Tìm hiểu tính chất của hàm chỉnh hình, hệ thống các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình

Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM QUANG TUYẾN

BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA
HÀM CHỈNH HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2016
Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM QUANG TUYẾN

BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA
HÀM CHỈNH HÌNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. NGUYỄN HUY LỢI

HÀ NỘI – 2016
Footer Page 2 of 258.


Header Page 3 of 258.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS. TS.
Nguyễn Huy Lợi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy
của mình.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tác giả nhận được sự
quan tâm giúp đỡ của các giảng viên: Khoa Toán; Phòng Sau đại học
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự
giúp đỡ quý báu đó.
Được sự tạo điều kiện của Trường THPT Nguyễn Trường Thúy cùng
bạn bè và các đồng nghiệp nhà trường. Nhân dịp này tác giả xin được
gửi lời cảm ơn trân trọng!
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Phạm Quang Tuyến

Footer Page 3 of 258.


Header Page 4 of 258.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Biểu diễn tích phân của hàm
chỉnh hình” là một công trình nghiên cứu tìm hiểu của chính tác giả.
Bản luận văn được hoàn thành trên cơ sở kế thừa các kết quả của các
nhà Toán học trong lĩnh vực khoa học được trình bày. Tôi xin trân trọng
cảm ơn!
Tác giả

Phạm Quang Tuyến

Footer Page 4 of 258.


Header Page 5 of 258.

Mục lục

MỞ ĐẦU

4

1 Một số kiến thức về hàm chỉnh hình

6

1.1. Không gian C, C, Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3. Nguyên hàm và tích phân của hàm một biến phức . . . .

26

2 Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình

33

2.1. Tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2. Tích phân loại Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4. Tích phân Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5. Mối liên hệ giữa tích phân Fourier và tích phân loại Cauchy 48
2.6. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

KẾT LUẬN

58

TÀI LIỆU THAM KHẢO

59

Footer Page 5 of 258.

3


Header Page 6 of 258.

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài. Lý thuyết giải tích phức có rất nhiều ứng dụng
trong việc giải quyết một số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn.
Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XVIII nhiều nhà toán học đã có
những thành công trong việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết giải tích
phức để giải quyết các bài toán về thủy động học và khí động học.
Trong môn giải tích phức thì hàm chỉnh hình đóng vai trò rất quan trọng
trong một số vấn đề lý thuyết cũng như trong thực tiễn. Đặc biệt khi
giải quyết các vấn đề thực tiễn ta thường dẫn tới bài toán biểu diễn tích
phân của hàm chỉnh hình. Hơn nữa các phương pháp biểu diễn tích phân
của hàm chỉnh hình có thể giúp chúng ta nhìn nhận kiến thức giải tích
phức một cách sâu và rộng hơn từ đó đáp ứng tốt yêu cầu dạy học. Với
lý do trên và với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Nguyễn
Huy Lợi, tôi đã chọn đề tài: “Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh

hình”.

1. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn
tích phân của hàm chỉnh hình sau đó nêu ra một số ứng dụng trong lý
thuyết và thực tiễn của nó.

2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu tính chất của hàm chỉnh
hình, hệ thống các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài tập trung
Footer Page 6 of 258.

4


Header Page 7 of 258.

nghiên cứu một số phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình
như tích phân Cauchy, tích phân Fourier, tích phân Laplace và ứng dụng
của hàm chỉnh hình trong việc giải phương trình vi phân thường và một
số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt.

4. Phương pháp nghiên cứu. Đọc, dịch, tra cứu, tổng hợp theo
chủ đề các tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic và
có hệ thống.

5. Giả thuyết khoa học. Nghiên cứu sâu một khái niệm Toán
học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của
nó trong việc giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, giải toán và thực
tiễn.

Footer Page 7 of 258.

5


Header Page 8 of 258.

Chương 1
Một số kiến thức về hàm chỉnh hình
Trong chương này chúng ta trình bày tóm tắt một số kiến thức về không
gian không gian C, C, Cn , các kiến thức về hàm chỉnh hình, nguyên hàm,
tích phân của hàm phức làm cơ sở để nghiên cứu cho chương II. Tài liệu
dùng để viết chương này chủ yếu dựa vào X ([2] , [3]).

1.1 Không gian C, C, Cn
1.1.1 Không gian C, C Trong mặt phẳng Oxy ta gọi mỗi điểm
z = (x, y) là một số phức. Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức,
ký hiệu là C. Ta gọi x là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z); y
gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z); trục Ox gọi là trục thực,
Oy gọi là trục ảo. Với hai số phức z1 = (x1 , y1 ) và z2 = (x2 , y2 ), ta nói
z1 = z2 khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2 .
Các phép toán và tính chất. Ta đồng nhất số thực x với số phức
(x, 0) và viết x = (x, 0). Đặc biệt (0, 0) = 0 và (1, 0) = 1. Ký hiệu số
phức (0, 1) = i gọi nó là đơn vị ảo. Trên tập hợp số phức, ta xây dựng
hai phép toán
z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 );
z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Footer Page 8 of 258.

