯ ∈ C, với x∗ = x¯. Tương tự như trên ta có
−1
x¯ ∈ ∩N
i=1 Ai (0).
−1
Ta biết rằng giới hạn limn→∞ xn − p tồn tại với mọi p ∈ ∩N
i=1 Ai (0). Do đó,

ta giả sử limn→∞ xn − x∗ = d, với d là một số thực không âm. Theo giả thiết,
E thỏa mãn điều kiện Opial nên
d = lim inf xnj − x∗ < lim inf xnj − x¯
j→∞

j→∞

= lim inf xnk − x¯
k→∞

< lim inf xnk − x∗ = d.
k→∞

Điều này mâu thuẫn, do vậy x∗ = x¯. Suy ra {xn } hội tụ yếu về x∗ .

2.3.

Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp
lặp Halpern

Dưới đây, chúng tôi giới thiệu kết quả của S. Wang, T. Li trong tài liệu [26]
cho bài toán xác định không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu
trong không gian Banach lồi chặt có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy, bởi
sự kết hợp giữa phương pháp điểm gần kề và phương pháp lặp Halpern.


18
Định lí 2.2. [26] Cho E là một không gian Banach lồi chặt và phản xạ, có ánh xạ
đối ngẫu Jϕ ứng với hàm cỡ ϕ liên tục yếu theo dãy và cho Ai , 1 ≤ i ≤ N là các
−1
N
toán tử m-j-đơn điệu trong E với ∩N
i=1 D(Ai ) là tập lồi và ∩i=1 Ai (0) khác rỗng.

Cho {αn } và {βn,i } là các dãy số thực dương nằm trong khoảng (0, 1), {ri }N
i=1 là
các số thực dương. Cho {xn } là dãy được xác định bởi x, x1 ∈ ∩N

i=1 D(Ai ) và
N

βn,i Jri xn , ∀n ≥ 1,

xn+1 = αn x + (1 − αn )

(2.9)

i=1

ở đây Jri = (I + ri Ai )−1 . Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
a) limn→∞ αn = 0,
b)

N
i=1 βn,i

∞
n=1 αn

= ∞ và

∞
n=1 |αn+1

− αn | < ∞,

∞
n=1 |βn+1,i

= 1, limn→∞ βn,i = βi và

− βn,i | < ∞

thì dãy {xn } hội tụ mạnh về phần tử x∗ ∈ Q∩Ni=1 A−1
x với Q∩Ni=1 A−1
là một
i (0)
i (0)
−1
N
ánh xạ co rút không giãn theo tia từ ∩N
i=1 D(Ai ) lên ∩i=1 Ai (0).
−1
Chứng minh. Trước tiên, ta chỉ ra dãy {xn } bị chặn. Cố định p ∈ ∩N
i=1 Ai (0),

ta có
N

xn+1 − p ≤ αn x − p + (1 − αn )

βn,i Jri xn − p
i=1
N

βn,i Jri xn − p

≤ αn x − p + (1 − αn )

i=1

≤ αn x − p + (1 − αn ) xn − p .
Do đó
xn+1 − p ≤ max{ x − p , x1 − p },
suy ra dãy {xn } bị chặn.
Đặt yn =

N
i=1 βn,i Jri xn ,

khi đó ta có
N

N

yn − yn−1 ≤

βn,i Jri xn −
i=1
N

βn,i Jri xn−1
i=1
N

βn,i Jri xn−1 −

+
i=1

βn−1,i Jri xn−1
i=1

N

≤ xn − xn−1 +

|βn,i − βn−1,i | Jri xn−1
i=1


19
Suy ra
xn+1 − xn ≤ (1 − αn ) yn − yn−1 + |αn − αn−1 | x − yn−1
N

|βn,i − βn−1,i | Jri xn−1

≤ (1 − αn ) xn − xn−1 +
i=1

+ |αn − αn−1 | x − yn−1 .
Từ các giả thiết a), b) và Bổ đề 1.8, ta nhận được
lim xn+1 − xn = 0.

(2.10)

n→∞

Đặt S =
∩N
i=1 F (Jri ) =

N
i=1 βi Jri . Từ Bổ
−1
∩N
i=1 Ai (0). Mặt

đề 1.5, S là ánh xạ không giãn với F (S) =
khác

Sxn − xn ≤ xn − xn+1 + xn+1 − Sxn
N

≤ xn − xn+1 + αn x − Sxn + βn

βn,i Jri xn − Sxn
i=1

N

|βn,i − βi | Jri xn .

≤ xn − xn+1 + αn x − Sxn +
i=1

Kết hợp các điều kiện a), b) và (2.10) ta thu được
lim Sxn − xn = 0.

(2.11)

lim sup x − QF (S) x, Jϕ (xn − QF (S) x ≤ 0.

(2.12)

n→∞

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh

n→∞

Từ Chú ý 1.12, Q∩Ni=1 A−1
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ ∩N
i=1 D(Ai )
i (0)
−1
lên ∩N
i=1 Ai (0). Giả sử {xnk } là dãy con của dãy {xn } sao cho

lim sup x − QF (S) x,Jϕ (xn − QF (S) )x
n→∞

(2.13)
= lim x − QF (S) x, Jϕ (xnk − QF (S) x) .
k→∞

Từ giả thiết không gian Banach E là phản xạ và C là tập con lồi, đóng của
E, nên tồn tại một dãy con của dãy {xnk } hội tụ yếu về một phần tử thuộc C.

20
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử xnk

x¯ với x¯ ∈ ∩N
i=1 D(Ai ). Từ

Mệnh đề 1.4 và tính liên tục yếu theo dãy của jϕ , suy ra
lim sup Φ( xnk − y ) = lim sup Φ( xnk − x¯ + Φ( y − x¯ ), ∀y ∈ E.
k→∞

k→∞

Đặt g(x) = lim supk→∞ Φ( xnk − y ), ∀x ∈ E. Khi đó,
g(x) = f (¯
x) + Φ( x − x¯ ), ∀x ∈ E.

(2.14)

Từ (2.11), ta nhận được
g(S x¯) = lim sup Φ( xnk − S x¯ ) = lim sup Φ( Sxnk − S x¯ )
k→∞

k→∞

(2.15)

≤ lim sup Φ( xnk − x¯ ) = g(¯
x).

k→∞

Từ (2.14), suy ra
g(S x¯) = g(¯
x) + Φ( S x¯ − x¯ ).

(2.16)

Kết hợp (2.15) và (2.16), ta nhận được Φ( S x¯ − x¯ ) ≤ 0. Do đó S x¯ = x¯, hay
−1
x¯ ∈ F (S) = ∩N
i=1 Ai (0) và (2.12) được chứng minh.

Để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra xn → QF (S) x khi n → ∞. Từ Mệnh đề 1.4,
ta có
Φ( xn+1 − QF (S) x )
N

=Φ

βn,i Jri xn − QF (S) x

αn (x − QF (S) x) + (1 − αn )
i=1

≤ (1 − αn )Φ( xn − QF (S) x ) + αn x − QF (S) x, Jϕ (xn+1 − QF (S) x) .
Từ Bổ đề 1.8 ta thấy rằng Φ( xn −QF (S) x ) → 0 hay limn→∞ xn −QF (S) x = 0.
Định lý được chứng minh.

2.4.

Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương
pháp xấp xỉ mềm

Để thu được sự hội tụ mạnh, năm 1996 Lehdili và Moudafi [12] đã đề xuất
kết hợp phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và gọi
là phương pháp prox-Tikhonov. Năm 2006, Xu [24] và năm 2009 Song và Yang