Bài tập cấp số cộng cấp số nhân

Bài tập: dãy số _ cấp số cộng _ cấp số nhân
(ndt_thptqt)
Bai 1: Dùng phơng pháp quy nạp chứng minh các mệnh đề sau đúng với
n N
*
" ẻ
2 2 2 2
2 2
3 3 3 3
3 2
( 1)(2 1)
1)1 2 3 ...
6
( 1)
2)1 2 3 ...
4
3)( 3 5 ) 3
4) 0 ( )
2 2
n n
n
n n n
n
n n
n
n n n
a b a b
Cho a b cmr
+ +
+ + + + =
+

+ + + + =
+ +
+ +
+ Ê
M
Bài 2: Cho dãy số (u
n
) với
2
1
1 , 1
2
n
n
u n
-
= + "
a) CMR
2
1
1 , 1
2
n
n
u n
-
= + "
b) CMR dãy số là giảm và bị chặn?
Bài 3: Cho a,b,c lập thành cấp số cộng. Cmr
1 1 2

b c b a a c
+ =
+ + +
Bài 4: Cho a,b,c,d lập thành cấp số nhân cmr:
3 3
2 2 2 3 3 3
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
1) ( ) ( )
1 1 1
2) ( )
3)( ) ( )( )
ab bc ca abc a b c
a b c a b c
a b c
ab bc cd a b c b c d
+ + = + +
+ + = + +
+ + = + + + +
Bài 5: Cho
2 1 2
; ;
b a b b c
á
- -
Cmr a,b,c lập thành cấp số nhân.
Bai 6 : Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu số hạng cuối và
đầu là 30. Tìm cấp số đó?
Bài 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 14 và tích là 64.
Bài 8: Cmr điều kiện cần và đủ để

2 2 2
, ,a b c
tạo thành cấp số cộng là 3 số
1 1 1
; ;
b c c a a b+ + +
lập thành cấp số cộng?
Bài 9: Độ dài c,b,a các cạnh của tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số
nhân. Tìm công bội của cấp số đó?
Bài 10: Cho a + b + c = 30. a,b,c lập thành cấp số cộng. b,a,c lập thành cấp số nhân. Tìm
a,b,c ?
Bài 10: Số đo 4 góc của tứ giác lồi lập thành cấp số nhân, biết góc lớn nhât gấp 8 lần góc
nhỏ nhất. Tim số đo của 4 góc đó?
Bài 11: Giữa 2 và 1458 đặt thêm 5 số nữa để đợc cấp số nhân. Tìm 5 số đó?
Bài 12: Cho dãy số
1
1
1
( ) :
3 2, 1
n
n n
u
u
u u n
+
ỡ
=
ù
ù

ớ
ù
= +
ù
ợ
a) Chứng minh dãy
( ) : 1
n n n
v v u= +
là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát
n
u
theo n?
Bài 13: Cho pt:
2 2
3 2 2 0x mx m- + - =
. Tìm m để pt có 2 nghiệm a,b và 6,a,b lập thành
cấp số cộng.
Bài 14: Xác định m để pt sau có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng:
3 2
3 2 2
) 3 2 0
) 3 2 ( 4) 9 0
a x x mx m
b x mx m m x m m
- + + + =
- + - + - =
Bài 15: Xác định m để pt sau có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng:
4 2

4 2
4 2
)2 2 0
) 2( 1) 2 1 0
) 2( 1) 1 0
a x mx
b x m x m
c mx m x m
+ + =
- + + + =
- - + - =
Bài 16: Tính các tổng sau:
{
1 2
3 4
2 3 99
5
2 3 99
6
2 3 99
7
8 9
100 9
55 60 65 ... 855 2 6 18 ... 13122
1 4 16 ... 65536 3 15 75 ... 1171875
1 2.2 3.2 4.2 ... 100.2
1 2.3 3.3 4.3 ... 100.3
1 4.2 7.2 10.2 ... 288.2
9 99 999 ... 99...9
so

S S
S S
S
S
S
S S
= + + + + = + + + +
= + + + + = - + - +
= + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + + +
{
100 1
2 2 2
2
10
2
2 2
11
2 2
1 11 111 ... 11...1
1 1 1
...
...
so
n
n
n n
n n

S x x x
x x x
a b a b a b
S
ab a b a b
= + + + +
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
= + + +
Bài 17: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
CMR:
) sin sin 2sin
1
) tan .tan
2 2 3
a A C B
A C
b
+ =
=
Bài 18: Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C thoả mãn:
2

3sin
sin .sin
2(1 cos )
C
A B
C
=
+
. CMR độ
dài 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng?
Bài 19: Tam giác ABC có số đo 3 góc lập thành cấp số cộng và thoả mãn:
3 3
sin sin sin
2
A B C
+
+ + =
a) Tính các góc của tam giác ABC?
b) Cho nửa chu vi p = 50. Tính các cạnh của tam giác?
Bài 20: Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành cấp số nhân với công bội q = 2.
a) Tính các góc của tam giác ABC?
b) Cmr
2 2 2
1
* cos cos cos
8
5
* cos cos cos
4
A B C

A B C
= -
+ + =