Đề tài cấu hình tổ hợp nâng cao ứng dụng

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Mục lục
Trang

MỞ ĐẦU
Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên
nghiên cứu sự sắp xếp các đối tượng.Thông thường các phần tử này là hữu hạn
và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo
yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Chủ đề này được nghiên cứu từ thế kỷ 17
khi những câu hỏi về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu của
các trò chơi may rủi. Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng có những tính chất nào
đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp.
Một bài toán khác trong lý thuyết tổ hợp là việc tạo ra các cách sắp xếp theo
một kiểu nào đó. Vấn đề này rất quan trọng trong các mô phỏng máy tính. Chúng
ta cũng sẽ đưa ra những thuật toán tạo các cách sắp xếp theo nhiều kiểu khác
nhau.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 2


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp
khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường
hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học
như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như
vũ bảo, thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế
thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều
vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò
chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong lĩnh
vực toán học, tin học…
Trong lý thuyết tổ hợp, cấu hình tổ hợp nâng cao là phương pháp giúp giải
các bài toán đếm nhanh và hiệu quả hơn rất nhiều. Nó có nhiều ứng dụng hay
trong thực tế và trong tính toán.

CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP
I. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN
Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung Quốc
người ta đã biết tới những hình vuông bí ấn. Thời cổ Hi-Lạp, thế kỷ 4 trước Công
Nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ
bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra nhiều số có
tính chất đặc biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu
tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên.
36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 13 + 23 + 33
Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó
bằng tổng bình phương của 2 số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ
thuật tổ hợp nhất định.
Một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử:
1. Bài toán tháp Hà Nội

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 3


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Bài toán này do Edouard Lucas đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Bài toán phát
biểu như sau: Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n đĩa kích thước khác nhau xếp chồng
nhau, đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn. Hãy chuyển các đĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ
ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, sao cho luôn đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn.
Hãy đếm số lần di chuyển đĩa. Tìm phương án di chuyển đĩa tối ưu.
Ta có số lần di chuyển là: 2n – 1. Khi n = 64, ta có số lần di chuyển là :
18 446 744 073 709 551 615
2. Bài toán xếp n cặp vợ chồng
Bài toán này cũng do Lucas đưa ra vào năm 1891. Bài toán phát biểu như
sau : Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào ngồi gần
nhau. Có bao nhiêu cách xếp như vậy ?
Từ yêu cầu của bài toán dẫn đến việc nghiên cứu một khái niệm quan trọng
là số phân bố và mãi đến năm 1934 mới có lời giải. Số cách xếp là : 2.n ! .Un,
trong đó Un là số phân bố. Ta có bảng giá trị sau nó nói lên sự bùng nổ tổ hợp
ghê gớm của số phân bố
n=
4
5
6
7
8

9
10
11
Un =
2
13
80
579 4 738 43 387 439 792 4 890 741
3. Hình vuông la tinh
Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1, 2, 3, … , n - 1, n
thỏa mãn tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng nhau và bằng:
1+2+…+n=

n(n + 1)
2

Hình vuông la tinh chuẩn cấp n là hình vuông la tinh cấp n có dòng đầu và
cột đầu là 1, 2,…, n. Bảng sau đây là hình vuông la tinh chuẩn cấp 7
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6

7
1
3
4
5
6
7
1
2
4
5
6
7
1
2
3
5
6
7
1
2
3
4
6
7
1
2
3
4
5

7
1
2
3
4
5
6
Công thức tính số hình vuông la tinh đến nay vẫn còn bỏ ngơ. Tuy nhiên ta có
thể lập chương trình liệt kê tất cả hình vuông la tinh chuẩn. Dưới đây là một số
giá trị:
n=
1
2
3
4
5
6
7
ln =
1
1
1
4
56
9 408
16 942 080

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 4

Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

(ln là số hình vuông la tinh chuẩn cấp n)
II. SƠ LƯỢC VỀ TOÁN HỌC TỔ HỢP
Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan tới
nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Nói một cách tổng quát thì lý
thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều
tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Mỗi cách phân bố, sắp xếp như thế
gọi là một cấu hình tổ hợp.
1. Cấu hình tổ hợp
Cho các tập hợp A1, …, An. Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phân tử của A1, …, An
được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R1, …, Rm là các điều kiện ràng buộc lên
mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của A1, …, An thỏa mãn
các điều kiện R1, …, Rm gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A1, …, An .
Ví dụ: Bài toán tháp Hà Nội
A là tập hợp n đĩa
S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc
R1 là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác
R2 là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên
Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thoả mãn điều kiện R 1 và
R2.
2. Bài toán tổ hợp
2.1. Bài toán tồn tại
Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại
của cấu hình tổ hợp nào đó. Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố gắng
giải chúng đã thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học.

