Nghiên cứu một số thuật toán hệ mật mã khoá công khai elgamal và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THỊ TUYẾT

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN HỆ MẬT MÃ
KHOÁ CÔNG KHAI ELGAMAL VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THỊ TUYẾT

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN HỆ MẬT MÃ
KHOÁ CÔNG KHAI ELGAMAL VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CƢƠNG

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn “ Nghiên cứu một số thuật toán hệ mật mã
khoá công khai ElGamal và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi
tìm hiểu, nghiên cứu dƣới sự hƣớng dẫn của TS Nguyễn Ngọc Cƣơng. Các kết quả
là hoàn toàn trung thực, toàn bộ nội dung nghiên cứu của luận văn, các vấn đề
đƣợc trình bày đều là những tìm hiểu và nghiên cứu của chính cá nhân tôi hoặc là
đƣợc trích dẫn từ các nguồn tài liệu đƣợc trích dẫn và chú thích đầy đủ.

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Phạm Thị Tuyết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

LỜI CẢM ƠN
Học viên xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới tập thể các thầy cô giáo Viện

công nghệ thông tin, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Công nghệ thông tin và
truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã mang lại cho học viên kiến thức vô cùng quý
giá và bổ ích trong suốt quá trình học tập chƣơng trình cao học tại trƣờng. Đặc biệt
học viên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Cƣơng Học viện an ninh đã định hƣớng khoa học và đƣa ra những góp ý, gợi ý, chỉnh sửa
quý báu, quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu hoàn thành
luận văn này.
Cuối cùng, học viên xin chân thành cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, gia
đình và ngƣời thân đã quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ với học viên trong suốt quá
trình học tập.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chắc không tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Học viên rất mong nhận đƣợc những sự góp ý quý báu
của thầy cô và các bạn.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
HỌC VIÊN
Phạm Thị Tuyết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ................................................................................ vi
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 ............................................................................................................... 3
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ ..................................................................... 3

1.1. Lý thuyết toán học ............................................................................................... 3
1.1.1. Số nguyên tố, UCLN, BCNN .......................................................................3
1.1.2. Nhóm, vành, trƣờng, trƣờng hữu hạn ...........................................................3
1.1.3 Số học Modulo (phép tính đồng dƣ) ..............................................................5
1.1.4. Không gian rời rạc của phép lấy Logarit ......................................................6
1.1.5. Định lí Fermat và định lí Euler......................................................................6
1.1.6. Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập ..................................................6
1.1.7. Định lí Trung Quốc về phần dƣ: ...................................................................7
1.2. Mật mã ................................................................................................................ 7
1.2.1. Khái niệm ......................................................................................................7
1.2.2. Những yêu cầu đối với hệ mật mã ................................................................8
1.2.3. Hệ mã hóa RSA ............................................................................................8
1.2.4. Hệ mã hóa Paillier .........................................................................................9
1.2.5. Hệ mã hóa ElGamal ....................................................................................10
1.2.6 Hệ mật đƣờng cong Eliptic ...........................................................................10
1.3. Chữ ký điện tử ................................................................................................... 11
1.3.1. Sơ đồ chữ ký điện tử ...................................................................................11
1.3.2. Chữ ký mù RSA ..........................................................................................12
1.3.3. Chữ ký nhóm (Group Signature) ................................................................13
1.4. Khái niệm xác thực điện tử ............................................................................... 15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iv

1.5. Hàm băm (Hash Function) ................................................................................ 16
CHƢƠNG :HỆ MẬT MÃ ELGAMAL CẢI TIẾN VÀ MÃ HÓA ĐỒNG CẤU ... 17
2.1. Hệ mã hóa ElGamal cải tiến.............................................................................. 17

