Chuyên đề Toán

TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
Chuyên đề toán nâng cao
Dành cho học sinh tiểu học.
_____________________
Phần 1: Các bài toán về dãy số.
Dạng 1: Viết thêm một số số hạng vào trước, sau hoặc giữa của một
dãy số.
Các bước giải bài toán dạng này là:
Bước 1: Xác đònh quy luật của dãy số đã cho. Những quy luật thường gặp ở tiểu học là:
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số
tự nhiên a.
Ví dụ: 1, 4, 7, 10 . . . . . ( 4 = 1 + 3 )
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với thứ tự
của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên a.
Ví dụ: 1, 6, 12, 19 . . . . . . ( 6 = 1 + 2 + 3 ; 12 = 6 + 3 + 3 . . .) ( a = 3)
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
Ví dụ: 1, 2, 3, 5, 8 . . . . . . ( 3 = 1 + 2 ; 5 = 2 + 3 ; 8 = 3 + 5 . . . )
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
Ví dụ: 0, 2, 2, 4, 8, 14 . . . . ( 4 = 0 + 2 + 2 ; 8 = 2 + 2 + 4 . . . )
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số
tự nhiên a.
Ví dụ: 2, 4, 8, 16 . . . . (4 = 2
×
2 ; 8 = 4
×
2 ; 16 = 8
×
2 . . . ) ( a = 2)
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với tổng
của thứ tự số hạng đó với một số tự nhiên a.
Ví dụ: 2, 8, 40, 240 . . . ( 8 = 2

×
4 ; 40 = 8
×
5 ; 240 = 40
×
6 ) ( a = 2)
Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó.
Ví dụ: 1, 2, 2, 4, 8 . . . ( 2 = 2
×
1 ; 4 = 2
×
2 . . . )
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó.
Ví dụ: 1, 2, 3, 6, 36, 648 . . . ( 6 = 1
×
2
×
3 ; 36 = 2
×
3
×
6 . . . )
Bước 2: Vận dụng quy luật đã tìm ở bước 1 để xác đònh các số hạng mà đề bài yêu cầu.
Chú ý: Để khẳng đònh một quy luật của dãy số ta cần chỉ ra ít nhất 3 số hạng của
dãy số đó tuân theo quy luật.
Ví dụ minh họa 1:
Hãy viết tiếp 2 số hạng của dãy số sau:
3, 15, 90, 630 . . .
Ta nhận xét:
-Số hạng thứ hai là 15 bằng số hạng trước nó ( 3 ) nhân với thứ tự nó ( 2 ) cộng với 3 :

15 = 3
×
( 2 + 3 )
-Số hạng thứ ba là 90 bằng số hạng trước nó ( 15 ) nhân với thứ tự nó ( 3 ) cộng với 3 :
90 = 15
×
( 3 + 3 )
Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
1
TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
-Số hạng thứ tư là 630 bằng số hạng trước nó ( 90 ) nhân với thứ tự nó ( 4 ) cộng
với 3 : 630 = 90
×
( 4 + 3 )
Quy luật của bài toán là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng
liền trước nó nhân với tổng của thứ tự số hạng đó với một số tự nhiên a.
Vậy 2 số hạng sau của dãy số là:
630
×
( 5+ 3 ) = 5040 và 5040
×
( 6 + 3 ) = 45360.
Dãy số trên là: 3, 15, 90, 630, 5040, 45360.
Cách ra đề:
Bước 1: Chọn quy luật của dãy số.
Bước 2: Chọn các số hạng tự do ( các số hạng không bò ràng buộc theo quy luật )
đứng ở đầu dãy số.
Bước 3: Chọn 3 số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật.
Bước 4: Đặt thành đề toán.
Câu lệnh: Hãy viết tiếp . . .

