Chuyen de Toan

Phòng giáo dục cẩm giàng
Chuyên đề:
Một số ứng dụng của định lí Vi-ét.
Môn: Đại số.
Cẩm Giàng, ngày 21 tháng 3 năm 2008.
Người báo cáo: Trần Văn Mạnh.
Đơn vị: Trường THCS Tân Trường.
Khối lớp: 9.


Chuyên đề
một số ứng dụng của định lý vi - ét

A . Đặt vấn đề
I - Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai là một trong những
nội dung quan trọng của chương trình đại số lớp 9, các bài toán
liên quan đến phương trình bậc hai là vô cùng phong phú. Do vậy
khả năng gặp phương trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào
THPT, vào các trường chuyên, lớp chọn là rất cao, đặc biệt là các
bài toán liên quan đến định lý Vi-ét.
Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít
(1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế qua thực tế giảng dạy tôi thấy
đại đa số học sinh thường lúng túng đôi khi còn nhầm lẫn khi đứng
trước các bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét và một số ứng
dụng của định lí này ( Như khi gặp các bài toán tìm hai số biết
hiệu và tích, các bài toán chứa tham số, phương trình tương đư

ơng, phương trình có nghiệm chung...)


Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét

A . Đặt vấn đề
I - Lý do chọn đề tài:
Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ
thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về dạng này
một cách thành thạo, góp phần phát huy khả năng suy luận, óc
phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và đề
xuất chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét .
II- Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh,
trước những thiên hướng tốt, chưa tốt mà tôi thấy rất cần phân
loại và trang bị một số phương pháp giải cho các em.
- Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rầt cần trau dồi, tự học và
tham khảo làm chủ kiến thức.
- Thứ ba: Giúp các thày cô có thêm tài liệu về định lý Vi-ét, phục
vụ trong công tác giảng dạy, đặc biệt trong việc ôn luyện học
sinh giỏi và ôn luyện vào THPT.


III- Phương pháp nghiên cứu
Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét

A . Đặt vấn đề
I - Lý do chọn đề tài
II- Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phương trình bậc hai,

định lý Viet trong chương trình đại số lớp 9
- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi
- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dưỡng
học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.
- Qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp,
những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm
trong công tác giảng dạy.
IV- Nhiệm vụ của đề tài
Đề cập tới một số ứng dụng của định lý Vi-et. Rút ra một số
nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng
dạng. Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và
các năng lực tư duy khác cho học sinh.
V- Giới hạn nghiên cứu
- Chuyên đề này áp dụng được với mọi đối tượng học sinh. Tuy
nhiên với mỗi đối tượng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập
với mức độ khó, dễ cho phù hợp.
- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong các tiết dạy tự chọn, trong
việc ôn luyện học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh ôn thi vào THPT,
đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn.


Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét

b. giải quyết vấn đề.
Icở sở lý thuyết
1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn
Phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (*) có

2
4b ac =
1.1 Nếu < 0 thì (*) vô nghiệm

1.2 Nếu = 0 thì (*) có nghiệm kép:

1 2
2
b
x x
a

= =
1.3 Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt:

1
;
2
b
x
a
+
=
2
2
b
x
a

=
1.4 Nếu ac < 0 thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.
1.5 Định lý Vi-ét thuận: Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x
1
, x
2
thì:
1 2 1 2
; .
b c
S x x P x x
a a

= + = = =
1.6 Định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số x
1
; x
2
có tổng x
1
+ x
2
= S và tích x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2

là
các nghiệm của phương trình X
2
- SX + P = 0 (ở đây chú ý rằng PT(*) chỉ có nghiệm
khi S
2
4P)

1.7 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a
= =
1.8 Nếu a- b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a

= =
1.9 Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
mà x
1
+ x

2
= m + n và x
1
. x
2
= m.n thì
x
1
= m; x
2
= n hoặc x
1
= n; x
2
= m.