2.1.1. Thuật toán mật mã ElGamal cổ điển ..........................................................17
2.1.2. Một số thuật toán ElGamal cải tiến [3] .......................................................18
2.1.2.1 Thuật toán thứ nhất .............................................................................18
2.1.2.2 Thuật toán thứ hai ...............................................................................21
2.1.2.3 Thuật toán thứ ba .................................................................................23
2.2. Hệ mã hóa đồng cấu .......................................................................................... 26
2.2.1. Khái niệm mã hóa đồng cấu........................................................................26
2.2.2. Hệ mã hoá Elgamal có tính chất đồng cấu..................................................26
2.2.3. Mô hình hệ mã hóa đồng cấu ElGamal cho mô hình bỏ phiếu có/không ....27
2.3. Sơ đồ chia sẻ bí mật .......................................................................................... 29
2.3.1. Khái niệm chia sẻ bí mật .............................................................................29
2.3.2. Giao thức “Chia sẻ bí mật” Shamir.............................................................31
2.3.2.1. Khái niệm sơ đồ ngƣỡng A(t, m) ........................................................31
2.3.2.2. Chia sẻ khoá bí mật K .........................................................................32
2.3.2.3. Khôi phục khóa bí mật K từ t thành viên...........................................33
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG HỆ MẬT MÃ ELGAMAL TRONG BÀI TOÁN BỎ
PHIẾU THĂM DÒ TÍN NHIỆM ............................................................................. 37
3.1. Hệ thống bỏ phiếu điện tử [5] ........................................................................... 37
3.1.1. Khái niệm bỏ phiếu điện tử .........................................................................37
3.1.2. Yêu cầu của hệ thống bỏ phiếu điện tử .......................................................38
3.1.3. Những vấn đề cần giải quyết ......................................................................38
3.1.4.Các thành phần trong hệ thống bỏ phiếu điện tử .........................................39
3.1.5. Quy trình bài toán bỏ phiếu điện tử ............................................................39
3.2. Ứng dụng hệ mật ElGamal trong quá trình bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm.......... 41
3.2.1. Thiết lập ......................................................................................................41
3.2.3. Mở phiếu bầu ..............................................................................................43
3.3. Xây dựng chƣơng trình thử nghiệm mô hình bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm ...... 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

v

3.3.1. Môi trƣờng cài đặt và thử nghiệm ..............................................................44
3.3.2. Phát biểu bài toán ........................................................................................44
3.3.3 Các đối tƣợng của hệ thống ........................................................................45
3.3.4. Phân tích và thiết kế chƣơng trình bỏ phiếu: ..............................................45
3.3.5 Các chức năng chính ....................................................................................45
3.3.6. Thứ tự thực hiện chƣơng trình ....................................................................46
3.3.7. Kết quả thực nghiệm ...................................................................................47
3.4. Phân tích vấn đề bảo mật cần đạt đƣợc ............................................................. 56
3.5. Các tính chất đạt đƣợc ....................................................................................... 56
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ................................................. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 58

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




vi

MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Sơ đồ mã hóa và giải mã ............................................................................ 7
Hình 2.1. Sơ đồ bỏ phiếu đồng ý/ không đồng ý ....................................................... 28
Hình 2.2. Sơ đồ ngƣỡng Shamir.............................................................................. 32
Hình 3.1. Sơ đồ Quy trình bỏ phiếu điện tử ............................................................. 40
Hình 3.2. Sơ đồ mô tả bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm ................................................. 41

Hình 3.3. Sơ đồ giai đoạn bỏ phiếu tín nhiệm ......................................................... 42
Hình 3.4. Giao diện chính của chƣơng trình ............................................................ 47
Hình 3.5. Ban tổ chức đăng nhập vào hệ thống ...................................................... 48
Hình 3.6. Thông báo tạo cơ sở dữ liệu cán bộ thành công....................................... 48
Hình 3.7. Bảng danh sách cán bộ sau khi đƣợc ban tổ chức tạo cơ sở dữ liệu ....... 49
Hình 3.8. Thông báo tạo cơ sở dữ liệu ban kiểm phiếu thành công. ....................... 49
Hình 3.9. Cán bộ đăng nhập vào hệ thống ............................................................... 49
Hình 3.10. Quá trình bỏ phiếu .................................................................................. 50
Hình 3.11. Cán bộ cập nhật thông tin ...................................................................... 50
Hình 3.12. Thông báo nhắc nhở lựa chọn của cán bộ .............................................. 51
Hình 3.13. Thông báo xác nhận lựa chọn của cán bộ .............................................. 51
Hình 3.14. Ban kiểm phiếu đăng nhập vào hệ thống ............................................... 52
Hình 3.14. Mảnh khóa của ban kiểm phiếu ............................................................. 52
Hình 3.15. Ban kiểm phiếu cập nhật thông tin......................................................... 53
Hình 3.16. Thông báo xác nhận quá trình gửi mảnh khóa ....................................... 53
Hình 3.17. Xác nhận tổng hợp đủ các mảnh khóa ................................................... 54
Hình 3.18. Thông báo ghép mảnh khóa thành công ................................................ 54
Hình 3.19. Kết quả bỏ phiếu .................................................................................... 55
Hình 3.20. Cơ sở dữ liệu trong mô hình bỏ phiếu tín nhiệm ................................... 56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
1. Tính khoa học và cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, hiện nay vấn đề an toàn thông

