Toán học Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

−−−−−−−−−

HOÀNG THỊ VÂN ANH

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH
CHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo. Các kết quả trong luận án là trung thực

và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác.

Cán bộ hướng dẫn

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

Footer Page 2 of 258.

Tác giả

Hoàng Thị Vân Anh


Header Page 3 of 258.

LỜI CẢM ƠN
Luận án được nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Xuân Thảo, người luôn quan tâm, động viên và chỉ dẫn tác giả trong
nghiên cứu khoa học. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự quý
mến đối với thầy.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các giáo sư, các thầy-cô và
các đồng nghiệp trong seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên-ĐHQGHN, seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Những
ý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đã giúp tác
giả trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, những động viên,
nhận xét quý báu và ý kiến đóng góp sâu sắc của GS. TSKH. Nguyễn Văn
Mậu, PGS. TS. Trần Huy Hổ, PGS. TS. Nguyễn Thủy Thanh, PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, TS. Nguyễn Văn Ngọc, PGS. TS. Trịnh Tuân, TS. Nguyễn Thanh
Hồng, TS. Nguyễn Minh Khoa, TS. Nguyễn Hữu Thọ, . . . là những kinh nghiệm
quý báu để tác giả hoàn thành luận án một cách thuận lợi.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ
môn Toán cơ bản, Ban lãnh đạo và các thầy cô, các đồng nghiệp của Viện Toán
Ứng dụng và Tin học đã tạo một môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi
giúp tác giả hoành thành luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan
tâm và chỉ dẫn tận tình về các thủ tục hành chính của Lãnh đạo và các anh chị
công tác tại viện Sau đại học, trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu
tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ và biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Vũ
Kim Tuấn, trường Đại học West Georgia, Carrollton, GA 30118, USA, người
đã luôn có những chỉ dẫn, góp ý chân thành và sâu sắc trong quá trình nghiên
cứu khoa học và hoàn thành luận án của tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, các phòng ban
và các đồng nghiệp của Trường Cao đẳng Công nghiệp Thực phẩm đã khuyến
khích, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập,
nghiên cứu, công tác và hoàn thành luận án.
Gia đình luôn là động lực to lớn đối với tác giả. Công sức và sự động viên
của đại gia đình là những đóng góp thiêng liêng đã gián tiếp giúp tác giả vượt

3

Footer Page 3 of 258.


Header Page 4 of 258.

qua nhiều thử thách để hoàn thành luận án. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết
ơn đến bố mẹ, chồng, hai con trai và anh em hai bên nội - ngoại.

Tác giả

−4−

Footer Page 4 of 258.


Header Page 5 of 258.

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Tích chập và tích chập suy rộng . . . . .
1.1.1 Một số tích chập đã biết . . . . .
1.1.2 Tích chập suy rộng . . . . . . . .
1.1.3 Một số định lý quan trọng . . . .
1.2 Bất đẳng thức tích chập . . . . . . . . . .
1.2.1 Các bất đẳng thức tích phân trong
1.2.2 Bất đẳng thức tích chập . . . . . .
1.3 Một số hàm đặc biệt . . . . . . . . . . .

2
3
5
7

11

.
.
.
.
.
.
.
.

24
24
24
27
29
29
30
31
33

Chương 2. TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY
2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley
2.1.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương trình và hệ phương trình Toeplitz-Hankel . . . .

37
37
37
45
48
58
58
62

Chương 3. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
3.1 Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine . . . .
3.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine . . . . .
3.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
72
75
85
88

5

Footer Page 5 of 258.

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

không gian
. . . . . . .
. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.


Header Page 6 of 258.

3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4

Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel .
Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng . . . . .
Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

88
89
91
92

Chương 4. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY
RỘNG HARTLEY

4.1

Các tính chất toán tử . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . .

4.1.2 Định lý kiểu Plancherel . . . . . . . .
4.1.3 Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân
4.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Phương trình vi-tích phân . . . . . . .
4.2.2 Phương trình parabolic tuyến tính . .
4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN .
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−6−

Footer Page 6 of 258.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

95
96
96
100
103
105
108
108
112
112
117
118
119
120

Header Page 7 of 258.

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
a. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phân
Các tích chập, tích chập suy rộng

•

(· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.

•

(· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Laplace.

•

(· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine.

•

(· ∗ ·) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier sine.