2.2. Bài toán đếm
Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp
thuộc dạng đang xét”. Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào một số quy
tắc, nguyên lí đếm và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác
định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận
dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất
hay tính độ phức tạp thuật toán
2.3. Bài toán liệt kê
Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất
cả các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau thường

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 5


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn
tính chất cho trước hay không ?
2.4. Bài toán tối ưu tổ hợp
Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số
(chẳng hạn như hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện...). Khi đó bài toán tối ưu
tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất
hoặc nhỏ nhất).
3. Một số nguyên lí cơ bản
3.1. Nguyên lý nhân
Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, bước 1 có thể được

thực hiện n1 cách, bước 2 có thể được thực hiện n2 cách, …, bước k có thể được
thực hiện nk cách. Khi đó số cấu hình tổ hợp là n1. n2…. nk.
Ví dụ: Có 3 loại mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (nhựa, da,
kim loại, đá). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây.
Số cách chọn có thẻ được tính như sau:
3 (cách chọn mặt) * 4 (cách chọn dây) = 12.
3.2. Nguyên lý cộng
Giả sử {X1, X2,…,Xn} là một phân hoạch của tập S. Khi đó

S = X1 + X 2 + ... + X n
Ví dụ: An muốn mua 1 áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Trong cửa hàng có 5 cái
áo khác nhau cỡ 39 và 7 cái áo khác nhau cỡ 40. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn
để mua 1 áo?
Số cách chọn có thể được tính như sau:
5 (cách chọn áo cỡ 39) + 7 (cách chọn áo cỡ 40) = 12.
4.Cấu hình tổ hợp cơ bản
4.1. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ
có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được
lặp lại.
Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề các Xk, với X là tập n phần tử. Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n
là: AR(n,k) = nk
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số được lập từ các số 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 6

Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Một số tự nhiên có 2 chữ số tương ứng với một bộ có thứ tự 2 thành phần
của 7 phần tử, các phần tử có thể lặp lại. Vậy số các số tự nhiên có 2 chữ số là 7 2.
4.2. Chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là
một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không
được lặp lại.
Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế
tiếp như sau:
Chọn thành phần đầu: có n khả năng
Chọn thành phần thứ 2: có n - 1 khả năng
...
Chon thành phần thứ k: có n – k + 1 khả năng
Như vậy theo nguyên lý nhân , số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n
n!

phần tử là: A(n, k) = n.(n - 1). ... .(n – k + 1) = n − k !
(
)
Ví dụ: Có bao mhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lấy từ: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7.
Một số tự nhiên thoả yêu cầu tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 7
phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Vậy số các số tự nhiên thoả yêu cầu là A(7,3) = 210.
4.3. Hoán vị
Định nghĩa. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ
tự các phần tử đó.
Hoán vị có thể coi như trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp chập k

của n trong đó k = n. Ta có số hoán vị là: P(n) = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 10 người khách vào dãy 10 ghế hàng
ngang.
Số cách xếp 10 người vào 10 ghế là một hoán vị của 10 phần tử.
Vậy có 10! =3628800 cách xếp.
4.4. Tổ hợp
Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không
kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác ta
có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử
từ n phần tử đã cho.
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C(n, k). Ta có A(n, k) = C(n, k).k!

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 7


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

Suy ra

C(n, k) =

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

n!
k!(n − k)!

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không
có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P?

Một tam giác có 3 đỉnh thuộc P chính là một tổ hợp chập 3 của tập P. Vậy
số tam giác có 3 đỉnh thuộc P là: C (7,3) = 35.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 8


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

CHƯƠNG II. CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO
1. Hoán vị lặp
Định nghĩa. Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định số
lần lặp lại cho trước.
Định lý. Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau trong đó số phần tử thứ
nhất lặp n1 lần, số phần tử thứ 2 lặp n2 lần,..., số phần tử thứ k lặp nk lần là:
P( n; n1, n2,.....nk ) =

n!
, với n = n1 + n2+ ….+ nk
n1 ! n2 !.....nk !

Hệ quả. Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, trong đó có n1 phần tử kiểu 1,
n2 phần tử kiểu 2,..., nk phần tử kiểu k. Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập S
là

P( n; n1, n2, ..., nk ) =

n!
n1 ! n2 !.....nk !

