Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ KIỀU

LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Người cam đoan

Nguyễn Thị Kiều


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài............................................ 2
7. Cấu trúc luận văn............................................................................... 3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT............................................................ 4
1.1. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP ........................................ 4
1.1.1. Khái niệm tập hợp......................................................................... 4
1.1.3. Lực lượng tập hợp......................................................................... 5
1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP .............................................................................. 5
1.2.1. Cấu hình tổ hợp ............................................................................ 5
1.2.2. Các dạng bài toán tổ hợp ............................................................... 6
1.3. NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN .................................. 6
1.2.1. Nguyên lý nhân............................................................................. 6
1.2.2. Nguyên lý cộng ............................................................................. 8
1.4. CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN ................................................... 10
1.4.1. Chỉnh hợp lặp ............................................................................. 10
1.4.2. Chỉnh hợp không lặp ................................................................... 11
1.4.3. Hoán vị ....................................................................................... 13
1.4.4. Tổ hợp ........................................................................................ 15


1.5. CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO ............................................. 17
1.5.1. Hoán vị lặp ................................................................................. 17
1.5.2. Tổ hợp lặp................................................................................... 19
1.5.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp ............................................................ 21
1.5.4. Phân hoạch không thứ tự............................................................. 23
1.6. NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ ....................................................................... 24

1.6.1. Công thức bao hàm và loại trừ .................................................... 24
1.6.2. Công thức Sieve .......................................................................... 25
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ ................................................ 28
2.1. SỐ SQUARE-FREE ............................................................................. 28
2.2. HÀM TÍNH NHÂN .............................................................................. 28
2.3. HÀM EULER (n) .............................................................................. 32
2.4. HÀM MÖBIUS (n) ........................................................................... 35
2.5. HÀM RIEMANN ZETA  (s) .............................................................. 41
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ .......................... 44
3.1. BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG KHÔNG CHIA HẾT
CHO TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG ............................................................. 44
3.2. BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN TỐ NHỎ HƠN MỘT SỐ
NGUYÊN DƯƠNG NÀO ĐÓ .................................................................... 47
3.3. BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN SQUARE-FREE KHÔNG
VƯỢT QUÁ SỐ NGUYÊN DƯƠNG N CHO TRƯỚC.............................. 53
3.4. BÀI TOÁN ĐẾM CÁC ƯỚC VÀ TÍNH TỔNG CÁC ƯỚC CỦA MỘT
SỐ NGUYÊN DƯƠNG CHO TRƯỚC ....................................................... 54
3.4.1. Đếm các ước nguyên dương của một số nguyên dương .............. 54
3.4.2. Tính tổng các ước nguyên dương của một số nguyên dương ....... 56


3.5. BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỪ TRÒN CÓ ĐỘ DÀI N ĐƯỢC LẤY TỪ M
KÍ TỰ CHO TRƯỚC .................................................................................. 61
3.6. TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA MỘT LŨY THỪA CHO MỘT SỐ65
3.7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ BẬC NHẤT MỘT ẨN

ax  b (mod m) .......................................................................................... 69
KẾT LUẬN ................................................................................................ 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................... 72
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính
chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn
các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.
Toán học tổ hợp được hình thành vào đầu thế kỷ XVII và phát triển
mạnh cùng với sự bùng nổ của công nghệ thông tin, đặc biệt là các công trình
nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng như Pascal, Fermat, Leibnitz,
Euler,…
Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng,
hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nó có nội
dung phong phú và được ứng dụng nhiều trong đời sống, đặc biệt là từ khi tin
học ra đời.
Lý thuyết tổ hợp số là một nội dung hay của lý thuyết tổ hợp, nó giải
quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc
cách chứng minh.
Tổ hợp đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình học phổ thông, đại
học, sau đại học và nó là một bộ môn tương đối khó đối với học sinh, sinh
viên vì khái niệm trừu tượng và nhiều dạng toán rất khó nhưng thời lượng
dành cho môn này còn hạn chế nhất là bậc trung học phổ thông.
Trong nhiều kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi
Olympic sinh viên giữa các trường đại học, cao đẳng các bài toán liên quan
đến tổ hợp hay được đề cập và thường thuộc loại rất khó nên học sinh đa số
còn lúng túng khi giải quyết những bài toán loại này.
Chính vì các lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “Lý thuyết tổ

