Chuyên đề khảo sát hàm số - Nguyễn Phú Khánh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.04 MB, 177 trang )
ŀ
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 1 Nofguyễn
258. Phú Khánh – Đà Lạt
Chương 1
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định
trên K được gọi là
• Đồng biến trên K nếu với mọi x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ;
• Nghịch biến trên K nếu với mọi x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2
( ) ( )
⇒ f ( x ) > f (x ) .
1
2
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
( )
biến trên khoảng I thì f ' ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ I .
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x ≥ 0 với mọi x ∈ I ;
• Nếu hàm số f nghịch
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục
trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng
không phải đầu mút của I ) .Khi đó :
• Nếu f ' x > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;
•
•
( )
Nếu f ' ( x ) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f
Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f
nghịch biến trên khoảng I ;
không đổi trên khoảng I .
Chú ý :
• Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm f ' x > 0 trên khoảng
( )
(a;b ) thì hàm số f đồng biến trên a;b .
( )
• Nếu hàm số f liên tục trên a;b và có đạo hàm f ' x < 0 trên khoảng
(a;b ) thì hàm số f
nghịch biến trên a;b .
• Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a;b .
( )
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng a;b thì nó đồng biến trên đoạn
a;b .
5
Footer Page 1 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 2 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
( )
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng a;b thì nó nghịch biến trên đoạn
a;b .
( )
* Nếu hàm số f không đổi trên khoảng a;b thì không đổi trên đoạn a;b .
4. Định lý mở rộng
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .
• Nếu f '(x ) ≥ 0 với ∀x ∈ I và f '(x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc
I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;
• Nếu f '(x ) ≤ 0 với ∀x ∈ I và f '(x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc
I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I .
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số .
( )
Xét chiều biến thiên của hàm số y = f x ta thực hiện các bước sau:
• Tìm tập xác định D của hàm số .
( )
• Tính đạo hàm y ' = f ' x .
( )
( )
• Tìm các giá trị của x thuộc D để f ' x = 0 hoặc f ' x không xác định
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).
• Xét dấu y ' = f ' x trên từng khoảng x thuộc D .
( )
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
x +2
−x 2 + 2x − 1
1. y =
2. y =
x −1
x +2
Giải:
x +2
x −1
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞;1 ∪ 1; +∞ .
1. y =
(
* Ta có: y ' = -
3
(
x −1
* Bảng biến thiên:
x
−∞
y'
1
y
)
2
) (
)
< 0, ∀x ≠ 1
1
−
+∞
−
+∞
−∞
1
6
Footer Page 2 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 3 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
) (
)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −∞;1 và 1; +∞ .
−x 2 + 2x − 1
x +2
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ .
2. y =
(
* Ta có: y ' =
−x 2 − 4x + 5
(
x +2
)
2
x = −5
y' = 0 ⇔
x = 1
* Bảng biến thiên :
x
−∞ −5
y'
−
+∞
y
) (
)
, ∀x ≠ −2
−2
0
1
+∞
+
+
−
0
+∞
−∞
−∞
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng −5; −2 và −2;1 , nghịch biến trên các
(
(
) (
)
(
)
)
khoảng −∞; −5 và 1; +∞ .
Nhận xét:
ax + b
(a.c ≠ 0) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch
cx + d
biến trên từng khoảng xác định của nó.
* Đối với hàm số y =
ax 2 + bx + c
* Đối với hàm số y =
luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
a 'x + b '
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên ℝ .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
2x − 1
3x
1. y =
4. y = 2
x +1
x +1
2
x + 4x + 3
x 2 − 4x + 3
2. y =
5. y = 2
x +2
2x − 2x − 4
x +1
x 2 + 2x + 2
3. y =
6. y = 2
3 x
2x + x + 1
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = − x 3 − 3x 2 + 24x + 26
2. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1
7
Footer Page 3 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 4 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Giải:
1. y = − x − 3x + 24x + 26
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24
3
2
x = −4
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔
x = 2
* Bảng xét dấu của y ' :
x
−∞
−4
y'
−
0
+
+∞
2
0
(
−
)
( )
+ Trên mỗi khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) : y ' < 0 ⇒ y nghịch biến trên các
khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) .
+ Trên khoảng −4;2 : y ' > 0 ⇒ y đồng biến trên khoảng −4;2 ,
Hoặc ta có thể trình bày :
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24
x = −4
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔
x = 2
* Bảng biến thiên :
x
−∞
−4
y'
−
0
+
+∞
y
+∞
2
0
−
−∞
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng −4;2 , nghịch biến trên các khoảng
(
)
( −∞; −4 ) và (2; +∞ ) .
2. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có: y ' = 4x 3 − 12x + 8 = 4(x − 1)2 (x + 2)
x = −2
y ' = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔
x = 1
* Bảng xét dấu:
x
−∞
−2
y'
−
0
+
1
0
+∞
+
8
Footer Page 4 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 5 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞) và nghịch biến trên khoảng
(−∞; −2) .
