chuyên đề hình học THCS

CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 1:
Cho ∆ABCvà∆A’B’C’, có trung
A
tuyến tương ứng là AM và A’M’.
Chứng minh :
A'
a) Nếu ∆ABC  ∆A’B’C’ thì
∆ABM  ∆A’B’M’.
b) Nếu ∆ABM  ∆A’B’M’ thì
B
∆ABC  ∆A’B’C’.
C B'
M'
M
HD: (c-g-c)
Hãy tập vận dụng vào bài thi sau (Đà Nẵng 15-16):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường

A
cao AH. Đường tròn đường kính AH có
tâm O cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại
F
E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC.
O
a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
E
K
b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến
của đường tròn đường kính AH.
B
H
M
c) Chứng minh HBO = HAM
d) Chứng minh điểm O là trực tâm của ∆ABM.
HD:
c) Cần nhận ra ∆ABH∆CAH. Suy ra ∆OBH∆MAH.
Nhưng trong bài này ta dùng HTL nhanh hơn.
Trong vuông ABC, đường cao AH có AH 2 = HB.HC
AH
HM
=
 AH.2OH = HB.2HM 
HB
HO
Bài toán căn bản 2:
A
Cho tam giác ABC có đường trung
tuyến AM. Từ một điểm I tùy ý nằm

trong đoạn AM vẽ đường thẳng song
song với BC nó lần lượt cắt AB và AC
tại D và E.
I ?
?
E
D
Chứng minh I là trung điểm của DE.

C'

C

B
HD :
C
M
Hệ quả của định lí Ta-lét.
Hãy tập vận dụng vào bài thi sau (chuyên toán LHP 15-16):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm
của cạnh BCvà N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc
với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE.
Chứng minh rằng:
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 1


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC

THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
a) Chứng minh BA.BC = 2BD.BE.
b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC.
HD:
F
a) Chứng minh BA . BC = 2BD . BE
 DBA=EBM (1)
A
 ΔONA=ΔOME (c-g-c)
 EAN=MEO
D
Ta lại có: DAB+BAE+EAN=90o ,
N
và BEM+BAE+MEO = 90o
O
 DAB=BEM (2)
 Từ (1) và (2) suy ra ΔBDA ΔBME (g-g)
BD
BA
BC B

M

=
 BD.BE = BA.BM = BA.
BM
BE
2
E
 2BD.BE=BA.BC
b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của ABC
 Gọi F là giao của BD và CA.
BD BM
=
 BDM BAE (c-g-c)
Ta có BD.BE = BA.BM (cmt) 
BA
BE
 BMD=BEA . Mà BCF = BEA (cùng chắn AB )
 BMD=BCF  MD // CF  D là trung điểm của BF.
Gọi T là giao diểm AH và CD.
 TA = TH  T là trung điểm của AH.
Bài toán căn bản 3: Định lí về tính
x
chất phân giác của tam giác.
A
Nếu AD là phân giác trong, AE 
AD thì AE là phân giác ngoài.
Ta có các tỉ số bằng nhau:
DB EB AB
C

E
D


B
DC EC AC
HD:Nhận dạng câu hỏi:BD.EC = EB.DC thì phải nghĩ đến phân giác trong và
ngoài của tam giác ABC.
A
Bài toán căn bản 4:
Cho ∆ABC có đường cao AD.Biết rằng
AB2 = BD.BC.
Chứng minh ∆ABC vuông.
HD:
C
∆ABD ∆CBA (c-g-c)
B
D
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 2

C


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC

SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp
A
đường tròn (O;R).
a
b
c


 2R
Chứng minh:
sin A sin B sin C
HD:
O
Có 2 cách chứng minh sau đây nên biết:
B
C
Cách 1:
Vẽ đường kính AD .
D
AC
b
b

sin B  sin D 


 2R
A
AD 2R
sin B
c
a
 2R và
 2R
Tương tự ta cũng có
sin C
sin A
O
Suy ra đpcm.
Cách 2:
C
Kẻ OH vuông góc với BC .
B
H
BH BC : 2
a
a
sin A  sin BOH 



 2R
OB

R
2R
sin A
Suy ra đpcm.
A
Khi có mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện của
tam giác cần nghĩ đến nó.
Hãy tập vận dụng vào bài toán sau:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có phân giác
I
góc BAC cắt (O) tại D (khác A). Vẽ đường tròn
O
F
tâm I đi qua A và D sao cho cắt cạnh AC tại F và
cắt tia AB tại E. Chứng minh:
C
B
a) BDE = CDF.
b) Tìm vị trí của I sao cho dây EF của (I) có độ dài
E
D
ngắn nhất.
C

Bài toán căn bản 6:
Cho (O,6cm) và hai đường kính AB, CD vuông
góc. Gọi E là trung điểm của OC.
Vẽ dây BF qua E. FD cắt AB tại G.
a) Chứng tỏ AFEO là tứ giác nội tiếp.
A

b) Chứng tỏ DG.DF = BE.BF.
c) Tính các cạnh tam giác AFG.
HD: Bài này để luyện tính toán rất hay.
b) Cách 1:
BE.BF = BO.BA = 2R2
DG.DF = DO.DC = 2R2

F
E

G

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

O

D

Trang 3

B


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ

CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Cách 2:
OB
 DC.cos D  R.2R  2R 2
cos D
OB
BE.BF 
 BA.cos B  R.2R  2R 2
cos B
Khi có tam giác vuông đồng dạng ta nên dùng tỉ số lượng giác thì nhanh hơn.
c)
- Tính được góc B. Tính AF.
- Tính BE; BF.
- Tính AG; GB; GO (dùng tính chất phân giác của tam giác)
- Tính GD; DF rồi tính GF.
Bài toán căn bản 7:
J
Cho đường tròn (O), đường kính MN và dây
P
cung PQ vuông góc với MN tại I (khác M, N).
G
Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (khác N, P). Nối
M với J cắt PQ tại H.
H
a) Chứng minh JM là phân giác của PJQ và

O
M
N
K
tứ giác HINJ nội tiếp.
I
b) Gọi giao điểm của PN với MJ là G,
JQ với MN là K. Chứng minh GK // PQ.
c) Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp
Q
∆PKJ.
HD:
b) Cần chứng minh GJNK là tứ giác nội tiếp (chú ý hai góc 45 o ở J và N) để suy ra
GK  MN. Từ đó suy ra GK // PQ.
c) JG là phân giác góc PJQ.
Chứng minh KG là phân giác góc PKJ (dùng so le trong và đồng vị).
Bài toán căn bản 8:
y
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường
A
tròn (O), ba đường cao AD, BE và CF cắt
nhau tại trực tâm H. Vẽ DEF.
E
a) Tìm 6 tứ giác nội tiếp trong hình.
b) Trực tâm H cũng là tâm đường tròn
x
nội tiếp tam giác DEF.
O
F
c) Bán kính OA vuông góc với FE.

H
HD:
B
C
b) BDHF nội tiếp  FDH  ABH
D
ABDE nội tiếp  ABH  HDE
FDH  HDE DA là phân giác FDE .
Chứng minh tương tự cũng được EB là phân giác góc DEF.
Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
DG.DF 

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 4


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

c) Vẽ thêm tiếp tuyến tại A.
* BFEC nội tiếp  AFE  BCA .
Mà BAx  BCA
Nên BAx  AFE  Ax // FE
Do Ax  AO nên EF  AO.
Hãy tập vận dụng vào bài thi sau:
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao
BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P  B, Q  C).
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh HB.HP = HC.HQ.
c) Chứng minh OA vuông góc với DE.
Hãy tập vận dụng vào bài thi sau
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) các tiếp tuyến tại B và C với (O cắt
nhau tại E, AE cắt (O) tại D (khác A).
a) Chứng minh OBEC là tứ giác nội tiếp.
b) Từ E kẻ đường thẳng d song song với tiếp tuyến tại A của (O), d cắt AB và AC
lần lượt tại P và Q. Chứng minh AB.AP = AD.AE.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EP = EQ và PAE  MAC .
BC 2
d) Chứng minh AM .MD 
.
4
Bài toán căn bản 9:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn
I
(O), ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại
A
trực tâm H. Tia AD, BEvà CF lần lượt cắt
đường tròn tại G, I và J. Vẽ đường kính AK.
E

a) BHCK là hình bình hành.
b) BCKG là hình thang cân.
J
c) H và G đối xứng nhau qua BC.
F
O
H
d) H là tâm đường tròn nội tiếp GIJ.
D
HD:
B
C
a) * Dùng hai cặp cạnh đối song song.
b) * Nhớ lại định lí hình thang nội tiếp là hình
K
G
thang cân.
c) * Chứng minh HBG cân tại B có đường
cao BD cũng là trung trực của HG.
d) * Ôn lại định lí hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Khi đó: BJ  CK (BK//CJ)
mà BG  CK (doBCKG là hình thang cân) nên BJ  BG
 IB là phân giác góc JIG.
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 5


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC

THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Chứng minh tương tự để có GA là phân giác của góc IGJ. Nếu không ta có thể
dùng bài căn bản số 8 như sau:
* AO EF
* EF là đường trung bình của tam giác HIJ để có OA  IJ  A là điểm chính giữa
cung IJ  GA là phân giác góc IGJ.
Bài toán căn bản 10:
A
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O;R) .Vẽđường cao AH và đường kính AK.
E
a) Chứng minh rằng AB.AC = 2R.AH.
1
b) SABC = AB.AC.sinA .
2
O
AB.AC.BC
c) SABC =
.
4R

B
C
H
HD:
1
1
b) SABC  AC.BK  AC.AB.sin A
K
2
2
c)
1
1
BC AB.AC.BC
SABC = AB.AC.sinA=  AB.AC 
=
(dựa vào bài căn bản 5)
2
2
2R
4R
Hãy vận dụng vào bài thi sau:
Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ
đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn (O). Gọi E, F
lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD. Gọi M là
trung điểm BC.
a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.
b) Chứng minh HE // BD
c) Chứng minh SABC =
AB.AC.BC

(SABC là diện tích tam
4R

giác ABC)

D
C

O
Bài toán căn bản 11:
A
Cho đường tròn (O;R) và A ở
ngoài (O).
a) Vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến
ACD.Chứng minh rằng
B
AB2 = AC . AD = AO2 R2.
b) Ngược lại nếu có AB2= AC.AD hãy chứng tỏ AB là tiếp tuyến của (O).
Hãy vận dụng vào bài toán sau:

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 6


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC

SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm E
D
tùy ý. Vẽ hai tam giác đều AEC và
EBD cùng nằm một phía đối với
C
đoạn thẳng AB. Vẽ (I) và (O) lần
F
lượt là đường tròn ngoại tiếp hai
O
tam giác đó. Chúng cắt nhau tại F.
K
Chứng minh:
I
H
a) A, F, D thẳng hàng; C, F, B
A
B
E
thẳng hàng.
b) Đường thẳng nối tâm hai
đường tròn đó cắt cắt AD và CBlần
lượt tại H và K. Chứng minh EHFK là hình thoi.

c) Tìm vị trí của E trên đoạn thẳng AB sao cho CF.CB + DF.DA nhỏ nhất.
Bài toán căn bản 12:
Tứ giác BCDE có tia CB cắt tia DE tại A. Chứng minh:
a) Nếu BCDE nội tiếp thì
C
AB.AC = AE.AD.
b) Nếu AB.AC = AE.AD thì
B
BCDE là tứ giác nội tiếp.
HD:
O
A
b) ∆ABE ∆ADC (c-g-c)

E
Suy ra ABE  ADC
D
BCDE là tứ giác nội tiếp.
Bài toán căn bản 13:
E
Cho đường tròn (O;R) và A ở trong (O). Vẽ 2 dây
cung BAC và DAE. Chứng minh rằng:
B
AB . AC = AD . AE = R2 – AO2
O
M
HD:
A
∆ABD ∆ACE
D

N
suy ra AB . AC = AD . AE
AB . AC = AM.AN
= (R – AO)(R + AO)
C
= R2 – AO2
Áp dụng:Cho (O;R) và A ở trong (O). Vẽ 2 dây cung BAC và DAE. ChoAB =
3cm, AC = 8cm và DE 10cm. tính AD và AE biết AD < AE.
HD:
AB.AC = AD.AE
Đặt AD = x thì 3.8 = x.(10 – x)
Giải phương trình bậc hai tính x.Chú ý AD < AE.

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 7


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017

UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 14:
A
Trên nửa đường tròn đường kính BC = 2R,
lấy hai điểm M, N sao cho M thuộc cung
BN. Gọi A là giao điểm của BM và CN. H là
N
giao điểm của BN và CM. Chứng minh:
a) Tứ giác AMHN nội tiếp.
M
b) ABN HCN.
c) Tính giá trị S = BM.BA + CN.CA theo R.
H
HD:
c) BM.BA = BD.BC và CN.CA = CD.CB
B
C
suy ra S = BM.BA + CN.CA
D
O
= BD.BC + CD.CB
= BC(BD + CD)
= BC2 = 4R2.
Bài toán căn bản 15:
Cho điểm A ở ngoài đường tròn
(O,R) với OA = 2R, vẽ 2 tiếp tuyến
B
AB, AC (B, C là tiếp điểm). AO cắt
BC tại H. Chứng minh rằng:
a) AH  BC và ∆ABO là nửa tam

H
A
K
giác đều. Tính AB, BC theo R.
I
O
b) Tia AO cắt (O) theo thứ tự tại I
và K. Chứng minh I là tâm đường
C
tròn nội tiếp ∆ABC.
c) Chứng minh AI.HK = IH.AK.
HD:
I
H
K
Chú ý hình ảnh A
Tích của đoạn nhỏ ở giữa với đoạn lớn nhất mà bằng tích của hai đoạn ở bìa ngoài
thì phải nhớ đến tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác.
Bài toán căn bản 16:
Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao
cho OA = 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC đến (O) (với B,C là các tiếp điểm).
a) Tính góc AOB.
b) Từ A vẽ cát tuyến APQ không đi qua A
tâm đến đường tròn (O). Gọi H là trung
điểm của PQ ; BC cắt AO tại K.
i) Chứng minh 4 điểm O, H , B, C
cùng thuộc một đường tròn.
ii) Chứng minh AP. AQ = 3R2.

B
Q
H
P

I
K

O

C

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 8


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

iii) Cho OH =

R
, tính độ dài đoạn thẳng HK theo R.
2

HD:
ii) AP.AQ = AO2 – R2 (bài căn bản số 11)
AP.AQ = 4R2 – R2 = 3R2
R
iii) Tính OK = suy ra OHK cân tại O nên đường cao OI cũng là trung tuyến.
2
Dùng tỉ số lượng giác cho AOH tính được góc AOH để tính góc KOI.
Từ đó dùng tỉ số lượng giác cho KOI tính KI rồi tính KH.
Bài toán căn bản 17:
Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC và 1 cát tuyến
B
E
ADE đến (O) ( với B,C là các tiếp
F
điểm). AO cắt BC tại H. F là trung điểm
D
của DE. Chứng minh:
A
a) AB2 = AH.AO = AD.AE.
H O
b) BFOC là tứ giác nội tiếp và FA
là tia phân giác góc BFC.
c) DHOE là tứ giác nội tiếp và HB

C
là tia phân giác góc DHE.
DB EB

d)
.
DC EC
HD:
b) A, B, F, O và C cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên BFOC là tứ giác
nội tiếp. Trong đường tròn này đường kính OA vuông góc dây BC nên A là điểm
chính giữ cung BAC suy ra FA là phân giác của góc BFC.
c) Từ câu a ta chứng minh được ADH AOE (c-g-c)
suy ra ADH  AOE  DHOE nội tiếp.
DB AB

d) ABD AEB (g-g) 
BE AE
DC AC

ACD AEC (g-g) 
EC AE
DB DC  AB  DB EB


Mà AB = AC nên


BE EC  AE  DC EC
Bài toán căn bản 18:
Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và 1 cát tuyến ADE

đến (O) ( với B,C là các tiếp điểm).AO cắt BC tại H. Vẽ dây EI qua H. Chứng
minh:
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 9


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
a) HA.HO = HB.HC = HI.HE.
b) AEOI là tứ giác nội tiếp
vàAO là tia phân giác góc EAI.
c) OA là tia phân giác góc DOI.
HD:
A
b) Từ HA.HO= HI.HE ta chứng
minh được AHI EHO (c-g-c)
suy ra OAI  OEI nên AEOI là tứ
giác nội tiếp.

Trong đường tròn đó ta có dây OI =
dây OE nên OI  OE AO là phân giác EAI .
c) AEOI là tứ giác nội tiếp nên AOI  AEI .
1
Mà AEI  DOI nên OA là tia phân giác góc DOI.
2
Bài tập vận dụng
Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC (với B,C là các
tiếp điểm). BC cắt AO tại H. Vẽ dây
MN qua H và song song với AB (M
thuộc cung nhỏ BC). Đường thẳng A
MN cắt AC tại P. Chứng minh:
a) ANOM là tứ giác nội tiếp.
b) P là trung điểm của AC.

B
E
D
H

O

I
C

B
N

H

O

M
P

Bài toán căn bản 19:
Cho điểm A ở ngoài (O;R). Từ A vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC(với B,C là các
I
tiếp điểm). Vẽ dây BD song song với
AC. AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E.
E
AO cắt AH tại O. Chứng minh:
2
2
a) MC = MA = ME.MB và suy ra A
K
M là trung điểm của AC.
b) Chứng minh MEHC là tứ giác
M
nội tiếp.
c) Kẻ đường thẳng qua C vuông
góc với AB tại I và cắt AO tại K.
Chứng minh B, I, E, K và H cùng thuộc một đường tròn.
d) Chứng minh AEKC là tứgiác nội tiếp.
e) Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆AEC.
HD: a) Dùng bài căn bản 11 ta có MC2= ME.MB
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

C

B

D

H

O

C

Trang 10


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
AME BMA (g-g) suy ra MA2= ME.MB nên MC2 = MA2 suy ra MC = MA.
b) MEC  BDC (EBDC là tgnt)

Mà BDC  ABC (cùng chắn cung BC)
MH là đường trung bình của ABC nên ABC  MHC (đồng vị)
Vậy MHC  MEC MEHC là tgnt.
c)
- IBHK là tgnt (1)
- BEH  MCH ; AIHC nội tiếp  BIH  MCH
Nên có BEH  BIH  IBHE là tgnt (2)
(1) và (2) suy ra I, B, H, K và E cùng thuộc một đường tròn.
d) EKI  IBE (DO I, B, H, K và E cùng thuộc một đường tròn)
Mà IBE  EAC (AME BMA)
Nên EKI  EAC AEKC nội tiếp.
e) Đường tròn ngoại tiếp ∆AEC chính là đường tròn ngoại tiếp ∆AKC.
ICH  IAH (do AIHC nội tiếp).Mà HAC  IAH nên ICH  HAC
 CB tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AEC.
Bài toán căn bản 20:
Cho điểm A ở ngoài (O), vẽ hai
tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
ADE.
Kẻ EF  BD, DI  BE. BC cắt FI
tại H. Gọi J là trung điểm của DE.
A
Chứng minh:
a) AB//FI và suy ra CHIE là tứ
giác nội tiếp.
b) BOJC là tứ giác nội tiếp.
c) H là trung điểm của FI.

B
I

H
F

O
D
J

E

C

HD:
b) Chú ý điểm thứ 5 bị giấu đi là A (A, B, O, J và C cùng thuộc đường tròn
đường kính AO.
c) Ý tưởng để giải là bài căn bản số 1.
HB HI BI


HBI JBD (g-g)
(1)
JB JD BD
FB FI
FI
BI



FBI EBD (g-g)
(2)
EB ED 2JD BD

FI
HI

 FI  2HI hay H là trung điểm của FI.
(1) và (2) suy ra
2JD JD
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 11


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 21:
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là
các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của (O), AD cắt (O) tại M (M khác D).
a) Chứng minh AMHC nội tiếp.
b) Tia BM cắt AO tại N. Chứng minh ∆NMH vuông.
c) Chứng minh N là trung điểm của AH.

d) Gọi I và K lần lượt là các giao điểm của AO với (O) (I nằm giữa A và O).
1
1
1


Chứng minh:
.
AN AI AK
HD: b)AMHC nội tiếp suy ra NHM  MDO
D
mà MDO  MBH cùng chắn cung
B
MCnên NHM  MBH .
M
NBH NHM (g-g) suy ra
NMH  NHB  90o .
A
c) MAN  MCH  MBC
I
H
O
N
MNA
ANB
(g-g).
*
Từ đó tìm được AN2 = NM.NB (1)
Mà NH2 = NM.NB (2)
(1) và (2) cho ta AN = NH.

C
d)Dễ thấy AI + AK = 2AO (3)
mà AI.AK = AH.AO (4) (= AB2)
AI  AK
2

(3) và (4) suy ra
. Suy ra đpcm.
AI.AK
AH
Bài toán căn bản 22:
B
Cho đường tròn (O;R). Từ 1 điểm A
D
nằm ngoài đường tròn, OA = 2R.Vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là
K
M
2 tiếp điểm). M là điểm di động trên
cung nhỏ BC.Tiếp tuyến tại M của (O) A
O
cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
I
a) Tính góc DOE và chu vi ∆DAE
E
theo R.
b) BC cắt OD và OE lần lượt tại K và
C
I. Chứng minh OM, DI, và EK
đồng quy.

KI
1
c) Chứng tỏ SDOE= SKOI và tỉ số
không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC.
4
DE
HD: a) Khi AO = 2R cần nhớ ngay BOC  120o và chứng minh ABC đều.Dùng
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 12

K


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

1
tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D (và tại E) để tính DOE  BOC  60o

2
và chu vi ADE = AB + AC = 2R 3 .
b) EKOC nội tiếp(2 góc 60o cùng nhìn KE) suy ra EK  DO.
Tương tự DI  EO nên OM, DI, và EK đồng quy vì là ba đường cao của ODE.
c) KOIEOD (g-g) và dùng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông.
Bài toán căn bản 23:
Cho BC là một dây của (O) và A là một điểm tùy ý thuộc (O) (khác B và C). Qua
A vẽ các đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại I và K. Kẻ
AH vuông góc BC tại H. Chứng minh rằng:
a) AHI  AKH .
b) H thuộc đường thẳng chứa tia phân giác của góc IAK.
c) AH2 = AI.AK
d) AB cắt IE tại D, AC cắt HK tại E. Chứng minh DE // BC.
Xét cả hai trường hợp A thuộc cung nhỏ; cung lớn BC.
I
B

D

B

I
A

D
O

A

H

H
O

S

S

E
E

K
C

HD:
a và b) * B, I, A và H cùng thuộc 1 đường tròn.
* A, H, C và K cùng thuộc 1 đường tròn.
Suy ra AHI  AKH
c) AHIAHK (g-g) suy ra đpcm.
d) *ADHE nội tiếp để chứng minh có cặp góc
đồng vị bằng nhau.

C
K

Bài toán căn bản 24:
Cho M là điểm thuộc nửa đường tròn tâm C
O,đường kính AB = 2R . Vẽ 2 tia tiếp tuyến
với nửa đường tròn là Ax và By. Tiếp tuyến tại
M cắt Ax và By tại C và D. Chứng minh rằng:

A
a) CD = AC + BD.
b) Góc COD là góc vuông.

y

x

D

M

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

B

O

Trang 13


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH

HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
c) OM2 = AC.BD.
d) Tìm vị trí M trên nửa đường tròn để CD nhỏ nhất.
HD:
d) Cách 1: Vẽ AE // CD (E By)
- ACDE là hình bình hành.
CD = AE ≥ AB
Dấu = xảy ra khi E ≡ B  CD // AB
 MO AB tại O.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của CD.
OI là đường trung bình của hình thang ABDC
Nên CD = 2.IO
Mà IO ≥ R (do CD là tiếp tuyến của (O))
Vậy CD ≥ 2R.
Dấu = xảy ra khi I ≡ M  CD // AB
 MO AB tại O.
Cách 3: (dùng bất đẳng thức Cô-si)
CD = AC + BD ≥ CD  AC  BD  2 AC.BD
Mà AC.BD = R2 (câu c)
Nên CD ≥ 2R.
Dấu = xảy ra khi AC= BD  ABDC là hcn
CD // AB  MO AB tại O.

y

D

x

M
C

E

A

y

D

x

M

I

C

A

B

O
y

D

x

M
C

A

Bài toán căn bản 25:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường
x
kính AB = 2R. C là điểm cố định nằm
giữa A,O. M làđiểm tùy ý trên (O). D
Đường thẳng vuông góc với MC tại M
cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại D
và E. Chứng minh rằng:
a) ACMD, BCME là tứ giác nội tiếp.
b) DC  CE.
c) Tìm vị trí M sao cho SADEBnhỏ nhất.
HD:
b) ADMC nội tiếp.
A
 MAD  MCD  MBA
CMEB nội tiếp MCE  MBE
Do đó MCD  MCE  CBM  MBE  90o

B

O

O

B

y

M

E

C

B

O

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 14


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC

SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
c) Hình thang ADEC có đường cao không đổi nên SADEB nhỏ nhất khi AD + BE
nhỏ nhất.
Ta cần tìm AD.BE có là hằng số không để dùng bđt Cô-si
AD AC

 AD.BE  AC.BC không đổi.
ADC BCE (g-g)
BC BE
 AD  BE  2 AC.BC dấu = xảy ra khi AD = BE  ADEB là hình chữ nhật
hay MC AB.
Bài toán căn bản 26:
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và cát
tuyến ADE (D nằm giữa D, E). Vẽ đường kính BC cắt DE tại I. Gọi H là trung
điểm của DE.
a) Chứng tỏ ABHO là tứ giác nội tiếp.
DB BE

b)
.
DA BA
c) Vẽ dây EF song song AO cắt BC tại K. Chứng minh BHKE là tứ giác nội tiếp.
d) DC cắt AO tại P. Tia BP cắt (O) tại M. Chứng minh MElà đường kính của (O).
B
HD:
M
A

O

P

Q

H

D
G

E

K
C

c) Khai thác đường song song để thấy góc HEK giữ vai trò mấu chốt.
HEK  HAO  HBO suy ra đpcm.
d) Tia EK cắt CP tại G. Tia CQ cắt AO tại Q. Ta chứng minh HK là đường trung
bình của ΔEDG suy ra KE = KG. Dùng bài căn bản 2 ta chứng minh OP = OQ.
* ΔBOP = ΔCOQ (c-g-c) suy ra PB // CE.
F
M
Mà CE EB nên PB CE. Suy ra
E
ME là đường kính.
Bài toán căn bản 27:
Cho hai đường tròn (O,R) và (O;R’)
O
O'

tiếp xúc nhau ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến
A
chung ngoài EF (E  (O) ; F  (O’) ) .
Chứng minh rằng EAF và OMO’ là hai
tam giác vuông.
HD: Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 15


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
nhau.
Bài toán căn bản 28:
Cho hai đường tròn (O;R) và
N
A
I

(O’;R’) cắt nhau tại A và B. Vẽ
đường kính AOC và đường kính M
O
AO’D. Một đường thẳng xy qua A
O'
cắt hai đường tròn trên lần lượt tại
M và N sao cho A nằm giữa M,N.
a) Chứng minh C, B, D thẳng C
D
J B
hàng.
b) CMND là hình gì?Vìsao?
c) Chứng tỏ rằng M và N luôn luôn cách đều 1 điểm cố định.
d) Tìm vị trí đường thẳng xy sao cho MN lớn nhất.
e) Tìm vị trí đường thẳng xy sao cho CM + ND lớn nhất.
f) Chứng tỏ rằng trung điểm I của MN luôn luôn di động trên một đường cố định.
HD:
c) Gọi J là trung điểm của CD suy ra J cố định.
Chứng minh IJ là đường trung bình hình thang vuông để từ đó tìm ra được MJN
cân tại J. Như vậy M và N cách đều J.
d) Kẻ CK  CN.
MN = CK ≤ CD (hằng số)
MN max = CD khi d // CD.
e) IJ là đường trung bình hình thang.
Suy ra CM + ND = 2.IJ≤ AJ (hằng số)
Vậy (CM + ND)max = 2IJmax = 2AJ.
Dấu = xảy ra khi I ≡ A  d AJ tại A.
f) Góc vuông AIJ luôn nhìn AJ cố định nên I thuộc đường tròn đường kính AJ.
Bài toán căn bản 29:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B (OO’ > R>R’). Trên

nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm A kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn
(M (O) và N (O’). Biết BM cắt (O’) tại E nằm trong (O) và đường thẳng AB
cắt MN tại I.
a) Chứng minh MAN  MBN  180o .
b) Chứng minh I là trung điểm của MN.
c) Qua B vẽ đường thẳng (d) song song MN, nó cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D.
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của CD và EM.
Chứng minh AMEACD và A, B, P và Q cùng thuộc 1 đường tròn.
d) CM cắt DN tại S. Chứng minh SMAN là tứ giác nội tiếp.
e) Chứng minh PIB cân.
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 16


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
HD:
a) Dùng định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và 1 dây.
b) Dùng bài căn bản 11.
c) AMEACD (g-g) từ đó dùng bài căn
bản số 1 để có AEQADP (c-g-c) suy
ra được ABPQ nội tiếp.
d) * MCB và NDB cân.
* SMN=BMN (g-c-g)
* khai thác lại câu a.
e) * S, I và P thẳng hàng.
* khai thác câu d.

S

M

I
A

Q

C

O

N

O'

E
P

B

D

Bài toán căn bản 30:
Cho hai đường tròn (O;R) và
N
(O’;R’) cắt nhau tại A và B. Một
A
đường thẳng xy qua A cắt hai đường
tròn trên lần lượt tại M và N sao cho M
O'
A nằm giữa M, N. Chứng minh:
O
a) Góc MBN có số đo không đổi.
b) Tìm vị trí của cát tuyến xAy để
chu vi ∆MBN lớn nhất.
D
B
C
c) Tìm vị trí của cát tuyến xAy để
diện tích ∆MBN lớn nhất.
HD:
a) Do góc AMB và ANB không đổi nên góc MBN không đổi.
MB BN MN chuviMBN



b) MBN CAD (g-g) 

.
CA AD CD chuviCAD
MB BN
chuviMBN

 1 nên
 1 hay chuviMBN  chuviCAD (hằng)
Do
CA AD
chuviCAD
Vậy chu vi BMN lớn nhất khi BM và BN là đường kính của (O) và (O’) (khi đó
M,A, N thẳng hàng).
c) Cần nhớ khi hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số
đồng dạng.
Hãy tập vận dụng vào bài thi sau (bài chung TS chuyên toán Khánh Hòa 15-16):
Cho tam giác ABC vuông tại A (ABnhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ đường thẳng a bất kì qua D cắt đường tròn (B) tại
M và cắt đường tròn (C) tại N ( D nằm giữa M và N). Tiếp tuyến tại M của đường
tròn (B) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (C) cắt nhau tại E.
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 17


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS

TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
1) Chứng minh BC là tia phân giác của ABD
2) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: AD2 = 4BI.CI
3) Chứng minh bốn điểm A, M, E, N cùng thuộc một đường tròn.
4) Chứng minh rằng số đo MEN không phụ thuộc vị trí của đường thẳng a.
Bài toán căn bản 31:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy. AI cắt
đường tròn tại K.
Chứng minh rằng KB = KC = KI (nói cách khác
K là tâm đường tròn ngoại tiếp IBC).
HD:
B
AK là phân giác góc BAC nên
KB  KC  KB  KC
Dùng tính chất góc ngoài của tam giác (hoặc
góc có đỉnh ở trong đường tròn để chứng minh
tam giác BKI cân tại K. Suy ra KB = KI.

A

I
O
C

K

Bài toán căn bản 32:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia
phân giác góc BAC cắt BC tại I,cắt (O) tại
M.Vẽ đường kính MN. Các tia phân giác
của góc ABC và góc ACB cắt đường
thẳng AN tại P và Q.
Q
Chứng minhbốn điểm P,C,B,Q cùng nằm
trên 1 đường tròn.

P
N
A

O
B

HD:
MN là đường kính của (O)  AM AN
hay AP AI mà AI là phân giác trong của
góc BAC  AP là phân giác ngoài của góc BAC.
Mặt khác BP là phân giác trong của góc ABC
 P chính là tâm đường tròn bàng tiếp góc B của ABC.
 CP là phân giác ngoài của góc ACB.
mà CQ là phân giác trong của góc ACB  CP CQ (1).
Tương tự: BP BQ (2).
(1) và (2)  B,C,P,Q thuộc đường tròn đường kính PQ.

C

I
M

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 18


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 33:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn
(O), trên cung nhỏ BC lấy M. Trên tia MA lấy
D sao cho MD = MB. Chứng minh rằng:
a) Tam giác MBD đều.
b) MBC = DBA.

c) MA = MB + MC.
d) Tìm vị trí M để MA + MB + MC lớn nhất.
HD:
b) Chú ý góc ABD bằng góc CBM (cùng cộng
với DBC được 60o)
d) MA + MB + MC = 2MA ≤ 4R. Dấu = xảy
ra khi AM là đường kính.

A

O
D
B

C
M

Bài toán căn bản 34:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm
di động trên cung nhỏ AB ( M không trùng với các điểm A và B).
a) Chứng minh rằng MD là đường phân giác của góc BMC.
b) Cho AD = 2R. Tính diện tích tứ giác ABDC theo R.
c) Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC.
Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.
HD:
a) ABD = ACD (ch-cgv)
BAD  CAD  BD  DC  BMD  CMD
b) Tính SABD trước. SABDC = 2SABD.
A

c) Gọi I là giao điểm của AM và
DB.
Dùng góc có đỉnh ở trong đường
tròn để chứng minh MHA  MKA
I
Tứ giác AMHK nội tiếp
 HKA  HMA  90o
HK AD

M

H

K
O
C

B

 Chứng minh H là trực tâm của
IAD.
 IK  AD.

D

Từ đó suy ra I, H, K thẳng hàng.
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 19

CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 35:
F
Cho (O;R) và tiếp tuyến AB, AC, cát
tuyến ADE, tiếp tuyến EF, DF. I là
trung điểm của DE.
Ta cần chúý :
B
a) A,B,I, O, C thuộc đường tròn đường
E
kính AO.
I
(nếu câu hỏi là chứng minh BIOC
D
là tứ giác nội tiếp thì đó là người ta đã
A
giấu đi điểm thứ năm (điểm A)

O
H
2
2
b) AB = AC = AD.AE = AH.AO
Suy ra DEOH là tứ giác nội tiếp.
c) OH.OA = OI.OF
C
d) 5 điểm F, D, H, O, E thuộc
đường tròn đường kính FO.
( câu hỏi F, B và C thẳng hàng cũng do đây mà ra)
HD:
b) Bài căn bản 18.
c) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
d)DOEF, DEOH là hai tứ giác nội tiếp có 3 đỉnh chung nên hai đường tròn ngoại
tiếp trùng nhau. Suy ra 5 điểm F, D, H, O, E thuộc đường tròn đường kính FO.
Từ bài này nếu thay đổi chút xíu ta sẽ có những bài toán khai thác đặc điểm trên,
chẳng hạn bài toán sau:
Cho (O;R) và tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến ADE, I là trung điểm của DE. BC cắt
OI tại F. Chứng minh FE là tiếp tuyến của (O).
A

Bài toán căn bản 36:
Cho △ABC nhọn có AB > AC, hai đường
cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BCEF nội tiếp đường tròn
(O) và AEHF nội tiếp (I). Xác định I.
b) Gọi D là giao điểm AH và BC, chứng
minh OE là tiếp tuyến (I).
c) Chứng minh 5 điểm O, D, E, I, F cùng

thuộc một đường tròn.
d) Gọi S, T là giao điểm của tia AD và đường B
tròn (O)(T thuộc cung EF) Chứng minh
TA AD

TH SD .
HD:
a) Bài căn bản 18.

I

F

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

T
E
H

O

D

S

Trang 20

C

CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
b) * IEH  IHE  DHB
* BEO  OBE
IEO  IEH  BOE  DHB  OBE  90o
Suy ra OE là tiếp tuyến của (I).
c) * IEOF và IEDO là hai tứ giác nội tiếp có 3 đỉnh chung nên hai đường tròn
ngoại tiếp trùng nhau. Suy ra 5 điểm O, D, E, I, F thuộc đường tròn đường kính
IO.
TA AD

d) Chú ý SD = DT nên điều cần chứng minh tương đương với
.
TH DT
TA AD
TA
AD
TA AD






TH SD
TA  TH SD  AD
AH SA
TA AD

Mà DHEC và TECS nội tiếp nên AT.AS = AE.AC = AH.AD. Suy ra
.
AH SA
Bài toán căn bản 37:
Cho ∆ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ ba đường cao
AD, BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại K. AK cắt (O) tại I. CI cắt DE tại J.
Chứng minh:
a) BFEC và DBIJ các tứ giác nội tiếp.
b) KIFB là tứ giác nội tiếp.
c) KB.KC = KF.KE = KI.KA.
d) Sáu điểm A, I, F, H, J, E cùng nằm trên một đường tròn.
HD:
a) * ABDE nội tiếp  BAC  EDC
A
BIC  BAC (gnt cùng chắn cung BC)
Nên BIC  EDC BDIJ nội tiếp.
E
b) KIB  ACB (ACBI nội tiếp).
I
KFB  ACB (BFEC nội tiếp).
O

F H
Nên KIB  KFB KIFB nội tiếp.
J
c) * KB.KC = KF.KE(BFEC nội tiếp).
* KI.KA = KB.KC(ACBI nội tiếp).
B
D
d) * KF.KE = KI.KAAIFE nội tiếp. K
* AFHE nội tiếp
* AIJE nội tiếp
( AIC  ABC  DEC )
Suy ra 6 điểm A, I, F, H, J, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 21

C


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH

2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 38:
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD,
BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại S. AS cắt (O) tại I.
a) SF.SE = SB.SC = SI.SA.
b) AEHI là tứ giác nội tiếp.
c) Vẽ đường kính AJ. Chứng minhI, H, J thẳng hàng.
IB HB
=
d)
IC HC
A
I
E
F
H

S

B

O

D

C

L

J
HD:
b) *SF.SE = SI.SA
* ΔSIF ΔSEA (c-g-c)
* AIFE nội tiếp
* AFHE nội tiếp.
Suy ra 5 điểm A, I, F, H, E thuộc cùng 1 đường tròn.
Do đó AEHI là tứ giác nội tiếp.
c) *JI  AI
* HI  AI (AEHI là tứ giác nội tiếp có góc AEH 90o)
Suy ra I, H, J thẳng hàng.
d) * IBC  IJC
1
* BIC  sñ BLC ;
2
1
1
1
* JCH  HCB  BCJ  BAL  BCJ  sñ BL  sñ LC  sñ BLC
2
2
2

IB IC
=
CJ CH
IB IC
IB BH
=


=
Mà CJ = BH nên
BH CH
IC CH

*ΔIBCΔCJH (g-g) 

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 22


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 39:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường
tròn (O;R). Các đường cao AD, BM, CN
cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm AH.
AD cắt (O) tại L (khác A). Gọi I là giao

điểm của AH và MN.
a) Chứng minh ILCM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BKML là tứ giác nội
tiếp.
c) I là trực tâm tam giác BKC.

A

K
I

N

M

O

H
B

C

D

HD:
a) * AMN  ABC  ALC
L
ILCM nội tiếp.
b) ANHM nội tiếp  DKM  2DAC
MBC  DAC (cùng phụ góc ACB) (1)

MBC  DBL (cần chứng minh ΔBHD cân)
Suy ra MBL  2DAC (2)
(1) và (2) suy ra MBL  MKL
c) BKML nội tiếp  KBM  KLM (3)
LKMC nội tiếp  KCM  KLM (4)
(3) và (4) suy ra KBM  KCM  BKMC nội tiếp
Từ đó chứng minh được CI  BK và I là trực tâm KBC.
Bài toán căn bản 40:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường
tròn (O;R). Lấy M là điểm tùy ý trên cung
nhỏ BC. Kẻ MH, MI và MK lần lượt
vuông góc với AB, BC và CA. Chứng
minh H, I và K thẳng hàng. (Đường thẳng
Simson)
 Ta chứng minh HIM  MIK  180o
B
(khai thác ba tứ giác nội tiếp BHMI;
ABCD và MIKC)
H

A

O
K
I
C

M
ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 23


CH CHUYÊN
TOÁNHỌC
THỰCCHO
TẾ CHO
HỌC
SINHTHCS
TRUNG HỌC CƠ SỞ
CHUYÊN
ĐỀĐỀHÌNH
HỌC
SINH
2017
UYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán căn bản 41:
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AD giao BC tại F, AB giao
CD tại E, AC giao BD tại I. Đường tròn ngoại tiếp AID cắt đường tròn ngoại
tiếp BIC tại H (khác I). Chứng minh:
a) Tứ giác DOHC nội tiếp và AOHB .
b) O, H và E thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác OEF.
HD:
F
a) Xét tứ giác DOHC,ta có:
DOC  DAC  DBC
DHC  DAC  DBC (AIHD
và BCHI nội tiếp).
A

Tương tự ta cũng suy ra tứ giác AOHB
B
nội tiếp.
I
b) Gọi H’ là giao điểm của OE với
O H
đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHO.
C
 EA.EB = EO.EH’
x
D
Mà EA.EB = EC.ED
Nên EC.ED = EO.EH’
 CDOH’ nội tiếp.
 Suy ra H’ là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác ABOH và
CDOH.
Vậy H’ ≡ H.
 O,H,E thẳng hàng.
c) Ta có: IHO  IHD  OHD
1
Mà IHD  180o  DAC  180o  DOC (do AIHI nội tiếp)
2
Còn có OHD  OCD (do OHCD nội tiếp)
1
1
Nên IHO  180o  DOC  OCD  180o  DOC  OCD
2
2
o
360  DOC  2.OCD

IHO 
 90o (OCD cân)
2
IF OE
Tương tự ta có IE OF
Suy ra I là trực tâm của EOF.

ThầyNGHIÊM XUÂN HUY VÀ NHÓM TOÁN 9

Trang 24

E