2

hợp số và ứng dụng” để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho công tác
giảng dạy của tôi nói chung và luyện thi học sinh giỏi nói riêng sau này.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số
để giải các bài toán về số tổ hợp.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết tổ hợp số.
- Phạm vi nghiên cứu là số tổ hợp và ứng dụng của nó.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về lý thuyết tổ hợp, đặc biệt là lý thuyết tổ hợp số
- Tìm hiểu và xây dựng các ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua việc siêu tầm các loại tài liệu như
sách, báo, tạp chí, mạng internet, thầy cô, bạn bè. Trình bày một cách có hệ
thống các nội dung lý thuyết đã nghiên cứu và tìm hiểu. Mỗi nội dung ta phải
chứng minh cụ thể, rõ ràng và lấy ví dụ minh họa xác thực, dễ hiểu.
- Phân loại và hệ thống các dạng toán. Tìm ra các phương pháp đặc
trưng để giải mỗi dạng toán cụ thể.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số vào giải
toán tổ hợp phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.
- Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cô trong hội
đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên,
học sinh phổ thông và những ai quan tâm đến lĩnh vực này.


3

- Thời gian nghiên cứu không nhiều nên có thể còn một số nội dung
hay mà luận văn chưa đề cập đến. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung
thường xuyên để nội dung luận văn được phong phú, có thể dùng làm tài liệu
ôn thi học sinh giỏi ở bậc trung học phổ thông.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày trong 3 chương
 Mở đầu
 Chương 1 – Cơ sở lý thuyết
 Chương 2 – Lý thuyết tổ hợp số
 Chương 3 – Ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số
 Kết luận


4

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1.1.1. Khái niệm tập hợp
Định nghĩa 1.1.
Tập hợp được coi là xác định nếu ta có thể chỉ ra được tất cả các phần
tử của nó.
Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa A, B, C,…
Các phần tử của tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái thường
a, b, c,…
Để chỉ x là phần tử của tập X ta viết
x  X ( đọc: x thuộc X)

Để chỉ x không phải là phần tử của tập X ta viết

x  X ( đọc: x không thuộc X)
Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng và kí hiệu là 
Mỗi phần tử của tập B đều thuộc tập A thì tập B được gọi là tập con
của tập A và được kí hiệu là B  A hoặc B  A .
Các phần tử của một tập hợp được chỉ ra bằng một trong hai cách sau
 Liệt kê chúng
 Chỉ ra tính chất đặc trưng của chúng
1.1.2. Các phép toán tập hợp
a. Phép hiệu: Hiệu của A và B, ký hiệu A \ B là tập


5

A \ B  x | x  A & x  B
b. Phần bù: Cho tập X và A  X . Phần bù của A trong X là tập

AX  X \ A
c. Phép hợp: Hợp của A và B, kí hiệu A  B là tập
A  B  x | x  A hoÆc x  B

d. Phép giao: Giao của A và B, ký hiệu A  B là tập

A  B  x | x  A & x  B
1.1.3. Lực lượng tập hợp
Số phần tử của tập A, ký hiệu là A hoặc card(A), gọi là lực lượng của
tập A. Nếu A   , ta nói A là tập hữu hạn. Nếu A   , ta nói A là tập vô
hạn.
1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP
Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một

hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó.
Mỗi cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp.
1.2.1. Cấu hình tổ hợp
Cho các tập hợp A1,…, An. Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của
A1,…, An được mô tả bằng các qui tắc sắp xếp và R1,…, Rm là các điều kiện
ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó, mỗi sắp xếp các phần tử của
A1,…, An thỏa mãn điều kiện R1,…, Rm gọi là một cấu hình tổ hợp trên các
tập A1,…, An.