tin trở nên hết sức cần thiết trên qui mô toàn cầu. Đảm bảo tính bảo mật, khả năng
xác thực nguồn gốc gói tin trong quá trình truyền tải thông tin qua môi trƣờng
không an toàn nhƣ Internet là một vấn đề nóng trong nghiên cứu và thực tiễn. Để
đảm bảo tính bảo mật và xác thực ngƣời ta cần phải mã hoá, có một số thuật toán
mã hoá công khai rất nổi tiếng: RSA, ElGamal, ... Tuy nhiên, các hệ mật mã này có
nhƣợc điểm là không có cơ chế xác thực thông tin đƣợc bảo mật (nguồn gốc, tính
toàn vẹn) do đó chúng không có khả năng chống lại một số dạng tấn công giả mạo
trong thực tế. Chính vì vậy hiện nay, ngƣời ta [3] đã đề xuất một số cải tiến hệ mật
mã ElGamal. Ƣu điểm của các thuật toán mới đề xuất này là ở chỗ cho phép bảo
mật và xác thực thông tin một cách đồng thời mà mức độ an toàn của các thuật toán
mới đề xuất không nhỏ hơn mức độ an toàn của thuật toán ElGamal xét theo khả
năng chống thám mã khi tấn công trực tiếp vào các thủ tục mã hóa và giải mã.
Để góp phần nâng cao hiệu năng của phƣơng pháp mã hóa ElGamal. Trong
luận văn này, học viên đặt mục tiêu nghiên cứu, thử nghiệm thuật toán mã hóa
Elgamal và các cải tiến mới của các tác giả đã đƣa ra, so sánh hiệu quả của chúng
và kiểm định thuật toán này bằng một ứng dụng trong thực tiễn. Đây là bài toán lựa
chọn các khả năng trong các giải pháp đã có bằng việc mã hóa và xác thực nhƣ bài
toán bỏ phiếu điện tử do các cán bộ tiến hành hoặc bài toán thăm dò tín nhiệm lãnh
đạo tại một đơn vị. Những bài toán này luôn đòi hỏi tính bí mật, ví dụ trong bỏ
phiếu điện tử (e-voting), việc đảm bảo tính đúng đắn bảo mật ở đây có thể bao gồm
cả việc không để lộ danh tính cử tri (ai bỏ phiếu cho ứng viên nào?), tính duy nhất
(mỗi cử tri đảm bảo chỉ tối đa 1 lần bỏ phiếu)...
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Hệ mật khóa công khai ElGamal và các cải tiến của
hệ mật mã.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

2

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu cải tiến dựa trên thuật toán đã có và xây
dựng chƣơng trình ứng dụng trong bài toán thăm dò dƣ luận về mức độ tín nhiệm
đối với một đơn vị (ở đây là tổng công ty xăng dầu Việt Nam).
3. Hƣớng nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu các đề xuất một số thuật toán mật mã khóa công khai đƣợc phát
triển từ hệ mật ElGamal của các tác giả đã công bố để xây dựng chƣơng trình ứng
dụng trong bài toán bỏ phiếu thăm dò dƣ luận về mức độ tín nhiệm.
- Đánh giá ƣu điểm của các thuật toán mới do các tác giả đã đề xuất về mức độ
bảo mật và xác thực thông tin một cách đồng thời.
4. Những nội dung nghiên cứu chính
Luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng, có phần mở đầu, phần kết luận,
phần mục lục, phần tài liệu tham khảo. Các nội dung cơ bản của luận văn đƣợc trình
bày theo cấu trúc sau:
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ
Trong chƣơng này tổng trình bày một số khái niệm cơ bản trong toán học mà
các hệ mã hoá thƣờng sử dụng nhƣ: mod, số nguyên tố, vành Zn, các phép toán
cộng, nhân, bài toán logarrit rời rạc trên không gian Zn.... Sau đó đƣa ra các khái
niệm mật mã, các thuật toán mã hoá, chữ ký số phục vụ cho việc mã hoá thông tin.
Chương 2: HỆ MẬT MÃ ELGAMAL CẢI TIẾN VÀ MÃ HÓA ĐỒNG CẤU
Tập trung nghiên cứu một số thuật toán mật mã ElGamal cải tiến, tính chất
đồng cấu của hệ mật ElGamal và sơ đồ chia sẻ bí mật theo ngƣỡng Shamir.
Chương 3: ỨNG DỤNG HỆ MẬT MÃ ELGAMAL TRONG BÀI TOÁN BỎ PHIẾU
THĂM DÒ TÍN NHIỆM