6


Header Page 9 of 258.

Từ sự đồng nhất x = (x, 0) các phép toán trên tập hợp số thực được bảo
toàn. Thật vậy, ta có thể chỉ ra một số điều dưới đây
x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0 + 0)
x.y = (x, 0).(y, 0) = (x.y − 0.0, x.0 + y.0) = (xy, 0)
z + 0 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z
z.0 = (x, y).(0, 0) = (x.0 − y.0, x.0 + y.0) = 0
z.1 = (x, y).(1, 0) = (x.1 − y.0, x.0 + y.1) = (x, y) = z
i.i = (0, 1).(0, 1) = (0.0 − 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0) = −1.
Bởi vì (y, 0) = y với mọi y ∈ R nên (0, y) = (0, 1).(y, 0) = i.y. Do đó, ta
nhận được dạng biểu diễn sau đây của số phức
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy
Số phức z¯ = x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x + iy.
Ta dễ dàng chứng minh các tích chất sau: Với các số phức z = x + iy,
z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ta có
(i) z = z; z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ; z1 z2 = z¯1 .¯
z2
(ii) z + z¯ = Rez = 2x; z − z¯ = 2iImz = 2iy
(iii) z.¯
z = x2 + y 2 ≥ 0
Các phép toán ngược
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )
z1 .¯
z2
x 1 x 2 + y1 y2
z1

=
=
z2
z2 .¯
z2
x22 + y22

Mặt cầu số phức Riemann. Trong không gian Oξηζ, xét mặt
1
1
bán kính , cực bắc của mặt cầu là điểm N (0; 0; 1).
2
2
Mặt phẳng Oξη trùng với mặt phẳng Oxy. Với mỗi z ∈ C, đường thẳng

cầu S tâm

Footer Page 9 of 258.

0; 0;

7


Header Page 10 of 258.

zN cắt mặt cầu S tại điểm Π(z). Phép tương ứng z → Π(z) xác định
một song ánh từ C lên S\{N }. Nếu điểm z = x + iy thì Π(z) có tọa độ
là

x
y
|z|2
ξ=
;η =
;ζ =
1 + |z|2
1 + |z|2
1 + |z|2

(1.1.1)

Trong phép ánh xạ Π : C → S, điểm N là điểm duy nhất không tương
ứng với điểm nào của C. Ta thấy khi |z| → ∞ thì Π(z) → N . Một cách tự
nhiên cần bổ sung điểm ∞ để tương ứng với N . Ta kí hiệu C = C ∪ {∞}
và gọi là mặt phẳng phức mở rộng.
Với mọi z1 , z2 ∈, ta đặt
d(z1 , z2 ) =

(ξ1 − ξ2 )2 + (η1 − η2 )2 + (ζ1 − ζ2 )2 ,

trong đó Π (z1 ) = (ξ1 ; η1 ; ζ1 ), Π (z2 ) = (ξ2 ; η2 ; ζ2 ). Số d (z1 ; z2 ) được gọi
là khoảng cách cầu của hai số phức z1 và z2 .

Tập điểm trên mặt phẳng phức. Giả sử a ∈ C và số thực
r > 0. Ta gọi các tập hợp
S(a, r) = {z ∈: |z − a| < r}
và
S(a, r) = {z ∈: |z − a| ≤ r}
tương ứng là hình tròn mở và hình tròn đóng tâm a bán kính r. Tập

hợp G ⊂ C được gọi là tập hợp mở nếu mọi a ∈ G đều tồn tại đĩa mở
S(a, r) ⊂ G.
Điểm a gọi là điểm biên của tập hợp X ⊂ C nếu với mọi r > 0 thì ta
đều có
S(a, r) ∩ X = φ và S(a, r) ∩ (C\X) = φ.
Tập tất cả các điểm biên của X gọi là biên của X ký hiệu là ∂X.
Footer Page 10 of 258.

8


Header Page 11 of 258.

Điểm a gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn tâm a bán kính r đều
có giao khác rỗng với X, tức là S(a, r) ∩ X = φ. Tập các điểm dính của
X ký hiệu là X và gọi là bao đóng của X. Điểm a được gọi là điểm trong

của X nếu tồn tại đĩa mở S(a, r) nằm trọn trong X. Tập hợp tất cả các
điểm trong của X gọi là phần trong của X và ký hiệu là intX. Với các
khái niệm này ta có thể thấy ngay kết quả sau
Định lý 1.1.1 Với mọi tập hợp X ⊂ C ta luôn có
(i) X = X ∪ ∂X;
(ii) intX = X\∂X;
(iii) Tập hợp X là đóng khi và chỉ khi X = X hoặc X ⊃ ∂X;
(iv) X là tập đóng bé nhất chứa X;
(v) intX là phần trong lớn nhất chứa trong X.
Tập X ∈ C gọi là bị chặn nếu tồn tại số R > 0 sao cho |z| ≤ R với mọi
z ∈ X.