6

1.2.2. Các dạng bài toán tổ hợp
Có bốn dạng bài toán tổ hợp cơ bản: Bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài
toán liệt kê và bài toán tối ưu.
1.3. NGUYÊN LÝ NHÂN VÀ NGUYÊN LÝ CỘNG
1.2.1. Nguyên lý nhân
Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, trong đó
bước 1 có thể thực hiện n1 cách,
bước 2 có thể thực hiện n2 cách,
…,
bước k có thể thực hiện nk cách.
Khi đó số cấu hình tổ hợp là
n1.n2…nk
Ví dụ 1.1. Từ A đến B có 4 đường đi, từ B đến C có 6 đường đi
i. Có bao nhiêu đường đi từ A đến C
ii. Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A
iii. Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A nhưng không đi
đường nào đó quá một lần.
Giải

i. Có bao nhiêu đường đi từ A đến C
Có 4 cách chọn đường đi từ A đến B
Có 6 cách chọn đường đi từ B đến C
Vậy theo nguyên lý nhân, số đường đi từ A đến C là


7

4  6  24 cách chọn.
ii. Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A
Có 4 cách chọn đường đi từ A đến B
Có 6 cách chọn đường đi từ B đến C
Có 6 cách chọn đường đi từ C trở lại B
Có 4 cách chọn đường đi từ B trở lại A
Vậy theo nguyên lý nhân, số đường đi từ A đến C là

4  6  6  4  576 cách chọn.
iii. Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A nhưng không đi đường nào
đó quá một lần
Có 4 cách chọn đường đi từ A đến B
Có 6 cách chọn đường đi từ B đến C
Có 5 cách chọn đường đi từ C trở lại B vì không đi lại đường cũ
Có 3 cách chọn đường đi từ B trở lại A vì không đi lại đường cũ
Vậy theo nguyên lý nhân, số đường đi từ A đến C là

4  6  5  3  360 cách chọn.
Ví dụ 1.2. Có bao nhiêu cách chọn trang phục cho ca sĩ Đàm Vĩnh Hưng gồm
áo, quần, giày và nịt trong đêm trình diễn biết rằng có 30 kiểu áo, 21 kiểu
quần, 15 kiểu giày và 8 kiểu nịt.
Giải

Có 30 cách chọn áo
Có 21 cách chọn quần


8

Có 15 cách chọn giày
Có 8 cách chọn nịt
Theo nguyên lí nhân, tổng số cách chọn trang phục cho ca sĩ trên là

30  21 15  8  75.600 cách chọn
1.2.2. Nguyên lý cộng
Giả sử X1 ,X 2 ,...,X n  là một phân hoạch của tập S. Khi đó:

S  X1  X 2  ...  X n
Ví dụ 1.3. Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
Giải
Gọi số có 5 chữ số là a1a 2a 3a 4a 5
Số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau nên a5 phải là 0, 2,4,6.
+ Nếu a5 = 0 thì còn lại 6 số 1, 2,3,4,5,6
Có 6 cách chọn a1
Có 5 cách chọn a2
Có 4 cách chọn a3
Có 3 cách chọn a4
Vậy theo nguyên lý nhân, tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà
tận cùng bằng 0 là

6  5  4  3  360 số
+ Nếu a 5  0 thì ta chọn a 5 trước, có 3 cách chọn a 5

9

có 5 cách chọn a1
có 5 cách chọn a2
có 4 cách chọn a3
có 3 cách chọn a4
Theo nguyên lý nhân, tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà tận
cùng bằng 2,4,6 là

5  5  4  3  3  900 số
Vậy theo nguyên lý cộng, tổng các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau
là

360  900  1260 số
Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số sao cho không có chữ số
nào lặp lại đúng ba lần.
Giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là a1a 2a 3a 4
Tổng các số có bốn chữ số được tạo thành (không cần chú ý đến điều
kiện)

a 1 có 9 cách chọn ( a1  0 )
a 2 có 10 cách chọn
a3 có 10 cách chọn
a 4 có 10 cách chọn
Theo nguyên lý nhân, ta có 9  10  10  10  9.000 số có bốn chữ số.
Số có bốn chữ số và có chữ số lặp lại đúng ba lần.

