BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Header Page 1 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2015

Footer Page 2 of 123.


Header Page 3 of 123.

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈✐➳t ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥
❳✉➙♥ ❚➜♥ ✈➔ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ sü ✤ç♥❣ þ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❦❤✐ ✤÷❛
✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❛✐ ❝æ♥❣ ❜è
tr÷î❝ ✤â✳

❚→❝ ❣✐↔
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❆♥❤

Footer Page 3 of 123.


Header Page 4 of 123.

ớ ỡ
ữủ t t trữớ ồ ữ ồ
ữợ sỹ ữợ ừ r sốt q
tr ồ t ự ừ t tứ
ữợ t ởt t t tr t rt
tự ồ ở số tọ ỏ t ỡ s s

t t
t ỡ ữớ ữớ t ổ q
t ú ù t t t s ũ õ
ự ừ tr sốt q tr ồ t ứ q t ụ
ữủ tọ ỏ t ỡ tợ t P ỳ
ổ P P
P P P r Pữỡ ỗ
t t ỳ ỵ õ õ qỵ
ữủ tọ sỹ ỡ ừ
ồ ỡ trữớ ồ ổ ổ t r tổ t
ồ t ủ t t ừ ụ
t ỡ ố ồ ồ
Pỏ ồ ừ ở ổ
trữớ ồ ữ ồ ồ
ồ t ỡ s t ú ù t tr sốt q
tr ồ t ự t
t ỡ ỗ ự
s ổ ú ù ở t tr sốt q tr ồ t
ự

Footer Page 4 of 123.


Header Page 5 of 123.

✐✐✐
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❣û✐ t➦♥❣ ❜è ♠➭ ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ♥✐➲♠ ✈✐♥❤ ❞ü t♦
❧î♥ ♥➔②✳

❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❆♥❤

Footer Page 5 of 123.


Header Page 6 of 123.

ử ử
ớ
ớ ỡ
ỳ

ữỡ









ổ tổổ t t ỗ ữỡ sr



ổ tổổ

ổ tổổ t t


õ tr


õ

tr
tử ừ tr
ỗ ừ tr
ởt số ỵ t ở

ữỡ ĩ





t t



t q



ỹ tỗ t ừ t tỹ tờ qt

ỹ tỗ t ừ t q



t tỹ q
t tỹ ổ ữợ
t tự tỹ ỵ tữ
t tỹ ỵ tữ
t tỹ Prt

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.

✈
✷✳✹✳✻✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷
✷✳✺

❙ü ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tê♥❣
q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✻

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇❆❖ ❍⑨▼ ❚❍Ù❈ ❚Ü❆ ❇■➌◆ P❍❹◆
P❆❘❊❚❖ ❍➱◆ ❍ÑP
✼✵
✸✳✶

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶

✸✳✷

❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺
✸✳✷✳✶✳

❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣
tr➯♥✲tr➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺

✸✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ tr➯♥
✲ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵
✸✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ ❞÷î✐
✲ tr➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶
✸✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ ❞÷î✐
✲ ❞÷î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷
✸✳✸

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹
✸✳✸✳✶✳ ❍➺ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ tü❛ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ P❛r❡t♦✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹
✸✳✸✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ tü❛ ❝➙♥ ❜➡♥❣ P❛r❡t♦ ❤é♥ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼

❈❤÷ì♥❣ ✹✳ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ❚➐▼ ◆●❍■➏▼ ❇⑨■ ❚❖⑩◆
❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆
✾✷
✹✳✶

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷

✹✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ➞♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å ❤ú✉

❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺

❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✹
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺

Footer Page 7 of 123.


Header Page 8 of 123.

t tt
r t ũ ỳ ợ ỵ ữợ
N
t ủ số tỹ ổ


Q

t ủ số ỳ t

R

t ủ số tỹ

R+

t ủ số tỹ ổ

R

t ủ số tỹ ổ ữỡ

Rn

ổ tỡ n

Rn+

t ủ tỡ õ t ổ
ừ ổ Rn
t ủ tỡ õ t ổ ữỡ

Rn

ừ ổ Rn

X

ổ ố tổổ ừ ổ tổổ t t X

2X

t t ừ t ủ X
t ủ tr ừ T L(X, Y ) t x K X

T, K
i = 1, n

i = 1, 2, ..., n

{x }

s rở

xn

x

xn ở tử tợ x



t rộ

F : X 2Y

tr tứ t X t Y

F

ừ F

rF

ỗ t ừ tr F

C

õ ố ừ õ C

Footer Page 8 of 123.


