SKKN - PP Do Thi - Anh

Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
A. phơng pháp
I) Biện luận ph ơng trình bằng đồ thị:
1) Cho ph ơng trình: F(x, m) = 0 (1) , m là tham số.
Biến đổi phơng trình (1) về dạng f(x) = g(m) (2)
Trong cùng hệ trục Oxy, vẽ 2 đờng (C): y = f(x)
và đờng thẳng : y = g(m)
Số hoành độ giao điểm của (C) và là số nghiệm của phơng trình (1)
2) Chú ý:
a) Đờng thẳng có ba dạng sau:
: y = g(m) là đờng thẳng // trục Ox
: y = kx + m là đờng thẳng có hệ số góc k
: y = m(x - x
0
) + y
0
là đờng thẳng quay quanh một điểm cố định
A(x
0
; y
0
)
b) Nếu F(x; m) = 0 có nghiệm x thoả mãn điều kiện x
Ta chỉ vẽ đờng (C): y = f(x) với x [; ]
Biện luận theo m chọn nghiệm thuộc đoạn [; ]
c) Nếu phải đặt ẩn phụ, ta biện luận để tìm ẩn số phụ, sau đó biện luận để
tìm m.
II) Đồ thị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
1) Dạng tổng quát:
Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối
Dựa vào định nghĩa:

<

=
0A nếuA-
0A nếuA
A
để bỏ giá trị tuyệt đối
Viết hàm số về dạng đợc cho bởi nhiều công thức
Khảo sát hàm số ứng với từng công thức.
Lập bảng biến thiên chung rồi vẽ đồ thị hàm số.
2) Các điều cần nhớ:
Các phép biến đổi chính trong phần này là phép đối xứng qua các trục
toạ độ. Cơ sở của nó là các nhận xét sau đây:
Hai điểm (x; y) và (x; -y) đối xứng nhau qua trục hoành.
Hai điểm (x; y) và (-x; y) đối xứng nhau qua trục tung.
Hai điểm (x; y) và (-x; -y) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.
Đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số y = -f(x) đối xứng nhau qua
trục hoành.
3) Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối th ờng gặp:
Vũ Văn Ninh
Trang:1
Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
a) Dạng đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf

Ta có: y =
( )
xf
=
( ) ( )
( ) ( )



<

0xf nếuxf-
0xf nếuxf
Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) 0)
Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dới trục hoành qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có y =
( )
xf
=
( )
( )

<

0 x nếux-f
0x nếuxf
Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Đồ thị (C
2
) gồm 2 phần:
Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với
x >0)
Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C
3
) của hàm số:
( )
xfy
=
Ta có:
( )
xfy
=

( )
( )

=

xfy
xf 0
(Do đó
( )
xfy
=
đợc coi là hàm đa trị của y theo x)
Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
Đồ thị (C
3
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg
xf
=
( )
( )
( )
( )

( )
( )







<

0xf nếu
xf
-
0xf nếu
xg
xg
xf
Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Đồ thị (C
4
) gồm hai phần:
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0
Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
e) Dạng đồ thị (C
5

) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Vũ Văn Ninh
Trang:2
Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
Các bớc làm tơng tự nh phần d)
Chú ý: g(x) 0.
f) Dạng đồ thị (C
6
) của đồ thị hàm số: y =
( ) ( )
xgxf
+
Ta có: y =
( ) ( )
xgxf
+
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



<+
+
0xf u nếxgxf-
0xf u nếxgxf

đồ thị (C
6
) gồm hai phần:
Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) 0
Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y =
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxfxf
k
++++
...
21
Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt
đối không đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C
7
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
Sau đó vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số: y = f(
x
)
Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )

xf
.
Tóm lại ta thực hiện dần các bớc nh sau:
y = f(x) y = f(
x
) y =
( )
xf
B. các bài tập mẫu:
ài số 1:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x
4
- 2x
2

- 1
b) Với những giá trị nào của m thì phơng trình:
12
24

xx
= log
2
m có 6
nghiệm phân biệt?
Giải:
TXĐ: D = R. Hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối
xứng.
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' = 4x

3
- 4x
y' = 0 4x(x
2
- 1) = 0



=
=




=
=
2
1
1
0
y
y
x
x
Bảng xét dấu y':
x -

-1 0 1 +

y' - 0 + 0 - 0 +

Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-

; -1) (0; 1)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1; 0); (1; +

)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
= 1 và y
CĐ
= -2
Hàm số đạt cực tiểu tại x
CT
= 0 và y
CĐ
= -1
Vũ Văn Ninh
Trang:3
Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
Giới hạn:

=

x
lim
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Tính lồi lõm và điểm uốn:
y" = 12x
2