10

Trường hợp 1: a1  a 2  a 3

a1a 2a 3 được coi như một phần tử, có 9 cách chọn phần tử này (vì

a1  0 )
Có 9 cách chọn a 4 (vì a 4  a1 )
Vậy có 9  9  81 cách chọn.
Tương tự cho hai trường hợp a1  a 3  a 4 và a 2  a 3  a 4 , mỗi trường
hợp có 81 cách chọn.
Các số có bốn chữ số trong ba trường hợp trên là khác nhau, nên có tất
cả 81  81  81  243 số có chữ số lặp lại đúng ba lần.
Vậy số tự nhiên gồm bốn chữ số mà không có chữ số nào lặp lại đúng
ba lần là 9000  243  8757 số.
1.4. CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN
1.4.1. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.2. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ
có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể
được lặp lại.
Định lí 1.1. Nếu gọi số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là AR(n,k) thì
AR(n,k) = nk
Chứng minh
Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau được xem như là
một phần tử của tích Đề-các Xk, với X là tập hợp n phần tử.
k

Mà X  n k

11

Nên AR(n,k) = nk
Ví dụ 1.5. Có bao nhiêu dãy gồm 4 chữ cái được lấy từ 26 chữ cái trong bảng
chữ cái.
Giải
Mỗi cách chọn 4 chữ cái là một chỉnh hợp lặp chập 4 của 26 phần tử.
Vậy có AR  26,4   264  456.976 dãy.
Ví dụ 1.6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn
gồm bốn chữ số.
Giải
Trong bốn số 1, 2, 3, 5 chỉ có duy nhất số 2 là số chẵn. Do đó, gọi số có
bốn chữ số là a1a 2a 3a 4 , số a1a 2a 3a 4 là số chẵn khi và chỉ khi a 4  2 .
Mặt khác, a1 ,a 2 ,a 3 có thể bằng nhau nên mỗi cách chọn a1 ,a 2 ,a 3 là một
chỉnh hợp lặp chập 3 của bốn phần tử 1, 2, 3, 5. Vậy có A(3, 4)  43  64
cách.
1.4.2. Chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa 1.3. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là
một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần
không được lặp lại.
Định lí 1.2. Nếu gọi số các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là
A(n,k) thì
A  n, k  

n!
(n  k)!


12

Chứng minh
Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có
thứ tự gồm k thành phần không lặp a 1a 2 ...a k được xây dựng qua k bước kế
tiếp như sau:
Chọn thành phần a1

: có n khả năng, còn lại n – 1 phần tử,

Chọn thành phần a2

: có n – 1 khả năng, còn lại n – 2 phần tử,

…
Chọn thành phần a2

: có n – k + 1 khả năng, còn lại n – k phần tử.

Theo nguyên lí nhân, số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n
phần tử khác nhau là:
A  n, k   n.(n  1)...(n  k  1) 

n!
(n  k)!

Ví dụ 1.7. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Giải
Mỗi cách chọn 3 nam trong 10 nam là một chỉnh hợp không lặp chập 3
của 10 phần tử. Vậy có A(10,3) 

10!
 10  9  8  720 cách.
(10  3)!

Mỗi cách chọn 3 nữ trong 5 nữ là một chỉnh hợp không lặp chập 3 của
5 phần tử. Vậy có A(5,3) 

5!
 5  4  3  60 cách.
(5  3)!