Cài đặt thử nghiệm thuật toán hệ mật ElGamal cải tiến và kỹ thuật chia sẻ
khóa bí mật Shamir.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ
1.1. Lý thuyết toán học
1.1.1. Số nguyên tố, UCLN, BCNN
a), Số nguyên tố: là số nguyên dƣơng lớn hơn 1và chỉ có duy nhất 2 ƣớc là 1và
chính nó.
b), Ƣớc chung lớn nhất (ƢCLN):
Cho hai số nguyên a và b, b  0. Nếu có một số nguyên q sao cho a = b*q,
thì ta nói rằng a chia hết cho b(b\a). Khi đó b là ƣớc của a và a là bội của b.
Số nguyên d đƣợc gọi là ƣớc chung của các số nguyên a1, a2, .., an nếu nó là
ƣớc của tất cả các số đó.
d đƣợc gọi là ƣớc chung lớn nhất của a1, a2, .., an nếu d > 0 và là số lớn nhất
trong tập hợp các ƣớc chung của các số đó. Ký hiệu d = gcd ( a1, a2, .., an ) hay d
= UCLN (a1, a2, .., an ).
a) Bội chung nhỏ nhất (BCNN):
Số nguyên m đƣợc gọi là bội chung của các số nguyên a1, a2, .., an nếu nó là
bội của tất cả các số đó.
m đƣợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2, .., an nếu m > 0 và là số nhỏ nhất
trong tập hợp các bội chung của các số đó. Kí hiệu m = lcm(a1, a2, .., an ) hay m
= BCNN(a1, a2, .., an ).
Hai số nguyên tố p và q đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƣớc chung lớn
nhất của chúng bằng 1. Kí hiệu: UCLN (m, n) = 1
1.1.2. Nhóm, vành, trƣờng, trƣờng hữu hạn

a) Phép toán hai ngôi
Cho G là một tập hơp. Phép toán hai ngôi (*) là một ánh xạ:
(*): G  G  G
( x, y)  z  x * y  G,  x, y  G

Ví dụ: G = Z. Phép toán (*) là phép (+)
b) Nhóm
Nhóm là bộ các phần tử (G, *) thỏa mãn các tính chất sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

- Tính chất kết hợp: ( x * y ) * z = x * ( y * z ), x, y, z  G
- Tồn tại phần tử trung lập e  G: e * x = x * e = x, x  G
- Tồn tại phần tử nghịch đảo x’  G: x’ * x = x * x’ = e
Nhóm Cyclic: Nhóm (G, *) đƣợc gọi là nhóm Cyclic nếu nó đƣợc sinh ra bởi
một trong các phần tử của nó. Tức là có phần tử g  G mà với mỗi a  G, đều tồn
tại số n  N để gn = a. Khi đó g là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm G.
Ví dụ: (Z+,*) gồm các số nguyên dƣơng là nhóm Cyclic có phần tử sinh là 1.
Cấp của nhóm Cyclic: Cho (G,*) là nhóm Cyclic với phần tử sinh là g, và
phần tử trung lập e. Nếu tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất n mà gn = e thì G sẽ chỉ gồm
có n phần tử khác nhau: e, g, g1, g2,…, gn-1. Khi đó G đƣợc gọi là nhóm Cyclic hữu
hạn cấp n. Nếu không tồn tại số tự nhiên n để gn = e thì G có cấp vô hạn.
c, Vành
Vành là một tập R với 2 toán tử + (cộng) và * (nhân) thỏa mãn các điều kiện
sau:
<R,+> là nhóm Abel