Chuyên đề: một số ứng dụng của định lý vi - ét

b. giải quyết vấn đề



Icở sở lý thuyết
2. Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai
1. Điều kiện về nghiệm của phương bậc hai một ẩn
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0)
Gọi x

1
; x
2
là các nghiệm của phương trình, ta có các kết quả sau:

1 2
2.1) 0 0P x x< < <
1 2
0
2.2) 0 0
0
P x x
S



> <


>

1 2
0
2.3) 0 0
0
P x x
S

> <


<

2 1
0
2.4) 0
0
P
x x
S
=

> =

>

1 2
0
2.5) 0
0
P
x x
S
=

< =

<

Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 1: nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0,
a 0

1) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a
= =
2) Nếu a- b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a

= =
I. Cách giải
Xét phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (*).
Để nhẩm nghiệm của phương trình dạng này trước hết nhấn mạnh
cho học sinh:

3) Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
mà x
1
+ x
2
= m + n và x
1
.x
2
= m.n
thì x
1
= m; x
2
= n hoặc x
1
= n; x
2
= m.


VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
- 5x + 3 = 0 (1)
b) -3x

2
+ 7x +10 = 0 (2)
2
1 1 5
0
3 2 6
x x =
2
1 1 2 5
0
2 3 (2 )( 3)
m
x x
m m m m

+ + =

d) ( Với m 2; m 3, x là ẩn) (4)


c)
II. Một số ví dụ
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0,
a 0
I. Cách giải
Dạng 1:
(3)

Hướng dẫn:
a) Có a+ b + c = 0 nên x
1
= 1; x
2
= 1,5
b) Có a - b + c = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c) Có a - b + c = 0 nên x
1
= -1; x
2
= 2,5
d) Đây là phương trình bậc hai có:
a + b + c = = 0

(Với m 2; m 3). Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
10
3
1 1 2 5
2 3 (2 )( 3)
m
m m m m

+ +

1 2
2 5
1;
3
m
x x
m

= =

VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
- 5x + 3 = 0 (1)
b) -3x
2
+ 7x +10 = 0 (2)
2
1 1 5
0
3 2 6
x x =
2
1 1 2 5
0
2 3 (2 )( 3)
m
x x

m m m m

+ + =

d) ( Với m 2; m 3, x là ẩn) (4)


c)
(3)




VD2: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) (m -3)x
2
(m +1)x 2m + 2 = 0 (1) ( m là tham số, x là ẩn)

2
( 3 5) 15 0x x+ =
Hướng dẫn:
a) ở phương trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:
a b + c = m 3 + m + 1 2m + 2 = 0.
1
1x =
2
2 2
;
3
m

x
m

=


Giải:
+ Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phương trình (1) trở thành - 4x 4 = 0 x =
-1

+ Nếu m 3 0 m 3 phương trình (1) có a b + c = 0, nên có 2
nghiệm


1 2
2 2
1;
3
m
x x
m

= =

II. Một số ví dụ
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0,
a 0

Dạng 1:

b)
Nên mà không thấy được phương trình đã
cho chưa phải là phương trình bậc hai.
Vì vậy ta cần xét m 3 = 0; m 3 0, rồi nhẩm nghiệm.
(2)

b) ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhưng có
a.c = < 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. áp dụng hệ
thức Viét có:


15
1 2
1 2
3 5
. 15 3. 5
x x
x x

+ = +


= =


Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và
3
5

Hướng dẫn



Kết luận:
Như vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng:
ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (*) thì ta cần:
+) Cần xác định a = ?, b = ?, c = ? ( Đây là bước rất quan trọng)
+) Nếu a = 0 đưa về phương trình cơ bản đã học sau đó nhẩm
nghiệm.
+) Nếu a 0 đưa về phương trình bậc hai sau đó nhẩm nghiệm
Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc
bậc 4 (dạng đặc biệt). Để giải quyết được tôi đã định hướng để
học sinh thấy được khi đó phải đưa các PT ấy về dạng PT bậc 2
nhẩm được nghiệm.


VD2: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất .
a) (m -3)x
2
(m +1)x 2m + 2 = 0 (1) ( m là tham số, x là ẩn)

2
( 3 5) 15 0x x+ =
II. Một số ví dụ
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax
2

+ bx + c = 0,
a 0
Dạng 1:

b)
(2)


VD3: Nhẩm nghiệm của phương trình (4)
3 2
5 5 1 0x x x+ =
Hướng dẫn
Dễ thấy PT (4) có nghiệm x = 1.
Khi đó ta đưa PT (4) về dạng: (x -1)(5x
2
+ 6x + 1) = 0,
nhẩm tiếp nghiệm của phương trình: 5x
2
+ 6x + 1 = 0
Kết quả phương trình (4) có 3 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= -1; x
3
=
1
5