Nhận xét:
* Ta thấy tại x = 1 thì y = 0 , nhưng qua đó y ' không đổi dấu.
* Đối với hàm bậc bốn y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nhất một
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn
không thể đơn điệu trên ℝ .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
4
5. y = − x 5 + x 3 + 8
5
1
3
3
6. y = x 5 − 2x 4 + x 2 − 2x
5
4
2
7
7. y = 9x 7 − 7x 6 + x 5 + 12
5
1. y = x 3 − 3x 2 + 2
2. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
1 4
x + 2x 2 − 1
4
4
4. y = x + 2x 2 − 3
3. y = −
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = x 2 − 2x
3. y = x 1 − x 2
2. y = 3x 2 − x 3
4. y = x + 1 − 2 x 2 + 3x + 3
Giải:
1. y = x 2 − 2x .
(
)
* Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng −∞; 0 ∪ 2; +∞ .
x −1
, ∀x ∈ −∞; 0 ∪ 2; +∞ .
* Ta có: y ' =
x 2 − 2x
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = 0, x = 2 .
Cách 1 :
(
) (
)
( )
( )
+ Trên khoảng ( 2; +∞ ) : y ' > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
+ Trên khoảng −∞; 0 : y ' < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; 0 ,
Cách 2 :
Bảng biến thiên :
x
−∞
y'
−
0
||
2
||
+
+∞
y
9
Footer Page 5 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 6 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
)
(
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; 0 và đồng biến trên khoảng 2; +∞
)
2. y = 3x 2 − x 3
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng (−∞; 3] .
3(2x − x 2 )
* Ta có: y ' =
(
) ( )
, ∀x ∈ −∞; 0 ∪ 0; 3 .
2 3x 2 − x 3
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = 0, x = 3 .
(
)
( )
Suy ra, trên mỗi khoảng −∞; 0 và 0; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 2
Bảng biến thiên:
x
−∞
y'
−
0
||
2
0
+
−
+∞
3
||
y
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và
(2; 3) .
3. y = x 1 − x 2
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn −1;1 .
* Ta có: y ' =
1 − 2x 2
(
)
, ∀x ∈ −1;1
1 − x2
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = −1, x = 1 .
(
)
Trên khoảng −1;1 : y ' = 0 ⇔ x = ±
Bảng biến thiên:
x
−∞
y'
−1
|| −
−
2
2
2
2
0
+
2
2
0
1
−
+∞
||
y
2 2
, nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số đồng biến trên khoảng −
;
2 2
2
2
−1; −
và
;1 .
2
2
10
Footer Page 6 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 7 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
4. y = x + 1 − 2 x 2 + 3x + 3
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
2x + 3
* Ta có: y ' = 1 −
x 2 + 3x + 3
3
x
≥
−
2
y ' = 0 ⇔ x 2 + 3x + 3 = 2x + 3 ⇔
x 2 + 3x + 3 = 2x + 3
Bảng biến thiên :
x
−∞
−1
y'
+
0
−
(
)
2
⇔ x = −1
+∞
y
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) , nghịch biến trên khoảng (−1; +∞) .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = 2x − x 2
2. y = x + 1 − x 2 − 4x + 3
3. y = 3 3x − 5
3
4. y = x 2 − 2x
(
5. y = 4 − 3x
6. y =
7. y =
)
6x 2 + 1
2x 2 − x + 3
3x + 2
x +2
x2 − x + 3
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: y =| x 2 − 2x − 3 |
Giải:
x 2 − 2x − 3 khi x ≤ −1 ∨ x ≥ 3
2
y =| x − 2x − 3 | = 2
−x + 2x + 3 khi − 1 < x < 3
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
2x − 2 khi x < −1 ∨ x > 3
* Ta có: y ' =
−2x + 2 khi − 1 < x < 3
Hàm số không có đạo hàm tại x = −1 và x = 3 .
+ Trên khoảng −1; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 1 ;
( )
+ Trên khoảng ( −∞; −1) : y ' < 0 ;
+ Trên khoảng ( 3; +∞ ) : y ' > 0 .
11
Footer Page 7 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 8 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Bảng biến thiên:
x
−∞
y'
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
−1
||
−
1
0
+
−
3
||
+
+∞
y
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1;1) và (3; +∞) , nghịch biến trên mỗi
khoảng (−∞; −1) và (1; 3) .
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1. y = x 2 − 5x + 4
3. y = −x + 1 − 2x 2 + 5x − 7
2. y = −3x + 7 + x 2 − 6x + 9
4. y = x 2 + x 2 − 7x + 10
Ví dụ 5 :
Xét chiều biến thiên của hàm số sau: y = 2 sin x + cos 2x trên đoạn 0; π .
Giải :
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; π
(
)
* Ta có: y ' = 2 cos x 1 − 2 sin x , x ∈ 0; π .
x ∈ 0; π
π
π
5π
cos x = 0
Trên đoạn 0; π : y ' = 0 ⇔
.
