Luận văn Thạc sĩ Toán học Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu

Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
___________________

Nguyễn Tuấn Anh

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:
60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN – 2011
Footer Page 1Sốofhóa
89.bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 2 of 89.
✶

▼ô❝ ❧ô❝

▼ë ➤➬✉

✸

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

✶✳✶✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✷✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳

✶✻

✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ô

✶✳✷✳

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✷✳✶✳

✷✳✷✳

✼

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✷✸

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✷✸
✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✈í✐ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ ❦❤➠♥❣
➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✷✳✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✷✳✸✳ ❱Ý ❞ô sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

Footer Page
2 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✸✽

Header Page 3 of 89.
✷

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤ñ②✱ ❈❤ñ
♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
♥❣➢ê✐ ➤➲ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❝❤Ø ❞➵② t❐♥ t×♥❤ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➭②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝
❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣
t✐♥ ✲ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠ ➤➲ tr✉②Ò♥ t❤ô ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤♦
t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈õ❛ q✉❛✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➡ q✉❛♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ❝❤✐❛ s❰✱
❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥
♥➭②✳

❚➳❝ ❣✐➯

◆❣✉②Ô♥ ❚✉✃♥ ❆♥❤

Footer Page
3 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 4 of 89.
✸

▼ë ➤➬✉

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❧➭ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➯② s✐♥❤ tõ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥
➤Ò ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈❐t ❧ý
t♦➳♥✱ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò t❤ù❝ tÕ ♥❤➢ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ♠➵♥❣
❣✐❛♦ t❤➠♥❣ ➤➠ t❤Þ✱ ♠➠ ❤×♥❤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✳✳✳✳ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯ ➤➢î❝ ❞➢í✐
❞➵♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❘✃t t✐Õ❝ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➵✐ ❧➭

❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳

❉♦ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ sè ❝ñ❛
♥ã ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã
t❤Ó ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳ ❱× t❤Õ ♥➯② s✐♥❤ ✈✃♥ ➤Ò t×♠ ❝➳❝
♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐
sè ❝ñ❛ ❞÷ ❦✐Ö♥ ➤➬✉ ✈➭♦ ❝➭♥❣ ♥❤á t❤× ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø t×♠ ➤➢î❝ ❝➭♥❣ ❣➬♥ ✈í✐
♥❣❤✐Ö♠ ➤ó♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳

X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥

❈❤♦
❤î♣ ❝ñ❛

X ✱ ❝➯ ❤❛✐ ❝ã ❝❤✉➮♥ ➤Ò✉ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ . ✱ A : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥

tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➡♥ trÞ ✈➭

K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣

t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿ ✈í✐
t×♠ ♣❤➬♥ tö

f ∈ X ∗ ❝❤♦ tr➢í❝✱ ❤➲②

x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦
✭✵✳✶✮

Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K,
ë ➤➞②

x∗ , x ❧➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x∗ ∈ X ∗ t➵✐

x ∈ X ✳ ◆Õ✉ K ≡ X t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
A(x) = f.

✭✵✳✷✮

▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭✵✳✶✮ ❧➭ ✈✐Ö❝ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐✳ ❑❤✐ t♦➳♥ tö

Footer Page
4 of
Số hóa
bởi89.

Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 5 of 89.


A ó tí t ệ ề ệ tì t
ó t t ỉ P ts ự
ệ ệ ỉ t tr sở tì

xh,
K s

s h,
h,
Ah (xh,
0, x K,
) + U (x x ) f , x x

tr ó



Ah : X X ỉ ủ A ó tí ệ f ỉ ủ

f U s ố ủ X > 0 t số ệ ỉ ụ tộ

h x tử trớ ó trò t ọ

ế t tử ễ

Ah ệ tì t tứ ế ệ

ỉ ó tể ó ệ r trờ ợ sts
r t tứ ế ệ ỉ

Ah x + U s (x x ) f , x x g( x ) x x ,
x K,
ở

x

K,



h = (h, )

ụ í ủ ề t trì ổ ị
t tứ ế ệ tr sở ự ệ ệ
ỉ ủ t tứ ế ệ ỉ rì sự
ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ớ t tử ợ
ệ tr tự ự tr ệ ọ
t số ệ ỉ t ệ
ộ ủ ợ trì tr ớ
tệ ề t tứ ế ệ trì sự tồ t ệ
tí t ủ t ệ ủ t tứ ế ệ ồ tờ

trì ột số ế tứ ề t t ỉ ột
ệ ỉ t
r sẽ trì ệ ỉ t
tứ ế ệ ụ tể trì sự ộ tụ tố

Footer Page
5 of
S húa
bi89.
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 6 of 89.
✺

➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮✱ tr×♥❤ ❜➭② sù ❤é✐ tô ✈➭ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tè❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✹✮
✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ö♠✱ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ♥❤❐♥
➤➝♥❣ ë t➵♣ ❝❤Ý ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ♥➝♠ ✷✵✶✶✳

ë ♣❤➬♥ ❝✉è✐ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ sè ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠✐♥❤ ❤ä❛✱ ❝❤➢➡♥❣
tr×♥❤ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❜➺♥❣ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ▼❆❚▲❆❇✳

Footer Page
6 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 7 of 89.
✻

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t

H

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

X

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝

X∗

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛

Rn

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡

∅

t❐♣ rç♥❣

X

n ❝❤✐Ò✉

x := y

x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y

∀x

✈í✐ ♠ä✐

∃x

tå♥ t➵✐

inf F (x)

x∈X

x

x

✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣

{F (x) : x ∈ X}

I

➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ

AT

♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥

a∼b

a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b

A∗

t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

D(A)

♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

R(A)

♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

xk → x
xk

x

❞➲②
❞➲②

Footer Page

7 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

A

A

A

A

{xk } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x
{xk } ❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ x




Header Page 8 of 89.
✼

❈❤➢➡♥❣ ✶

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✶✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✶✳✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ô

❈❤♦
❝ñ❛

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣

X ✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ trÞ ✈í✐ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) ⊆ X

✭t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ t❛ ❝♦✐
✭♠✐Ò♥ ➯♥❤✮

D(A) ≡ X ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ♥ã✐ ❣× t❤➟♠✮ ✈➭ ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ

R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝ñ❛ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❤❛♠

❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶✱ ✸✱ ✹✱ ✼❪✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tö

✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉

A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

♥Õ✉

A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
✐✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t

♥Õ✉ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢î❝ ❦❤✐

x = y✳
✐✐✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠

δ(t)✱

❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐

t ≥ 0✱ δ(0) = 0 ✈➭
A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A).
◆Õ✉

δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳ ❚♦➳♥ tö

A

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

Footer Page
8 of

Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

hemi✲❧✐➟♥

tô❝

tr➟♥

X

♥Õ✉

A(x +




Header Page 9 of 89.
✽

ty)

Ax

tr➟♥

X

t → 0+

❦❤✐

♥Õ✉ tõ

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳

✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X,

xn → x s✉② r❛ Axn

✈➭

A

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

demi✲❧✐➟♥

tô❝

Ax ❦❤✐ n → ∞✳

▼ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭

hemi✲❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ X t❤× demi✲❧✐➟♥

tô❝✳
❈❤♦

A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐

➤ã♥❣ ❝ñ❛
s❛✉✿ ✈í✐

X ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢

f ∈ X ∗ ✱ ❤➲② t×♠ x0 ∈ K s❛♦ ❝❤♦
✭✶✳✶✮

Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❇æ ➤Ò ✶✳✶✳

✭①❡♠ ❬✸❪✮

A : X → X∗

❈❤♦

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭

hemi✲❧✐➟♥

f ∈ X ∗ ✳ ◆Õ✉

tô❝ t❤×

(1.1)

t➢➡♥❣

➤➢➡♥❣ ✈í✐

✭✶✳✷✮

Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❉♦

A ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➟♥ t❛ ❝ã
Ax − Ax0 , x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X.

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

0 ≤ Ax − Ax0 , x − x0 = (Ax − f ) − (Ax0 − f ), x − x0
❤❛②

Ax − f, x − x0 ≥ Ax0 − f, x − x0 .
❚õ ✭✶✳✶✮ ✈➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ✭✶✳✷✮✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐ ❣✐➯ sö

Ax − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K, ❦❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ (0, 1)

t❛ ❝ã

A[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K,

Footer Page
9 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 10 of 89.
✾

s✉② r❛

t A[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤♦
tÝ♥❤ ❝❤✃t

t s❛✉ ➤ã ❝❤♦ t → 0 ✈➭ sö ❞ô♥❣

hemi✲❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A t❛ ➤➢î❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✮✳
✷

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳

❈❤♦ f (x) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ t❤ù❝ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥

J = [a, b]✳ ❍➲② t×♠ x0 ∈ J

s❛♦ ❝❤♦

f (x0 ) = min f (x).
x∈J

❚❛ t❤✃② ❝ã ❜❛ ❦❤➯ ♥➝♥❣ s❛✉✿
✶✮ ◆Õ✉

a < x0 < b t❤× f (x0 ) = 0❀

✷✮ ◆Õ✉

x0 = a t❤× f (x0 ) ≥ 0 ✈➭❀

✸✮ ◆Õ✉

x0 = b t❤× f (x0 ) ≤ 0✳

◆❤÷♥❣ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥➭② ❝ã t❤Ó tæ♥❣ q✉➳t ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ✈✐Õt ♥❤➢ s❛✉✿

f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ J,
✈➭ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳

F : X → R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠

✐✮

❧å✐

tr➟♥

X

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X

t❛ ❝ã

F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1].
✐✐✮

♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐

tr➟♥

X

♥Õ✉

lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X.
y→x

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦

F

❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥

x ∈ X ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ∂F

X ✈➭ ➤✐Ó♠

❜ë✐✿

∂F (x) = {x∗ ∈ X ∗ : F (x) ≤ F (y) + x − y, x∗ , y ∈ X}.

Footer Page
10bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 11 of 89.
✶✵

P❤➬♥ tö

❧➭

x∗ ∈ X ∗

❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝ñ❛

F

t➵✐ ➤✐Ó♠

x∈X

❝ñ❛

F

t➵✐

x ✈➭ ∂F (x) ➤➢î❝ ❣ä✐

x✳

t➵✐

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠

●➞t❡❛✉①

❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t

F : X → R ∪ {+∞}

♥Õ✉ tå♥ t➵✐

x∗ ∈ X ∗

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❦❤➯ ✈✐

s❛♦ ❝❤♦

F (x + λy) − F (x)
= x∗ , y , ∀y ∈ X,
λ→+0
λ
x∗ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ F t➵✐ x✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ F (x)✳
lim

❈❤ó ý ✶✳✶

t❤×

✭①❡♠ ❬✼❪✮✳ ◆Õ✉

F ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐ x ∈ X

F ❦❤➯ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ t➵✐ x ✈➭ ∂F (x) = {F (x)}✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻✳ ❈❤♦

A:X→Y

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

Y✳

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❚♦➳♥ tö

A

X

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐ ➤✐Ó♠

x ∈ X ✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ T ∈ L(X, Y ) s❛♦ ❝❤♦
A(x + h) = A(x) + T h + o( h ),
✈í✐ ♠ä✐

h t❤✉é❝ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠ θ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐✱ t❤× T

❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳

A t➵✐ x✱ ✈➭ t❛ ✈✐Õt A (x) = T ✳

✭①❡♠ ❬✼❪ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✺✮

❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉①✳

F

F

✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛

❈❤♦

F : X → R ∪ {+∞}

❧➭ ♣❤✐Õ♠

❧➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉①

❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tõ

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦

X → X ∗.

❚❤❡♦ ❈❤ó ý ✶✳✶✱ ♥Õ✉

F ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ t❤× F (x) ✈➭ F (y) ❧➭ ❞➢í✐

F t➵✐ x ✈➭ y ✳ ❉♦ ➤ã✿
F (x), y − x + F (x) ≤ F (y),
F (y), x − y + F (y) ≤ F (x).

❈é♥❣ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ✈í✐ ♥❤❛✉✱ t❛ ➤➢î❝✿

F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X,

Footer Page
11bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 12 of 89.
✶✶

tø❝ ❧➭

F ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tõ X ✈➭♦ X ∗ .

◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sö
➤✐Ö✉ tõ

F ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ F ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥

X ✈➭♦ X ∗ ✳ ❚❛ ①Ðt ❤➭♠ φ : [0, 1] → R ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐✿

φ(λ) = F (x + λ(y − x)).

➜➷t

x + λ(y − x) = xλ ✱ s✉② r❛
φ (λ) = F (x + λ(y − x), y − x .

❱í✐ ♠ä✐

0 ≤ λ < λ ≤ 1 t❛ ❝ã
φ (λ) − φ (λ ) = F (xλ ) − F (xλ ), y − x
1
F (xλ ) − F (xλ ), xλ − xλ .
=
λ−λ

❉♦

F ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➟♥ φ (λ) − φ (λ ) ≥ 0✱ s✉② r❛ φ ❧➭ ❤➭♠ t➝♥❣✳ ❱❐② φ ❧➭

❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ ❬✵✱✶❪ ✈➭

φ(λ) ≤ (1 − λ)φ(0) + λφ(1), ∀λ ∈ [0, 1].
❙✉② r❛

F ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)F (x) + λF (y), ∀λ ∈ [0, 1].
❱❐②

F ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳
✷

◆Õ✉

A ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ F : X → R ∪ {+∞}

❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✈➭

f ≡ 0 ∈ X ∗ t❤× ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥

♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ ❧å✐ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

min F (x).
x∈K

✭✶✳✸✮

❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✼❪✮✳

Footer Page
12bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 13 of 89.
✶✷

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳ ●✐➯ sö

F : X → R ∪ {+∞}

t❤➢ê♥❣✱ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tr➟♥

F

X

❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤

✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉①

❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

✐✮

x0

✐✐✮

✐✐✐✮

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

(1.3)❀

F (x0 ), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K ❀
F (x), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K ✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

✐✮

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

✐✐✮✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉

x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✸✮ t❤× ✈í✐ ∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1) t❛ ❝ã
F (x0 ) ≤ F ((1 − λ)x0 + λx).
❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② s✉② r❛

1
F (x0 + λ(x − x0 )) − F (x0 ) ≥ 0.
λ
▲✃② ❣✐í✐ ❤➵♥ ✈Õ tr➳✐ ❝ñ❛ ✭✶✳✹✮ ❦❤✐ λ → 0 t❛ ➤➢î❝✿

✭✶✳✹✮

F (x0 + λ(x − x0 )) − F (x0 )
= F (x0 ), x − x0 ≥ 0.
λ→0
λ
◆❣➢î❝ ❧➵✐ ✈í✐ ∀x ∈ K, λ ∈ (0, 1)✱ ❞♦ F ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥➟♥
lim

F (x) − F (x0 ) ≥
❈❤♦ q✉❛ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❦❤✐

1
F ((1 − λ)x0 + λx) − F (x0 ) .
λ

λ → 0 ✈➭ sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ ❝ñ❛

F t❛ ➤➢î❝
F (x) − F (x0 ) ≥ F (x0 ), x − x0 , ∀x ∈ K.
❱× x0 t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
❝ñ❛

♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ s✉② r❛

x0 ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠

(1.3).

❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ ❝❤Ø r❛
✶✳✶✱

✐✐✮

ii) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ iii)✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò

F : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➟♥
F (x) − F (x0 ), x − x0 ) ≥ 0, ∀x, x0 ∈ X.

Footer Page
13bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

✭✶✳✺✮




Header Page 14 of 89.
✶✸

❑Õt ❤î♣ ✭✶✳✺✮ ✈í✐
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉

ii) t❛ s✉② r❛ iii)✳

x0 t❤á❛ ♠➲♥ iii)✱ ❧✃② x = (1−λ)x0 +λy, y ∈ K, λ ∈ [0, 1]✱

t❛ ❝ã

F (1 − λ)x0 + λy , (1 − λ)x0 + λy − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇔ F (λ(y − x0 ) + x0 ), λ(y − x0 ) ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇔ λ F x0 + λ(y − x0 ) , y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
⇒ F (x0 + λ(y − x0 )), y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, x0 ∈ K.
❚r♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦

λ → 0 t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
✷

F (x0 ), y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K.

✶✳✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼✳ ❚♦➳♥ tö

A : X → X∗

x →+∞

✭①❡♠ ❬✼❪✮

❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❜ø❝✱

K

●✐➯ sö

❈❤ó ý ✶✳✷✳

◆Õ✉

A : X → X∗

♥Õ✉

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

➤ã✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥

t♦➳♥ tö ❜ø❝

Ax, x
= ∞, ∀x ∈ X.
x

lim

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

X

t❤á❛ ♠➲♥

hemi✲

intK = ∅✳ ❑❤✐

(1.1) ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ✈í✐ ♠ä✐ f ∈ X ∗ ✳

A ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥❣➷t t❤× ♥❣❤✐Ö♠ x0 ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö

x1 ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ✭✶✳✶✮✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
Ax0 − f, x1 − x0 ≥ 0,

✭✶✳✻✮

Ax1 − f, x0 − x1 ≥ 0.

✭✶✳✼✮

❑Õt ❤î♣ ❤❛✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ ➤➢î❝

Ax0 − Ax1 , x1 − x0 ≥ 0.

Footer Page
14bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 15 of 89.