Header Page 9 of 123.

✈✐✐

C+

♥â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➦t ❝õ❛ ♥â♥ C

C−

♥â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉ ❝õ❛ ♥â♥ C

A ⊆ B A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ B
A ⊆ B A ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ B
A∪B

❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A∩B

❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A\B

❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A+B

tê♥❣ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

A×B

t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B

❝♦A

❜❛♦ ❧ç✐ ❝õ❛ t➟♣ A

❝❧A

❜❛♦ ✤â♥❣ tæ♣æ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A

✐♥tA

♣❤➛♥ tr♦♥❣ tæ♣æ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A

Footer Page 9 of 123.


Header Page 10 of 123.

é
ỵ ồ t
ỵ tt tố ữ tỡ ữủ t tứ ỵ tữ t ỵ
tt tr ừ rt Prt ữ tứ
ỳ tr s ỳ ổ tr ừ

tố ữ ừ r tr tố ữ Prt
ừ r ỵ tt tố ữ tỡ ợ tr t ởt ỵ tt
ợ ừ t ồ ợ ự ử tr tỹ t ỵ tt tố ữ
tỡ ữủ ự t tố tr ố s ừ
ử õ trỏ q trồ tr ỵ tt tố ữ t
t ỹ t ừ f tr t D x
D s

f (
x) f (x), ợ ồ x D,



ợ D ởt t rộ tr ổ X f : D R ởt
tỹ t ụ ữủ t ồ ự rở
tr tr ổ tỡ ú tổ q t ợ
t tỹ tờ qt sỹ tỗ t ừ ú tờ qt
õ t ữ t t tr ỵ tt
tố ữ ởt tố t q ừ ú õ q t
ợ t t tố ữ t rở ữớ
t tữớ ỹ ỳ tt t t tứ t ử t
tũ tở trữ ừ ộ ởt tr ữỡ õ ỹ
ở tử t ừ sỹ tỗ t
ừ t ởt tr ỳ q trồ ự
t tr ỵ tt tố ữ t q ữủ ữ r trữợ ữ
tỹ sỹ tờ qt t tỗ t ỏ q t

Footer Page 10 of 123.

Header Page 11 of 123.


ợ ỵ tr ú tổ ỹ ồ t ự t tỹ
tờ qt ởt số ự ử

ử ừ t
ử tự t ừ t t t tỹ tờ
qt ự ừ t õ ự t ờ
ừ t õ r ự ố q ừ
t tỹ tờ qt ợ t ữủ ữ r trữợ õ t
ởt số ự ử tr t tố ữ ởt số
ỹ

ử tự ừ t ợ t t
tự tỹ Prt ộ ủ ự ừ t
õ õ s r ởt số t q t q ữủ ữ
r trữợ õ

ử tự ừ t ỹ tt t t
ừ t tỹ tờ qt tự tỹ Prt tr
trữớ ủ t ừ t t tự tr
t t ở ừ ởt ồ ổ

ố tữủ ự
t tr ự t tử t ỗ t õ ừ
ỡ tr tr t ừ tr t ỗ õ ừ t ủ
t r tỗ t t tỹ tờ qt
t tự tỹ Prt ộ ủ

Pữỡ ự
r ởt số ỵ t ở ữủ ũ ự
t q ỵ t ở ỵ rr ởt
số tữỡ ữỡ r ữỡ ổ ữợ õ t
tr ổ tỡ ụ ữủ sỷ ử ởt q

ị ồ tỹ t
Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.


t tỹ tự tỹ ữủ
t ồ tr t ợ q t ự r ữợ õ t
t ữ P ố P ỳ ữợ õ
ử ổ tr ự ồ
ữủ r ớ ú õ ự ử tr qt ỳ ổ
t ỵ tt trỏ ỡ ồ

ờ q trú
õ trỏ tr t t tố ữ õ ố q t tt
t tr ỵ tt tố ữ t t
tự t t ở t s tr ổ
t
t ữ r t t tự
t ừ t tự õ t ữủ t
từ ữ s D t tr ổ ỳ
Rn , G : D Rn ỡ tr x
D s