•

(· ∗ ·), (· ∗ ·), (· ∗ ·) là tích chập, các tích chập suy rộng đối với các phép

F

L

Fc

Fs

H

H11

H12

biến đổi tích Hartley.
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và
Fs Fc

Fourier cosine.
γ
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y đối với các phép
Fc Fc

biến đổi Fourier sine và Fourier cosine.
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và
Fs Fs

sine.
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier.
HF

•

(· ∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier sine.

•

(·∗ ·) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley, Fourier cosine.

1

2

Các phép biến đổi tích phân

•

Phép biến đổi cosine, phép biến đổi sine
∞

1
(Tc f )(y) := √
2π
1
(Ts f )(y) := √
2π

f (x) cos(xy) dx, y ∈ R,
−∞
∞

f (x) sin(xy) dx, y ∈ R.
−∞

7

Footer Page 7 of 258.


Header Page 8 of 258.

•

Phép biến đổi Hartley
∞

1
(H1 f )(y) = √
2π

f (x) cas(xy)dx,

−∞
∞

1
(H2 f )(y) = √
2π

f (x) cas(−xy)dx,
−∞

trong đó cas u := cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley.

• Phép biến đổi Fourier
∞

1
(F f )(x) = √
2π
•

e−ixy f (y)dy, y ∈ R.
−∞

Phép biến đổi Fourier ngược
∞

1
(F −1 g)(x) = √
2π
•

eixy g(y)dy, y ∈ R.
−∞

Phép biến đổi Fourier cosine
∞

(Fc f )(y) =

2
π

f (x) cos(xy) dx, y ∈ R+ .
0

•

Phép biến đổi Fourier cosine ngược
∞

(Fc−1 g)(x)

=

2
π

g(y) cos(xy) dy, y ∈ R+ .
0

•

Phép biến đổi Fourier sine
∞

(Fs f )(y) =

2
π

f (x) sin(xy) dx,
0

−8−

Footer Page 8 of 258.

y ∈ R+ .


Header Page 9 of 258.

•

Phép biến đổi Fourier sine ngược
∞

2
π

(Fs−1 g)(x) =

g(y) sin(xy) dy, y ∈ R+ .
0

• Th , Th−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier
cosine và phép biến đổi ngược của nó
d2
(h ∗ f )(x),
2
dx2

(Th f )(x) := 1 −

d2
(h ∗ g)(x).
2
dx2
• Tk , Tk−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fourier
sine và phép biến đổi ngược của nó
f (x) = Th−1 g (x) := 1 −

d2
(k ∗ f )(x),
1
dx2

(Tk f )(x) := 1 −

f (x) = Tk−1 g (x) := 1 −

d2
(k ∗ g)(x).
1
dx2

b. Các không gian hàm

•
•

R+ = {x ∈ R, x > 0}.

Lp (R+ ), 1 p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho
∞

|f (x)|p dx < ∞.
0

•

f

Lp (R+ )

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ ), xác định bởi
∞

f

Lp (R+ )

p

|f (x)| dx

:=

1
p

.

0

•

f

Lp (R)

là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi
∞

f

Lp (R)

p

|f (x)| dx

:=
−∞

−9−

Footer Page 9 of 258.

1
p

.

Header Page 10 of 258.

•

L∞ (R+ ) là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho
sup |f (x)| < ∞.
x∈R+

•

f

L∞ (R)

là chuẩn của hàm f trong không gian L∞ (R), xác định bởi

f

L∞ (R)

:= sup |f (x)|.
R

• Lp (R+ , ρ), 1
cho

p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao
∞

|f (x)|p ρ(x)dx < ∞,
0

trong đó ρ là một hàm trọng dương.
•
f Lp (R+ ,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ , ρ), xác định bởi
∞

f

Lp (R+ ,ρ)

p

|f (x)| ρ(x)dx

:=

1
p

.

0

•

(R) là không gian ba tham số, xác định bởi
Lα,β,γ

p
Lα,β,γ
(R) := Lp R, |x|α e−β|x|
p

•

f

Lα,β,γ
(R)
p

γ

, α ∈ R, 0 < β < 1, γ > 0.

(R), xác định bởi
là chuẩn của hàm f trong không gian Lα,β,γ
p


f

Lα,β,γ
(R)
p

1/p

∞

:= 

γ

|f (x)|p |x|α e−β|x| dx

.

−∞

c. Các hàm đặc biệt

• Erf(z), Erfi(z) tương ứng là hàm sai số (error function) và hàm sai số ảo
(imaginary error function).
• Γ(z) là hàm Gamma.
• Gm,n
p,q (·) là hàm Meijer G.
• Jα (x), Yα (x) tương ứng là hàm Bessel loại một, hàm Bessel loại hai.
• Iα (z), Kα (z) là các hàm Bessel suy biến.
• pF q(a; b; z) là hàm siêu bội suy rộng.
−10−

Footer Page 10 of 258.