ì

A t tử ệ từ t tứ ố ù s r

Ax0 Ax1 , x0 x1 = 0.

t tứ t ớ
t tử

A

í ệ
P tử

x1 = x0 tí t ệ t ủ

S0 t ệ ủ t tứ ế ệ

x0 S0 ó ỏ t ợ ọ ệ t ủ

t í t ủ t ệ ú
ủ t

S0 t ệ t S

(1.1) ợ ở ổ ề s

ổ ề



ó ế

S0 = tì t S

r ế

A

ệ ú

S0

ủ t

(1.1) ột t

ũ t ó

ột t tử ệ

hemi

tụ tì

S0



S



t ồ

ị ĩ





U s : X X

ó trị ị ở

U s (x) = {x X : x , x = x . x ; x = x
ợ ọ

ố

tờ ợ ết

U

tổ qt ủ

ợ ọ

s1

}, s 2

X s = 2 tì U s

ố t

ủ

X

í trị ủ ố t ợ tr ệ ề s
ệ ề



sử

X

ột ó



U (x) t ồ U (x) = U (x) ớ ọ R



U

trị ỉ

X

ồ t

ét

r rt
tử ị

H ố t í t

I tr H

Footer Page
15bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa




Header Page 16 of 89.
✶✺

✐✐✮

➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã

tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❱í✐

X = Lp (Ω)✱ 1 < p < ∞ ✈➭ Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤♦ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

Rn t❤× ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ U ❝ã ❞➵♥❣
(U x)(t) = x
❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

2−p

|x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω.

Lp (Ω)✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ U s ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉ ✈➭

❧✐➟♥ tô❝ ❍♦❧❞❡r✱ ✈×

ë ➤➞②

U s (x) − U s (y), x − y ≥ mU x − y s , mU > 0,

✭✶✳✽✮

U s (x) − U s (y) ≤ C(R) x − y κ , 0 < κ ≤ 1,

✭✶✳✾✮

C(R) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❞➢➡♥❣ ✈➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t➝♥❣ t❤❡♦ R = max{ x , y }

✭①❡♠ ❬✶❪ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❞➱♥✮✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳

✭①❡♠ ❬✹❪✮

➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝

❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉

X

◆Õ✉

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵

U : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❜ø❝ ✈➭ demi✲❧✐➟♥ tô❝✳

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤×

U

❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❝❤➷t✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥
❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ

❦Ð♦ t❤❡♦

S = {x ∈ X : x = 1}

x+y < 2

❝ñ❛

X
X

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❧å✐ ❝❤➷t

❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t✱ tø❝ ❧➭ tõ

✭♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛

S

♥Õ✉ ♠➷t

x, y ∈ S

❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ❜✃t ❦× ♠ét

➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥➭♦✮✳

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

Lp [a, b], 1 < p < ∞ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵✳ ❑❤➠♥❣

∀ε > 0, ∃δ > 0

s❛♦ ❝❤♦

❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤

∀x, y ∈ X

✈í✐

X

➤➢î❝

❣ä✐

❧➭

❧å✐

➤Ò✉

♥Õ✉

x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε

❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

x + y ≤ 2(1 − δ)

Footer Page
16bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa




Header Page 17 of 89.


ú

ị ĩ


X

ó tí t t

ế tr

xn x

X

X

tự

ợ ọ

ó tí t

xn

sự ộ tụ ế tử

x

sự ộ tụ

xn x 0

é t sự ộ tụ



t t ỉ

ệ ề t t ỉ t ỉ

ệ ề t t ỉ ợ r r

ứ ở ủ ề ệ ệ ủ trì
t ũ r
ệ tì ệ
ệ

x ủ t ỳ ột t ũ ự ữ

f ó ĩ x = R(f ) sẽ ệ ũ ữ

ệ ó ữ tử tộ
ứ X (x1 , x2 ) Y (f1 , f2 ),

X Y ớ ộ t

x1 , x2 X, f1 , f2 Y

sử ó ột ệ tế ệ ủ ột t
ó t tì ệ

x = R(f ) ợ ọ ổ ị tr

(X, Y ) ế ớ ỗ số > 0 ó tể tì ợ ột số () > 0 s từ
Y (f1 , f2 ) () t ó X (x1 , x2 ) ở
x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), x1 , x2 X, f1 , f2 Y.
ị ĩ t tì ệ

xX

t ữ ệ

t t ỉ tr tr

f Y

ệ

x ó ợ ị ột t

x X

t ổ ị tr

Footer Page
17bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa

ợ ọ

(X, Y ) ế

ớ ỗ

tồ t ệ

f Y

(X, Y ).