G(x), x x 0 ợ ồ x D.



f ởt ỗ tr t ỗ D, t t tố ữ tữỡ ữỡ
ợ t t tự ợ G(x) = f (x) õ t
ữủ rở s ổ ổ t số : D R ử
t D t tr ổ ợ ố X , G : D X
ỡ tr : D R số õ t x
D s

x) 0 ợ ồ x D.
G(x), x x + (x) (
s ợ t t ữ r t t tự
s x
D Rn s

G(x), x x 0 ợ ồ x D.



t tự t D t ỗ t t
ừ ụ t ỗ ữ t ừ õ ổ ỗ

G t tỷ ỡ t tữỡ ữỡ ợ

Footer Page 12 of 123.

Header Page 13 of 123.


ũ ợ t tr t ỏ õ t t ở T : D X
ỡ tr x
D s

x = T (
x).



T ởt tử G := I T ợ I ỗ t
tr D t t t ở tữỡ ữỡ ợ t t
tự
tt t ự sỹ tỗ t
ừ t D t ừ ổ tổổ
t t ỗ ữỡ sr X, : D ì D R. x
D s

(t, x) 0 ợ ồ t D.



t ự t t ỹ
t ũ t t ở ữ ỳ trữớ ủ
t
rr t ự
sỹ tỗ t ừ t tỹ tố ữ tờ qt ỏ ồ t
tỹ tố ữ ử tở t số X, Z ổ tổổ t

t ỗ ữỡ sr D X, K Z ỳ t rộ

S : D ì K 2D , T : D ì K 2K ỳ tr F : K ì D ì D R
số (
x, y) D ì K s

1)

x S(
x, y), y T (
x, y),

y , x, t).
2) F (
y , x, x) = min F (



tS(x,y)

t tờ qt ỡ t F ổ ử tở y

F (x, x) = 0 ợ ồ x D, t t S(x, y) D (t, x) = F (x, t)
ợ ồ x, t D. ứ t õ 0 = F (
x, x) F (
x, t), t D, tự

(t, x) 0 ợ ồ t D ữủ tọ t tỹ tố ữ ỵ
tữ ụ ữủ t tr ử ổ tr
ổ ố q

t ữủ t trữớ ủ tỡ X, Y
ổ tổổ t t ỗ ữỡ D t tr X C õ

Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.


tr Y õ C s r q tự tỹ tứ tr Y : x

y

x y C. ứ q tự tỹ ữớ t t ỳ
ỵ tữ tỹ sỹ Prt ừ t A Y,
M in(A/C) t ỳ ừ t A ố ợ õ C, ỵ
tữ tỹ sỹ Prt t x
D s

F (
x) Min(F (D)/C),



tr õ F : D Y ữủ ồ t tỹ tố ữ tỡ x
ữủ ồ
F (
x) ữủ ồ tr tố ữ ừ
rở t trữớ ủ
tr trữớ ủ r ở D t ờ tr S. ự

D t ừ ổ tổổ t t ỗ ữỡ sr


X ợ ố X . S : D 2D , P : D 2X ỳ tr
: D R số t x D, x S(
x) y P (
x) s
y, x x + (x) (x) 0 ợ ồ x S(x),



ữủ ồ t tự tỹ tr
P t rở t
trữớ ủ tỡ
rở t trữớ ủ tr ự ỵ sỹ tỗ
t ừ tt trữớ ủ
t t
tự tỹ X, Z, Y ổ tổổ t t ỗ
ữỡ sr D X, K Z t rộ C Y õ

S : D ì K 2D , T : D ì K 2K , Pi : D 2D , i = 1, 2, Q : D ì D 2K , F :
K ì D ì D 2Y , ỳ tr
t tự tỹ ỵ tữ tr ữợ (
x, y)

D ì K s
1)

x S(
x, y), y T (

x, y),

2)

F (
y , x, t) F (
y , x, x) + C ợ ồ t S(
x, y),
F (
y , x, t) F (
y , x, x) + C = ợ ồ t S(
x, y) .

Footer Page 14 of 123.