Chứng minh. Để xác định số hoán vị trước tiên chúng ta nhận thấy có C(n, n1)
cách giữ n1 chỗ cho n1 phần tử loại 1, còn lại n – n1 chỗ trống. Sau đó có
C(n- n1, n2) cách đặt n2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại n – n1 – n2 chỗ trống.
Tiếp tục đặt các phần tử loại 3, 4,…, k – 1 vào chỗ trống hoán vị. Cuối cùng có
C(n – n1 - … - nk-1, nk) cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị. Theo quy tắc nhân
ta có:

C(n, n1) . C(n- n1, n2) . … .C(n – n1 - … - nk-1, nk) =

n!
.
n1!.n 2 !....nk !

Ví dụ. Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các
chữ cái của từ SUCCESS?
Giải. Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không
phải là số hoán vị của 7 chữ cái được. Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và
1 chữ E. Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta nhận thấy có C(7,3)
cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ trống. Có C(4,2) cách chọn 2 chỗ cho
2 chữ C, còn lại 2 chỗ trống. Có thể đặt chữ U bằng C(2,1) cách và C(1,1) cách
đặt chữ E vào xâu. Theo nguyên lý nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo được
là: C(7, 3) . C(4, 2) . C(2, 1) . C(1, 1) =

7!4!2!1!
7!
=
= 420

3!.2 !.1!.1!
3!.4!.2!.2!.1!.1!.1!.0!

2. Tổ hợp lặp

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 9


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Định nghĩa. Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhau là một nhóm không phân
biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể
được lặp lại.
Định lý. Giả sử X có n phần tử khác nhau. Khi đó số tổ hợp lặp chập k từ n phần
tử của X, ký hiệu CR(n, k) là CR(n, k) = C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k).
Chứng minh. Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu diễn bằng một
dãy n−1 thanh đứng và k ngôi sao. Ta dùng n − 1 thanh đứng để phân cách các
ngăn. Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i của tập xuất
hiện trong tổ hợp. Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử được biểu thị bởi:
**| * | |***
mô tả tổ hợp chứa đúng 2 phần tử thứ nhất, 1 phần tử thứ hai, không có phần tử
thứ 3 và 3 phần tử thứ tư của tập hợp.
Mỗi dãy n − 1 thanh và k ngôi sao ứng với một xâu nhị phân độ dài n + k − 1
với k số 1. Do đó số các dãy n − 1 thanh đứng và k ngôi sao chính là số tổ hợp
chập k từ tập n + k − 1 phần tử. Đó là điều cần chứng minh
Ví dụ. Giả sử ta có 3 quyển sách: Toán, Lí, Hóa và mỗi quyển có ít nhất có 6

bản photocopy. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển?
Giải. Bài toán đặt ra là chọn 6 phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại.
Mỗi cách chọn sách được xác định duy nhất bởi số lượng của mỗi loại sách. Ta
có thể biểu diễn mỗi cách chọn sách như sau:
Toán
xxx

Lí
| xx

Hóa
|

x

Trong đó 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch đứng chỉ phân cách
giữa giữa các loại sách. Như vậy mỗi cách chọn sách tương ứng chọn 2 vị trí
trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch | tức là tổ hợp chập 2 từ 8 phần tử. Suy ra số cách
chọn sách là: C(8, 2) = 28
3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp
Định nghĩa. Cho X là tập n phần tử khác nhau, r≤ n và S ⊂ X có r phần
tử. Một phân hoạch {S1, S2, ..., Sk} có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự
tổ hợp chập r của X. Nếu r = n, thì gọi là phân hoạch thứ tự của X.
Cho các số nguyên dương n1, n2, ..., nk thoả n1 + n2 + ... + nk = r . Số các
phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S1, S2, ..., Sk} có

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 10

Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

S1 = n1 , S2 = n2 ,..., S k = nk được ký hiệu là C(n; n1, n2, ..., nk). Một cấu hình tổ

hợp kiểu này được xây dựng qua các bước như sau
Bước 1: Chọn n1 phần tử từ X cho S1, có C(n, n1) khả năng.
Bước 2: Chọn n2 phần tử từ X \S1 cho S2, có C(n− n1, n2) khả năng.
.....................................
Bước k: Chọn nk phần tử từ

X \ ( S1 ∪ S 2 ∪ ... ∪ S k −1 )

cho Sk, có

C(n−n1−n2−...−nk−1, nk) khả năng.
Theo nguyên lý nhân suy ra
C(n; n1, n2, ..., nk) = C(n,n1). C(n−n1,n2) ... C(n−n1−n2−...−nk−1, nk)
=

n!
= P(n; n1, n2, ..., nk, n−r)
n1!.n2!...nk !.(n − r )!