Header Page 18 of 89.
✶✼

❚r♦♥❣ ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❞➭✐ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝❤♦ r➺♥❣ ♠ä✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛ ➤Ò✉ t❤á❛
♠➲♥ ❜❛ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr➟♥✳ ◆❤➢♥❣ t❤ù❝ tÕ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ q✉❛♥ ♥✐Ö♠ ➤ã ❧➭ s❛✐ ❧➬♠✳
❚r♦♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜➺♥❣ ♠➳② tÝ♥❤ ❧✉➠♥ ❞✐Ô♥ r❛ q✉➳ tr×♥❤
❧➭♠ trß♥ sè✳ ❈❤Ý♥❤ sù ❧➭♠ trß♥ ➤ã ❞➱♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✐ ❧Ö❝❤ ➤➳♥❣ ❦Ó✳
◆Õ✉ Ýt ♥❤✃t ♠ét tr♦♥❣ ❜❛ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠
♥❣❤✐Ö♠

x ∈ X t❤❡♦ ❞÷ ❦✐Ö♥ f ∈ Y ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳

➜➠✐ ❦❤✐ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ß♥ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❤♦➷❝ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤✐Õt
❧❐♣ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣ ➤➽♥✳
❈ò♥❣ ❝➬♥ ❧➢✉ ý r➺♥❣ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ó ➤➷t ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➷♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ ♥➭②✱ ♥❤➢♥❣ ❧➵✐ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➷♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ❦❤➳❝✳
❱Ý ❞ô ✶✳✸✳

❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

2x1 + x2 = 2
2x1 + 1, 01x2 = 2, 01
❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭

x1 =

1

✈➭ x2 = 1✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
2
2x1 + x2 = 2
2.01x1 + 1, 01x2 = 2, 05

❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭

x1 = 5 ✈➭ x2 = −8✳ ❚❛ t❤✃② ♠ét t❤❛② ➤æ✐ ♥❤á ❝ñ❛ ❤Ö sè ✈➭

✈Õ ♣❤➯✐ tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ø ❤❛✐ ❦Ð♦ t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ t❤❛② ➤æ✐ ➤➳♥❣ ❦Ó ❝ñ❛
♥❣❤✐Ö♠✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳
❈❤ó ý ✶✳✸✳

❱× tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✵✮✱ ♥➟♥

♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ sù ❧ù❛ ❝❤ä♥ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠✳ ❚❛ sÏ sö
❞ô♥❣ ♥❣❤✐Ö♠

x0 ❝ã x∗ ✲ ❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ t❤á❛ ♠➲♥
A(x0 ) = f,

✈➭

x0 − x∗ = min{ x − x∗ : A(x) = f }.

Footer Page
18bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

Header Page 19 of 89.
✶✽

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥

x∗ ✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❝ã ➤➢î❝ ♥❣❤✐Ö♠ ♠➭ t❛ ♠✉è♥ ①✃♣ ①Ø✳

✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤
ë ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
✭✶✳✶✵✮

Ax = f.
❈❤♦

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤ tr♦♥❣ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ x0 ✈➭ ❣✐➯ sö Ax0 = f ✳

❱í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✶✳✶✵✮✱ ♥Õ✉ ❝❤Ø ❜✐Õt ❞÷ ❦✐Ö♥

fδ

s❛♦ ❝❤♦
✭✶✳✶✶✮

fδ − f ≤ δ,

t❤× t❤❐♠ ❝❤Ý ♥❣❛② ❝➯ ❦❤✐ tå♥ t➵✐

A−1 ✱ xδ := A−1 fδ ✈➱♥ ❝ã t❤Ó ❧➭ ♠ét ①✃♣ ①Ø

tå✐ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ➜Ó ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❣❤✐Ö♠ æ♥ ➤Þ♥❤ t❛ ♣❤➯✐ sö
❞ô♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✳ ▼ét ✈Ý ❞ô ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❧➭
❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳

• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈
●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣

X ✈➭ Y ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❧➭ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ✭✶✳✶✵✮ ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ö❝ t×♠ ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉

xδα ❝ñ❛ ♣❤✐Õ♠

❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈

Fαδ (x) = A(x) − fδ

2

+ α x − x∗ 2 .

✭✶✳✶✷✮

❑Õt q✉➯ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❧➭ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤➷t ❝❤♦ t♦➳♥
tö

A✱ ✈í✐ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ α t❤Ý❝❤ ❤î♣✱ ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉ xδα ❧➭

①✃♣ ①Ø tèt ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳
✈➭

{xk }

x0 ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✵✮✳ ❚❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳

✭①❡♠ ❬✽❪✮

❈❤♦

A

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ➤ã♥❣ ②Õ✉✱

❧➭ ♠ét ❞➲② ❝ù❝ t✐Ó✉ ❝ñ❛

Footer Page
19bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

(1.12)

✈í✐

fδ

➤➢î❝ t❤❛② ❜ë✐

fk

α>0

s❛♦ ❝❤♦




Header Page 20 of 89.


fk f ó tồ t ột ộ tụ ủ xk
ộ tụ tử ự tể ủ

ớ ủ

(1.12)

ột ết q tr t t số ệ ỉ ọ t
ệ ệ ỉ
ị ý
tỏ

A ột t tử tụ ó ế f Y

(1.11) t số () ợ ọ s () 0 2 / 0

0 ó ỗ {xkk } ở k 0 k = (k ) xkk

ự tể ủ

(1.12)

tụ ề ệ ó

x0



ó



ề ó ộ tụ ớ ủ ọ ộ

x

ỏ t ủ

(1.10)

r ế ệ

x ỏ t t tì
lim x() = x0 .