Header Page 11 of 258.

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân
Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lý
thuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là các
ngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý
ảnh,... Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toán
thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này
có dạng (xem [46])
∞

1
(F f )(x) = √
2π

e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R).

(0.1)

−∞

Nếu như phép biến đổi tích phân Fourier ra đời nhằm mục đích giải quyết
vấn đề về bài toán truyền nhiệt, thì các phép biến đổi tích phân như Laplace,
Mellin, Hankel,... ra đời với mục đích nghiên cứu và giải quyết lớp phương trình
vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, các phương trình này xuất phát
từ những bài toán thực tiễn trong vật lý, cơ học, địa lý hay trong hải dương
học.
Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thay
thế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết các
bài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu,
xử lý ảnh, xử lý âm thanh,... Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1 (R) được

trình bày trong các tài liệu Bracewell R.N. [12], Hai N.T. và các cộng sự [19],
Olejniczak K.J. [29], Tuan V.K. và Yakubovich S.B. [49], xác định bởi các công
thức
∞

1
(H1 f )(y) = √
2π

f (x) cas(xy)dx,

(0.2)

f (x) cas(−xy)dx,

(0.3)

−∞
∞

1
(H2 f )(y) = √
2π

Footer Page 11 of 258.

−∞


Header Page 12 of 258.

trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley, và
hàm f (x) được xác định bởi công thức
∞

1
f (x) = √
2π

cas(±xy)(Hj f )(y)dy, j = 1, 2.

(0.4)

−∞

Nhận thấy rằng, phép biến đổi tích phân Hartley khá gần với phép biến đổi
tích phân Fourier (xem [12, 46]), mối liên hệ giữa các phép biến đổi này như
sau
1+i
1−i
(H1 f )(y) = F
f (x) +
f (−x) (y),
(0.5)
2
2
1−i
1+i
(H2 f )(y) = F
f (−x) −

f (x) (y),
(0.6)
2
2
suy ra
1−i
1+i
(F f )(y) = Hj
f (x) +
f (−x) (y), j = 1, 2.
(0.7)
2
2
So với phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Hartley có những ưu điểm là cho
phép ta biến đổi từ hàm thực sang hàm thực (trong khi đối với phép biến đổi
tích phân Fourier của một hàm thực lại là hàm phức), ngoài ra phép biến đổi
Hartley là đối xứng còn phép biến đổi Fourier thì không đối xứng. Mặt khác,
các ứng dụng của phép biến đổi tích phân Hartley chủ yếu liên quan đến các
tính toán với máy tính, do vậy khi làm việc với số thực sẽ thuận tiện và nhanh
hơn so với số phức.
Trong thời gian gần đây, một số nghiên cứu mới về phép biến đổi tích phân
Hartley và ứng dụng, chẳng hạn như: Năm 2014 tác giả Bouzeffour F. nghiên
cứu về phép biến đổi Hartley suy rộng trên L1α (R) và các ứng dụng liên quan,
phép biến đổi này xác định như sau (xem [15])
∞

f (x)Jα (λx) dx, ∀λ ∈ R,

(Hα f )(λ) :=
−∞

trong đó
Jα (λx) = Jα (λx) +

λx
Jα+1 (λx),
2(α + 1)

với Jα (x) là hàm Bessel chuẩn tắc xác định bởi

Jα (x) = Γ(α + 1)
−12−

Footer Page 12 of 258.

2
x

α

Jα (x),

(0.8)


Header Page 13 of 258.

ở đây Jα (·) là hàm Bessel.
Cũng trong năm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B. nghiên cứu về phép
biến đổi tích phân Hartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong L2 (R+ )

lần lượt xác định bởi (xem [56, 57, 58])
∞

2
π

(H+ f )(x) :=

[cos(xt) + sin(xt)]f (t) dt, x ∈ R+ ,

(0.9)

f (t)
dt, x ∈ R+ ,
t

(0.10)

0
∞

2 d
π dx

(H+ f )(x) :=

[1 + sin(xt) − cos(xt)]
0

có biến đổi ngược là

∞

f (x) :=

2
π

[cos(xt)C(xt) + sin(xt)S(xt)](H+ f )(t) dt,

(0.11)

0

trong đó S(xt), C(xt) có dạng
√

S(xt) =

2
π

√

x

sin(t2 )dt,

C(xt) =

0

2
π

x

cos(t2 )dt.
0

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập: Để nghiên cứu không gian tuyến
tính, người ta thường đưa vào phép nhân chập hay còn gọi là tích chập, khi cố
định một hàm ta có một lớp biến đổi tích phân gọi là phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập. Có thể tóm lược về phép biến đổi tích phân dạng này như sau;
trong tích chập của hai hàm f và k , nếu cố định một hàm, chẳng hạn cố định
k , như là nhân của nó, và cho hàm f biến thiên trong một không gian hàm xác
định, ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có dạng

f → f ∗ k.