Vậy, ta có định lý
Định lý. C(n; n1, n2, ..., nk) =

n!

= P(n, n1, n2, ..., nk, n−r)
n1!.n2!...nk !.(n − r )!

C(n; n1, n2, ..., nk) được gọi là hệ số đa thức.
Ví dụ. Có 17 sinh viên đi dạ hội bằng 5 xe khác nhau theo thứ tự có số chỗ
ngồi tương ứng là 4, 3, 3, 4, 1. Hãy xác định số cách chở 17 sinh viên bằng 5 xe,
trong đó có 2 sinh viên phải đi bằng phương tiện khác?
Giải. Mỗi cách chở là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập 15 của 17 với số
phần tử trong mỗi tập con tương ứng là 4, 3, 3, 4, 1. Vì vậy số cách chở là:
C(17; 4, 3, 3, 4, 1) =

17!
= 8 576 568 000.
4!.3!.3!.4!.1!.2!

4. Phân hoạch không thứ tự
Định nghĩa. Cho X là tập n phần tử khác nhau, các số nguyên dương n1,
n2, ..., nk và p1, p2, ..., pk thoả n1.p1 + n2.p2 + ... + nk.pk = n
Một hệ thống các tập con của X gồm p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng
n2, ... , pk tập lực lượng nk gọi là phân hoạch không thứ tự của X.
Định lý. Số phân hoạch không thứ tự của X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập
lực lượng n2, ... , pk tập lực lượng nk là
n!
C ( n; n1 ,..., n1 , n2 ,..., n2 ,..., nk ,..., nk )
=
p1
p
p
p1! p2!... pk !
p1!( n1!) p2!( n2 !) 2 ... pk !( nk !) k

(trong tử số C ( n; n1 ,..., n1 , n2 ,..., n2 ,..., nk ,..., nk ) , số n1 lặp lại p1 lần, số n2 lặp lại p2
lần, ..., số nk lặp lại pk lần).

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 11


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Chứng minh. Mỗi phân hoạch không thứ tự của X với p1 tập lực lượng n1,
p2 tập lực lượng n2, ... , pk tập lực lượng nk sẽ sinh ra p1!p2!...pk! phân hoạch có
thứ tự của X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, ... , pk tập lực lượng nk.
Mặt khác C ( n; n1 ,..., n1 , n2 ,..., n2 ,..., nk ,..., nk ) chính là số phân hoạch có thứ tự của X
với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, ..., pk tập lực lượng nk.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ.
(i). Số cách chia 12 sinh viên vào 3 lớp học buổi sáng, buổi chiều và buổi tối,
mỗi lớp 4 sinh viên là
C(12; 4, 4, 4) =

12!
( 4!) 3

(phân hoạch thứ tự)

(ii). Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 sinh viên là

12!
C (12;4,4,4)
=
( 4!) 3 3!
3!

(phân hoạch không thứ tự).

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 12


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG
I. CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN
Bài toán 1. Bài toán đếm cách xếp chỗ
Một tổ sinh viên có 7 nam và 5 nữ xếp thành hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp hàng để không có hai sinh viên nữ đứng gần nhau?
Giải. Mỗi cách xếp hàng tương ứng với một hoán vị của 7 (SV nam A1,
A2,...,A7) và một chỉnh hợp chập 5 (SV nữ) của 8 (khoảng trống ký hiệu bằng
dấu gạch ngang):
_A1_A2_A3_A4_A5_A6_A7_
Như vậy ta có tất cả 7!. A(8,5) = 5040 . 6720 = 33 868 800 cách xếp hàng.
Tổng quát.
Ta có thể đưa ra và giải bài toán tổng quát hơn cho bài trên: Cho tập A có m
phần tử khác nhau và tập B có n phần tử khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp

m + n phần tử trên thành hàng ngang sao cho không có hai phần tử nào của B
đứng cạnh nhau
Giải. Xếp m phần tử của tập A lên hàng ngang có : m! cách. Để các phần tử của
tập B không đứng cạnh nhau ta xếp các phần tử của tập B vào khoảng giữa các
phần tử của tập A và 2 đầu. Có tổng cộng m + 1 vị trí nên số cách xếp là:
A(m+1, n), n > m+1: Không có cách sắp xếp
n < m+1 hoặc n = m+1 Theo quy tắc nhân ta có m!. A(m+1,n)
Bài toán 2. Bài toán đếm số đường đi
Xét một bảng hình chữ nhật gồm m  n ô vuông. Hỏi có bao nhiêu đường đi
khác nhau từ nút (0, 0), đến nút (n, m) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông
theo chiều sang phải hoặc lên trên.
Giải. Mỗi đường đi gồm m + n
đoạn, trong đó có m đoạn lên trên,
và n đoạn sang phải. Tương ứng tổ
hợp chập m (lên trên) từ m + n phần
tử. Hai đường đi khác nhau bởi sự
luân phiên của các đoạn đứng và
đoạn ngang. Vậy số đường đi là:
C(n+m, m). Sau đây là một đường
đi từ nút (0, 0) đến nút (n, m):

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 13


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Bài toán 3. Bài toán phân phối
Có bao nhiêu cách phân phối n quả cầu giống nhau và m hộp phân biệt ?
Giải.
• TH1. Nếu hộp nào cũng có quả cầu, khi đó điều kiện n ≥ m
Ta biểu diễn n quả cầu A liên tiếp có n-1 vạch phân chia. A − A − A − ... − A − A
Mỗi cách phân phối là một cách chọn m-1 vạch từ n-1 vạch.
Vậy ta có: C (n − 1, m − 1) (cách).
• TH2. Nếu có thể có hộp rỗng, khi đó không có điều kiện ràng buộc giữa
m và n.
Ta biểu diễn n quả cầu A và m số 0 liên tiếp thì có m+n-1 vạch phân chia,
chẳng hạn: 0 − A − 0 − A − A − ... − 0 − A − 0
Mỗi cách phân phối có thể có hộp rỗng là một cách chọn m-1 vạch từ m+n
-1 vạch. Vậy ta có: C ( n + m − 1, m − 1) (cách).
Nhận xét. Ta để ý rằng, mỗi cách xếp đặt k.n vật thành k nhóm, mỗi nhóm
có n vật là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập k.n của k.n với số phần tử tương
n, n,..., n
ứng của các tập con là 14 2 43 .
k sè n

Vậy số cách xếp đặt là: C ( k .n; n, n,..., n) =

(k .n)!
n !n !...n !

II. CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO
1. Hoán vị lặp
Bài toán 3 . Số cách phân chia n đồ vật khác nhau vào trong k hộp khác nhau
sao cho có ni vật được đặt vào trong hộp thứ i, với i = 1, 2, ..., k bằng
n!
.

n1!.n 2 !....n k !.(n − n1 − ... − n k )!
Ví dụ. Có 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn đỏ, 3 bóng đèn vàng và 5 bóng
đèn xanh được lắp vào 18 ổ cắm trên một hàng. Hãy đếm số phương án lắp các
bóng đèn.
Giải. Khi lắp 12 bóng đèn thì 18 ổ cắm bao gồm 4 loại: 4 bóng đèn đỏ, 3 bóng
đèn vàng, 5 bóng đèn xanh và 6 ổ cắm rỗng. Như vậy mỗi phương án lắp các
bóng đèn là một hoán vị lặp .Ta có số phương án lắp bóng đèn là:

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 14


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

P(18;4;3;5;6)=

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

18!
= 514 594 080
4!.3!5!6!

Bài toán 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 người ngồi quanh một bàn tròn có 10
chiếc ghế?
Giải. Vì khi xếp quanh một bàn tròn thì mỗi cách sắp xếp luôn có 10 cách sắp
xếp trùng với nó nên ta cố định một vị trí và 3 chiếc ghế trống là 3 phần tử giống
nhau nên số cách sắp xếp là:

9!

= 6048000 .
3!

Bài toán 5. Cho tập A={1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên
có 9 chữ số sao cho: chữ số 3 có mặt 2 lần, chữ số 5 có mặt 3 lần, còn các chữ số
khác có mặt đúng 1 lần.
Giải. Viết thêm vào tập A hai chữ số 5 và một chữ số 3.
Khi đó số các số có 9 chữ số là: 9!. Trong 9! số này, khi ta hoán vị hai chữ
số 3 và ba chữ số 5 thì sẽ có 2!3! số lặp lại.
9!
Vậy có tất cả có 2!3! =30240 số cần tìm.

Bài toán 6. Giả sử n và k là 2 số nguyên dương sao cho n = 2k.
Chứng minh rằng

n!
là một số nguyên.
2k

Giải: Xét n ký hiệu x1, x1, x2, x2, . . ., xk, xk. Ta có số hoán vị có lặp của n ký
hiệu này là:

n!
n!
= k
2!2!...2!
1
4 2 43 2 .