0

ệ tứ s sẽ ợ sử ụ tố ộ ộ tụ ủ ệ
ệ ỉ

a b c số ủ é p > q > 0 ế

ap baq + c tì t ó ap = O bp/(pq) + c t ệ
ớ ết ù é

sử ợ

(h) ột ù é

h 0 ế tồ t ột số > 0 số M > 0 s
|(h)| M h
tì t ết

(h) = O(h ).
ết tr ó ĩ

h ỏ tì (h) ột ợ ỏ

h 0 tì (h) tế ế số 0 M h

ể ợ ết q ề tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ờ t
t ột tết t tử
ị ý





D(A)

Footer Page
20bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa

A ó ị ý s

ột t ồ

f Y

tỏ

(1.11)




Header Page 21 of 89.

✷✵

✈➭

x0

❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ã

x∗ ✲❝❤✉➮♥

♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) = f ✳

❍➡♥ ♥÷❛✱ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥✿

✭✐✮

A ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t❀

✭✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè

✈í✐ ♠ä✐

x ∈ D(A)❀

✭✐✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö

✭✐✈✮

L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ A (x0 ) − A (x) ≤ L x0 − x
z∈X

s❛♦ ❝❤♦

x0 − x∗ = A (x0 )∗ z

✈➭❀

L z < 1✳

❑❤✐ ➤ã✱

✶✮ ◆Õ✉

α = cδ ✱ c > 0✱ t❤×
xδα − x0 ≤ √

✷✮ ◆Õ✉ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

1+c z
c

(1 − L z )

δ 1/2 .

α ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥

δ ≤ A(xδα ) − fδ ≤ c1 δ,

c1 ≥ 1,

✭✶✳✶✸✮

t❤×

xδα

− x0 ≤

2(1 + c1 ) z
1−L z

1/2

δ 1/2 .

❚❤❛♠ sè ❤❐✉ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤ä♥ t❤❡♦ ✭✶✳✶✸✮ ❧➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤é ❧Ö❝❤ ❝ñ❛ ▼♦r♦③♦✈✳
❱í✐ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤é ❧Ö❝❤ ❝æ ➤✐Ó♥✱ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

α ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥

A(xδα ) − fδ = cδ, c ≥ 1.
• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈
❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ♠➭ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈ ❬✶✵❪ ➤Ò ①✉✃t ❧➭ t❤❛②
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤❛♥❣ ①Ðt ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ①✃♣ ①Ø ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✈í✐ ♠ä✐ ✈Õ ♣❤➯✐
✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ô t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭♦ ✈Õ ♣❤➯✐ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

H✳

❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②✱ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✵✮ ➤➢î❝ ①➞②
❞ù♥❣ tr➟♥ ❝➡ së ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) + α(x − x∗ ) = fδ .

Footer Page
21bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

✭✶✳✶✹✮




Header Page 22 of 89.
✷✶

❑Õt q✉➯ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✹✮ ➤➢î❝ tr×♥❤
❜➭② tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞②✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✻✳
✈➭

✭①❡♠ ❬✶✵❪✮

A : H → H

Br (x0 ) ⊂ D(A)

❝❤Ø♥❤

●✐➯ sö

x0 ∈ D(A)

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

(1.10)

❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t tr♦♥❣ ❤×♥❤ ❝➬✉

✈í✐ ❜➳♥ ❦Ý♥❤

r = x0 − x∗ + δ/α✳

❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ❤✐Ö✉

(1.14) ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ xδα ∈ Br (x0 )✳

❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤ä♥ t✐➟♥
♥❣❤✐Ö♠ ❝❤♦ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ▲❛✈r❡♥t✐❡✈✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼✳

✭①❡♠ ❬✶✵❪✮

A(x) = f ✱ xδα

x0 ∈ D(A)