⇔x = ∨x = ∨x =
2
6
6
1
sin x = 2
Bảng biến thiên:
x
π
π
5π
0
π
6
2
6
+
0 −
0 +
0 −
y'
y
π
Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0; và
6
π 5π
π π
5π
;
, nghịch biến trên các khoảng ; và ; π .
2 6
6 2
6
Bài tập tương tự :
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
12
Footer Page 8 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 9 Nguyễn
of 258. Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
π
1. y = sin 3x trên khoảng 0; .
3
cot x
2. y =
trên khoảng 0; π .
x
π
1
1
3. y = sin 4x −
2 − 3 cos 2x trên khoảng 0; .
8
4
2
π
π
4. y = 3 sin x − + 3 cos x + trên đoạn 0; π .
6
3
( )
(
)
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến trên đoạn
π
π
0; và nghịch biến trên đoạn ; π .
3
3
Giải :
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; π
(
)
( )
* Ta có: y ' = sin x 2 cos x − 1 , x ∈ 0; π
1
π
⇔x = .
2
3
π
π
+ Trên khoảng 0; : y ' > 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn 0; ;
3
3
π
π
+ Trên khoảng ; π : y ' < 0 nên hàm số nghịch biến trên đoạn ; π .
3
3
( )
( )
Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trên 0; π : y ' = 0 ⇔ cos x =
Bài tập tương tự :
1. Chứng minh rằng hàm số f x = x − sin x π − x − sin x đồng biến trên
( ) (
)(
)
π
đoạn 0; .
2
2. Chứng minh rằng hàm số y = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên ℝ .
3. Chứng minh rằng hàm số y = t a n
(π ;2π ) .
( )
x
đồng biến trên các khoảng 0; π và
2
4. Chứng minh rằng hàm số y = cos 3x +
3x
đồng biến trên khoảng
2
π
0; và
18
π π
nghịch biến trên khoảng ; .
18 2
13
Footer Page 9 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 10Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Dạng 2 : Tùy theo tham số m khảo sát tính đơn điệu của hàm số .
Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
1
1
y = x 3 − m m + 1 x 2 + m 3x + m 2 + 1
3
2
Giải:
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
(
)
(
(
)
* Ta có y ' = x 2 − m m + 1 x + m 3 và ∆ = m 2 m − 1
)
2
+ m = 0 thì y ' = x 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và y ' = 0 chỉ tại điểm x = 0 . Hàm số đồng
(
)
biến trên mỗi nửa khoảng −∞; 0 và 0; +∞ . Do đó hàm số đồng biến trên ℝ .
(
+ m = 1 thì y ' = x − 1
)
2
≥ 0, ∀x ∈ ℝ và y ' = 0 chỉ tại điểm x = 1 . Hàm số
(
)
đồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞;1 và 1; +∞ . Do đó hàm số đồng biến
trên ℝ .
x = m
+ m ≠ 0, m ≠ 1 khi đó y ' = 0 ⇔
2 .
x = m
⋅ Nếu m < 0 hoặc m > 1 thì m < m 2
Bảng xét dấu y ' :
x
−∞
m
m2
+∞
y'
+
0
−
0
+
(
)
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;m và
(m ; +∞ ) , giảm trên khoảng (m; m ) .
2
2
⋅ Nếu 0 < m < 1 thì m > m 2
Bảng xét dấu y ' :
x
−∞
m2
y'
+
0
−
m
0
+∞
+
(
)
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng −∞; m 2 và
(m; +∞ ) , giảm trên khoảng (m ; m ) .
2
Bài tập tự luyện:
Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số:
1
1
1. y = x 3 − mx 2 + m 3x + m − 3
3
2
1
1
2. y = m − 1 x 3 − m − 1 x 2 + x + 2m + 3
3
2
(
)
(
)
14
Footer Page 10 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 11Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên ℝ .
Sử dụng định lý về điều kiện cần
• Nếu hàm số f x đơn điệu tăng trên ℝ thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .
•
( )
( )
Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu giảm trên ℝ thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ .
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định .
mx + 3 − 2m
−2x 2 + m + 2 x − 3m + 1
1. y =
2. y =
x +m
x −1
Giải :
mx + 3 − 2m
1. y =
x +m
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞; −m ∪ −m; +∞
(
(
* Ta có : y ' =
m 2 + 2m − 3
(x + m )
2
)
) (
)
, x ≠ −m .
Cách 1 :
* Bảng xét dấu y '
m −∞
−3
1
+∞
y'
+
0
−
0 +
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
Nếu −3 < m < 1 thì y ' < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng −∞; −m ,
(
)
( −m; +∞ ) .
Cách 2 :
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi :
y ' < 0, ∀x ∈ −∞; −m ∪ −m; +∞ ⇔ m 2 + 2m − 3 < 0 ⇔ −3 < m < 1
(
2. y =
−2x 2
) (
)
+ (m + 2 ) x − 3m + 1
1 − 2m
= −2x + m +
x −1
x −1
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞;1 ∪ 1; +∞ .
(
* Ta có : y ' = −2 +
+ m≤
(1; +∞ ) .