Theo nguyên lý nhân, tổng số cách chọn 3 cặp là:
A(10,3).A(5,3)  720  60  43.200 cách

Ví dụ 1.8. Với các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm


13

4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5.
Giải
Gọi số có 4 chữ số là a 1a 2a 3a 4
Nếu a1  5 thì mỗi cách chọn 3 số còn lại là một chỉnh hợp không lặp
chập 3 của 6 phần tử. Vậy có A(6,3) 

6!
 120 số.
(6  3)!

Nếu a 2  5 thì mỗi cách chọn 3 số còn lại là một chỉnh hợp không lặp
chập 3 của 6 phần tử hay A(6,3) , nhưng loại trừ các số mà có a1  0 .
Các số có 4 chữ số mà có a1  0, a 2  5 là một chỉnh hợp không lặp
chập 2 của 5 phần tử hay A(5,2) .
Vậy có A(6,3)  A(5,2)  120  20  100 số.
Tương tự cho các trường hợp a 3  5, a 4  5 .
Vậy số các số thỏa mãn điều kiện bài toán là

120  3  100  420 số.
1.4.3. Hoán vị
Định nghĩa 1.4. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp các
phần tử đó.
Định lí 1.3. Nếu gọi số tất cả các hoán vị của n phần tử là P(n) thì

P(n)  n!
Chứng minh
Một hoán vị của n phần tử có thể xem là một trường hợp riêng của
chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử với n = k.


14

Vậy số hoán vị của n phần tử khác nhau là:

P(n)  n.(n  1)...2.1  n!
Ví dụ 1.9. Mười học sinh cùng ngồi trên một hàng ghế, chơi trò đổi chỗ. Cho
rằng mỗi lần đổi chỗ mất hết 1 phút. Hỏi thời gian họ đổi chỗ hết cho nhau là
bao nhiêu?
Giải
Mỗi lần đổi chỗ là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy tổng số lần đổi chỗ

là

P(10)  10!  3.628.800 lần.
Vậy thời gian các học sinh đổi chỗ cho nhau là 3.628.800 phút hay
2.520 giờ hay gần 7 năm.
Ví dụ 1.10. Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước: Việt Nam 6 người,
Lào 3 người, Campuchia 2 người, Thái Lan 3 người và Trung Quốc 4 người.
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các phái đoàn sao cho người cùng quốc
tịch thì ngồi cùng nhau.
Giải
Có thể mời một phái đoàn nào đó ngồi vào chỗ trước, sau đó xếp bốn
phái đoàn còn lại cùng ngồi vào bàn. Vậy có, 4!  24 cách xếp các phái đoàn
ngồi theo cùng quốc gia của mình.
trong đó có

6! cách xếp chỗ ngồi cho người Việt Nam

3! cách xếp chỗ ngồi cho người Lào
2! cách xếp chỗ ngồi cho người Campuchia


15

3! cách xếp chỗ ngồi cho người Thái Lan
4! cách xếp chỗ ngồi cho người Trung Quốc
Vậy có 24.6!3!2!3!4!  29.859.840 .
1.4.4. Tổ hợp
Định nghĩa 1.5. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không
kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Hay một tổ
hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử lấy từ n phần

tử đã cho.
Định lí 1.4. Nếu gọi số tổ hợp chập k của n phần tử là C(n,k) thì
C  n, k  

n!
k!(n  k)!

Chứng minh
Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử
từ n phần tử đã cho.
Do đó:
A(n;k)  C(n;k).k!

Suy ra C  n, k  

n!
k!(n  k)!

Ví dụ 1.11. Có bao nhiêu đường chéo trong đa giác lồi n cạnh.
Giải
Nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác ta được đường chéo của đa
giác.
Nối hai đỉnh kề nhau ta được một cạnh của đa giác.