Suy ra rằng

k lân

n!
là một số nguyên
2k

2. Tổ hợp lặp
Bài toán 7. Xếp n vật giống nhau vào m hộp khác nhau
1. Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp, ta xếp bi vào các hộp. Gọi
xi với i = 1, 2, 3,..., m là số bi ở hộp i. Chứng minh rằng
a) Số cách xếp khác nhau n viên bi vào m cái hộp là C(m+n-1, n).
b) Trong C(m+n-1, n) cách xếp đó có C(n-1, m-1) cách xếp cho tất cả các
hộp đều có bi.
Giải. a) Ta biểu diễn m cái hộp từ m + 1 vạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu
diễn bằng các ngôi sao (*). Chẳng hạn như.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 15


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

|**|*|***|*|…….|***|
Như vậy ở ngoài cùng luôn là các vạch thẳng đứng, còn lại m - 1 vạch thẳng
đứng và n viên bi được sắp xếp theo thứ tự tuỳ ý. Như vậy số cách sắp xếp khác
nhau bằng số cách chọn n phần tử trong tập hợp m – 1 + n phần tử (cả vạch và

ngôi sao) đó chính là C(m+n-1, n).
b) Trường hợp có ít nhất 1 viên bi tương ứng với cách biểu diễn mỗi vạch bao
gồm giữa 2 ngôi sao. Nhưng có tất cả n - 1 khoảng trống giữa n ngôi sao. Vì vậy
phải xếp m - 1 vạch vào giữa n - 1 khoảng trống đó. Vì vậy có tất cả: C(n-1, m-1)
cách xếp.
2. Có bao nhiêu cách chia 10 viên kẹo giống nhau cho 3 em bé?
Giải. Mỗi cách chia 10 viên kẹo cho 3 em bé tương ứng với một cách chọn 10
phần tử, trong đó phần tử kiểu i lặp lại ni lần (i = 1..3). Vây số cách chia là số tổ
hợp lặp chập 10 của 3 phần tử. Số cách chia kẹo là:
CR(3, 10) = C(12, 2) = 66
3. Có bao nhiêu cách chia 5 viên kẹo đỏ giống nhau và 7 viên kẹo xanh
giống nhau cho 3 em bé?
Giải. Mỗi cách chia 5 viên kẹo đỏ cho 3 em bé tương ứng với một cách chọn
5 phần tử, trong đó phần tử kiểu i lặp lại ni lần (i=1..3). Nên số cách chia kẹo đỏ
cho 3 em bé là số tổ hợp lặp chập 5 của 3 phần tử. Số cách chia kẹo đỏ là:
CR(3, 5) = C(7, 2)
Tương tự, số cách chia kẹo xanh là: CR(3, 7) = C(9, 2)
Theo nguyên lí nhân, số cách chia kẹo là: C(7, 2).C(9, 2) = 756.
4. Có bao nhiêu cách chia 10 viên kẹo giống nhau cho 3 em bé sao cho em
nào cũng có kẹo?
Giải. Mỗi cách chia 10 viên kẹo cho 3 em bé sao cho em nào cũng có kẹo có
thể coi như cách đặt 2 dấu | vào 9 vị trí xen giữa các viên kẹo. Do đó, số cách
chia kẹo là số tổ hợp chập 2 của 9 phần tử. Vậy số cách chia là: C(9, 2) = 36.
Bài toán 8. Tìm số bộ nghiệm nguyên dương, nguyên không âm của phương
trình, bất phương trình.
1. Tìm số bộ nghiệm không âm của phương trình: x1 + x2 + x3 = 11.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 16

Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Giải. Mỗi bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình tương ứng với một
cách chọn 1 phần tử của 1 tập có 3 loại sao cho có , x1 phần tử loại 1, x2 phần tử
loại 2, x3 phần tử loại 3.
Số bộ nghiệm là tổ hợp lặp chập 11 của 3. Số nghiệm là
CR(3, 11) = C(3+11- 1, 3-1) = C(13, 2) = 78
2. Tìm số bộ nghiệm nguyên dương của phương trình :x1 + x2 + x3 + x4 = 10 (1)
Giải. Đặt yi = xi – 1 ∀ i = 1, 2, 3, 4. Khi đó phương trình (1) trở thành
y1 + y2 + y3 + y4 = 16 (2)
Ta thấy mối bộ nghiệm nguyên dương của phương trình (1) tương ứng 1-1 với
một bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình (2). vậy số bộ nghiêm
nguyên dương của phương trình (1) cũng là số bộ nghiệm nguyên không âm của
phương trình (2) và bằng:
9!