Header Page 15 of 123.


t ữủ ồ t tự tỹ Prt tr ữợ
(
x, y) D ì K s

1)

x S(
x, y), y T (
x, y),

2)

F (
y , x, t) F (
y , x, x) (C \ {0}) ợ ồ t S(
x, y),



F (
y , x, t) F (
y , x, x) (C \ {0}) = ợ ồ t S(
x, y) .
ữỡ tỹ t ụ õ t t t tự tỹ
tỹ sỹ tự tỹ
ử ữ r t
tự tỹ t x
D s x P (
x)

F (y, x, t) F (y, x, x) + C ợ ồ t P (
x), y Q(
x, t),
F (y, x, t) F (y, x, x) + C = ợ ồ t P (
x), y Q(
x, t) ,

ữủ ồ t tự tỹ ỵ tữ tr ữợ
t tự tỹ Prt tr ữợ ữủ t
ữ s x
D s x P1 (
x)

F (y, x, t) F (y, x, x) (C \ {0}) ợ ồ t P2 (
x), y Q(
x, t),
F (y, x, x) F (y, x, t) + (C \ {0} ợ ồ t P2 (
x), y Q(
x, t) .

ữỡ tỹ t õ t tự tỹ tỹ sỹ tr
ữợ ỵ sỹ tỗ t ừ t tự tỹ
Prt ữủ ũ ũ
t tr ởt số ữủ ỷ ứ t q t
s r t q t t tỹ
Prt tỹ tố ữ Prt
s t q ự ừ rữỡ ũ ữỡ
t tỹ tờ qt ú tổ t
t tỹ tờ qt x
D s x P1 (
x)

0 F (y, x, t) ợ ồ t P2 (
x) y Q(
x, t).
t tỹ tờ qt ự t
tự tỹ tỹ t q

ữ ỳ trữớ ủ r

Footer Page 15 of 123.


Header Page 16 of 123.


rữỡ ũ ữỡ ự sỹ tỗ t t
tỹ tờ qt ộ ủ (
x, y) D ì K s

1)

x S(
x, y), y T (
x, y),

2)

0 F (
y , y, x, t) ợ ồ t S(
x, y),

3) 0 G(y, x, t) ợ ồ t P (
x), y Q(
x, t).
é X, Y1 , Y2 , Z ổ tổổ t t ỗ ữỡ sr
F : K ì K ì D ì D 2Y , G : K ì D ì D 2Y P, Q, S, T
ữ tr ữ r tỗ t t tỹ

tờ qt ợ tt t ữợ ởt t t ữ
ữủ õ õ
ử ừ t ự sỹ tỗ t ừ
t tỹ tờ qt t ố q tợ t tr
ỵ tt tố ữ tỡ tr t t tỹ Prt tỹ
tự tỹ Prt ộ ủ ợ ỳ
tt ỡ ố ũ ú tổ ỹ ởt ữỡ
t t tự tr t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ rt t trữớ
ủ t ừ t tỹ tờ qt t tự tỹ
Prt ộ ủ
ữỡ ợ t ởt số tự ỡ ừ t tr ữủ sỷ ử
tr ữỡ ừ
ữỡ t tỹ tờ qt ỵ
t tỹ tờ qt q t tỹ ổ
ữợ q t tỹ q q
t tự tỹ ỵ tữ q
t tỹ ỵ tữ t t r ởt số t
q sỹ tỗ t t tỹ Prt tr ữợ
q tợ ỡ ỵ
ữỡ ữủ t ỹ tr t q ừ
tr ử ổ tr ổ ố ừ t q


Footer Page 16 of 123.


Header Page 17 of 123.

ữỡ ự t tự tỹ Prt ộ
ủ ỵ r ừ tỗ t
ừ tứ q ừ ỵ tr sỹ tỗ t ừ t
q ữ t tự tỹ Prt t tỹ
tố ữ Prt tỹ Prt ộ ủ ở ừ ữỡ
ữủ tứ tr ử ổ tr ổ ố ừ t
q
r ữỡ ú tổ r r t t tự ợ
ữủ t r tọ ỵ sỹ tỗ t
ữỡ ữỡ õ ú tổ ỹ ởt ữỡ
t ừ t õ ỵ ở ừ
ữỡ ữủ ổ ố tr tr ử ổ
tr ổ ố ừ t q

Footer Page 17 of 123.