16

Mỗi cách nối bất kì hai đỉnh của đa giác là một tổ hợp chập 2 của n
phần tử. Vậy có
C(n, 2) 

n!
n  (n  1)

2! (n  2)!
2

Vậy số đường chéo trong đa giác lồi n cạnh là:
n  (n  1)
n  (n  3)
đường.
n
2
2

Ví dụ 1.12. Cho 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập. Người
ta cấu tạo đề thi từ các câu hỏi đó. Biết rằng mỗi đề thi gồm 3 câu, trong đó
nhất thiết phải có 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập. Hỏi có bao nhiêu khả năng
cấu tạo đề thi?
Giải
Trường hợp 1: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập
Mỗi cách chọn 2 câu lí thuyết là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử hay
C(4,2)

Mỗi cách chọn 1 câu bài tập là một tổ hợp chập 1 của 6 phần tử hay
C(6,1)

Theo nguyên lý nhân, tổng số cách chọn là:
C(4,2)C(6,1)  36 đề

Trường hợp 2: Đề thi gồm 1 câu lí thuyết và 2 câu bài tập
Mỗi cách chọn 1 câu lí thuyết là một tổ hợp chập 1 của 4 phần tử hay

C(4,1)
Mỗi cách chọn 2 câu bài tập là một tổ hợp chập 2 của 6 phần tử hay

C(6,2)


17

Theo nguyên lý nhân, tổng số cách chọn là:
C(4,1)C(6,2)  60 đề

Mỗi cách cấu tạo đề thi trong hai trường hợp là khác nhau nên theo
nguyên lý cộng, tổng số đề thi được tạo ra là

36  60  96 đề.
1.5. CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO
1.5.1. Hoán vị lặp
Định nghĩa 1.6. Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định lại
một số lần lặp lại cho trước
Định lí 1.5. Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau, trong đó phần tử thứ nhất
lặp n1 lần, phần tử thứ hai lặp n 2 lần, …, phần tử thứ k lặp lại n k lần là

P(n;n 1 ,n 2 ,...,n k ) 

n!
,
n1 !.n 2 !...n k !

trong đó

n  n1  n 2  ...  n k .
Chứng minh
Cách xếp chỗ cho n1 phần tử thứ nhất là: C(n; n1), còn lại n  n1 chỗ,
Cách xếp chỗ cho n 2 phần tử thứ hai là: C( n  n1 ; n2), còn lại

n  n1  n 2 chỗ,
…
Cách xếp chỗ cho n k phần tử thứ k là :
còn lại n  n1  n 2  ...  n k chỗ,

C( n  n1  n 2  ...  n k 1 ;

nk),


18

Theo nguyên lý nhân, số tất cả các hoán vị lặp của k phần tử khác nhau
là

P(n;n1 ,n 2 ,...,n k )  C(n;n 1 )C(n  n1;n 2 )...C(n  n1  ...  n k 1;n k )


n!
(n  n 1 )
(n  n1  ...  n k 1 )
...

n1 !.(n  n 1 )! n 2 !.(n  n1  n 2 )!
n k !.0!



n!
n1 !.n 2 !...n k !

Ví dụ 1.13. Có 10 chiếc điện thoại giống nhau, trong đó có 4 chiếc điện thoại
màu đỏ, 3 chiếc điện thoại màu trắng và 3 chiếc điện thoại màu xanh được lắp
vào 12 phòng. Hãy đếm số phương án lắp các điện thoại.
Giải
10 chiếc điện thoại lắp vào 12 phòng, vậy có hai phòng không có điện
thoại. Do đó, khi lắp 10 chiếc điện thoại vào 10 phòng thì bao gồm 4 loại: 4
chiếc điện thoại màu đỏ, 3 chiếc điện thoại màu trắng, 3 chiếc điện thoại màu
xanh và 2 phòng không có điện thoại. Như vậy, mỗi phương án lắp điện thoại
là một hoán vị lặp của bốn phần tử, trong đó
phần tử thứ nhất lặp lại 4 lần
phần tử thứ hai lặp lại 3 lần
phần tử thứ ba lặp lại 3 lần
phần tử thứ bốn lặp lại 2 lần.
Vậy các phương án lắp điện thoại là

P(12;4,3,3,2) 

12!
 554.400 cách lắp.
4!3!3!2!