9.8.7

CR(4, 6) = C(6+4-1, 4-1)) = C(9,3) = 3! 9 − 3 ! =
= 84
(
)
3.2.1
3. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (1)
thỏa điều kiện: x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 >4 (*)
Giải.Ta viết điều kiện đã cho thành: x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5, ta xét các điều kiện

sau x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (**), x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5 (***)
Gọi S1, S2, S3 lần lượt là số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1)
thỏa điều kiện (*), (**), (***). Ta có S1 = S2 - S3. Đặt x1’ = x1, x2’ = x2 – 2, x3’ =
x3 – 5, x4’ = x4 . Kết hợp (**) phương trình (1) trở thành: x1’ + x2’ + x3’ + x4’ =
13 (2)
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (**) bằng
số nghiệm nguyên không âm của phương trình (2). Vậy số nghiệm nguyên không
âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (**) là:
CR(4, 13) = C(13+4-1, 4-1) = C(16, 3) =560 = S2
Tương tự ta đặt x1’ = x1 – 4, x2’ = x2 – 2, x3’ = x3 – 5, x4’ = x4 . Kết hợp (***)
phương trình (1) trở thành: x1’ + x2’ + x3’ + x4’ = 9 (3). Số nghiệm nguyên không
âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (***) bằng số nghiệm nguyên không âm
của phương trình (3). Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1)
thỏa điều kiện (***) là: CR(4, 9) = C(9+4-1, 4-1) = C(12, 3) = 220 = S3
Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (*) là
S1 = S2 – S3 = 560 – 220 =340.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 17


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

4. Bất phương trình : x1 + x2 + x3 ≤ 11

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

(1)

có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên

không âm?
Giải. Cách1. Ta đưa về các bài toán:
Phương trình thứ k: x1 + x2 + x3 = k (k=0..11) có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên
không âm. Khi đó, số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình (1) là tổng
số nghiệm nguyên không âm của các phương trình thứ k (k = 0..11).
Xét phương trình thứ k: x1 + x2 + x3 = k

(*)

Mỗi bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình (*) tương ứng với một
cách chọn k phần tử, trong đó phần tử kiểu i lặp lại xi lần, i=1..3. Vậy số bộ
nghiệm nguyên không âm của (*) là số tổ hợp lặp chập k của 3 phần tử: CR(3, k)
Vậy số bộ nghiệm nguyên không âm của bất phương trình (1) là:
11

11

k =0

k =0

∑ CR(3, k ) = ∑ C (3 + k − 1, 2)

= C (2, 2) + C (3, 2) + ... + C (12, 2) + C (13; 2) = 364

Nhận xét. Thật khó khăn và phức tạp để giải quyết bài toán x1 + x2 + x3 ≤ m khi
m nhận những giá trị lớn hơn.
Vì vậy, đối với bài toán trên còn có một cách giải khá hay và tổng quát như sau:

Cách 2. Ta chọn một ẩn phụ x4 sao cho: x1 + x2 + x3 + x4 = 11

(2) . (Tức là với

mỗi bộ số ( x1 , x2 , x3 ) thoả bất phương trình (1), x4 = 11 − ( x1 + x2 + x3 ) ).
Khi đó, số bộ nghiệm nguyên không âm của bất phương trình (1) tương ứng
với số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình (2). Như vậy ta có kết quả:
CR( 4,11) = C (14, 3) = 364

Bài toán 9 . Trong kỳ thi kết thúc môn toán tổ hợp có 10 câu hỏi. Có bao nhiêu
cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm bằng 100 và mỗi câu ít nhất 5
điểm.
 10
∑ xi = 100
Giải. Ta gọi xi là số điểm cần gán cho câu thứ i, i = 1..10 thoả:  i =1
.
 x ≥ 5, ∀i = 1..10
 i

Như vậy ta có số cách gán điểm cho các câu hỏi chính là số bộ nghiệm
nguyên của phương trình: x1 + x2 + ... + x10 = 100 sao cho xi ≥ 5, ∀i = 1..10 .
Vậy kết quả là CR (10,50) = C (59,9) .

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 18


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

3. Phân hoạch thứ tự và không thứ tự
Bài toán 10. Có bao nhiêu cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4
sinh viên, trong đó có 2 nhóm học tiếng Anh, một nhóm học tiếng Pháp?
Giải. Chọn 2 nhóm trong 3 nhóm để bố trí học tiếng Anh có C(3, 2) cách.
Mỗi phương án chia 12 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 sinh viên là
một phân hoạch không thứ tự tổ hợp của 12 với 3 tập lực lượng 4.
Như vây, số cách chia là

12!
3!( 4!)