Header Page 18 of 123.

ữỡ

ố ợ ộ t ữủ t r tr t ồ ữủ tr
ởt ổ ử t õ ữ t ợ ữủ t ừ
t tr ổ trữợ ự ỳ
t ữủ tr t ỳ ổ ỳ tự
ỡ ũ tr ỳ ữỡ t t ừ t
ổ tổổ t t ỗ ữỡ sr ổ
t tữớ t r t tr ỵ tt tố ữ tỡ tr

ổ tổổ t t ỗ ữỡ sr

r ử t t ợ ổ trứ tữủ ổ tổổ õ
ợ t õ t õ r ổ õ
trú tổổ P ợ tự tr ử ữủ t tứ ố
s tỹ t ừ ử

ổ tổổ
X ởt t ủ
ởt ồ G ỳ t ừ X ữủ ồ ởt tổổ tr X
t , X tở ồ G
G ố ợ ỳ tự ừ ởt số ỳ t
tở ồ G t ụ tở ồ G;
G ố ợ ủ t tự ủ ừ ởt số ỳ ổ
t tở ồ G t ụ tở ồ G.
X ũ ợ tổổ G tr X ữủ ồ ổ tổổ (X, G)
ổ tổổ X

Footer Page 18 of 123.


Header Page 19 of 123.


t tở ồ G ữủ ồ t
õ tổổ G, G tr X, G G t õ tổổ G ỡ tổ ỡ
tổổ G tổổ G ỡ ỡ tổổ G. rữớ ủ ổ õ
q õ t õ tổổ ổ s s ữủ
r ổ tr (X, d), ồ t tr X ụ ởt tổổ
tr X, t ồ õ tổổ tr d, õ õ ồ ổ tr
ỗ ổ rt ổ tổổ
r ởt ổ tổổ t t õ t ữủ

ợ tr õ ởt qt ỡ
tr ổ tr

ổ tổổ (X, G), A X.
U ừ ổ X ữủ ồ ừ A U
ởt t ự A;
ừ tỷ x X ừ t {x}. ồ tt
ừ ởt ồ ừ õ

X, Y

ổ tổổ

ởt f : X Y ữủ ồ tử t x X ợ ộ
U ừ f (x) tr Y, tỗ t V ừ x tr X tọ

f (V ) U.
f ồ tử tr ổ tổổ X f tử t ồ
tở X.
ữỡ tỹ ỗ ổ õ ữủ rở
ởt tỹ tr ổ tổổ ởt tổổ õ t ữủ tứ
ởt ồ ừ õ ữủ ồ ỡ s ừ tổổ õ

ổ tổổ (X, G),
x X, ồ Vx õ ỗ ừ x ữủ ồ ởt ỡ

s ữỡ ừ tổổ G t x ỡ s t x ợ t
U ừ x ổ tỗ t t V Vx s x V U.

Footer Page 19 of 123.

Header Page 20 of 123.

✶✶
✷✮ ❍å ❝♦♥ V ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ tæ♣æ G tr➯♥ X ♥➳✉
♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤➲✉ ❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët sè ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ V.
✸✮ ❍å ❝♦♥ M ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ G ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t✐➲♥ ❝ì sð ❝õ❛ tæ♣æ G tr➯♥

X ♥➳✉ ❤å ❝→❝ ❣✐❛♦ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â t❤➸ ❝â ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ t❤✉ë❝ M ❧➔ ♠ët ❝ì sð
❝õ❛ tæ♣æ G.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ (X, G) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍❛✉s❞♦r❢❢
♥➳✉ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tò② þ x, y ∈ X ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛

x, V ❝õ❛ y s❛♦ ❝❤♦ U ∩ V = ∅.
▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â t❤➸ ❝á♥ ✤÷ñ❝
tr❛♥❣ ❜à ♠ët ❝➜✉ tró❝ tæ♣æ✳ ❚❛ ❝â ❦❤→✐ ♥✐➺♠✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✶✳✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K.
✶✮ ▼ët tæ♣æ τ tr➯♥ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ X ♥➳✉ ❝→❝
(+) : X × X → X,
(.) : K × X → X,
→♥❤ ①↕
✈➔
✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕
(x, y) → x + y;
(λ, x) → λx,
❧✐➯♥ tö❝✳