<R,*> là nửa nhóm
Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z



X ta có:

x(y + z) = xy + z và
(y + z) x = yx + zx
Nếu phép nhân là giao hoán thì R đƣợc gọi là vành giao hoán
d, Trƣờng
Giả sử F là tập hợp khác rỗng, trên đó có hai phép toán đóng hai ngôi bất
kỳ, chẳng hạn ký hiệu là + (cộng) và * (nhân). F là một trƣờng nếu và chỉ nếu:
(F,+) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "0"
(F\{0},*) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "1"
Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân phối: a(b+c) = ab + ac
Số phần tử của một trƣờng đƣợc gọi là bậc của một trƣờng. Một trƣờng có số
phần tử hữu hạn đƣợc gọi là trƣờng hữu hạn, một trƣờng có số phần tử vô hạn đƣợc
gọi là trƣờng vô hạn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

Trƣờng hữu hạn là trƣờng chứa hữu hạn các phần tử. Mọi trƣờng hữu hạn có một
số nguyên tố là đặc số của trƣờng. Một trƣờng F có đặc số thì với mọi a  F,
p

pa  a  ...  a  0
e. Trƣờng hữu hạn Fp:
Cho p là số nguyên tố. Trƣờng hữu hạn Fp bao gồm tập các số nguyên {0, 1, 2,
.., p-1} cùng với các phép toán:
Phép cộng: Nếu a, b



Fp , ta có a + b = r, với r là phần dƣ khi chia a + b cho p

và 0  r  p  1 . Đây gọi là phép cộng modulo p.
Phép nhân: Nếu a, b

 Fp

, ta có a.b = s, với s là phần dƣ khi chia a.b cho p

và 0  s  p  1 . Đây gọi là phép nhân modulo p.
Phép nghịch đảo: Nếu a



Fp (a  0), phép nghịch đảo của a modulo p, ký

hiệu là a-1, nếu tồn tại duy nhất số nguyên c  Fp sao cho a.c = 1.
Trƣờng hữu hạn F2m:
Trƣờng F2m, kí hiệu F2m = {0,1, a1, a2, ..., a2m-2}, đƣợc gọi là trƣờng hữu
hạn nhị phân. Khi đó tồn tại m phần từ  0,  1, ...,  m-1 trong F2m sao cho mỗi
phẩn tử 

 F2m có thể viết duy nhất dƣới dạng:

A = a0  0 + a1  1 + ... + am-1  m-1 với ai  0,1
Một bộ {  0,  1, ...,  m-1 } đƣợc gọi là cơ sở của F2m trên F2. Với mỗi cơ sở
nhƣ vậy thì một phần tử  của trƣờng có thể biểu diễn dƣới dạng xâu bit ( a0a1 am-1).
1.1.3 Số học Modulo (phép tính đồng dƣ)
Cho mỗi số nguyên dƣơng n và một số nguyên a bất kì nếu chúng ta chia a cho
n đƣợc thƣơng là q và phần dƣ là r: a = q*n
+ r với 0 = < r < n và q = [a/n]
Kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x.
Nhƣ vậy, nếu a  Z và n  Z+ thì chúng ta định nghĩa a mod n phần dƣ
của phép chia a cho n. Với ví dụ trên ta có: r = a mod n.
Hai số nguyên a và b đƣợc gọi là đồng dƣ với nhau theo modul n nếu và chỉ
nếu: a mod n = b mod n và kí hiệu là a  b mod (n)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




6

Chú ý: nếu a  0 mod (n) thì n|a
Từ việc tính đồng dƣ theo mod n ta tách đƣợc số nguyên thành n lớp mỗi lớp
chứa các số nguyên đồng dƣ với nhau theo (mod n) và tập các lớp này đƣợc kí hiệu
là: Z/nZ và chứa đúng n phần tử thuộc đoạn [0, n-1].
1.1.4. Không gian rời rạc của phép lấy Logarit
Ta kí hiệu Fp là tập các lớp đồng dƣ theo Modul p hay Fp = Z/pZ = (0, 1,
2,…, p-1)
Zp/Z* là những tập gồm các số nguyên tố cùng nhau với p hay tập các phần tử
có nghịch đảo trong Z/pZ. Ta kí hiệu Fp* = Z/pZ*

Với p là số nguyên tố thì Z/pZ = Z/pZ * = Fp = Fp* = (0, 1, 2, …, p-1).
1.1.5. Định lí Fermat và định lí Euler
* Định lí Fermat:
Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap 

a (mod p).