VD4: Giải phương trình : (x +1)(5x

2
- 6x - 6 ) = 0
Hướng dẫn: Phương trình trên có dạng: 5x
2
(x +1) 6 ( x+ 1)
2
= 0 (5)
Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên ta chia
2 vế cho ( x +1)
2
ta được:
2
2 2
5. 6 0
1 1
x x
x x

+ =
ữ
+ +

II. Một số ví dụ
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0,
a 0
Dạng 1:

Đặt = X; ta có phương trình: X
2
+ 5X 6 = 0
2
1
x
x +
Dễ dàng nhẩm được X
1
= 1 ; X
2
= - 6. Sau đó giải tiếp tìm x


Dạng 2:
VD1
Cho phương trình x
2
- 27x + 43 = 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên
(x1 < x2). Không giải phương trình , hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
1 2
1 1
x x
+
a.
b. x
1
2
+ x
2

2
1 2
2 1
1 1x x
x x
+ +
+
c.
d. x
1
x
2

2 2
1 2
x x
e.
Đáp số
27
43
b) 643
670
43
557
27
557

a)
c)
d)

e)
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
2.1 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của một phương trình.
ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối
xứng giữa các nghiệm.Với biểu thức các biến số đối xứng ta có thể biểu thị
biểu thức đó theo S = x
1
+ x
2
và P = x
1
x
2
nhờ đó có thể tính được giá trị của
biểu thức mà không phải giải phương trình.
I.Cách giải
II.Một số ví dụ


VD2:
Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phương trình bậc hai 3x
2
cx + 2c -1 = 0.
Tính theo c giá trị của biểu thức A =

3 3
1 2
1 1
x x
+
Giải: Theo định lý Viét ta có:
1 2
1 2
3
2 1
.
3
c
x x
c
x x

+ =





=


3 3
1 2
1 1
x x

+
A =
3 3
2 1
3 3
1 2
.
x x
x x
+
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 3
1 2
3
.
x x x x x x
x x
+ +
=
3
3
2 1
3. .
3 3 3
2 1
3
c c c

c



ữ



ữ

A =
( )
( )
2
2
18 9
2 1
c c c
c
+
=
+
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:


VD3: Không giải phương trình , hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm
lớn và nhỏ của phương trình bậc hai : (*)

2
85 5
1 0
4 16
x x + =
85 21 1
4. 0
16 16 16
= = >
Hướng dẫn: Phương trình (*) có

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Không mất tính tổng quát.
Giả sử x
1
> x
2
áp dụng định lý Viét ta có S = x
1
+ x
2

85
4
=
và P = x
1

. x
2

21
16
=
ta có
3 3
1 2
x x =
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
( )x x x x x x + + =
( )
2
1 2 1 2 1 2
( )x x x x x x

+

Do x
1
> x
2
nên
( )
2
1 2 1 2
x x x x =

2 2
1 2 1 2
2x x x x= +
( )
2
1 2 1 2
4x x x x= +
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
3 3
1 2
x x =
( )
2 2
4 .S P S P
85 84 85 21
.
16 16 16 16

=
ữ

1 64
. 1
4 16
= =
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các
nghiệm trước hết ta tính S = x

1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
sau đó cần có sự
nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho
nhằm xuất hiện S; P từ đó tính được giá trị của biểu thức.


Cho phương trình:
Gọi 2 nghiệm của phương trình là x
1
, x
2.
.
Không giải phương trình,
hãy tính giá trị của các biểu thức:
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
1 2 1 1 2 2
;A x x B x x x x= + = +
Hướng dẫn:
Dễ thấy nên A > 0, B > 0 bình phương hai vế từng biểu
thức
ta tính được:

1 2
0 ; 0x x> >
29; 1856A B= =
VD4:
2
x -15x + 49 = 0


VD5: Cho phương trình . Gọi 2 nghiệm của phương trình là
x
1
, x
2
. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức:
2
15 1 0x x =
1 2 1 2
; 1 1C x x D x x= + = + +
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
Dễ thấy phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu. Để tính được giá
trị của các biểu thức C; D ở trên trước hết ta tính C
2
; D
2
.
Hướng dẫn
( )