✷✮ ▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤❛② ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tæ♣æ tr➯♥ tr÷í♥❣ K
❧➔ ♠ët ❝➦♣ (X, τ ), tr♦♥❣ ✤â X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K, ❝á♥

τ ❧➔ ♠ët tæ♣æ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✤↕✐ sè ❝õ❛ X.
❚r♦♥❣ sè ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❧î♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤➦❝ ❜✐➺t q✉❛♥ trå♥❣
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭✈➔ tæ♣æ ❝õ❛ ♥â ❧➔ tæ♣æ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✮✱ ♥➳✉ tr♦♥❣

X ❝â ♠ët ❝ì sð ❧➙♥ ❝➟♥ ✭❝õ❛ ❣è❝✮ ❣ç♠ t♦➔♥ t➟♣ ❧ç✐✳ ❍ì♥ ✈➟②✱ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ X ✤ç♥❣ t❤í✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍❛✉s❞♦r❢❢ t❤➻ X ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢✳

Footer Page 20 of 123.


Header Page 21 of 123.


X ổ rt ú t ởt số t q s ữủ sỷ
ử tr ự ữỡ

õ s
x + y

2

x

2

x, y X.

+ 2 y, x + y ,

ợ t [0, 1] (1 t)x + ty

2

= (1 t) x

2

+t y

2

(1 t)t x

y 2 , ợ ồ x, y X.
ợ ộ ổ T tr X, F : X X Lst
tử ỡ t T t = T x tàF (T x), x H, t [0, 1] t õ



T t x T t y (1 t ) x y , ợ ồ x, y X,

à (0, 2/L2 ) = 1

1 à(2 àL2 ) (0, 1).

ỵ ỷ õ D t ỗ õ tr
ổ rt X. sỷ T : D D ổ T
õ t ở t I T ỷ õ tự {xk } t tr D
ở tử tợ x D õ {(I T )xk } ở tử tợ y õ t
t (I T )x = y

õ tr
r t ồ tr tỹ t t t q
tữỡ ự ởt ừ t ủ ợ ởt t ừ t ủ ởt
tữỡ ự ữ ữủ ồ tr tự tỹ tr
ổ t ỳ t q õ tr tỡ
tr ữớ t ữ r õ ứ õ t rở ữủ
t ừ ổ số tỹ số ự ổ tổổ t
t ử t t ừ õ tr
õ q tự ừ ử ữủ t tứ ố
s ừ P

õ
Y

ổ t t C Y. õ r C

õ õ t ố ồ tt õ tr Y tc C, c C, t 0.

Footer Page 21 of 123.

Header Page 22 of 123.


Y ổ tổổ t t C õ tr Y t clC, intC,

convC ữủt õ tr ỗ ừ õ C.

X, Y

ổ t t tr C :

X 2Y ữủ ồ õ C(x) õ tr Y ợ ồ x X domC
tữớ q t tợ õ s
õ C õ ỗ õ õ t C t ỗ t õ
l(C) = C (C) tr t t ừ õ C õ C
ữủ ồ õ ồ l(C) = {0}
ợ õ C trữợ t õ t q tự tỹ tr Y ữ s
x, y Y, x

C

y x y C, õ t t x

x, y Y, x

y x y C\l(C)

x, y Y, x

y x y intC

y ổ sủ

C õ ỗ t q tự tỹ tr t t õ q tự tỹ
tứ tr Y. ỡ ỳ C õ ồ t q tr õ t t
ố ự õ x

y x

y t x = y

Y ổ t t Y ổ tổổ ố
ừ Y < , y > tr ừ Y t y Y õ ố C õ

ố t C + ừ C ữủt ữủ

C = { Y | , c 0, ợ ồ c C},
C + = { Y | , c > 0, ợ ồ c C \ l(C)}.
ứ q tự tỹ s õ t õ t ữủ ỳ
ừ ởt t ủ t ử t ữ s

Y

ổ tổổ t t ợ tự tỹ s

õ C, A t ừ Y.
x A ữủ ồ ỳ ỵ tữ ừ t A ố ợ õ C
y x C ợ ồ y A.