3

.C(3, 2)=17325 .

Bài toán 11. Chứng minh Ðịnh lý đa thức : Nếu n là một số nguyên dương thì

( x1 + x2 + ... + xm ) n =
Trong đó C (n, r1 , r2 ,..., rm ) =

∑

r1 + r2 + ...+ rm = n

C (n, r1 , r2 ,..., rm ) x1r1 x2r2 ...xmrm

n!
là hệ số của đa thức.

r1 !r2 !...rm !

r r
r
Chứng minh. Các số hạng trong khai triển có dạng x1 x2 ...xm , trong đó:
1

2

m

r1 + r2 + ... + rm = n .

Số hạng như thế xuất hiện từ việc chọn r1 nhân tử x1 , r2 nhân tử x2 ,..., rm
nhân tử xm . Mỗi cách chọn như trên là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập n của
n với số phần tử trong mỗi tập con tương ứng là r1 , r2 ,..., rm . Vậy có
C ( n, r1 , r2 ,..., rm ) cách chọn.

Áp dụng1. Tìm hệ số của x3 y 2 z 2 trong khai triển của ( x + 2 y − 3 z ) 7 .
Giải. Cách 1. Áp dụng định lý đa thức ta có: Trong khai triển của ( x + 2 y − 3z )7 ,
số hạng chứa x3 y 2 z 2 có dạng: C (7;3, 2, 2) x 3 (2 y ) 2 ( −3 z ) 2
Suy ra hệ số của x3 y 2 z 2 là: C (7;3, 2, 2)22 (−3)2 = 36.

7!
= 7560
3!2!2!

Cách 2. Sử dụng nhị thức Newton
7

7

k

7
k
k
7 −k
k i i
k −i
7 −k
Ta có: ( x + 2 y − 3z ) = ∑ C7 ( x + 2 y ) (−3z ) = ∑∑ C7 Ck x (2 y ) (−3z )
k =1

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

k =1 i =1

Trang 19


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

7

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

k

= ∑∑ (−3)7 − k C7k 2k −i Cki x i y k −i z 7 −k

k =1 i =1

i = 3
i = 3

Số hạng chứa x3 y 2 z 2 tương ứng: k − i = 2 ⇔ 
k = 5
7 − k = 2


Suy ra hệ số của x3 y 2 z 2 là: (−3) 2 .C75 .22.C53 = 7560 .
Áp dụng 2. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của biểu thức ( x + y + z )100 ?
100
C (100; r1 , r2 , r3 ) x r y r z r
Giải. Ta có: ( x + y + z ) = r + r ∑
+ r =100
1

1

2

2

3

3

Nhận xét rằng, số các số hạng trong khai triển tương ứng với số bộ số
nguyên không âm (r1 , r2 , r3 ) khác nhau thoả điều kiện: r1 + r2 + r3 = 100 . Hay đó

chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình: r1 + r2 + r3 = 100 .
Vậy có

CR (3,100) = C (102, 2) = 5151 (số hạng)

Tổng quát: Số các số hạng trong khai triển của biểu thức ( x1 + x2 + ... + xm ) n là:
CR (n, m) = C (n + m − 1, n − 1)

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 20


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

KẾT LUẬN
Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên
cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp. Các bài toán đếm, liệt kê với sự trợ
giúp của máy tính đã được giải quyết cùng với cấu hình tổ hợp nâng cao .
Đề tài “Cấu hình tổ hợp nâng cao và ứng dụng” đã hệ thống lại các cấu
hình tổ hợp cơ bản. Sau đó mở rộng các cấu hình tổ hợp nang cao. Các cấu hình
này được ứng dụng rộng rãi trong thật tế, cụ thể như bài toán phân bố đồ vật. Các
ứng dụng được minh họa bằng các ví dụ, bài toán cụ thể và dễ hiểu.
Đề tài được hướng dẫn nhiệt tình của thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến.
Tập thể nhóm xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy.
Mặc dù đã cố gắng nhưng đề tài cũng không tránh khỏi thiếu sót. Tập thể
nhóm mong nhận ý kiến của thầy và các bạn để đề tài hoàn thiện hơn.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 21


Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Quốc Chiến, Giáo trình Lý thuyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng.
2. Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội 2004.
3. Nguyễn Viết Đồng, Tập hợp, ánh xạ, phép đếm.

Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 22