●✐➯ sö

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

(1.14) ✈➭ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉

t❤á❛ ♠➲♥✿

✭✐✮

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t❀
z∈H

✭✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö

✭✐✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè

✈í✐ ♠ä✐

❦Ý♥❤

x0 , x ∈ Br (x0 )✱

r=α z

s❛♦ ❝❤♦

x0 − x∗ = A (x0 )∗ z ❀

L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ A (x0 ) − A (x) ≤ L x0 − x

ë ➤➞②

Br (x0 ) ⊂ D(A)

❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ t➞♠

x0

❜➳♥

✳

❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐

α > 0 t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳
δ
+
α

L
z 2 α.
✭✶✳✶✺✮
2
√
√
◆Õ✉ t❤❛♠ sè α ➤➢î❝ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❜ë✐ α ∼
δ ✱ t❤× xδα −x0 = O( δ)✳

xδα − x0 ≤

z +

• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈
❆❧❜❡r ❬✸❪ ➤➲ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ✭✶✳✶✵✮
tr➟♥ ❝➡ së ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) + αU s (x − x∗ ) = fδ .

Footer Page
22bởi
ofTrung
89. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

✭✶✳✶✻✮




Header Page 23 of 89.


sử

X tự ó tí t

t ó ết q s
ị ý

tụ





ó ớ ỗ

t ệ

x

A : X X

>0

r ế



hemi

ột t tử ệ

f X

, / 0

tì

trì

{x }

(1.16)

ó

ộ tụ ế ệ ó

x ỏ t ủ t (1.10)
sử t ệ

S ủ t rỗ ố ộ ộ tụ ủ

ệ ệ ỉ ủ trì ệ ỉ ợ trì tr
ị ý s
ị ý





sử ề ệ s ợ tỏ

A rét t ột ó ủ x0 S

A(x) A(x0 ) A (x0 )(x x0 ) x x0

tỏ

A (x0 )(x x0 ) ,


ớ ọ

x tộ ột ủ x0 ở > 0 ột số

tồ t ột tử

t số ệ ỉ

zX

s

A (x0 ) z = U s (x0 x )

ợ ọ s p 0 < p < 1

ó

x x0 = O( ), = min

Footer Page
23bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa

1p p
.
,
s1 s




Header Page 24 of 89.




ệ ỉ t tứ ế
ệ


ệ ỉ t tứ ế ớ t tử ễ ệ

ự ộ tụ ủ ệ ệ ỉ



X tự ó tí t X

ợ ủ
ồ ó ủ

X X X ồ t K ột t

X ét t t tứ ế ợ ề ở

tì

x0 K s


Ax0 f, x x0 0, x K,
ở

A : D(A) X X ột t tử ệ hemi tụ

ị

f tử trớ tộ X ế t tử A ó tí

t ệ ề ệ tì t

(2.1) ó ột

t t ỉ t ĩ ệ ủ t ụ tộ
tụ ữ ệ
ệ

(A, f ) r t ộ t tết t

S0 = S0 K ổ ề S0 ột t ó ồ tr

K
trị ú

trị ủ ợ

(A, f ) t ỉ ết ợ ỉ (Ah , f )

= (h, ) r ụ t sử ỉ

(Ah , f ) sẽ ợ s ề ệ s tỏ
f X :

Footer Page
24bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa

f f , 0,






Header Page 25 of 89.


Ah : D(Ah ) X X t tử ệ hemi tụ ị s


Ah (x) A(x) hg( x ), x X, h 0,
ở

g(t) tự tụ ị

ể t t ỉ t sử ụ
ổ ị ột tr ợ sử ụ rộ r rt ệ
q ệ ỉ tở ủ ệ
ỉ rr ề t t t tứ ế
ò ọ ệ ỉ rr sử ụ ột
t tử

M : X X ó tí t hemi tụ ệ t

ệ ỉ ột ủ t tử

M ố tổ qt

U s ủ X ts ự ệ
ệ ỉ t ự tr ệ t tứ ế
tì

x K s
Ah x + U s (x x ) f , x x 0, x K.

ị ý ớ ỗ
ệ ỉ

(2.4)

> 0, h > 0



ó t ệ

{x } ộ tụ ế tử x0 S0

ó

f X

x



t tứ ế

r ế

x ỏ t

h+
, 0


tì

X ồ t U s ột hemi

ứ



tụ ì

Ah + U s ũ ột t tử ệ hemi tụ từ

X X t U s t tử ứ ớ ỗ > 0 t tử
Ah + U s ũ ột t tử ứ t t ét
(Ah + U s )(x), x = Ah (x) + U s (x), x
= Ah (x) Ah (), x + Ah (), x



+ U s (x), x .

Footer Page
25bi
ofTrung
89. tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
S húa