Tập compact. Giả sử X là một tập con trong C và {zn} là một dãy

trong X. Điểm a được gọi là điểm tụ của dãy {zn } nếu với mọi ε > 0 tồn
tại vô số số nguyên dương n sao cho |zn − a| < ε. Điều đó tương đương
với mọi hình cầu S(a, r) chứa vô hạn các phần tử của dãy {zn }.
Tập K ⊂ C được gọi là compact nếu mọi dãy các phần tử của K đều có
điểm tụ trong K.
Giả sử X ⊂ C và {Gi }i∈I là các tập mở trong C. Ta nói
+ Họ {Gi }i∈I gọi là phủ mở của X nếu ∪ Gi ⊃ X;
i∈I

+ Nếu J ⊂ I và ∪ Gi ⊃ X thì họ {Gj }i∈J gọi là phủ con của phủ
i∈J

{Gi }i∈I .

Footer Page 11 of 258.

9


Header Page 12 of 258.

+ Đặc biệt nếu {Gik }nk=1 là một số hữu hạn các tập mở phủ X thì

nó được gọi là phủ con hữu hạn của X.
Ta cần đến kết quả quan trọng sau đây về tập compact
Định lý 1.1.2 (Định lý Heine – Borel). Giả sử X ⊂ C. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương
(i) X là compact;
(ii) Mọi phủ mở của X đều có một phủ con hữu hạn;
(iii) X đóng và bị chặn.

Đường cong và miền. Giả sử ϕ(t) và ψ(t) là các hàm thực liên
tục trên đoạn [a, b]. Khi đó phương trình
z = z(t) = ϕ(t) + iψ(t); a ≤ t ≤ b
cho biểu diễn tham số của đường cong liên tục z = z ([a; b]) trong C.
Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm ϕ(t) và ψ(t) có các đạo hàm liên
tục trên [a, b] và
ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) > 0; với mọi t ∈ [a, b]
Đường cong liên tục tạo bởi hữu hạn đường cong trơn gọi là đường cong
trơn từng khúc.
Các điểm z(a) = ϕ(a) + iψ(a) và z(b) = ϕ(b) + iψ(b) lần lượt được gọi
là điểm đầu và điểm cuối của đường cong L. Đường cong có điểm đầu
và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường cong không có
điểm tự cắt, tức là nếu t1 = t2 thì z(t1 ) = z(t2 ) ngoại trừ tại các điểm
đầu và cuối của đường cong, được gọi là đường cong Jordan.
Đường cong Jordan đóng được gọi là chu tuyến. Chu tuyến γ giới hạn
một miền trong mặt phẳng được ký hiệu bởi Dγ . Miền D gọi là đơn liên
nếu mọi chu tuyến γ ⊂ D đều có Dγ ⊂ D. Miền không đơn liên gọi là
Footer Page 12 of 258.

10


Header Page 13 of 258.

miền đa liên.
Quy ước. Gọi chiều dương của biên của D là chiều mà khi đi dọc biên

của D theo hướng đó thì miền được xét nằm về bên trái, hướng ngược
lại là hướng âm. Ký hiệu

+ ∂D+ là biên của D lấy theo chiều dương;
+ ∂D− là biên của D lấy theo chiều âm.
Có thể chỉ rằng mọi đường cong liên tục là compact. Do đó, nếu xét
đường cong liên tục trong miền D thì 0 < d(L, D).

Một số ví dụ mô tả các khái niệm
1. Hình tròn mở là tập mở. Thật vậy, với mọi z ∈ S(a, r) ta có |z − a| < r.
Đặt δ = r − |z − a| > 0 và chọn số δ1 sao cho 0 < δ1 < δ. Khi đó, ta
thấy rằng
S(z, δ1 ) ⊂ S(a, r).
Để chứng tỏ điều này, ta lấy phần tử bất kỳ w ∈ S(z, δ1 ) thì
|w − a| ≤ |w − z| + |z − a| < δ1 + r − δ < δ + r − δ < r.
Điều đó chứng tỏ w ∈ S(a, r) và như vậy S(a, r) là tập mở.
¯ r) là tập mở. Thật vậy, với mọi z ∈
2. Phần bù của đĩa đóng C\S(a,
C\S¯ (a, r) thì |z − a| > r. Khi đó chọn số δ1 sao cho
0 < δ1 < δ = |z − a| − r
thì ta thấy S(z, δ1 ) ⊂ C\S(a, r). Thật vậy, với mọi w ∈ S(z, δ1 ) ta có
|w − a| = |w − z + z − a| = |(w − z) − (a − z)| ≥ |w − z| − |a − z| .
3. Cũng vậy, ta có thể chứng minh được rằng nửa mặt phẳng trên {z =
x + iy ∈ C : y > 0} là tập mở.
4. Giả sử X là đĩa mở hoặc đĩa đóng tâm a bán kính r thì các điểm
Footer Page 13 of 258.

11


Header Page 14 of 258.

thuộc đường tròn |z − a| = r là điểm biên của X và đường tròn đó là

biên của đĩa.