(0.12)

Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất xây dựng theo cách trên là phép biến
đổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem [25, 46]),
được xác định như sau
∞

f (x) →

k(xy)f (y)dy.
0

−13−

Footer Page 13 of 258.

(0.13)


Header Page 14 of 258.

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có hàm trọng đối với phép biến đổi tích
phân Fourier sine được nghiên cứu bởi tác giả Hong N.T. năm 2008 (xem [44]),
phép biến đổi tích phân này xác định bởi

d2
f (x) → 1 − 2
dx

∞

f (y)[sign(x + y − 1)k1 (|x + y − 1|) − k1 (x + y + 1)
0

+ sign(x − y + 1)k1 (|x − y + 1|) − sign(x − y − 1)k1 (|x − y − 1|)]dy
∞

f (y)[k2 (|x − y|) − k2 (x + y)]dy . (0.14)

+
0

Trong thời gian gần đây, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và các ứng
dụng đã được nghiên cứu bởi các tác giả Britvina L.E., Luchko Y., Tuan V.K.,
Yakubovich S.B., ... góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi
tích phân kiểu tích chập (xem [13, 25, 50, 55]).
Ngoài ra, việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng,
có thể giải quyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học
hơn, chẳng hạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn
(vì trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều
phép biến đổi tích phân hơn). Tuy vậy, khoảng những năm 1990 trở lại đây,
một số công trình nghiên cứu theo hướng này mới được đề cập đến, điển hình
như:

• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có hàm
trọng: Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Fourier cosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp (R+ ), (1 < p < 2)
được nghiên cứu bởi tác giả Tuan V.K. và các cộng sự, các phép biến đổi
này xác định như sau (xem [7, 8])
∞

f (x) →

[sign(y − x)k(|x − y|) + k(x + y)]f (y)dy, x ∈ R+ ,

(0.15)

0
∞

f (x) →

[k(|x − y|) − k(x + y)]f (y)dy, x ∈ R+ .

(0.16)

0

Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier
cosine và Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu bởi Hong N.T., Tuan T.

−14−

Footer Page 14 of 258.


Header Page 15 of 258.

và Thao N.X. (xem [42]), phép biến đổi tích phân này xác định bởi

1 −ucosh(x+v)
(e
+ e−ucosh(x−v) )h(u)f (v)dudv .
u

f (x) → D

(0.17)

R2+

• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng:
Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với
tích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả
Thao N.X., Tuan V.K. và Hong N.T. có dạng như sau (xem [41])
d2
f (x) → 1 − 2
dx

∞

[f (|x + y − 1|) + f (|x − y + 1|) − f (x + y + 1)−
0
∞

− f (|x − y − 1|)]k1 (y)dy +

[f (|x − y|) + f (x + y)]k2 (y)dy . (0.18)
0

Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích
chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiều
nghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuất
phát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế. Vì vậy, nghiên cứu
về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúc
toán tử của nó là một mục đích của luận án.
Tích chập và tích chập suy rộng
Một trong những vấn đề quan trọng của phép biến đổi tích phân là nghiên
cứu các tích chập, tích chập suy rộng và ứng dụng liên quan, chẳng hạn: Tính
tích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Toán-Lý, phương trình vi phân,
phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân,

lý thuyết xác suất, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện,.... Do đó, hướng
nghiên cứu này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.
Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuất
hiện với những tên gọi khác nhau như: Tích chập (tích chập không có hàm
trọng và tích chập có hàm trọng), tích chập suy rộng (tích chập suy rộng không
có hàm trọng và tích chập suy rộng có hàm trọng) và tiếp đến là đa chập.
Khoảng cuối thế kỷ 19, tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập đối
với phép biến đổi tích phân Fourier. Những nghiên cứu về tích chập tiếp theo

−15−

Footer Page 15 of 258.


Header Page 16 of 258.

được lần lượt giới thiệu là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin,
Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev và phép biến đổi Stieltjes,... Về tích chập
đối với phép biến đổi tích phân Hartley, nghiên cứu gần đây được quan tâm là
của nhóm tác giả Tuan N.M. năm 2009 (xem [16]), kết quả mới nhất về tích
chập đối với phép biến đổi tích phân này tiếp tục được nghiên cứu năm 2015
bởi tác giả Paraskevas I. và các cộng sự, nhận được bài toán phổ Whitened và
các ứng dụng trong xử lý ảnh (xem [21]).
Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn một
phép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng. Khi đó, tích chập suy
rộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện.
Tích chập suy rộng có trọng đầu tiên được nghiên cứu năm 1951 bởi tác
giả Sneddon I.N., đó là tích chập suy rộng có hàm trọng đối với hai phép biến
đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine (xem [33, 34]). Khoảng những năm
1990, một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân theo chỉ số

được nghiên cứu bởi tác giả Yakubovich S.B. (xem [52, 53, 54]). Nhưng cho đến
năm 1998, nghiên cứu của các tác giả Kakichev V.A. và Thao N.X. lần đầu
tiên cho định nghĩa và đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng đối
với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ với hàm trọng là γ, có đẳng thức nhân
tử hóa xác định bởi (xem [23])
γ

K1 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y) · (K3 g)(y), j = 1, 2, 3.
Kj

(0.19)

Từ định nghĩa trên cho thấy, vế phải xuất hiện hai phép biến đổi tích phân
khác nhau do đó ứng dụng sẽ phong phú hơn (trong khi đối với tích chập thì
đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân). Mặt khác, khi hoán
đổi các phép biến đổi tích phân theo một trật tự nhất định sẽ nhận được các
tích chập suy rộng khác nhau nên những ứng dụng nhận được khá đa dạng. Vì
vậy, hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học trong và ngoài nước. Do đó, vấn đề xây dựng các tích chập suy rộng liên
quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó là một nội dung có ý
nghĩa khoa học cần được tiếp tục nghiên cứu.
Bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng
Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng
trong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phương
trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý,... Việc giải
các bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập. Vì

−16−

Footer Page 16 of 258.

Header Page 17 of 258.

vậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suy
rộng để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu được
nhiều nhà toán học quan tâm. Những nghiên cứu về lĩnh vực này ở trong và
ngoài nước có thể thấy như sau:

• Đối với tích chập Fourier:
Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier
có dạng sau (xem [6, 35])
∞

(f ∗ g)(x) · h(x)dx

f

F

Lp (R)

· g

Lq (R)

· h

Lr (R) ,

(0.20)

−∞

trong đó, f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R), h ∈ Lr (R) và p, q, r > 1 sao cho
1
1
1
p + q + r = 2. Mặc dù đây là một kết quả đẹp, nhưng khi p = q = 2
thì nó không còn đúng nữa. Trong các công trình [36, 37], các tác giả
Saitoh S., Tuan V.K. và Yamamoto M. đã khắc phục được hạn chế của
bất đẳng thức trên. Nhóm nghiên cứu này đã xây dựng bất đẳng thức
đối với tích chập Fourier trong không gian Lp (R, ρ), p > 1 với hàm trọng
ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng. Điển hình là kết quả nghiên cứu năm
2000 về bất đẳng thức Saitoh và bất đẳng thức Saitoh ngược đối với tích
chập Fourier, các bất đẳng thức này có dạng (xem [38, 39])
1

((F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ))(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1

F1

Lp (R)

F

F

Lp (R,|ρ1 |) ·

F2

Lp (R,|ρ2 |) ,

(0.21)

với mọi Fj ∈ Lp (R, |ρj |) (j = 1, 2), p > 1.
1

(F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
F

F

A−1
p,q

Lp (R)

m1 m2
M1 M2

· F1

Lp (R,ρ1 )

· F2

Lp (R,ρ2 ) ,

(0.22)

trong đó F1 và F2 là hai hàm dương thỏa mãn
1
p

0 < m1

1
p

0 < m2

F1 (x)
F2 (x)

1
p

M1 < ∞;
1
p

M2 < ∞, p > 1, x ∈ R.

Hơn nữa, nhóm nghiên cứu Nhan N.D.V., Duc D.T. và Tuan V.K. đã
mở rộng bất đẳng thức ngược đối với tích chập Fourier sang nhiều chiều.
Nhận được bất đẳng thức Saitoh và bất đẳng thức Saitoh ngược trong

−17−

Footer Page 17 of 258.


Header Page 18 of 258.

không gian có hàm trọng và một số ứng dụng. Bất đẳng thức Saitoh
ngược trong không gian R2 có dạng (xem [26])
1

(F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 )·(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
F

F

Lp (R2 )

m1 m2
· F1
M1 M2

A−2
p,q

Lp (R2 ,ρ1 ) ·

F2

Lp (R2 ,ρ2 ) ,

(0.23)

trong đó F1 và F2 là hai hàm dương thuộc R2 thỏa mãn
1

1

0 < m1p

F1 (ξ, τ )

M1p < ∞;

F2 (ξ, τ )

M2p < ∞, p > 1, (ξ, τ ) ∈ R2 .

1

1

0 < m2p

Bất đẳng thức Saitoh ngược có hàm trọng trong không gian Rn (xem
[27]) xác định bởi
1

(F1 ρ1 ∗ F2 ρ2 )·(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
F

F

Lp (Rn )

m1 m2
· F1
M1 M2

A−n
p,q

Lp (Rn ,ρ1 ) ·

F2

Lp (Rn ,ρ2 ) ,

(0.24)

trong đó F1 và F2 là hai hàm dương thuộc Rn thỏa mãn
1

0 < m1p

1

F1 (z)

M1p < ∞;

F2 (z)

M2p < ∞, p > 1, z ∈ Rn .

1

0 < m2p

1

Ngoài ra, bất đẳng thức đối với tích chập Laplace cũng được tác giả Tuan
V.K. và các cộng sự nghiên cứu, nhận được bất đẳng thức ngược đối với
tích chập này và cho ứng dụng trong giải bài toán truyền nhiệt ngược.

• Gần đây, nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosine
của tác giả Hong N.T. đã công bố năm 2010, nhận được các bất đẳng
thức kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng (xem [20]). Đây là kết quả
mới mở rộng sang tích chập khác, nhưng đối với bất đẳng thức ngược
dạng này vẫn chưa được nghiên cứu.
Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley
như bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, cho đến nay
chưa có công trình nào công bố, trong khi các ứng dụng của nó có vai trò quan
trọng khi nghiên cứu những vấn đề nảy sinh từ một số bài toán thực tiễn. Do
đó, mục tiêu được quan tâm nghiên cứu là các bất đẳng thức tích chập suy rộng
Hartley và một số ứng dụng, đây cũng là một phần quan trọng trong mục đích
nghiên cứu của luận án.

−18−

Footer Page 18 of 258.

Header Page 19 of 258.

Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học đối với hướng nghiên cứu này là việc
giải phương trình Toeplitz-Hankel, dạng tổng quát của phương trình này xác
định bởi
∞

[k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x), x > 0,

f (x) +

(0.25)

0

trong đó g , k1 , k2 là những hàm đã biết, và f là ẩn hàm. Phương trình này có
nhiều ứng dụng thú vị trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như lý thuyết
tán xạ, lý thuyết động lực học chất lỏng, lý thuyết lọc tuyến tính, trong nghiên
cứu về va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, động lực học khí loãng, ... (xem
[11, 47]). Gần đây, sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích
phân Toeplitz-Hankel trong trường hợp đặc biệt có thể giải được và cho nghiệm
dưới dạng đóng. Những nghiên cứu đã được công bố có thể kể tên như:

• Năm 2008, phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt (xem [43]) được
công bố bởi các tác giả Thao N.X., Tuan V.K. và Hong N.T., đã xét
phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.25) có nhân Hankel k1 và
nhân Toeplitz k2 xác định bởi
1

k1 (t) = √ sign(t − 1)h1 (|t − 1|)
2 2
1
1
− √ sign(t + 1)h1 (|t + 1|) − √ h2 (t),
2 2
2
1
k2 (t) = √ sign(t − 1)h1 (|t − 1|)
2 2
1
1
− √ sign(t + 1)h1 (|t + 1|) + √ h2 (|t|),
2 2
2
với giả sử ϕ1 , ϕ2 , h2 là các hàm trong L1 (R+ ), và h1 (x) = (ϕ1 ∗ ϕ2 )(x)
Fs Fc

là tích chập suy rộng của ϕ1 và ϕ2 đối với các phép biến đổi Fourier sine
và Fourier cosine xác định bởi
∞

(Fc f )(y) =

2
π

f (x) cos(xy) dx, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ ),

(0.26)

f (x) sin(xy) dx, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ ).

(0.27)

0
∞

(Fs f )(y) =

2
π
0

−19−

Footer Page 19 of 258.


Header Page 20 of 258.

• Năm 2011, phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt (xem [45])
được công bố, trong đó phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.25)
được xét trong trường hợp các nhân k1 , k2 bất kì, tuy nhiên vế phải g thoả
mãn một điều kiện ràng buộc như sau: Với giả sử g1 , g2 , k1 , k2 ∈ L1 (R+ ),
g = g1 + g2 , và thoả mãn
π
[((g2 ∗ l) − g2 ) ∗ (k1 − k2 )](x),
Fc
Fs Fc

2

g1 (x) =

trong đó l là một hàm thuộc không gian L1 (R+ ), xác định bởi

(Fc l)(y) =

π
Fc (k1 + k2 )(y)
.
.
2 1 + π2 Fc (k1 + k2 )(y)

• Năm 2013, phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.25) được nghiên
cứu bởi nhóm tác giả Anh P.K., Tuan N.M. và Tuan P.D. trong trường
hợp nhân là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π (xem [9]), phương trình được
xét có dạng
2π

[k1 (x + y) + k2 (x − y)]ϕ(y)dy = g(x).

λϕ(x) +
0

Cho đến nay, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, bài toán tìm nghiệm đóng
cho phương trình (0.25) trong trường hợp tổng quát vẫn đang là bài toán mở.
Do đó, các ứng dụng theo hướng này là một vấn đề cần được tiếp tục quan tâm
nghiên cứu, và đây cũng là một mục tiêu đặt ra khi nghiên cứu các ứng dụng
của Luận án.

Vì các lí do trên và để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, chúng tôi
đã định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu và lựa chọn đề tài cho Luận
án với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng
dụng".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích:
- Xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley. Nghiên cứu các tính chất
của các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tích
phân nhân Toeplitz-Hankel.

−20−

Footer Page 20 of 258.


Header Page 21 of 258.

- Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley,
chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh
và các ứng dụng liên quan.
- Xây dựng một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley,
nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến đổi tích phân này
trong các không gian hàm L2 (R), Lp (R), với 1
p
2 và một số ứng
dụng.

• Đối tượng: Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine,
Hartley-Fourier sine. Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phép biến

đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, các bất đẳng thức kiểu tích chập
suy rộng và một số ứng dụng.
• Phạm vi nghiên cứu: Là các phép biến đổi tích phân, các tích chập và
các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley,
Fourier cosine, Fourier sine, các bất đẳng thức tích chập và tích chập suy
rộng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong Luận án này, đã sử dụng các phương pháp liên quan đến lý thuyết
giải tích hàm, phương pháp tích chập và tích chập suy rộng để xây dựng, nghiên
cứu các tích chập suy rộng mới, chứng minh sự tồn tại của các tích chập suy
rộng này cũng như tính bị chặn của chúng. Ngoài ra, còn sử dụng phương pháp
biến đổi tích phân để đánh giá và đưa ra các tính chất toán tử của những
kết quả nghiên cứu mới, nhằm mục đích giải một số phương trình tích phân
với nhân Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình tích phân, phương
trình và hệ phương trình vi-tích phân. Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng
thức tích phân trong không gian để chứng minh các bất đẳng thức tích phân
đối với tích chập suy rộng và xây dựng các đánh giá nghiệm.
4. Cấu trúc và các kết quả của Luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được trình
bày trong bốn chương như sau:
Chương 1, nhắc lại những kiến thức đã biết liên quan đến hướng nghiên
cứu, các khái niệm và tính chất của tích chập, tích chập suy rộng đối với các

−21−

Footer Page 21 of 258.


Header Page 22 of 258.

phép biến đổi tích phân. Trình bày một số kết quả đã biết về bất đẳng thức
tích chập, lý thuyết các hàm đặc biệt.
Chương 2, xây dựng các tích chập suy rộng Hartley mới là tích chập suy
rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1
và H2 . Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý
kiểu Titchmarch. Áp dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích
phân, phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel.
Chương 3, nghiên cứu một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley như
bất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và kiểu Saitoh
ngược. Áp dụng những kết quả đạt được đánh giá nghiệm của phương trình tích
phân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý.
Chương 4, xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Hartley. Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính
unita của các phép biến đổi tích phân mới xây dựng trong không gian L2 (R).
Nhận được định lý Plancherel, định lý về tính bị chặn của toán tử vi-tích phân,
cho minh hoạ về sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên bằng một số
ví dụ cụ thể. Vận dụng kết quả mới nhận được cho việc tìm nghiệm đóng của
lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolic một
chiều.
5. Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án
Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, có ý nghĩa khoa học trong lĩnh
vực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phú
thêm lý thuyết tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân, bất đẳng
thức tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier
cosine, Fourier sine. Các kết quả này cho ứng dụng trong việc tìm nghiệm đóng
của một lớp các phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel,
phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được các biểu diễn và đánh
giá nghiệm trong một số bài toán Toán-Lý. Các kết quả và ý tưởng của luận án
có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các phép biến
đổi tích phân khác, và nghiên cứu bài toán quang phổ, xử lý ảnh.