Nếu a không chia hết cho p tức là (a(mod p) ≠ 0) thì ap-1 

1 (mod p).

* Định lí Euler: Nếu gcd(a,m) = 1 thì aФ(m) = 1 mod m. Trong trƣờng hợp m là số
nguyên tố thì Ф(m) = m-1 và ta có định lí Fermat.
1.1.6. Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập
a, Hàm một phía:
Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều nhƣng
rất khó để tính ngƣợc lại.
Ví dụ: Biết giả thiết x thì có thể dễ dàng tính ra f(x), nhƣng nếu biết f(x) thì
khó tính ra đƣợc x. Trong trƣờng hợp này “khó” có nghĩa là để tính ra đƣợc kết quả
thì phải mất nhiều thời gian để tính toán.
b, Hàm một phía có cửa sập:
F(x) đƣợc gọi là hàm một phía có cửa sập nếu tính xuôi y = f(x) thì dễ tính
ngƣợc x = f-1(y ) thì khó tuy nhiên nếu có “ cửa sập” thì vấn đề tính ngƣợc trở nên
dễ dàng. Cửa sập ở đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngƣợc.
Ví dụ: Hộp thƣ là một ví dụ khác về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng
có thể bỏ thƣ vào thùng. Bỏ thƣ vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng
thƣ không phải hành động công cộng. Nó là khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

7

phá hoặc những công cụ khác. Tuy nhiên, nếu bạn có “ cửa sập” ( trong trƣờng hợp
này là chìa khóa của hòm thƣ) thì công việc mở hòm thƣ thật dễ dàng.
1.1.7. Định lí Trung Quốc về phần dƣ:
Giả sử m1, m2,…,mr là các số nguyên dƣơng nguyên tố cùng nhau từng đôi
một và cho a1, a2,…,ar là các số nguyên. Khi đó, hệ r đồng dƣ thức: x= ai mod mi
(1 ≤ i ≤ r) sẽ có một nghiệm duy nhất theo modul M= m1, m2,…, mr đƣợc tính
theo công thức sau:
r

x   ai M i yi (mod M )
i 1

Trong đó Mi = M / mi và yi = Mi-1 mod mi với 1 ≤ i ≤ r
1.2. Mật mã
1.2.1. Khái niệm
- Bản rõ (plaintext or cleartext): Chứa các xâu ký tự gốc, thông tin trong bản
rõ là thông tin cần mã hoá để giữ bí mật.
- Bản mã (ciphertext): Chứa các ký tự sau khi đã đƣợc mã hoá, mà nội dung
đƣợc giữ bí mật.
- Mật mã học (Crytography): Là khoa học để giữ thông tin đƣợc an toàn.
- Sự mã hoá (Encryption): Quá trình che dấu thông tin bằng phƣơng pháp nào
đó để làm ẩn nội dung bên trong gọi là sự mã hoá.
- Sự giải mã (Decryption): Quá trình biến đổi trả lại bản mã thành bản rõ.
Quá trình mã hoá và giải mã đƣợc thể hiện trong sơ đồ sau:
Bản rõ
Mã hóa

Bản mã
mãmax
max

Bản rõ gốc
Giải mã

Hình 1.1. Sơ đồ mã hóa và giải mã
- Hệ mật mã: Là một hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thoả mãn các
tính chất sau:
P (Plaintext): Là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




8

C (Ciphertext): Là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể.
K (Key): Là tập hợp các bản khoá có thể.
E (Encrytion): Là tập hợp các qui tắc mã hoá có thể.
D (Decrytion): Là tập hợp các qui tắc giải mã có thể.
Với mỗi k có một hàm lập mã ek, ek:P, và một hàm giải mã dk, dk:C sao cho: dk
(ek(x)) =x, với  x € P.
.
- Một thông báo thƣờng đƣợc tổ chức dƣới dạng bản rõ. Ngƣời gửi sẽ làm
nhiệm vụ mã hoá bản rõ, kết quả thu đƣợc gọi là bản mã. Bản mã này đƣợc gửi đi
trên một đƣờng truyền tới ngƣời nhận sau khi nhận đƣợc bản mã ngƣời nhận giải
mã nó để tìm hiểu nội dung.