1.1.2 Không gian Cn. Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2n, các
điểm của nó là các bộ có thứ tự 2n số thực (x1, ..., x2n ). Ta đưa vào trong
đó cấu trúc phức, bằng cách đặt zv = xv + ixn+v (v = 1, ..., n). Thường
ta ký hiệu xn+v = yv nên zv = xv + iyv (v = 1, ..., n). Không gian mà
điểm là những bộ n số phức (hữu hạn)
z = (z1 , ..., zn ) = {zv }

(1.1.2)

sẽ gọi là không gian phức n chiều và ký hiệu qua Cn . Đặc biệt khi n = 1
ta có C1 = C là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý, không
gian Cn là tích n mặt phằng phức
Cn = C × ... × C .

(1.1.3)

n lần

Như vậy, các điểm của không gian phức n chiều Cn là các điểm của
không gian thực 2n chiều R2n . Song, việc đưa cấu trúc phức vào không
gian đó sự phản xứng – không phải mọi tọa độ trong đó là bình đẳng
(chẳng hạn x1 và xn+1 được hợp thành số phức z1 , còn x1 , x2 không được
hợp thành).
Đặc biệt, hệ quả của sự phản xứng đó là không phải mọi mặt phẳng đều
bình đẳng khi chuyền từ R2n đến Cn . Chẳng hạn ta xét mặt phẳng 2r
chiều

2r

2n

αµv xv = βµ (µ = 1, ..., 2n − 2r)

:

(1.1.4)

v=1

trong đó αµv và βµ là các hằng số thực, các phương trình độc lập nhau, tức
là rank (αµv ) = 2n − 2r. Như trước kia, đặt zv = xv + ixn+v (v = 1, ..., n),
ta sẽ có:

Footer Page 14 of 258.

12


Header Page 15 of 258.

zv + zv
zv − zv
, xn+v =
(v = 1, ..., n)
2
2i
và do đó, ta có thể viết lại phương trình mặt phẳng đó dưới dạng
xv =

n

(αµv zv + αµv zv ) = bµ (µ = 1, ..., n − r)

(1.1.5)

v=1

trong đó αµv , αµv và bµ là các hằng số phức. Trong tất cả các mặt phẳng
như vậy, ta tách ra những cái mà trong phương trình không có zv ; những
mặt như vật sẽ gọi là mặt phẳng giải tích r chiều (phức). Do đó, theo
định nghĩa, phương trình của mặt phẳng giải tích r chiều phức sẽ là
n
r

αµv zv = bµ (µ = 1, ..., n − r)

A :

(1.1.6)

v=1

Chỉ có các mặt phẳng giải tích là mặt phẳng “chân chính” của không
gian Cn , những mặt phẳng khác trong R2n (đặc biệt, tất cả các mặt số
chiều lẻ) sẽ không được xem là mặt phẳng của Cn . Chẳng hạn, trong
C2 , tập các điểm mô tả bởi phương trình z1 = x1 + ix3 = 0 (tức là mặt
phẳng hai chiều {x1 = 0, x3 = 0} trong R4 ) được xem là mặt phẳng, còn
tập x1 + ix2 = 0 (tức là mặt phẳng hai chiều {x1 = 0, x2 = 0} trong R4 )
không được xem là mặt phẳng.

Ta sẽ gọi các mặt phẳng giải tích n−1 chiều phức zv = 0 là các mặt phẳng
tọa độ. Các mặt giải tích một chiều phức còn được gọi là đường thẳng
giải tích. Các đường thẳng giải tích đi qua điểm z o = (z1o , ..., zno ) ∈ Cn
đã cho, có thể viết bởi phương trình
z1 − z1o
zn − zno
L:
= ... =
ω1
ωn

(1.1.7)

trong đó, ωv ∈ C là các hằng số nào đó (không bằng 0 tất cả). Ký
hiệu đại lượng chung của các tỉ số trong (1.1.6) qua ζ, ta có thể viết lại
phương trình của đường thẳng giải tích dưới dạng tham số:
L : zv = zvo + ωv ζ (ζ ∈ C; v = 1, ..., n)
Footer Page 15 of 258.

13

(1.1.8)


Header Page 16 of 258.

Trong Cn đưa vào một cách tự nhiên cấu trúc không gian vectơ: tổng các
vectơ z = {zv } và z = {zv } được hiểu là vectơ z + z = {zv + zv }

là tích của vectơ z = {zv } với số ζ ∈ C là vectơ λz = {λzv } .