ỳ ỵ tữ ừ A ố ợ õ C IMin(A|C)

Footer Page 22 of 123.


Header Page 23 of 123.


x A ữủ ồ ỳ Prt ỹ t Prt ừ t A
ố ợ õ C ổ tỗ t y A, y = x x y C \ l(C).
ỳ Prt ừ A ố ợ õ C PMin(A|C)
ỡ ỡ Min(A|C).
x A ữủ ồ ỳ ừ t A ố ợ õ C tr
trữớ ủ intC = C = Y ) x Min(A| (intC {0}) ự x
ỳ Prt ừ t A ố ợ õ (intC {0}) .
ỳ ừ A ố ợ õ C WMin(A|C)

WMin(A).
x A ữủ ồ ỳ tỹ sỹ ừ t A ố ợ õ C
tỗ t õ ỗ C t ổ ự C \ l(C) tr


tr ừ õ s x PMin(A|C)
ỳ tỹ sỹ ừ A ố ợ õ C PrMin(A|C)
ứ tr t õ IMin(A|C) PrMin(A|C) Min(A|C) WMin(A|C).

tr
t ủ X, Y, D X t

F : D Y

ộ x D t ởt t

F (x) ừ Y F (x) õ t rộ ữủ ồ tr

2Y ồ t ừ Y F : D 2Y tr tứ t D t Y
ợ ộ x X F (x) ỗ ởt tỷ t F ồ ỡ tr
t sỷ ử q tở F : X Y.

D X, ồ ỗ t ừ
G : D 2Y tữỡ ự t ủ
G = {x D| G(x) = } ,
r(G) = {(x, y) D ì Y | y G(x)} .
G ữủ ồ õ tữỡ ự ỗ t Gr(G) ừ
õ t õ tr ổ X ì Y.

Footer Page 23 of 123.


Header Page 24 of 123.

✶✺
✷✮ ⑩♥❤ ①↕ G ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦♠♣➢❝✱ ♥➳✉ ❜❛♦ ✤â♥❣ clG(D) ❝õ❛ G(D) ❧➔
♠ët t➟♣ ❝♦♠♣➢❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Y ✳
✸✮ ⑩♥❤ ①↕ G ❣å✐ ❧➔ ❝â ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ♠ð✱ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ Y, t➟♣ G−1 (y) = {x ∈

D | y ∈ G(x)} ❧➔ ♠ð✳
◆➳✉ G(x) ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✭❝♦♠♣➢❝✮ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ D t❤➻ t❛ ♥â✐ →♥❤ ①↕ G ❝â ❣✐→

trà ✤â♥❣ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❝â ❣✐→ trà ❝♦♠♣➢❝ ✮✳

❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ t❤➜②✱
✐✮ G ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② s✉② rë♥❣ {xα } ⊆ D, {yα } ⊆

Y, xα → x, yα ∈ G(xα )✱ t❛ ❝â y ∈ G(x)✳
✐✐✮ ❑❤✐ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ →♥❤ ①↕ F : X → 2Y ❝â ↔♥❤
♥❣÷ñ❝ t↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ X t❤➻ →♥❤ ①↕ ❜❛♦ ❧ç✐ coF : X → 2Y
❝õ❛ ♥â✱ (❝♦F )(x) = ❝♦F (x), ❝ô♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❤÷ ✈➟② ✭①❡♠ ❬✺✵❪✮✳

✶✳✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà
❈❤♦ X, Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ D ⊆ X ✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà f tø