Hãy ra một đề toán về viết tiếp 2 số hạng vào sau một dãy số cho trước.
Bước 1: Chọn quy luật của dãy số: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số
hạng đứng liền trước nó cộng với thứ tự của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên 5.
Bước 2: Chọn các số hạng tự do: 2
Bước 3: Chọn 3 số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật:
2 + 2 + 5 = 9
9 + 3 + 5 = 17
17 + 4 + 5 = 26
Bước 4: Đặt thành đề toán
Hãy viết tiếp 2 số hạng của dãy số sau: 2, 9, 17, 26 . . .
Ví dụ minh họa 2:
Tìm số hạng đầu của dãy số sau:
. . . , 80, 84, 88.
Biết rằng dãy số trên có 18 số hạng.
Ta nhận xét:
-Số hạng thứ 16: 80 = 16
×
4 + 16
-Số hạng thứ 17: 84 = 17
×
4 + 16
-Số hạng thứ 18: 88 = 18
×
4 + 16
Vậy quy luật là: Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự của nó nhân với 4 rồi cộng với
16 ( Cách tìm quy luật để giải: lấy số hạng chia cho số thứ tự. Kết quả thương là số a và số dư
là số b. Suy ra quy luật là u = a
×
a + b, với u là số hạng; n là số thứ tự )
Vậy các số hạng phải tìm là :

-Số hạng thứ nhất: 1
×
4 + 16 = 20 (đáp số)
-Số hạng thứ hai : 2
×
4 + 16 = 24
. . . . .
-Số hạng thứ 15 : 15
×
4 + 16 = 76
Dãy số trên được viết lại là:
20, 24, 28, 32 . . . . 80, 84, 88 ( với 18 số hạng).
Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
2
TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
Cách ra đề:
Bước 1: Chọn quy luật: số hạng thứ n = a
×
n + b
Bước 2: Xác đònh 3 số hạng cuối theo quy luật trên và số số hạng của dãy.
Bước 3: Nêu các số hạng phải tìm.
Hãy ra một đề toán về tìm một số số hạng đứng trước của một dãy số đã cho.
Bước 1: Chọn quy luật: Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự của nó nhân với 3 rồi
cộng với 5.
Bước 2: Xác đònh 3 số hạng cuối theo quy luật trên: . . . ,35, 38, 41 và dãy số có 15
số hạng.
-Số hạng thứ 10: 3
×
10 + 5 = 35
-Số hạng thứ 11: 3

×
11 + 5 = 38
-Số hạng thứ 12: 3
×
12 + 5 = 41
Bước 3: Nêu các số hạng phải tìm: Tìm 5 số hạng đầu.
Đề toán: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số sau:
. . . . . , 35, 38, 41.
Biết rằng dãy số trên có 12 số hạng.
Ví dụ minh họa 3:
Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng của 3 ô liên tiếp đều bằng 2005.
200 300
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ta nhận xét:
-Ô 6, 7, 8 có tổng = 2005
-Ô 7, 8, 9 có tổng = 2005
-Suy ra: ô 9 = 200 và ô 8 = 2005 – ( 300 + 200) =1505
-Vậy ô 7 = 2005 – ( 1505 + 200) = 300
Tiếp tục tìm các ô còn lại.
Chú ý: (Về cách ra đề )
-Có thể thay 2005 bởi số khác lớn hơn 500.
-Có thể thay cặp 200 và 300 bởi một cặp số khác có tổng nhỏ hơn 2005.
-Có thể thay ô 6 và ô 10 bởi một cặp ô khác sao cho giữa chúng có 3 ô trống.
Dạng 2: Các bài toán về tìm số các số hạng của một dãy số.
 Nếu là dãy số cách đều thì ta áp dụng công thức:
Số các số hạng =
1
hạngsố2giữacáchKhoảng
)đầuhạngSốcuốihạngSố(
+