Sử dụng các phép tính trên, ta có thể viết phương trình đường thẳng
giải tích dưới dạng vectơ:
L : z = z o + ωζ

(1.1.9)

trong đó ω = (ω1 , ..., ωn ) ∈ Cn là vectơ định hướng của đường thẳng, còn
ζ ∈ C là tham số. Như vậy, đường thẳng giải tích là một hàm vectơ tuyến
tính của biến phức ζ với giá trị trong không gian phức (L : C → Cn ).
Trong Cn có thể đưa vào cấu trúc không gian mêtric. Thường xét hai
mêtric: mêtric Ơclit e (z , z ), hay
n

2n
2

(zv − zv )2

|zv − zv | =

|z − z | =
v=1

(1.1.10)

v=1

và mêtric
ρ (z , z ) = max |zv − zv |
v

(1.1.11)

ta gọi là ρ - mêtric. Rõ ràng, ρ - mêtric, cũng như mêtric Ơclit, thỏa
mãn các tiên đề thông thường:
a) ρ (z , z ) = ρ (z , z ) - tiên đề đối xứng;
b) ρ (z , z ) > 0 với z = z , ρ (z, z) = 0;
c) ρ (z , z ) ≤ ρ (z , z ) + ρ (z , z ) - tiên đề tam giác.
Ứng với các mêtric trên, trong Cn đưa vào cả hai tôpô. Điều đó được
cho bằng cách chỉ ra hệ lân cận trong mêtric Ơclit, ε - lân cận của z o là
hình cầu:
B (z o , ε) = {z ∈ Cn : |z − z o | < ε}

Footer Page 16 of 258.

14

(1.1.12)


Header Page 17 of 258.

còn trong ρ - mêtric, là đa tròn (hay đa trụ):
U (z, ε) = |z ∈ Cn : ρ (z − z o ) < ε|

(1.1.13)

Bất đẳng thức kép hiển nhiên
ρ (z , z ) ≤ |z , z | ≤

√

nρ (z , z )

(1.1.14)

chứng tỏ rằng, các mêtric (1.1.10) và (1.1.11) đưa vào Cn các tôpô tương
đương.
Để kết thúc phần này, ta mô tả ngắn gọn việc compact hóa không gian
Cn , tức là làm đầy nó bởi các phần tử vô hạn. Phương pháp đơn giản
n

nhất dẫn đến, như thường gọi, không gian của lý thuyết hàm C . Ta đã
nói, không gian Cn có thể xét như tích các mặt phẳng phức C. Nhưng
mặt phẳng C hợp với điểm vô hạn được làm đầy thành mặt phẳng đóng
C, đồng phôi với mặt cầu. Do đó, làm đầy một cách tự nhiên Cn thành
tích n mặt phẳng đóng (mặt cầu), ta đi đến không gian của lý thuyết
hàm
n

C = C × ... × C .

(1.1.15)

n lần
n

Như vậy, theo định nghĩa, các điểm của C là các bộ có thứ tự của n
điểm thuộc mặt phẳng đóng C. Các điểm vô hạn (kỳ dị) là các điểm
n

có ít nhất một tọa độ vô hạn. Tập tất cả các điểm vô hạn của C được
phân một cách tự nhiên thành n tập
n

M v = z ∈ C : zv = ∞, zµ ∈ C, µ = v .
Do đó, các điểm của M v có dạng (z1 , ..., zv−1 , ∞, zv+1 , ..., zn ), trong đó
zµ (µ = v) là các số phức hữu hạn hoặc vô hạn. Mỗi M v , và cũng có
n

nghĩa là tập tất cả các điểm vô hạn của C có số chiều phức bằng n − 1.
Tất cả các M v giao nhau tại điểm (∞, ..., ∞).

Footer Page 17 of 258.

15


Header Page 18 of 258.n

Tôpô C được đưa vào như trong tích các không gian: lân cận của z o =
n

{zvo } ∈ C là tích các lân cận của các điểm zvo trong mặt phẳng đóng
n

của biến zv . Trong tôpô đó, không gian C là compact: từ mỗi dãy điểm
n

n

z µ ∈ C (µ = 1, 2, ...) có thể chọn dãy con hội tụ đến điểm z o ∈ C nào
đó.
Phương pháp compact hóa khác Cn dẫn đến, như thường gọi, không gian
xạ ảnh phức P n . Ta đưa vào trong Cn các tọa độ thuần nhất (ω1 , ..., ωn+1 )
bằng cách đặt

zv =

ωv 
v = 1, ..., n, |ω| =
ωn+1

n+1


|ωv |2 = 0

(1.1.16)

v=1

Các tọa độ thuần nhất của điểm z ∈ Cn xác định sai khác một nhân
tử tỉ lệ (tức là cùng với (ω1 , ..., ωn+1 ), các tọa độ của z cũng sẽ là
(λω1 , ..., λωn+1 ), trong đó λ = 0 là các số phức tùy ý. Ngược lại, theo
công thức (1.1.16) bộ tùy ý các tọa độ thuần nhất ω = (ω1 , ..., ωn+1 ),
trong đó ωn+1 = 0, tương ứng điểm z ∈ Cn trong đó các tọa độ với các
tỉ số khác nhau ở (1.1.16) tương ứng với các điểm khác nhau. Để loại
bỏ vị trí đặc biệt của tọa độ thuần nhất cuối cùng ωn+1 , ta làm đầy Cn
bởi các điểm kỳ dị (vô hạn) và khi đó, bộ tùy ý các tọa độ thuần nhất

ω = (ω1 , ..., ωn+1 ) , |ω| = 0 sẽ tương ứng với các điểm của không gian P n
nào đó, cũng được gọi là không gian xạ ảnh phức. Các điểm của P n có
ωn+1 = 0 theo công thức (1.1.16), tương ứng với các điểm z ∈ Cn , vì thế
P n thực sự làm đầy Cn . Các điểm ω có ωn+1 = 0 tương ứng với các điểm
vô hạn (kỳ dị).
Chính xác hơn, các điểm của P n không phải là chính các bộ ω =
(ω1 , ..., ωn+1 ) , |ω| = 0 mà là các lớp những bộ tương đương, nếu xem hai
bộ ω và ω tương đương khi các tọa độ ωv và ωv tỉ lệ (ωv = λωv , λ = 0).
Thật vậy, đại diện tùy ý của lớp tương đương như vậy (với ωn+1 = 0)
Footer Page 18 of 258.