2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 15 2 2 229 229C x x x x x x C= + + = + + = =
( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 1D x x x x x x x x= + + + + + + +
2 2
15 2 2.15 2 2 1 15 1 229 229D D= + + + + + = =
Ta có:
( Vì C > 0)


Cho phương trình .Gọi 2 nghiệm của phương trình
là x
1
, x
2
.Tính giá trị của biểu thức A =
2
5 3 0x x + =
1 2
2 1x x +
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi- Hải Dương năm học 2005-2006)
ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm x
1
, x
2
và

trong biểu thức này chứa cả căn thức và giá trị tuyệt đối, nếu bình phương
ngay sẽ gặp bế tắc .Chúng ta sẽ tìm cách chuyển biểu thức này về dạng
hoặc chỉ chứa căn thức hoặc chỉ chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1:
( )
2
1 1
2 2x x =
.Có x
1
+ x
2
= 5; x
1
. x
2
= 3 x
1
> 0, x
2
>0
Vì x
1
là nghiệm của phương trình nên
2
5 3 0x x + =
2
1 1
5 3 0x x + =
2

1 1 1
4 4 1x x x + = +
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
Ví dụ 6:
Hướng dẫn
( )
2
1
2x
1
1x= +
1
1x +
1
2x=
Khi đó A
1 2
1 1x x= + +
2
1 2 1 2 1 2
2 2 1A x x x x x x = + + + + +
2
5 2 2 5 3 1 1A = + + + =
1 ( 0)A A =
Dễ thấy

Vì x

2
là nghiệm của phương trình nên nên
Cách 2:
2
5 3 0x x + =
2
2 2
5 3 0x x + =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 1 2 1x x x x x x x x + = + + = + = +
Khi đó ta có: đến đây ta bình phương và tìm được
A = 1
1 2
2 2A x x=
ở VD6 không có mặt S, P một số học sinh vội vàng bình phư
ơng 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc. Thế nhưng nếu học sinh thay
thế bởi hoặc như cách trên sau đó
mới bình phương 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính được một cách
dễ dàng .
1
1x +
1
2x
2 2
1 2x x+ = +


Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu
diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của

nghiệm đó cũng là một phương án đôi khi giúp cho việc tính toán
thuận lợi hơn nhiều. Với phương trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
và S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
. Khi đó :
2
0ax bx c+ + =
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
( )
2
1 1 2 1 1 2 1
x x x x x x Sx P= + =
( )
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1
. .x x x x Sx P Sx Px= = =
( )

2
1 1 1 1
.S Sx P Px S x SP Px= =
( )
2
1
S P x SP=
( ) ( )
4 3 3 2
1 1 1 1
. 2x x x S SP x P S P= =


VD 7: Cho phương trình , có 2 nghiệm x
1
, x
2

2
2 1 0x x =
( )
2
0x
Tính giá trị của các biểu thức :
4 3 2
1 2 1 2
2 3 8 8A x x x x= + + +
5 2 4
1 1 1 2 2
3

3 1 8
2
B x x x x x= + +
Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức:
2
1 1
2 1x x= +
2
2 2
2 1x x= +
( )
3
2 2 2
4 1 2.1 5 2x x x= + + = +
( ) ( )
4
1 1
8 2.2.1 . 1. 4 1x x= + + +
4
2 2
12 5x x= +
( )
5 4
1 1 1 1 1
. . 12 5x x x x x= = +
( )
1 1 1
12 2 1 5 29 12x x x= + + = +
Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó

Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
Hướng dẫn:
Ta có :
4 3 2
1 2 1 2
2 3 8 8A x x x x= + + +
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
12 5 2(5 2) 3(2 1) 8 8
12 5 10 4 6 3 8 8
18 18 4
18( ) 4 40
x x x x
x x x x
x x
x x
= + + + + + +
= + + + + + +
= + +
= + + =
= 12x
1
+ 5
=12x
1
2
+ 5x