−
Ví dụ1:
Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3 ?
Ta nhận xét:
Các số có 3 chữ số chia hết cho 3 lập thành dãy số cách đều dưới đây:
102, 105, 108, . . . . . . . , 999.
p dụng công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đều ta có:
Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
3
TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
Số các số hạng có 3 chữ số chia hết cho 3 là:
( 999 – 102) : 3 +1 = 300
Ví dụ 2:
Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 ?
Ta nhận xét:
Các số có 3 chữ số là số chẵn chia hết cho 9 lập thành dãy số cách đều có khoảng
cách là 18 (2
×
9 ) dưới đây:
108, 126, 144, . . . . , 990.
p dụng công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đều ta có:
Số các số hạng có 3 chữ số là số chẵn chia hết cho 9 là:
( 999 – 108) : 18 +1 = 50
Ví dụ 3:
Có bao nhiêu số khi chia cho 4 dư 1 mà nhỏ hơn 450 ?
Ta nhận xét:
Các số chia cho 4 dư 1 mà bé hơn 450 lập thành dãy số cách đều có khoảng cách là
4 dưới đây:
1, 5, 9, 13, . . . . , 449.
p dụng công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đều ta có:

Số các số hạng khi chia cho 4 dư 1 bé hơn 450 là:
( 449 – 1) : 4 +1 = 113.
Ví dụ 4:
Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải
dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m.
p dụng công thức trồng cây trên đoạn đường .
Số cây dùng để đủ trồng đoạn đường trên:
(21000 : 5 +1 )
×
2 = 8402 (cây)
Ví dụ 5:
Một cuốn sách dày 284 trang. Hỏi phải dùng bao nhiêu lượt chữ số để đánh số thứ
tự các trang của cuốn sách đó.
-Số trang có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số: 9 – 1 + 1 = 9 (trang)
-Số trang có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số: 99 – 10 + 1 = 90 (trang)
-Số trang có số thứ tự ghi bằng 3 chữ số: 284 – 100 + 1 = 185 (trang)
-Số lượt chữ số để đánh số thứ tự các trang sách:
9 + 90
×
2 + 185
×
3 = 744 (lượt)
Ví dụ 6:
Để ghi số thứ tự các trang của một cuốn sách, người ta dùng 762 lượt chữ số. Hỏi
cuốn sách đó dày bao nhiêu trang ?
-Số trang có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số: 9 – 1 + 1 = 9 (trang)
-Số trang có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số: 99 – 10 + 1 = 90 (trang)
-Số lượt chữ số để đánh thứ tự các trang có 1 và 2 chữ số: 9 + 90
×
2 = 189 (lượt)

-Số lượt chữ số để đánh thứ tự các trang có 3 chữ số: 762 – 189 = 573 (lượt)
Số trang có 3 chữ số: 573 : 3 = 191 (trang)
Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
4
TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
-Tổng số trang sách: 9 + 90 + 191 = 290 (trang)
Ví dụ 7:
Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . .
để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố
đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ
tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy.
-Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số, chẵn: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (nhà)
-Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số, chẵn: (98 – 10) : 2 + 1 = 4 (nhà)
-Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số: 4 + 5
×
2 = 94 (lượt)
-Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số: 367 – 94 = 273 (lượt)
-Số nhà có số thứ tự 3 chữ số: 273 : 3 = 91 (nhà)
Tổng số nhà: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà)
Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: 140
×
2 = 280.
Dạng 3: Các bài toán về tìm tổng các số hạng của một dãy số.
 Nếu là dãy số cách đều thì ta áp dụng công thức:
Số hạng thứ n = Số hạng thứ nhất + ( n – 1 )
×
khoảng cách giữa 2 số.
Tổng các số hạng của dãy số:
S =
2

hạngsốcácSố)nthứhạngSốnhấtthứhạngSố(
×+
Ví dụ 1:
Tìm tổng các số có 2 chữ số chia hết cho 3.
Ta nhận xét:
Các số có 2 chữ số chia hết cho 3 lập thành dãy số cách đều có khoảng cách là 3:
12, 15, 18, . . . . , 99.
-p dụng công thức tìm số các số hạng của dãy số:
( 99 – 12 ) : 3 + 1 = 30
-p dụng công thức tìm tổng số hạng của dãy số:
( 12 + 99 )
×
30 : 2 = 1665.
Vậy tổng các số có 2 chữ số chia hết cho 3 là 1665.
Ví dụ 2:
Một rạp hát có 25 hàng ghế. Hàng đầu có 15 ghế. Mỗi hàng sau nhiều hơn hàng
liền trước nó 2 ghế. Hỏi rạp hát đó có bao nhiêu chỗ ngồi ?
-Số ghế của hàng cuối: 15 + 2
×
( 25 – 1 ) = 63 (ghế)
-Tổng số các ghế: ( 15 + 63 )
×
25 : 2 = 975 (ghế)
Dạng 4: Các bài toán về dãy chữ.
Ví dụ 1:
Một người viết liên tiếp cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” để được dãy “TO QUOC
VIET NAM TO QUOC VIET NAM . . . . .”
a)Chữ cái thứ 2005 trong dãy là chữ gì ?
Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
5

TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
b)Đến khi dừng lại, một người đếm được 2005 chữ O. Hỏi người đó đếm đúng hay
sai ? Tại sao ?
c)Một người đếm trong dãy có 2004 chữ T. Hỏi trong dãy có bao nhiêu chữ O , bao
nhiêu chữ I ?
d)Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Hỏi
chữ cái thứ 2005 được tô màu gì ?
Giải:
a)Ta nhận xét:
Mỗi cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” có 13 chữ cái. Cụm từ chứa chữ cái thứ 2005
là cụm từ thứ: 2005 : 13 = 154 dư 3.
Vậy chữ cái thứ 2005 cũng là chữ cái thứ 3 trong cụm từ thứ 155 là chữ Q.
b)Trong cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” có 2 chữ O.
Ta nhận xét: Trong cụm từ có 2 chữ O, vậy tổng số chữ O trong dãy phải là số
chẵn. Người ấy đếm được 2005 chữ O là số lẻ.
Kết luận: Người ấy đếm sai.
c)Trong cụm từ “ TO QUOC VIET NAM” có 2 chữ T, 2 chữ O, 1 chữ I. Vậy trong 1
cụm từ : Số chữ cái T = Số chữ cái O = Số chữ cái I : 2
Vậy số chữ cái O trong dãy là: 2004 (bằng số chữ cái T là 2004).
Số chữ cái I trong dãy là: 2004 : 2 = 1002
d)Gọi mỗi dãy chữ cái được tô màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu là một nhóm màu. Ta
có: 2005 : 5 = 401 (nhóm).
Vậy chữ cái thứ 2005 là chữ cái thứ 5 của nhóm màu 401. Đó là chữ được tô màu
nâu.

Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
6
TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
Phần 2: Các bài toán có nội dung hình học.
Phân dạng:

Các bài toán về nhận dạng các hình hình học:
-Nhận dạng đoạn thẳng.
-Nhận dạng tam giác.
-Nhận dạng tứ giác.
Các bài toán về chu vi và diện tích các hình:
-Vận dụng công thức tính chu vi và diện tích để giải toán.
-Vận dụng phương pháp diện tích để giải toán.
Các bài toán về cắt ghép hình:
-Toán về cắt hình.
-Toán về ghép hình.
-Cắt ghép.
Các bài toán về hình học không gian.
Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình hình học.
Những kiến thức cần củng cố và bổ sung:
-Khái niệm về đoạn thẳng: nối 2 điểm AB ta được đoạn thẳng AB. Các điểm A và
B ta gọi là các đầu mút của đoạn thẳng đó.
-Khái niệm về tam giác: tam giác ABC có 3 đỉnh là đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C; có 3 góc
là góc A, góc B, góc C; có 3 cạnh là cạnh AB, cạnh BC, cạnh CA. Đường vuông góc hạ từ đỉnh
A xuống cạnh đối diện BC gọi là đường cao của hình tam giác. Tam giác ABC có góc A vuông
gọi là tam giác vuông tại A. Tam giác có 1 góc tù gọi là tam giác tù.
-Khái niệm về tứ giác: Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C và đỉnh
D; 4 góc là góc A, góc B, góc C, góc D; 4 cạnh là AB, BC. CD, AD.
-Khái niệm về hình chữ nhật: Hình chữ nhật ABCD là hình tứ giác có 4 góc vuông.
Hình ABCD có 2 cạnh dài AD và BC bằng nhau; hai cạnh rộng AB và CD bằng nhau. Các
cạnh dài song song với nhau, các cạnh rộng cũng song song với nhau. Số đo của các cạnh dài
gọi là chiều dài, số đo của các cạnh rộng gọi là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Hai đường
chéo AC và BD cắt nhau tại O, ta có: OA = OB = OC = OD.
-Khái niệm về hình vuông: Hình vuông ABCD là một tứ giác có 4 góc vuông và 4
cạnh bằng nhau. Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật. Hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau.