16


Header Page 19 of 258.

tương ứng với một điểm z ∈ Cn , đồng thời đại diện của những lớp

tương đương khác nhau tương ứng với các điểm khác nhau. Những
lớp tương đương như vậy có thể biểu diễn trực quan nhờ các đường
thẳng giải tích trong không gian Cn+1 . Thực vậy, các bộ tương đương
ω = (ω1 , ..., ωn+1 ) , |ω| = 0, đặc trưng hóa đường thẳng giải tích trong
Cn+1 :

zn+1
z1
= ... =
ω1
ωn+1

(1.1.17)

Đi qua gốc tọa độ (việc thay ω bởi λω tùy ý, λ = 0, không làm thay đổi
đường thẳng, những ω không tương đương xác định những đường thẳng
khác nhau). Vì thế, ngay cả những điểm của P n tốt nhất cũng nên biểu
diễn như các đường thẳng như vậy. Đặc biệt, đường thẳng giải tích tùy
ý (1.1.17) mà ωn+1 = 0, biểu diễn điểm vô hạn.
Ta đã biết rõ mô hình mặt phẳng xạ ảnh, nhận được từ mặt cầu trong
R3 bằng cách đồng nhất các điểm đối kính (giai của mặt cầu với các
đường thẳng trong R3 minh họa các điểm của mặt phẳng xạ ảnh). Cũng
như thế, có thể biểu diễn nhờ mặt cầu trong Rn+1 và không gian xạ ảnh
thực n chiều. Ta mô tả tóm tắt mô hình tương ứng đối với P n .
Vì mỗi đường thẳng giải tích của Cn+1 , đi qua gốc tọa độ, hoàn toàn được
đặc trưng bởi vectơ đơn vị ω o =

ω
|ω|

nên P n có thể được biểu diễn như tập

các điểm của mặt cầu S = {|z| = 1} trong Cn+1 . Song, đồng thời phải
đồng nhất các giao điểm của S với đường thẳng giải tích minh họa một
điểm của P n . Giả sử đường thẳng L như vậy được cho bởi phương trình
tham số zv = ωvo ζ (v = 1, ..., n + 1, |ω o | = 1); vì phương trình mặt cầu S
n+1

là

zv zv = 1 nên với các giao điểm của L và S, ta sẽ có |ζ|2

n+1

|ωvo |2 = 1

v=1

v=1

hay |ζ| = 1. Từ đó, rõ ràng L và S giao nhau theo tập một chiều: vòng
tròn {|ζ| = 1} nằm trên đường thẳng giải tích (hai chiều) và trên mặt
cầu 2n + 1 chiều. Như vậy, các điểm của P n còn có thể biểu diễn như

Footer Page 19 of 258.

17


Header Page 20 of 258.

các đường tròn trên mặt cầu đơn vị S ⊂ Cn+1 (điều đó tương ứng với:
P n có số chiều thực 2n). Đặc biệt, các đường tròn nhận được trong giao

của S với các đường thẳng L, đối với chúng ωn+1 = 0, biểu diễn các điểm
vô hạn.
Trong không gian ω o có thể đưa vào tôpô bằng cách xem các đường
thẳng L là “gần nhau” nếu chúng xác định bởi những vectơ đơn vị “gần
nhau” (hoặc các đường tròn trên S là “gần nhau” nếu nhận được khi giao
S với các đường thẳng “gần nhau”). Trong tôpô đó, P n là không gian
compact.

1.2 Hàm chỉnh hình. Giả sử hàm f = u(x, y) + iv(x, y) xác định
và hữu hạn trong lận cận nào đó của điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C.
Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng f khả vi tại điểm z theo nghĩa giải tích
thực (vắn tắt: R2 - khả vi), nếu các hàm u và v khả vi theo nghĩa thực
tại mọi điểm (x, y) ∈ R2 và khi đó
df = du + idv

(1.2.1)

được gọi là vi phân của f tại điểm z.
Nhận xét: Trong (1.2.1) ta viết du và dv qua các đạo hàm riêng (những
đạo hàm này tồn tại ở điểm z0 ), thì (1.2.1) có thể viết dưới dạng:
df =

∂f
∂f
dx + i dy
∂x
∂y

(1.2.2)

∂f
∂u
∂v
∂f
∂u
∂v
=
+i

và
=
+i
là các đạo hàm riêng của hàm
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y
phức theo biến thực. Để thuận lợi, ta còn có thể viết công thức của vi

ở đây

phân dưới một dạng khác. Ta xét các biến z = x + iy và z = x − iy;
các vi phân của chúng là dz = dx + idy và dz = dx − idy. Từ đó tìm
1
1
được dx = (dz + dz) , dy =
(dz − dz) và thế các biểu thức này
2
2i

Footer Page 20 of 258.