1
5 2 4
1 1 1 2 2
3
3 1 8
2
B x x x x x= + +
( )
2
2 2
1 1 1 1 2 2
3
12 5 3 1 2 1 8
2
x x x x x x= + + + +
2 2
1 1 2 2
3
9 6 1 4 4 1
2
x x x x= + + +
1 2
3
3 1 2 1
2
x x= +
Vì phương trình có ac = -1 < 0 nên x
1
,x
2

trái dấu
mà Khi đó:
2 1
0 0x x
( )
1 2
3
3 1 2 1
2
B x x= + +
3.2
1 11
2 2
=
=


Tính giá trị của một biểu thức mà biến số là
các nghiệm của phương trình bậc hai nào đó
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 2:
VD8: Giả sử x
1
,x
2
là hai nghiệm của phương trình
và x
3
,x
4

là nghiệm của phương trình.
2
1 0x ax+ + =
2
1 0x bx+ + =
Tính giá trị của biểu thức:
theo a và b.
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 2 3 1 4 2 4
. . .M x x x x x x x x= + +
Hướng dẫn: Theo hệ thức Viét ta có:
1 2
1 2
. 1
x x a
x x
+ =


=

3 4
3 4
. 1
x x b
x x
+ =


=

và
Do đó
( ) ( )
1 3 2 4 1 2 1 4 2 3 3 4
.x x x x x x x x x x x x + = +
1 4 2 3
1 1x x x x= +
1 4 2 3
x x x x=
( ) ( )
2 3 1 4
.x x x x + =
1 2 2 4 1 3 3 4
x x x x x x x x+
2 4 1 3
x x x x=

( ) ( )
1 4 2 3 2 4 1 3
.M x x x x x x x x=
( ) ( )
2 2 2 2
3 4 1 2
M x x x x= + +
( ) ( )
2 2
3 4 3 4 1 2 1 2
2 . 2M x x x x x x x x

= + +

( ) ( )
2 2 2 2
2 2M b a b a= =
2.2 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phương trình


dạng 3:
lập phương trình khi có hai biểu thức chứa hai nghiệm
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
II. Một số ví dụ
I. Cách giải
Ta cần lập phương trình bậc hai nhận là các nghiệm. Điều này dựa
trên định lý Nếu = S và thì là các nghiệm
của phương trình .
1 2
;x x
1 2
x x+
1 2
.x x P=
1 2
,x x
2
0x Sx P + =
VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
1
10 72
và

1
10 6 2+


dạng 3:
VD1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
1
10 72
và
1
10 6 2+
Giải: Gọi
1
1
10 72
x =

2
1
10 6 2
x =
+
1 2
x x S+ = =
Xét
1 1
10 72 10 72
+ =
+
2

10 72 10 72 20
10 72 28
+ +
=

1 2
x x =
1
10 72
P =

1
.
10 72
=
+
1
28
2
4S P>
vì nên x
1
,x
2
là 2 nghiệm của phương trình
2
20 1
0
28 28
x x + =

2
28 20 1 0x x + =
Như vậy với bài toán lập phương trình bậc hai khi đã biết trước hai nghiệm của
nó ta chỉ cần áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lưu ý điều kiện để có hai
nghiệm là
2
4S P
lập phương trình khi có hai biểu thức chứa hai nghiệm
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
;


VD2:
Cho phương trình
2
0x px q+ + =
có hai nghiệm và không giải phương trình hãy lập phương trình
(1)
1
1
1
1
1
x
y
x
+
=

bậc hai theo y mà các nghiệm số của nó là:

;
2
2
2
1
1
x
y
x
+
=

Giải:
Theo Viét ta có
1 2
x x p+ =
1 2
.x x q=
;
Xét
1 2
S y y= +
1
1
1
1
x
x
+
=

2
2
1
1
x
x
+
+

( )
1 2
1 2 1 2
2 2
1
x x
x x x x

=
+ +
2 2
1
q
p q

=
+ +
1 2
.P y y=
( )

( )
1 2 1 2
1 2 1 2
. 1
. 1
x x x x
x x x x
+ + +
=
+ +
1
1
q p
q p
+
=
+ +
nên
1 2
,y y
là hai nghiệm của phương trình:
2
2 2 1
. 0
1 1
q q p
y y
p q q p
+
+ =

+ + + +

( ) ( ) ( )
2
1 2 1 1 0p q y q y q p+ + + + =
Vì
2
4p q
do phương trình (1) có hai nghiệm nên
2
2 2 1
( ) 4.
1 1
q q p
p q q p
+

+ + + +
hay
2
4S P
dạng 3:
lập phương trình khi có hai biểu thức chứa hai nghiệm
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét