Bài tập Dao động điều hòa

GV : Trần Thanh Khê - Bài tập Dao động cơ học - THPT Ngô Quyền.
Nguyễn Thò Thu Thủy Niên học: 2008 - 2009
DAO ĐỘNG CƠ HỌC
1) A. Một chất điểm dao động điều hòa (dđđh) trên trục x'x, có phương trình :
x = 2cos(5πt -
4
π
) (cm ; s)
a) Xác định biên độ, chu kì, tần số, pha ban đầu và chiều dài quỹ đạo của dao động.
b) Tính pha của dao động, li độ, vận tốc, gia tốc ở thời điểm t =
5
1
s.
c) Tính vận tốc của chất điểm khi nó qua vị trí có li độ x = -1cm.
ĐS : a) A = 2cm ; T = 0,4s ; f = 2,5Hz ; ϕ =
4
π
; L = 2A = 4cm.
b) x = -
2
cm ; v ≈ -22,2cm/s ; a ≈ 349cm/s
2
; c) v ≈ ± 27cm/s.
2) A. Một chất điểm dđđh theo phương trình : x = 2,5cos(10πt -
2
π
) (cm).
a) Xác định li độ và vận tốc của vật lúc t =
30
1
s.

b) Chất điểm đi qua vị trí x = 1,25cm vào những thời điểm nào ? Phân biệt những lần đi qua theo chiều
dương và theo chiều âm.
c) Tìm tốc độ trung bình của chất điểm trong một chu kì dao động.
ĐS : a) x = 1,25
3
cm, v = 12,5πcm/s ; b) t =
560
1 K
+
với K = 0,1,2,... qua theo chiều dương ;
t =
512
1 K
+
với K = 0,1,2,... qua theo chiều âm ; c)
T
A
t
S
V
4
==
= 50cm/s.
3) A. Một chất điểm dđđh có tần số góc ω = 4rad/s. Vào thời điểm nào đó chất điểm có li độ x
1
= - 6cm và
vận tốc v
1
= 32cm/s.
a) Tính biên độ của dao động và vận tốc cực đại của chất điểm

b) Hãy xác định li độ x và vận tốc v của chất điểm sau thời điểm trên là
16
π
s.
ĐS : a) A = 10cm ; v
max
= 40cm/s ; b) x =
2
cm ; v = 28
2
cm/s ≈ 39,6cm/s.
4) A. Một vật dđđh thực hiện 20 dao động mất thời gian 31,4s. Biên độ dao động là 8cm. Tính giá trị lớn
nhất của vận tốc và gia tốc của vật.
ĐS : v
max
= 32 cm/s ; a
max
= 128cm/s
2
.
∗∗∗∗∗∗∗
5) A. Một con lắc lò xo gồm một quả cầu có khối lượng m = 0,5kg và lò xo có độ cứng K = 50N/m được
treo thẳng đứng. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 3cm theo phương thẳng đứng rồi nhẹ nhàng bng tay.
1) Viết phương trình dao động của quả cầu, lấy gốc thời gian là lúc bắt đầu bng tay, chiều dương từ trên
xuống dưới.
2) Xác định vận tốc và gia tốc của quả cầu tại điểm có li độ +2cm.
3) Tính cơ năng tồn phần và vận tốc cực đại của con lắc. ,
ĐS : 1) x = 3cos(10t) (cm) ; 2) a = - 2m/s
2
; v = ± 10

5
cm/s ≈ ± 22,4cm/s ;
3) E = 0,0225 (J) ; v
max
= 30cm/s.
6) A. Một quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,2kg gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k = 80N/m để tạo thành
con lắc lò xo. Khối lượng lò xo khơng đáng kể.
1) Tính chu kì dao động của quả cầu.
2) Viết phương trình dao động của quả cầu, biết lúc t = 0 quả cầu có li độ bằng 2cm và đang chuyển động
theo chiều dương của trục tọa độ với vận tốc bằng 40
3
cm/s.
ĐS : 1) T =
10
π
s ≈ 0,314s ; 2) x = 4cos(20t -
3
π
) (cm).
7) A. Quả cầu có khối lượng m treo vào lò xo khối lượng khơng đáng kể có độ cứng K = 50 N/cm. Kéo vật
m khỏi VTCB 3cm và truyền vận tốc 2m/s theo phương thẳng đứng thì vật dao động với tần số
f =
π
25
Hz.
a) Tính m và chu kì dao động.
Trang 1
GV : Trần Thanh Khê - Bài tập Dao động cơ học - THPT Ngô Quyền.
Nguyễn Thò Thu Thủy Niên học: 2008 - 2009
b) Viết phương trình dao động của quả cầu. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu qua điểm có tọa độ

-2,5cm theo chiều dương.
ĐS : a) m = 2kg ; T =
25
π
s ; b) x = 5cos(50t -
3
2
π
) (cm).
8) A. Một lò xo khối lượng khơng đáng kể có độ cứng K = 50N/m treo thẳng đứng, đầu dưới mang quả cầu
nhỏ khối lượng m = 100g. Chọn trục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân
bằng. Quả cầu dao động điều hòa với cơ năng bằng 2.10
-2
(J). Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu đang đi lên
qua vị trí có li độ x = 2cm.
a) Viết phương trình dao động của quả cầu.
b) Định vị trí của vật mà tại đó động năng bằng 3 lần thế năng.
ĐS : a) x = 2
2
cos(10
5
t +
4
π
) (cm) ; b) x =
±
2
cm.
9) A. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng là 62,8cm/s và
gia tốc cực đại của vật là 2m/s

2
. Lấy π
2
= 10.
a) Xác định biên độ, chu kì và tần số dao động của vật.
b) Viết phương trình dao động của vật nếu gốc thời gian chọn lúc vật qua điểm M
0
có li độ
x
0
= - 10
2
cm theo chiều dương trục tọa độ còn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật.
c) Tìm thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí M
1
có li độ x
1
= 10cm.
ĐS : a) A = 20cm ; ω = π rad/s ( =
π
10
rad/s) ; T = 2s ; f = 0,5Hz ; b) x = 20cos(πt -
4
3
π
) (cm) ; c) t =
6
1
s.
∗∗∗∗∗∗∗

10) A. Một lò xo có khối lượng khơng đáng kể, chiều dài tự nhiên

0
= 40cm, đầu trên được gắn vào giá
cố định. Đầu dưới gắn với một quả cầu nhỏ có khối lượng m thì khi cân bằng lò xo giãn ra một đoạn
∆

= 10cm. Cho gia tốc trọng trường g ≈ 10 m/s
2
; π
2
≈ 10.
a) Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc O tại VTCB của quả cầu. Nâng quả cầu lên trên thẳng
đứng cách O một đoạn 2
3
cm. Vào thời điểm t = 0, truyền cho quả cầu một vận tốc 20cm/s có phương
thẳng đứng hướng xuống. Viết phương trình dao động của quả cầu.
b) Tính chiều dài của lò xo sau khi quả cầu dao động được một nửa chu kì kể từ lúc bắt đầu dao động.
ĐS: a) x = 4cos(10t -
6
5
π
) (cm) ; b)

≈ 53,46 cm.
11) A. Một lò xo (khối lượng khơng đáng kể), đầu trên cố định, đầu dưới treo một vật có khối lượng 80g.
Vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số 4,5Hz. Trong q trình dao động, độ dài ngắn
nhất của lò xo là 40cm và dài nhất là 56cm.
a) Viết phương trình dao động, chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, t = 0 lúc lò
xo ngắn nhất.

b) Tìm độ dài tự nhiên của lò xo, lấy g = 9,8 m/s
2
.
c) Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó ở vị trí x = 4cm.
ĐS : a/ x = 8cos(9πt + π) (cm) ; b/

0
= 46,8cm ; c/ v =
±
1,96m/s ; a = - 31,95m/s
2
.
12) A. Một lò xo có khối lượng khơng đáng kể có chiều dài tự nhiên
0

= 40cm, độ cứng K = 50N/m. Đầu
trên của lò xo được giữ cố định, đầu dưới treo một vật nhỏ có khối lượng m = 100g. Vật dao động điều hòa
theo phương thẳng đứng và có vận tốc cực đại v
max
= 40
5
cm/s. Lấy g = 10m/s
2
.
a) Viết phương trình dao động của vật. Chọn trục tọa độ x’x thẳng đứng hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí
cân bằng, gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x = 2cm và đang hướng lên.
b) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo, lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong q trình vật
dao động.
ĐS : a) x = 4cos(10
5

t +
3
π
) (cm) ; b)
max

= 46cm ;
min

= 38cm ; F
max
= 3N ; F
min
= 0.
13) A. Một lò xo có khối lượng khơng đáng kể có độ cứng K được treo thẳng đứng tại một điểm cố định.
Khi đầu dưới mang vật khối lượng m
1
= 160g lò xo dài

1
= 60cm, còn khi mang vật khối lượng
m
2
= 240g lò xo dài

2
= 65cm . Lấy g = 10m/s
2
.
1) Tìm K và độ dài tự nhiên


0
của lò xo.
Trang 2
GV : Trần Thanh Khê - Bài tập Dao động cơ học - THPT Ngô Quyền.
Nguyễn Thò Thu Thủy Niên học: 2008 - 2009
2) Treo vào lò xo vật có khối lượng m = 360g. Lúc t = 0, vật m ở VTCB thì ta kích thích để tạo cho nó vận
tốc ban đầu v
0
=
3
100
cm/s.
a) Viết phương trình dao động của vật m, chiều dương hướng xuống.
b) Tìm lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong q trình vật m dao động.
ĐS : 1) K = 16N/m ;
0

= 50cm ; 2) a) x = 5cos(
3
20
t -
2
π
) (cm) ; b) F
max
= 4,4N ; F
min
= 2,8N.
∗∗∗∗∗∗∗

BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN
14) A. Con lắc đơn gồm một vật m = 0,1 kg treo bằng một dây có chiều dài

= 1m. Lấy g = π
2
m/s
2
. Kéo
con lắc ra khỏi VTCB để cho dây treo lệch một góc cực đại α
0
= 6
0
so với phương thẳng đứng rồi bng ra
khơng vận tốc đầu.
a) Viết phương trình dao động với gốc thời gian là lúc bng cho con lắc dao động.
b) Xác định vị trí, vận tốc của con lắc ở thời điểm t =
3
1
s và so sánh động năng E
đ
và thế năng E
t
tại thời
điểm này.
ĐS : a) S =
30
π
cos(πt) (m) hay α =
30
π

cos(πt) (rad) ; b) S =
60
π
m ; v ≈ - 0,285 m/s ; E
đ
= 3E
t
.
15) A. Một con lắc đơn gồm một dây nhẹ, khơng co giãn, có chiều dài

= 50cm, một đầu cố định, đầu còn
lại treo một vật nặng. Khi con lắc đang đứng n ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho vật nặng một vận
tốc ban đầu v
0
= 31,6cm/s, theo phương vng góc với dây treo và hướng theo chiều dương. Tính góc lệch
cực đại của con lắc. Viết phương trình dao động của vật nặng, với gốc thời gian là lúc truyền cho con lắc
vận tốc v
0
. Cho g = 10m/s
2
.
ĐS : α
0
≈ 0,142rad ≈ 8
0
; S = 7,1cos(2
5
t -
2
π

) (cm).
16) A. Con lắc đơn có khối lượng m = 10kg và độ dài

= 2m. Góc lệch cực đại của nó so với đường
thẳng đứng là α
0
= 0,175 rad. Tính cơ năng của con lắc và vận tốc của quả nặng khi nó ở vị trí thấp nhất.
Cho g = 9,8 m/s
2
.
ĐS : 3J ; 0,77m/s.
17) A. Hai con lắc đơn cùng dao động tại một nơi có gia tốc trong trường là g = 9,8 m/s
2
. Chu kì dao động
của chúng lần lượt là 1,2s và 1,6s.
a) Tính chiều dài

1
và

2
của mỗi con lắc.
b) Tìm tỉ số các biên độ góc của hai con lắc trên, biết chúng có cùng năng lượng và các quả cầu của hai
con lắc có cùng khối lượng.
c) Tính chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn có chiều dài

=
1

+

2

.
ĐS : a)
1

≈ 0,358 m ;
2

≈ 0,636 m ; b)
3
4
02
01
=
α
α
≈ 1,33 ; c) T =
2
2
2
1
TT
+
= 2s.
∗∗∗∗∗∗∗
BÀI TẬP VỀ CHU KÌ DAO ĐỘNG :
18) A. Một vật nặng có khối lượng m treo bằng một lò xo vào một điểm cố định dao động với tần số
f
1

= 6Hz. Khi treo thêm một vật m' = 44g thì tần số dao động là f
2
= 5Hz. Tính m và độ cứng K của lò xo.
ĐS : m = 100g ; K ≈ 142N/m.
19) A. Một con lắc đơn có chu kì bằng 1,5s khi nó dao động ở nơi có gia tốc trọng trường bằng
9,8 m/s
2
. Tính độ dài của nó.
Tính chu kì dao động của con lắc nói trên khi ta đưa nó lên Mặt trăng, biết rằng gia tốc trọng trường của
Mặt trăng nhỏ hơn của Trái đất 5,9 lần.
ĐS : 0,56m ; 3,64s.
20) A. Một con lắc đđơn có độ dài bằng

. Trong khoảng thời gian ∆t nó thực hiện 6 dao đđộng. Người ta
giảm bớt độ dài của nó 16cm. Cùng trong khoảng thời gian ∆t như trước, nó thực hiện được 10 dao động.
Tính độ dài ban đầu và tần số ban đầu của con lắc. Cho g = 9,8 m/s
2
.
ĐS :

= 25cm ; f ≈ 1Hz.
Trang 3
GV : Trần Thanh Khê - Bài tập Dao động cơ học - THPT Ngô Quyền.
Nguyễn Thò Thu Thủy Niên học: 2008 - 2009
TỔNG HỢP DAO ĐỘNG :
21) A. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương. Phương trình của hai dao động
thành phần là : x
1
= 10
3

cos(10πt +
2
π
) (cm) và x
2
= 10cos(10πt) (cm).
Xác định phương trình của dao động tổng hợp.
ĐS : x = 20cos(10πt +
3
π
) (cm).
22) A. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng 100Hz, và có
biên độ bằng 8cm và 6cm. Dao động tổng hợp có tần số và biên độ bằng bao nhiêu trong trường hợp các
dao động thành phần là cùng pha, ngược pha, lệch pha 90
0
? Vẽ giản đồ vectơ của ba trường hợp trên.
ĐS : 100Hz ; 14cm ; 2cm ; 10cm.
23) A. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω = 5π rad/s, với các biên độ
A
1
=
2
3
cm, A
2
=
3
cm và các pha ban đầu ϕ
1
=

2
π
và ϕ
2
=
6
5
π
. Tìm phương trình dao động tổng hợp
của hai dao động trên.
ĐS: x = 2,3cos(5πt + 0,73π) (cm)
24) A. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình :
x
1
= 3sin4πt (cm) và x
2
= 3
3
cos4πt (cm).
a) Xác định chu kì, tần số của các dao động thành phần.
b) Viết phương trình và tính vận tốc cực đại của dao động tổng hợp.
ĐS : a) T = 0,5s ; f = 2Hz ; b) x = 6cos(4πt -
6
π
) (cm) ; v
max
= 24π cm/s.
25) A. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Viết biểu thức của dao
động tổng hợp, biết các dao động thành phần có biểu thức sau :
x

1
= 3sint (cm) , x
2
= 3cost (cm) , x
3
= 7sin(t -
2
π
) (cm).
ĐS : x = 5sin(t -
180
53
π
) (cm) = 5cos(t – 0,79π) (cm).
∗∗∗∗∗∗∗
Trang 4