18


Header Page 21 of 258.

vào (1.2.2), sau khi nhóm các số hạng ta thu được
df =

∂f
∂f
dz +
dz
∂z
∂z

(1.2.3)

trong đó ký hiệu
1
∂f
=
∂z
2

∂f
∂f
−i
∂x
∂y

=

1
2

∂u ∂v
+
∂x ∂y

+

i
2

∂v ∂u
−
∂x ∂y

(1.2.4)

1
∂f
=
∂z
2

∂f
∂f
+i
∂x
∂y

=

1

2

∂u ∂v
−
∂x ∂y

+

i
2

∂v ∂u
+
∂x ∂y

(1.2.5)

Định nghĩa 1.2.2 Giới hạn
∆f
= f (z0 )
∆z→0 ∆z
lim

(1.2.6)

Nếu nó tồn tại được gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm z0 .
Từ những điều nói trên, có thể suy ra rằng tính C - khả vi tương đương
với sự tồn tại của đạo hàm.
Định lý 1.2.1 (Cauchy – Riemann) Cho hàm số f (z) = u (x, y) +
iv (x, y) xác định tại điểm z và lân cận của điểm z = x + iy ∈ Ω. Để

hàm f là C - khả vi tại z = x + iy ∈ Ω thì điều kiện cần và đủ là hàm f
thỏa mãn R2 - khả vi tại điểm z và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann

∂u ∂v


=
∂x ∂y
(1.2.7)
∂u
∂v


=−
∂y
∂x
Chứng minh
Điều kiện cần. Giả sử f C - khả vi tại z = x + iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại
giới hạn
f (z + ∆z) − f (z)
, ∆z = ∆x + i∆y
∆z→0
∆z
Vì giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến tới 0 của ∆z nên
f (z) = lim

nếu chọn ∆z = ∆x, ta có:
Footer Page 21 of 258.

19

Header Page 22 of 258.

u (x + ∆x, y) + iv (x + ∆x, y) − u (x, y) − iv (x, y)
∆z→0
∆x
u (x + ∆x, y) − u (x, y)
v (x + ∆x, y) − v (x, y)
= lim
+ i lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x, y) và
f (z) = lim

f (z) =

∂v
∂u
(x, y) + i (x, y)
∂x
∂x

(1.2.8)

Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có
f (z) = −i

∂u
∂v
(x, y) +
(x, y)
∂y
∂y

(1.2.9)

So sánh (1.2.8) và (1.2.9) ta nhận được

∂u
∂v


(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
∂v
∂u


(x, y) = − (x, y)
∂y
∂x
Ta còn phải chứng tỏ u (x, y) và v (x, y) khả vi tại (x, y). Vì f C - khả
vi tại z, nên
∆f = f (z + ∆z) − f (z) = f (z) ∆z + 0 (∆z)

Với 0 (∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
0 (∆z)
=0
∆z→0 ∆z
lim

Rõ ràng ∆f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y
Theo (1.2.8) ta có
∆u + i∆v =

∂u
∂v
+i
(∆x + i∆y) + 0 (∆z) + i0 (∆z)
∂x
∂x

Từ đó
∂u
∂v
∂u
∂u
∆x −
∆y + 0 (∆z) =
∆x +
∆y + 0 (|∆z|)
∂x
∂x
∂x
∂y

∂v
∂u
∂v
∂v
∆v =
∆x +
∆y + 0 (∆z) =
∆x + ∆y + 0 (|∆z|)
∂x
∂x
∂x
∂y

∆u =

Footer Page 22 of 258.

20


Header Page 23 of 258.

Điều đó có nghĩa là u và v khả vi tại (x, y).
Điều kiện đủ. Vì u và v khả vi tại (x, y) nên
∆u =

∂u
∂u
∆x +
∆y + 0

∂x
∂y

∆x2 + ∆y 2

∆v =

∂v
∂v
∆x + ∆y + 0
∂x
∂y

∆x2 + ∆y 2

và

Theo điều kiện (1.2.7) hai đẳng thức này có thể viết thành
∆u =

∂v
∂u
∆x −
∆y + 0 (|∆z|)
∂x
∂x

(1.2.10)

∂v

∂u
∆x +
∆y + 0 (|∆z|)
(1.2.11)
∂x
∂x
Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta có
∆f
∆u
∆v
=
+i
∆z
∆z
∆z
∂u
∂v
∂v
∂u
∆x −
∆y + 0 (∆z)
∆x +
∆y + 0 (∆z)
∂x
∂x
∂x
∂x
=
+i
∆z