2m − 1
(x − 1)
2
) (
)
,x ≠ 1
1
⇒ y ' < 0, x ≠ 1 , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng −∞;1 ,
2
(
)
15
Footer Page 11 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 12Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
1
khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm x 1 < 1 < x 2 ⇒ hàm số đồng
2
biến trên mỗi khoảng x 1;1 và 1;x 2 , trường hợp này không thỏa .
+ m>
(
)
(
)
1
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
2
Bài tập tương tự :
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .
x − m 2 + 7m − 11
m − 1 x 2 + 2x + 1
1. y =
3. y =
x −1
x +1
2
m − 1 x + m 2 + 2m − 3
x −2 m +2 x +m −1
2. y =
4. y =
x + 3m
x −3
Vậy m ≤
(
(
)
)
(
)
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên ℝ .
1
1. y = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2
3
(
2. y = (m + 2)
)
x3
− (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1
3
Giải:
(
)
1
1. y = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2
3
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có : y ' = −x 2 + 4x + 2m + 1 và có ∆ ' = 2m + 5
* Bảng xét dấu ∆ '
m −∞
+∞
5
−
2
∆'
−
0
+
2
5
+ m = − thì y ' = − x − 2 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ và y ' = 0 chỉ tại điểm x = 2
2
Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ .
5
+ m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ ℝ . Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ .
2
5
+ m > − thì y ' = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm số đồng biến trên
2
khoảng x 1; x 2 . Trường hợp này không thỏa mãn .
(
(
)
)
(
(
)
)
x3
− (m + 2)x 2 + m − 8 x + m 2 − 1
3
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
2. y = (m + 2)
(
)
16
Footer Page 12 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 13Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
* Ta có y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 .
+ m = −2 , khi đó y ' = −10 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên ℝ .
+ m ≠ −2 tam thức y ' = (m + 2)x 2 − 2(m + 2)x + m − 8 có ∆ ' = 10(m + 2)
* Bảng xét dấu ∆ '
m −∞
−2
+∞
∆'
−
0
+
+ m < −2 thì y ' < 0 với mọi x ∈ ℝ . Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ .
(
)
+ m > −2 thì y ' = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 x 1 < x 2 . Hàm số đồng biến trên
(x ; x ) . Trường hợp này không thỏa mãn .
khoảng
1
2
Vậy m ≤ −2 là những giá trị cần tìm.
Bài tập tương tự :
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .
m
1
1. y = x + 2 +
3. y = x 3 − m 2x + 1
x −1
3
m+4
1
2. y = m − 1 x − 3 −
4. y = mx 4 − m 2x 2 + m − 1
x +2
4
(
)
Ví dụ 3 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên ℝ .
1
1. y = x 3 + ax 2 + 4x + 3
3
1
2. y = a 2 − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5
3
Giải :
1
1. y = x 3 + ax 2 + 4x + 3
3
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có y ' = x 2 + 2ax + 4 và có ∆ ' = a 2 − 4
* Bảng xét dấu ∆ '
a
−∞
−2
2
+∞
∆'
+
0
−
0 +
(
)
(
)
ɩ
+ Nếu −2 < a < 2 thì y ' > 0 với mọi x ∈ ℝ . Hàm số y đồng biến trên ℝ .
(
+ Nếu a = 2 thì y ' = x + 2
)
2
, ta có : y ' = 0 ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 . Hàm
(
)
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞; −2 và −2; +∞ nên hàm số y đồng
biến trên ℝ .
+ Tương tự nếu a = −2 . Hàm số y đồng biến trên ℝ .
17
Footer Page 13 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 14Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
+ Nếu a < −2 hoặc a > 2 thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 . Giả sử
(
)
x 1 < x 2 . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x 1; x 2 ,đồng biến trên mỗi
(
) (
)
khoảng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do đó a < −2 hoặc a > 2 không thoả mãn yêu
cầu bài toán .
Vậy hàm số y đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi −2 ≤ a ≤ 2 .
(
)
1 2
a − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5
3
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
2. y =
(
(
)
)
(
(
)
* Ta có : y ' = a 2 − 1 x 2 + 2 a + 1 x + 3 và có ∆ ' = 2 −a 2 + a + 2
)
()
Hàm số y đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ 1
+ Xét a 2 − 1 = 0 ⇔ a = ±1
i a = 1 ⇒ y ' = 4x + 3 ⇒ y ' ≥ 0 ⇔ x ≥ −
3
⇒ a = 1 không thoả yêu cầu bài
4
toán.
i a = −1 ⇒ y ' = 3 > 0 ∀x ∈ ℝ ⇒ a = −1 thoả mãn yêu cầu bài toán.
+ Xét a 2 − 1 ≠ 0 ⇔ a
* Bảng xét dấu ∆ '
a
−∞
∆'
−
+ Nếu a < −1 ∨ a > 2
≠ ±1
−1
1
2
+∞
0
+
0
−
thì y ' > 0 với mọi x ∈ ℝ . Hàm số y đồng biến trên ℝ .