- 4 = 0 x =
3
3
y = -
9
14

x -

-
3
3
3
3
+

y" + 0 - 0 +
Đồ thị hsố lõm lồi lõm
Bảng biến thiên:
x
-

-1 -
3
3
0
3
3
1 +

y' - 0 + + 0 - - 0 +
y +

CT
U
1
-
9
14
CĐ
U
2
-
9
14
CT
+

Vẽ đồ thị:
Giao với trục Ox: y = 0 x
4
- 2x
2
- 1 = 0 x =
21
+
Giao với trục Oy: x = 0 y = -1
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
Các điểm khác: (2; 7)
(1; -2)

9
14
;
3
3
b) Phơng trình:
mxx
2
24
log12
=
có 6 nghiệm phân biệt khi đồ thị hàm
số: y =
12
24

xx
cắt đờng thẳng y = log
2
m tại 6 điểm phân biệt
Vẽ đồ thị (C

1
) của hàm số: y =
12
24

xx
Ta có: y =
( )
( ) ( )
( ) ( )



<

=
0xf nếuxf-
0xf nếuxf
xf
Vũ Văn Ninh
Trang:4
Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
Vậy đồ thị (C
1
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) ứng với f(x) 0 có nghĩa là phân đồ thị nằm phía trên
trục Ox
Phần đồ thị đối xứng (C) nằm phía dới trục hoành.
Vẽ đờng thẳng D: y = log
2

m; D // Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ
bằng log
2
m

Nhìn vào đồ thị: ta có kết quả: đờng thẳng D cắt đồ thị (C
1
) tại 6 điểm
1 < log
2
m < 2 2 < m < 4
KL: Vậy phơng trình:
mxx
2
24
log12
=
có 6 nghiệm phân biệt
2 < m < 4
Bài số 2:
Cho hàm số: y = f(x) =
1
2

x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y = f

1
(x) =
1
2

x
x
(Vẽ hình riêng)
c) Dùng đồ thị (C
1
) để biện luận theo tham số m số nghiệm x thuộc đoạn
[-1; 2] của phơng trình:
( )
01
=
mxm
(*) (ĐH QG HN - 1999)
Giải:
a)
TXĐ: D = R \ {1}
Sự biện thiên:
Chiều biến thiên: y' = -
( )
0
1
2
2
<

x

, x D
hàm số luôn nghịch biến với x 1.
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:

=

=


1
2
limlim
11
x
x
y
xx

=

=
++

1
2
limlim
11
x
x

y
xx
đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

2
1
2
limlim
=

=

x
x
y
xx
đờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
Vũ Văn Ninh
Trang:5
Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
Bảng biến thiên:

x -

1 +

y' - -
y
2
-

+


2
Vẽ đồ thị:
Giao với trục Ox: (0; 0)
Giao với trục Oy: (0; 0)
Các điểm khác: (2; 4);







3
4
;2
; (3; 3);







2;
2
1

Nhận xét: Đố thị nhận giao điểm I(1; 2) của 2 đờng tiệm cận làm tâm đối
xứng

b) Suy ra đồ thị (C
1
): y =
( )
1
2

=
x
x
xf
Ta có y =
( )







<


=
0 x u nế
x-1
2x

-
1x 0,x u nế
1
2
x
x
xf
Nhận xét: Đây là hàm chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Đồ thị (C
1
) gồm hai phần:
Phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy.
Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy
Chú ý: Lấy đối xứng cả đờng tiệm cận đứng qua trục Oy ta đợc đờng
thẳng x = -1.
Vẽ đồ thị (C
1
):
Vũ Văn Ninh
Trang:6
Sáng kiến kinh nghiệm - Ph ơng Pháp đồ thị
c) Ta có:
( )
01
=
mxm

02
=
mxxm

( )
xxm 21
=

m
x
x
=

1
2
(*) với
1

x
Vì nếu
1
=
x
thì m - 2 - m = -2 = 0 (Vô lý) phơng trình không có
nghiệm bằng 1
Số nghiệm của phơng trình (*) [-1; 2] là số hoành đô giao điểm của đồ
thị (C
1
) với đờng thẳng d: y = , ta có d // Ox; với x [-1; 2]
Nhìn vào đồ tịh ta có kết quả:
Nếu m < 0 thì phơng trình (*) có 2 nghiệm đơn.
Nếu 0 < m < 4 thì phơng trình (*) vô nghiệm
Nếu m = 0 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm kép

Nếu m > 4 thì phơng trình (*) có 1 nghiệm đơn
Bài số 3:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x
3
+ 3x
b) Từ đó suy ra đồ thị (C
1
) của hàm số:
xxy 3
3
+=
Giải:
a) TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' = -3x
2
+ 3 = -3(x
2
- 1)
y' = 0



=
=




=

=
2
2
1
1
y
y
x
x
Xét dấu y':

x -

-1 1 +


y' - 0 + 0 -
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1)
Hàm số nghịch biến trên (-

; -1) ; (1; +

)
Vũ Văn Ninh
Trang:7