D ✈➔♦ Y ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ X ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ t➟♣ ♠ð V ❝❤ù❛ f (x)
✤➲✉ tç♥ t↕✐ t➟♣ ♠ð U ❝❤ù❛ x s❛♦ ❝❤♦ f (x ) ∈ V ✈î✐ ♠å✐ x ∈ U ∩ D. ✣è✐ ✈î✐ →♥❤
①↕ ✤❛ trà✱ f (x) ∈ V t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿ F (x) ⊆ V ❤♦➦❝ F (x) ∩ V = ∅.
❚ø ✤â ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ tø ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ tö❝ ✤è✐ ✈î✐ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà s❛♥❣ →♥❤
①↕ ✤❛ trà t❤❡♦ ❤❛✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ t❛ ❝â ❤❛✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✿
→♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐✳ ❍❛✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ✤÷ñ❝
✤÷❛ r❛ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥➠♠ ✶✾✸✷ ❜ð✐ ❇✳❇♦✉❧✐❣❛♥❞ ✈➔ ❑✳❑✉r❛t♦✇s❦✐ ✭t❤❡♦ ❆✉❜✐♥ ✈➔
❋r❛♥❦♦✇s❦❛ ✭✶✾✾✵✮✮✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❇❡r❣❡ ✭❬✼❪✮ ✤➣ ❦❤↔♦ s→t ❦❤→ ❦➽ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✳ ❚❛
♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❇❡r❣❡✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✼✳ ❈❤♦ t➟♣ ❝♦♥ D ⊆ X, →♥❤ ①↕ ✤❛ trà F : D → 2Y ✳
✶✮ F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✭❞÷î✐✮ ✭✈✐➳t ❣å♥ ❧➔ ✉✳s✳❝ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❧✳s✳❝✮✮
t↕✐ x
¯ ∈ D ♥➳✉ ♠é✐ t➟♣ ♠ð V ❝❤ù❛ F (¯
x) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ F (¯
x) ∩ V = ∅)✱ tç♥
t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð U ❝õ❛ x
¯ s❛♦ ❝❤♦ F (x) ⊆ V ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ F (x) ∩ V = ∅) ✈î✐
♠å✐ x ∈ U ∩ D.

Footer Page 24 of 123.


Header Page 25 of 123.

✶✻
✷✮ F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✉✳s✳❝ ✭❧✳s✳❝✮ tr➯♥ D ♥➳✉ ♥â ❧➔ ✉✳s✳❝ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❧✳s✳❝✮ t↕✐ ♠å✐
✤✐➸♠ x ∈ D.
❈→❝ ✈➼ ❞ö s❛✉ ✤➙② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❤❛✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱
♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ▲➜② X = Y = R, D = [−a, a], ✈î✐ a ∈ R, a > 0. ⑩♥❤ ①↕
F : D → 2R , F (x) =




{0},

♥➳✉ x = 0,

 [ − a, a],

♥➳✉ x = 0.

✶✮ F ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x = 0. ❚❤➟t ✈➟②✱ V ❧➔ t➟♣ ♠ð ❜➜t ❦➻✱ V ∩ F (0) = ∅
✭tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② V ❝❤ù❛ 0 = F (0)✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ rã r➔♥❣✱ ❧➜② ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥

U ❝õ❛ ✤✐➸♠ x = 0✱ ❧➜② ❜➜t ❦➻ x ∈ U, x = 0 t❤➻ F (x ) = [−a, a] ∩ V = ∅

✭❝❤ó♥❣ ❝❤ù❛ 0✮✳
✷✮ F ❦❤æ♥❣ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ x = 0.
❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② t➟♣ ♠ð V = − a2 , a2 , F (0) = {0} ⊂ V. ▼å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ 0,
❧➜② ❜➜t ❦➻ x ∈ U, x = 0 t❤➻ F (x ) = [−a, a] ⊆ V.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ r➡♥❣ →♥❤ ①↕
H : D → 2R , H(x) =


 [ − a, a],

♥➳✉ x = 0,

{0},

♥➳✉ x = 0,



♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x = 0.
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤♦ X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ tæ♣æ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❍❛✉s❞♦r❢❢✱

D ⊆ X, K ⊆ Y ✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ♥➯✉ ❧➯♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✱ ✤õ ✤➸ →♥❤ ①↕ ✤❛
trà ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥✱ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ✭❬✹✼❪✮ ●✐↔ t❤✐➳t F : D → 2Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà ✈î✐ ❣✐→ trà ❝♦♠♣➢❝✳
❑❤✐ ✤â F ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ x ∈ D ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ y ∈ F (x) ✈➔
✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xα } tr♦♥❣ D ❤ë✐ tö tî✐ x✱ tç♥ t↕✐ ❞➣② {yα }, yα ∈ F (xα ) ✈î✐ ♠å✐ α
✈➔ yα → y.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ✭❬✺✹❪✮ ⑩♥❤ ①↕ ✤❛ trà F ❝â ♥❣❤à❝❤ ↔♥❤ ♠ð t❤➻ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐✳
Footer Page 25 of 123.