(
+ Nếu a = 2 thì y ' = 3 x + 1
)
2
, ta có : y ' = 0 ⇔ x = −1, y ' > 0, x ≠ −1 . Hàm
(
)
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞; −1 va` −1; +∞ nên hàm số y
đồng biến trên ℝ .
+ Nếu −1 < a < 2, a ≠ 1 thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 . Giả sử
(
)
x 1 < x 2 . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng x 1; x 2 ,đồng biến trên mỗi
(
) (
)
khoảng −∞;x 1 và x 2 ; +∞ . Do đó −1 < a < 2, a ≠ 1 không thoả mãn yêu cầu
bài toán .
Do đó hàm số y đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a < −1 ∨ a ≥ 2 .
Vậy với 1 ≤ a ≤ 2 thì hàm số y đồng biến trên ℝ .
Bài tập tương tự :
Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định .
1
m
1. y = x 3 − x 2 + m 2 − 3 x − 1
3
2
3
x
2. y =
− mx 2 + m + 2 x + 3
3
(
(
)
)
18
Footer Page 14 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 15Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
x3
− m − 1 x 2 + 4x − 1
3
x3
4. y = m − 2
− 2m − 3 x 2 + 5m − 6 x + 2
3
3. y = m + 2
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
Chú ý :
Phương pháp:
* Hàm số y = f (x , m ) tăng trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ min y ' ≥ 0 .
x ∈ℝ
* Hàm số y = f (x , m ) giảm trên ℝ ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ max y ' ≤ 0 .
x ∈ℝ
Chú ý:
1) Nếu y ' = ax 2 + bx + c thì
a = b = 0
c≥0
* y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔
a > 0
∆ ≤ 0
a = b = 0
c ≤ 0
* y ' ≤ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔
a < 0
∆ ≤ 0
2) Hàm đồng biến trên ℝ thì nó phải xác định trên ℝ .
Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của ℝ .
Phương pháp:
* Hàm số y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ min y ' ≥ 0 .
x ∈I
* Hàm số y = f (x , m ) giảm ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ 0 .
x ∈I
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau
mx + 4
luôn nghịch biến khoảng −∞;1 .
1. y =
x +m
2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m nghịch biến trên khoảng −1;1 .
(
(
)
)
(
)
Giải :
mx + 4
luôn nghịch biến khoảng −∞;1 .
x +m
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −∞;1 .
(
1. y =
(
)
)
19
Footer Page 15 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 16Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
* Ta có y ' =
m2 − 4
(x + m )
2
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
, x ≠ −m
(
)
)
y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1
Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;1 khi và chỉ khi
−m ∉ −∞;1
2
m − 4 < 0
−2 < m < 2
−2 < m < 2
⇔
⇔
⇔
⇔ −2 < m ≤ −1
m
1
m
1
−
≥
≤
−
m
;1
−
∉
−∞
Vậy : với −2 < m ≤ −1 thì thoả yêu cầu bài toán .
2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m nghịch biến trên khoảng −1;1 .
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −1;1 .
* Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m + 1
Cách 1 :
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng −1;1 khi và chỉ khi
(
)
( ) hay.
Xét hàm số g ( x ) = − ( 3x + 6x + 1) , ∀x ∈ ( −1;1)
⇒ g ' ( x ) = −6x − 6 < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1)
và lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10
y ' ≤ 0, ∀x ∈ −1;1
2
x →−1+
x →1−
* Bảng biến thiên.
x
g' x
( )
( )
−1
1
−
−2
g x
−10
Vậy m ≤ −10 thoả yêu cầu bài toán .
Cách 2 :
f '' x = 6x + 6
( )
( )
cho nghịch biến trên khoảng ( −1;1) khi và chỉ khi m ≤ lim g ( x ) = −10 .
Nghiệm của phương trình f '' x = 0 là x = −1 < 1 . Do đó, hàm số đã
x →1−
Vậy m ≤ −10 thoả yêu cầu bài toán .
20
Footer Page 16 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 17Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Bài tập tự luyện:
Tìm m để các hàm số sau:
mx − 1
1. y =
luôn nghịch biến khoảng 2; +∞ .
x −m
x − 2m
2. y =
luôn nghịch biến khoảng 1;2 .
2m + 3 x − m
(
(
)
( )
)
x 2 − 2m
luôn nghịch biến khoảng −∞; 0 .
x −m
m − 1 x2 + m
luôn nghịch biến khoảng 0;1 .
4. y =
x + 3m
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau
(
3. y =
(
)
)
( )
(
)
1. y = 2x 3 − 2x 2 + mx − 1 đồng biến trên khoảng 1; +∞ .
(
)
2. y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 đồng biến trên khoảng −3; 0 .
3. y =
1
mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m đồng biến trên khoảng 2; +∞ .
3
Giải :
(
)
(
)
(
(
)
)
1. y = 2x 3 − 2x 2 + mx − 1 đồng biến trên khoảng 1; +∞ .
(
)
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng 1; +∞ .
* Ta có : y ' = 6x 2 − 4x + m
(
)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1; +∞ khi và chỉ khi
( ) ( )
Xét hàm số g ( x ) = 6x − 4x liên tục trên khoảng (1; +∞ ) , ta có
g ' ( x ) = 12x − 4 > 0, ∀x > 1 ⇔ g ( x ) đồng biến trên khoảng (1; +∞ )
và lim g ( x ) = lim ( 6x − 4x ) = 2, lim g ( x ) = +∞
y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ g x = 6x 2 − 4x ≥ −m, x > 1
2
2
x →1+
x →+∞
x →1+
* Bảng biến thiên.
x
g' x
( )
+∞
−1
+
( )
+∞
g x
−2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔ m ≥ −2
21
Footer Page 17 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 18Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
)
2. y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 đồng biến trên khoảng −3; 0 .
(
)
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng −3; 0 .
* Ta có : y ' = 3mx 2 − 2x + 3
(
)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −3; 0 khi và chỉ khi y ' ≥ 0,
(
)
∀x ∈ −3; 0 .
(
)
Hay 3mx 2 − 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇔ m ≥
( )
Xét hàm số g x =
2x − 3
, ∀x ∈ −3; 0
3x 2
(
)
2x − 3
liên tục trên khoảng −3; 0 , ta có
3x 2
(
)
−6x 2 + 18x
< 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇒ g x nghịch biến trên khoảng −3; 0
9x 4
4
và lim+ g x = − , lim− g x = −∞
x →−3
27 x →0
* Bảng biến thiên.
x
−3
0
−
g' x
( )
(
g' x =
( )
)
( )
(
)
( )
( )
−
( )
g x
4
27
−∞
Dựa vào bảng biến thiên suy ra m ≥ −
4
27
1
mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m đồng biến trên khoảng 2; +∞ .
3
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng 2; +∞ .
(
3. y =
)
(
)
(
(
)
)
(
)
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) khi và chỉ khi
y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ mx + 4 (m − 1) x + m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ )
* Ta có : y ' = mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1
2
(
)
(
)
⇔ x 2 + 4x + 1 m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥
( )
Xét hàm số g x =
4x + 1
, x ∈ 2; +∞
x + 4x + 1
2
(
4x + 1
, ∀x ∈ 2; +∞
x 2 + 4x + 1
(
)
)
22
Footer Page 18 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 19Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
( )
⇒ g' x =
(
−2x 2x + 1
(x
2
+ 4x + 1
)
)
2
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
(
)
( )
< 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇒ g x nghịch biến trên khoảng
(2; +∞ ) và lim g (x ) = 139 , lim g (x ) = 0
x →+∞
x → 2+
Bảng biến thiên.
+∞
2
x
g' x
( )
−
9
13
( )
g x
0
Vậy m ≥
9
thoả yêu cầu bài toán .
13
Bài tập tự luyện:
Tìm m để các hàm số sau:
mx 2 + m + 1 x − 1
1. y =
đồng biến trên khoảng 1; +∞ .
2x − m
(
)
(
2. y = x 3 − mx 2 − 2m 2
(
(
)
− 7m + 7 ) x + 2 (m − 1)( 2m − 3 ) đồng biến trên
)
khoảng 2; +∞ .
1
mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + 1 đồng biến trên khoảng 2; +∞ .
3
Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau :
(
3. y =
1. y =
)
mx 2 + 6x − 2
nghịch biến trên nửa khoảng 2; +∞ .
x +2
)
2. y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) đồng biến trên nửa
)
khoảng 1; +∞ .
Giải :
mx 2 + 6x − 2
nghịch biến trên nửa khoảng 2; +∞ .
x +2
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng 2; +∞
)
1. y =
)
* Ta có y ' =
mx 2 + 4mx + 14
(x + 2)2
23
Footer Page 19 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 20Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Hàm nghịch biến trên nửa khoảng [1; +∞) ⇔ f (x ) = mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0 ,
)()
∀x ∈ 1; +∞ * .
Cách 1: Dùng tam thức bậc hai
()
• Nếu m = 0 khi đó * không thỏa mãn.
• Nếu m ≠ 0 . Khi đó f (x ) có ∆ = 4m 2 − 14m
Bảng xét dấu ∆
m
−∞
0
7
+∞
2
∆'
+
0
−
+
0
7
thì f (x ) > 0 ∀x ∈ ℝ , nếu f (x ) có hai nghiệm x 1, x 2 thì
2
f (x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ (x 1; x 2 ) nên * không thỏa mãn.
• Nếu 0 < m <
()
• Nếu m < 0 hoặc m >
7
. Khi đó f (x ) = 0 có hai nghiệm
2
−2m + 4m 2 − 14m
−2m − 4m 2 − 14m
x1
; x2 =
m
m
x ≤ x 1
7
Vì m < 0 hoặc m > ⇒ x 1 < x 2 ⇒ f (x ) ≤ 0 ⇔
2
x ≥ x 2
)
Do đó f (x ) ≤ 0 ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ x 2 ≤ 1 ⇔ −3m ≥ 4m 2 − 14m
m < 0
14
⇔ 2
⇔m≤− .
5
5m + 14m ≥ 0
−14
= g (x ) ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ m ≤ min g(x )
Cách 2: (*) ⇔ m ≤
x ≥1
x 2 + 4x
14
14
Ta có min g (x ) = g (1) = −
⇒m ≤− .
5
5
x ≥1
)
2. y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) đồng biến trên nửa
)
khoảng 1; +∞ .
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng 1; +∞
)
* Ta có y ' = 3x 2 − 2(m + 1)x − (2m 2 − 3m + 2)
)
Hàm đồng biến trên nửa khoảng 2; +∞ . ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞
)
24
Footer Page 20 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 21Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
⇔ f (x ) = 3x 2 − 2(m + 1)x − (2m 2 − 3m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞
)
Vì tam thức f (x ) có ∆ ' = 7m 2 − 7m + 7 > 0 ∀m ∈ ℝ nên f (x ) có hai nghiệm
m +1 − ∆'
m + 1 + ∆'
; x2 =
.
3
3
x ≤ x 1
Vì x 1 < x 2 nên f (x ) ⇔
.
x ≥ x 2
x1 =
)
Do đó f (x ) ≥ 0 ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ x 2 ≤ 2 ⇔ ∆ ' ≤ 5 − m
m ≤ 5
m ≤ 5
3
⇔
⇔
⇔ −2 ≤ m ≤
2
2
2
∆ ' ≤ (5 − m )
2m + m − 6 ≤ 0
Bài tập tự luyện :
Tìm m để các hàm số sau :
(
)
x2 + m − 2 x − 2
1. y =
x +m
(
đồng biến trên nửa khoảng −∞;1 .
1 3
x + m − 1 x 2 − m − 1 x + 1 nghịch biến trên nửa khoảng −∞; −2 .
3
1
2
3. y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + đồng biến trên nửa khoảng
3
3
2; +∞ .
(
2. y =
)
(
(
)
)
(
(
)
)
4. y =
2x 2 + (1 − m )x + 1 + m
đồng biến trên nửa khoảng 1; +∞ .
x −m
)
Ví dụ 4 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch
biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ?.
Giải :
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m có ∆ ' = 9 − 3m
i Nếu m ≥ 3 thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , khi đó hàm số luôn đồng biến trên ℝ , do đó
m ≥ 3 không thoả yêu cầu bài toán .
i Nếu m < 3 , khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 x 1 < x 2 và hàm số
(
)
nghịch biến trong đoạn x 1; x 2 với độ dài l = x 2 − x 1
Theo Vi-ét, ta có : x 1 + x 2 = −2, x 1x 2 =
m
3
25
Footer Page 21 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 22Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ⇔ l = 1
2
2
4
9
⇔ x 2 − x 1 = 1 ⇔ x 1 + x 2 − 4x 1x 2 = 1 ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = .
3
4
(
)
(
)
Bài tập tương tự :
1. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = x 3 − 3m 2x 2 + x + m − 1 nghịch
biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ?.
2. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = −x 3 + m 2x 2 + mx + 3m + 5 đồng
biến trên đoạn có độ dài bằng 3 ?.
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = x + m cos x đồng biến trên ℝ .
Giải:
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có y ' = 1 − m sin x .
Cách 1: Hàm đồng biến trên ℝ
⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 1 − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ ℝ (1)
* m = 0 thì (1) luôn đúng
1
1
∀x ∈ ℝ ⇔ 1 ≤
⇔ 0 < m ≤ 1.
m
m
1
1
* m < 0 thì (1) ⇔ sin x ≥
∀x ∈ R ⇔ −1 ≥
⇔ −1 ≤ m < 0 .
m
m
Vậy −1 ≤ m ≤ 1 là những giá trị cần tìm.
* m > 0 thì (1) ⇔ sin x ≤
Cách 2: Hàm đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ ℝ
1 − m ≥ 0
⇔ min y ' = min{1 − m;1 + m} ≥ 0 ⇔
⇔ −1 ≤ m ≤ 1 .
1 + m ≥ 0
Bài tập tự luyện:
1. Tìm m để hàm số y = x m − 1 + m cos x nghịch biến trên ℝ .
(
)
2. Tìm m để hàm số y = x .sin x + m cos x đồng biến trên ℝ .
Dạng 5 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức.
( )
Xét hàm số y = f ( x ) , x ∈ (a;b ) .
( )
• Đưa bất đẳng thức về dạng f x ≥ M , x ∈ a ;b .
•
( )
• Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a;b .
• Dựa vào bảng biến thiên và kết luận.
26
Footer Page 22 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 23Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
π
Ví dụ 1 : Với x ∈ 0; .Chứng minh rằng :
2
1. sin x + t a n x > 2x
2 sin x
2.
<
<1
π
x
Giải :
1. sin x + t a n x > 2x
π
* Xét hàm số f x = sin x + t a n x − 2x liên tục trên nửa khoảng 0; .
2
π
1
1
− 2 > cos2 x +
− 2 > 0, ∀x ∈ 0;
* Ta có : f ' x = cos x +
2
2
cos x
cos x
2
π
π
⇒ f x là hàm số đồng biến trên 0; và f x > f 0 , ∀x ∈ 0;
2
2
π
hay sin x + t a n x > 2x , ∀x ∈ 0; (đpcm).
2
⊕ Từ bài toán trên ta có bài toán sau : Chứng minh rằng tam giác ABC có ba
góc nhọn thì sin A + sin B + sin C + tan A + tan B + tan C > 2π
2 sin x
2.
<
<1
π
x
sin x
* Với x > 0 thì
< 1 (xem ví dụ 2 )
x
π
sin x
liên tục trên nửa khoảng 0; .
* Xét hàm số f x =
x
2
π
x .cos x − sin x
* Ta có f ' x =
, ∀x ∈ 0; .
2
x
2
π
* Xét hàm số g x = x . cos x − sin x liên trục trên đoạn 0; và có
2
π
g ' x = −x . sin x < 0, ∀x ∈ 0; ⇒ g x liên tục và nghịch biến trên đoạn
2
π
π
0; và ta có g x < g 0 = 0, ∀x ∈ 0;
2
2
g' x
π
< 0, ∀x ∈ 0; ⇒ f x liên tục và nghịch
* Từ đó suy ra f ' x =
2
x
2
π
π 2
π
biến trên nửa khoảng 0; , ta có f x > f = , ∀x ∈ 0; .
2
2 π
2
( )
( )
( )
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
()
( )
( )
( )
27
Footer Page 23 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 24Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
Bài tập tương tự :
π
Chứng minh rằng với mọi x ∈ 0; ta luôn có:
2
1. tan x > x
3. 2 sin x + tan x > 3x
3
3
x
4.
2
3
+ cot x
sin x
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
π
1. sin x ≤ x , ∀x ∈ 0;
2
2. sin x > x −
x3
3!
3. cos x < 1 −
π
,∀x ∈ 0;
2
π
x2 x4
+
, ∀x ∈ 0;
2 24
2
3
sin x
π
4.
> cos x , ∀x ∈ 0; .
x
2
Giải :
π
1. sin x ≤ x , ∀x ∈ 0;
2
π
* Xét hàm số f (x ) = sin x − x liên tục trên đoạn x ∈ 0;
2
π
* Ta có: f '(x ) = cos x − 1 ≤ 0 ,∀x ∈ 0; ⇒ f (x ) là hàm nghịch biến trên
2
π
đoạn 0; .
2
π
Suy ra f (x ) ≤ f (0) = 0 ⇔ sin x ≤ x ∀x ∈ 0; (đpcm).
2
2. sin x > x −
x3
3!
π
,∀x ∈ 0;
2
π
x3
liên tục trên nửa khoảng x ∈ 0; .
* Xét hàm số f (x ) = sin x − x +
6
2
* Ta có: f '(x ) = cos x − 1 +
π
x2
⇒ f "(x ) = − sin x + x ≥ 0 ∀x ∈ 0; (theo
2
2
câu 1)
π
π
⇒ f '(x ) ≥ f '(0) = 0 ∀x ∈ 0; ⇒ f (x ) ≥ f (0) = 0 ∀x ∈ 0;
2
2
28
Footer Page 24 of 258.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Header Page 25Nguyễn
of 258.Phú Khánh – Đà Lạt
Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD.
⇒ sin x > x −
π
x3
, ∀x ∈ 0; (đpcm).
3!
2
3. cos x < 1 −
π
x2 x4
+
, ∀x ∈ 0;
2 24
2
* Xét hàm số g (x ) = cos x − 1 +
π
x2 x4
−
liên tục trên nửa khoảng x ∈ 0; .
2 24
2
π
x3
≤ 0 ∀x ∈ 0; (theo câu
6
2
π
2) ⇒ g(x ) ≤ g(0) = 0 ∀x ∈ 0;
2
* Ta có: g '(x ) = − sin x + x −
π
x2 x4
⇒ cos x < 1 −
+
, ∀x ∈ 0; (Đpcm).
2 24
2
3
sin x
π
4.
> cos x , ∀x ∈ 0; .
x
2
π
, ∀x ∈ 0;
2
x3
Theo kết quả câu 2, ta có: sin x > x −
6
3
3
sin x
sin x
x2
x2
x2 x4
x6
⇒
>1−
⇒
>
1
−
=
1
−
+
−
x
6
6
2 12 216
x
3
sin x
x2 x4 x4
x2
⇒
>
−
+
+
−
1
(1
)
2 24 24
9
x
3
π
sin x
x2
x2 x4
>0⇒
+
Vì x ∈ 0; ⇒ 1 −
>1−
9
2 24
2
x
Mặt khác, theo câu 3: 1 −
π
x2 x4
+
> cos x ,∀x ∈ 0;
2 24
2
3
sin x
π
Suy ra
> cos x ,∀x ∈ 0; (đpcm).
x
2
sin x
π
Nhận xét: Ta có 0 < sin x < x ⇒ 0 <
< 1 ∀x ∈ (0; ) nên
x
2
29
Footer Page 25 of 258.