Ví dụ 1.14. Một lớp học có 20 sinh viên. Nhà trường chia các sinh viên trên

vào 4 kí túc xá khác nhau, trong đó 3 sinh viên vào kí túc xá đầu tiên, 5 sinh


19

viên vào kí túc xá thứ hai, 4 sinh viên vào kí túc xá thứ ba và các sinh viên
còn lại vào kí túc xá thứ tư. Có bao nhiêu phương án phân chia như vậy.
Giải
20 sinh viên chia vào 4 kí túc xá khác nhau, có 3 sinh viên vào kí túc xá
đầu tiên, 5 sinh viên vào kí túc xá thứ hai, 4 sinh viên vào kí túc xá thứ ba và
8 sinh viên còn lại vào kí túc xá thứ tư. Do đó mỗi cách chia là một hoán vị
lặp của bốn phần tử, trong đó
phần tử thứ nhất lặp lại 3 lần
phần tử thứ hai lặp lại 5 lần
phần tử thứ ba lặp lại 4 lần
phần tử thứ bốn lặp lại 8 lần.
Vậy số cách chia là

P(20;3,5,4,8) 

20!
 3.491.888.400 cách.
3!5!4!8!

Hệ quả 1.1. Giả sử tập S có n phần tử, trong đó có n1 phần tử kiểu 1, n 2 phần
tử kiểu 2,…, n k phần tử kiểu k. Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập hợp S
là

P(n;n 1 ,n 2 ,...,n k ) 

n!
n1 !.n 2 !...n k !

1.5.2. Tổ hợp lặp
Định nghĩa 1.7. Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhau là một nhóm
không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các
phần tử có thể lặp lại.
Định lí 1.6. Nếu X có n phần tử khác nhau và gọi CR(n, k) là số tổ hợp lặp


20

chập k từ n phần tử của X thì

CR(n,k)  C(k  n  1,n  1)  C(k  n  1,k)
Chứng minh
Mỗi tổ hợp lặp chập k từ n phần tử có thể biểu diễn bằng một dãy gồm
(n – 1) dấu gạch đứng và k ngôi sao. Trong đó k ngôi sao chỉ k phần tử được
chọn và (n – 1) dấu gạch đứng chỉ phân cách giữa các loại sách với nhau.

* *

|

*

|

* … |

*

Như vậy, có k  (n  1)  n  k  1 chỗ trống để xếp k ngôi sao và (n –
1) dấu gạch đứng.
Do đó, một tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một cách xếp k ngôi sao
vào n  k  1 chỗ trống hay một cách xếp (n – 1) dấu gạch đứng vào n  k  1
chỗ trống.
Mỗi cách xếp k ngôi sao vào n  k  1 chỗ trống là một tổ hợp chập k
của n  k  1 phần tử. Vậy có C(k  n  1,k)
Mỗi cách xếp (n – 1) dấu gạch đứng vào n  k  1 chỗ trống là một tổ
hợp chập (n – 1) của n  k  1 phần tử. Vậy có C(k  n  1,n  1)
Tức là, CR(n,k)  C(k  n  1,n  1)  C(k  n  1,k)
Ví dụ 1.15. Trong két tiền có các loại 1 nghìn, 2 nghìn, 5 nghìn, 10 nghìn, 20
nghìn, 50 nghìn và 100 nghìn đồng, mỗi loại có ít nhất 5 tờ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn 5 tờ giấy bạc.
Giải
Mỗi tờ giấy bạc cùng loại là như nhau và thứ tự lấy các tờ giấy bạc là