∆z
∂u
∂u
∂v
∂v
∆x + i ∆y − ∆y + i ∆x 0 (∆z)
∂x
∂x
∂x
=
+ ∂x
+
∆z
∆z
∆z
∂u
∂v 0 (∆z)
=
+i
+
∂x
∂x
∆z
Vì vậy
∂u
∂v
∆f
lim
=
+i

∆z→0 ∆z
∂x
∂x
do đó f C - khả vi tại z = x + iy. Định lý được chứng minh.
∆v =

Định nghĩa 1.2.3 (Hàm chỉnh hình) Hàm f xác định trên miền D được
gọi là hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) tại z0 ∈ D nếu tồn tại ε- lân
cận của z0 chứa trong D sao cho f là C- khả vi tại z0 và U (ε, z0 ) .
Ta gọi hàm f là chỉnh hình trên tập hợp mở Ω ⊂ C, nếu nó chỉnh hình
tại mỗi điểm của tập này (do vậy đối với những tập này khái niệm chỉnh

Footer Page 23 of 258.

21


Header Page 24 of 258.

hình và khả vi phức trùng nhau).
Hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kỳ M ⊂ C, nếu có thể thác triển nó

trên tập mở nào đó Ω ⊃ M thành hàm chỉnh hình trên Ω.
Cuối cùng, tính chỉnh hình của hàm f tại điểm vô cùng được hiểu là
tính chỉnh hình của hàm ϕ(z) = f

1
z

tại z = 0. Định nghĩa này cho

¯
phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C.
(∗) Ý nghĩa hình học: Hàm f là C khả vi tại z0 cùng với điều kiện
f (z0 ) = 0 chính là tính bảo giác của ánh xạ f tại z0 .
Một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình
Tính chất 1.2.1 Nếu hàm f có nguyên hàm F trong D thì f chỉnh hình
trong D.
Tính chất này cho ta một ý nghĩa quan trọng như sau: Mọi dạng vi phân
đóng f dz = dF trong D là một dạng đóng trong D.
Tính chất 1.2.2 Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền cũng
chỉnh hình trong miền ấy.
Do đó tập tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một vành
và vành này ta sẽ kí hiệu là H(D), H(D) là một không gian vector trên
C.
Tính chất 1.2.3 Giả sử D ⊂ C là một miền và H(D) là tập các hàm
chỉnh hình trên D. Khi đó
1
∈ H (D).
f
ii) Nếu f ∈ H (D) và f chỉ nhận các giá trị thực thì f không đổi.
i) Nếu f ∈ H (D) và f (z) = 0, ∀z ∈ D thì

Chứng minh. Chỉ cần chứng minh ii).
∂f ∂f
Do f chỉ nhận giá trị thực nên
,
cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng
∂x ∂y
∂f
∂f

∂f
∂f
mặt khác
= i , ta suy ra
=
= 0. Vậy f = const.
∂x
∂y
∂x
∂y
Tính chất 1.2.4 Nếu f ∈ H (D) thì f ∈ H (D).

Footer Page 24 of 258.

22


Header Page 25 of 258.

Như vậy đạo hàm của hàm chỉnh hình trong D là mạnh hơn chỉnh hình
trong D.
Chứng minh. Đối với điểm z0 ∈ D bất kỳ, ta dựng hình tròn U =
{|z − z0 | < R} ⊂ D. Khi đó hàm f được biểu diễn như là tổng của chuỗi
lũy thừa trong hình tròn này.
∞

Theo định lý: Tổng của chuỗi lũy thừa f (z) =

cn (z − a)n chỉnh hình

n=0

trong hình tròn hội tụ của nó, đạo hàm f = ϕ được biểu diễn bởi chuỗi
hội tụ trong chính hình tròn ấy. Do đó, lại ứng dụng định lý này cho
hàm ϕ và nghĩa là ϕ khả vi trong U theo nghĩa giải tích phức.
Một vài định lý quan trọng đối với hàm chỉnh hình
Định lý 1.2.2 Giả sử f là hàm chỉnh hình trong miền D và hình tròn
¯ 0 , r) ⊂ D. Khi đó giá trị của hàm f tại z0 có thể biểu diễn dưới dạng
S(z
2π

1
f (z0 ) =
2πi

f (z0 + reiϕ )dϕ.
0

Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy, ta có
f (z) =

1
2πi

f (z)
dz.
z − z0
∂S(z0 ,r)

Thực hiện phép đổi biến z = z0 + reiϕ ; ϕ ∈ [0, 2π] ta nhận được

2π

1
f (z0 ) =
2πi

f (z0 + reiϕ ) iϕ
1
ire
dϕ
=
reiϕ
2πi

0

2π

f (z0 + reiϕ )dϕ.
0

Định lý 1.2.3 Giả sử hàm f chỉnh hình trong miền bị chặn D và liên
¯ Khi đó f = const hoặc |f (z)| đạt cực đại trên biên ∂D của
tục trên D.
D
¯ nên tồn tại z0 ∈ D
¯ sao
Chứng minh. Vì f liên tục trên tập compact D
Footer Page 25 of 258.

23