-Khái niệm về hình thang: Hình thang ABCD có hai cạnh đáy BC và AD song song
với nhau. BC là đáy lớn, AD là đáy nhỏ. Hình thang có 1 góc vuông gọi là hình thang vuông.
-Khái niệm về hình tròn: Hình tròn tâm O, bán kính r có AB là đường kính. Độ dài
của đường kính gấp 2 lần bán kính. Đường bao quanh hình tròn gọi là đường tròn. Đoạn thẳng
nối tâm của hình tròn với một điểm trên đường tròn là bán kính. Đoạn thẳng nối 2 điểm trên
đường tròn đi qua tâm của hình tròn là đường kính của hình tròn đó.
1. Nhận dạng đoạn thẳng:
Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
7
A
Cách 1: phương pháp quy nạp.
Ta nhận xét:
Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy 1 điểm thì đếm được 3 hình
tam giác trên hình vẽ và ta có:
3 = 1 + 2
Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy 2 điểm thì đếm được 6 hình
tam giác và ta có: 6 = 1 + 2 + 3
TH Long Trì______________________________________________Chuyên đề Toán TH
Ví dụ 1:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi khi nối 5 điểm đó với nhau ta được bao nhiêu đoạn
thẳng ?
Giải:
Cách 1: phương pháp liệt kê.
Ta nhận xét:
Từ đầu mút A có 4 đoạn thẳng:
Từ đầu mút B có 3 đoạn thẳng:
Từ đầu mút C có 2 đoạn thẳng:
Từ đầu mút D có 1 đoạn thẳng:
Cộng : có 10 đoạn thẳng
AB, AC, AD, AE

BC, BD, BE
CD, CE
DE
Kết luận: khí nối 5 điểm đó với nhau ta được 10 đoạn thẳng.
Cách 2: phương pháp quy nạp không hoàn toàn.
Ta nhận xét:
-Khi có 2 điểm nối lại thì ta được 1 đoạn thẳng: 2 = 2
×
( 2 – 1 ) : 2
-Khi có 3 điểm nối lại thì ta được 3 đoạn thẳng: 3 = 3
×
( 3 – 1 ) : 2
-Khi có n đoạn thẳng: ?
Vậy quy luật ở đây là : “Khi có n điểm nối lại ta được số đoạn thẳng xác đònh bởi
công thức: S = n
×
( n – 1 ) : 2
p dụng công thức với n = 5 ta có:
Số đoạn thẳng : 5
×
( 5 – 1 ) : 2 = 10 (đoạn thẳng)
Cách 3: phương pháp đồ thò.
A A
B B
C C
D D
E E
Bước 1: Nối A
→
B, C, D, E : 4 đoạn

Bước 2: Nối B
→
C, D, E : 3 đoạn
Bước 3: Nối C
→
D, E : 2 đoạn
Bước 4: Nối D
→
E : 1 đoạn
Cộng : 10 đoạn
Cách 4:
Ta nhận xét
Khi nối mỗi điểm trong 5 điểm đã cho với 4 điểm còn lại ta được 4 đoạn thẳng.
Vậy khi nối 5 điểm với nhau ta được:
4
×
5 = 20 (đoạn thẳng).
Nhưng lúc này mỗi đoạn thẳng được kẻ đến 2 lần.
Vậy số đoạn thẳng đếm được khi nối 5 điểm với nhau là:
20 : 2 = 10 (đoạn thẳng).
2. Nhận dạng tam giác:
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, trên cạnh đáy BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với mỗi
điểm vừa chọn. Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ ?

Lê Văn Đồng__________________________________________________________________
8