Nội dung chính của Luận án dựa trên bốn công trình nghiên cứu được liệt
kê ở "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án". Trong đó có 03 công
trình trong danh mục các tạp chí quốc tế uy tín ISI, 01 công trình trong kỷ
yếu Hội nghị Toán học Quốc tế. Các kết quả này đã được báo cáo toàn bộ hay

−22−

Footer Page 22 of 258.


Header Page 23 of 258.

từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau:

• Các hội nghị khoa học:
- Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng
(ICFIDCAA), tháng 7 năm 2012 tại Hà Nội.
- Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng 8 năm 2012 tại Huế.
- Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013 tại Nha trang.
- Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 tại Thành
phố Hồ Chí Minh.

• Các seminar:
- Seminar Giải tích và Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại
học Quốc gia Hà Nội.
- Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

−23−

Footer Page 23 of 258.

Header Page 24 of 258.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến tích chập, tích
chập suy rộng, bất đẳng thức tích chập và một số hàm đặc biệt dùng cho các
nghiên cứu của luận án.

1.1

Tích chập và tích chập suy rộng

1.1.1

Một số tích chập đã biết

Ta biết rằng, trong một không gian hàm tuyến tính U (X), tích của hai hàm
f, g ∈ U (X) theo nghĩa thông thường thì hàm tích f · g nói chung không thuộc
U (X), tức là không có phép nhân trong không gian tuyến tính. Nhưng khi ta
thay tích này bằng tích chập f ∗ g thì tích đó thuộc không gian U (X), do đó
cần xây dựng phép nhân chập để thực hiện được phép nhân trong không gian
tuyến tính. Như vậy, kết quả của phép nhân được xác định thông qua một biểu
thức tích phân hay tích chập là một dạng của phép biến đổi tích phân.
Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier
của hai hàm f và g có dạng
∞

1

(f ∗ g)(x) := √
F
2π

f (y)g(x − y)dy,

x ∈ R,

(1.1)

−∞

tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau

F (f ∗ g)(y) = (F f )(y) · (F g)(y), ∀y ∈ R; f, g ∈ L1 (R),
F

(1.2)

trong đó, (F f )(y) là phép biến đổi tích phân xác định bởi công thức (0.1).
Ngoài ra, tích chập được định nghĩa bởi công thức (1.1) còn thỏa mãn các
tính chất sau

24

Footer Page 24 of 258.


Header Page 25 of 258.

• f ∗ g = g ∗ f, ∀f, g ∈ L1 (R);
F

F

• f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h, ∀f, g, h ∈ L1 (R),
F

F

F

khi đó chuẩn của hàm f trong không gian L1 (R) được định nghĩa bởi
∞

f

L1 (R)

|f (x)|dx.

:=
−∞

Nếu g(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược như sau
∞

1
f (x) := (F −1 g)(x) = √
2π

eixy g(y)dy, y ∈ R; f ∈ L1 (R).

(1.3)

−∞

Trong trường hợp f ∈ L1 (R+ ) là hàm chẵn hoặc hàm lẻ, ta nhận được phép
biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có dạng (0.26), (0.27). Khi đó, ta có các
phép biến đổi ngược tương ứng xác định bởi
∞

f (x) := (Fc−1 g)(x) =

2
π

g(y) cos(xy) dy, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ ),

(1.4)

0
∞

f (x) := (Fs−1 g)(x) =

2
π

g(y) sin(xy) dy, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ ).

(1.5)

0

Phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng gần với các phép biến
đổi Fourier và Hartley là các phép biến đổi tích phân cosine và sine kí hiệu
tương ứng là Tc và Ts , được tác giả Przeworska-Rolewicz D. và Rolewicz S.
nghiên cứu và giới thiệu trong tài liệu [32], các phép biến đổi này được định
nghĩa bởi công thức
∞

1
(Tc f )(y) := √
2π

f (x) cos(xy) dx, y ∈ R,

(1.6)

f (x) sin(xy) dx, y ∈ R.

(1.7)

−∞
∞

1
(Ts f )(y) := √
2π

−∞

−25−

Footer Page 25 of 258.