Ek(P) = C

và Dk (C) = P

1.2.2. Những yêu cầu đối với hệ mật mã
Cung cấp một mức cao về tính bảo mật, tính toàn vẹn, tính chống chối bỏ và
tính xác thực:
 Tính bảo mật: Bảo đảm bí mật cho các thông báo và dữ liệu bằng việc che
dấu thông tin nhờ các kỹ thuật mã hóa.
 Tính toàn vẹn (integrity): Bảo đảm với các bên rằng bản tin không bị thay
đổi trên đƣờng truyền tin.
 Tính không thể chối bỏ (Non-repudiation): Có thể xác nhận rằng tài liệu đã
đến từ ai đó, ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó.
 Tính xác thực (Authentication): Cung cấp hai dịch vụ:
o

Nhận dạng nguồn gốc của một thông báo và cung cấp một vài bảo

đảm rằng nó là đúng sự thực.
o

Kiểm tra định danh của ngƣời đang đăng nhập một hệ thống, tiếp tục

kiểm tra đặc điểm của họ trong trƣờng hợp ai đó cố gắng kết nối và giả danh là
ngƣời sử dụng hợp pháp.
1.2.3. Hệ mã hóa RSA
Sinh khóa:
Giả sử A và B cần trao đổi thông tin bí mật thông qua một kênh không an
toàn (ví dụ nhƣ Internet). Với thuật toán RSA, A đầu tiên cần tạo ra cho mình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9

cặp khóa gồm khóa công khai và khóa bí mật theo các bƣớc sau:
- Chọn 2 số nguyên tố lớn p và q với p  q
- Tính: n = p.q
- Tính giá trị hàm số Ơle  (n)  (p - 1).(q - 1)
- Chọn một số tự nhiên e sao cho 1 < e <  (n) và là số nguyên tố cùng
nhau với  (n)

.

- Tính d sao cho e.d  1 (mod( (n))

.

Khóa công khai (n,e)
Khóa bí mật (n, d)
Mã hóa:
Giả sử B muốn gửi đoạn thông tin M cho A. Đầu tiên B chuyển M thành
một số m < n theo một hàm có thể đảo ngƣợc (từ m có thể xác định lại M) đƣợc
thỏa thuận trƣớc. Lúc này B có m và biết n cũng nhƣ e do A gửi. B sẽ tính c là bản
mã hóa của m theo công thức:
c = me mod n
Giải mã: A nhận c từ B và biết khóa bí mật d. A có thể tìm đƣợc m từ c theo công
thức sau:
m = cd mod n

1.2.4. Hệ mã hóa Paillier
Hệ mã hóa Paillier đƣợc đặt theo tên và phát minh của Pascal Paillier năm
1999. Đây là thuật toán bất đối xứng cho hệ mật mã khóa công khai.
Sinh khóa:
- Chọn hai số nguyên tố lớn p và q
- Tính n = p * q sao cho gcd(n, (p-1)(q-1)) = 1
- Chọn ngẫu nhiên g  Z*n thỏa mãn gcd( L( g  mod n 2 ), n)  1 với
2

L(u ) =

u 1
và  = lcm(p-1, q-1)
n

Khóa công khai là (n, g);
Khóa bí mật là: (p, q,  )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




10

Mã hóa:
Mã hóa thông điệp mc = gmrn mod n2
Giải mã:
Sử dụng khóa bí mật để giải mã nhƣ sau:

L(c  mod n 2 )
m=
mod n
L( g  mod n 2 )
1.2.5. Hệ mã hóa ElGamal
Hệ mật mã ElGamal đƣợc T. ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào bài toán tính
logarit rời rạc và sau đó đã nhanh chóng đƣợc sử dụng rộng rãi không những trong
vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký điện tử.
* Tạo cặp khóa (bí mật, công khai( (a, b):
Chọn số nguyên tố p sao cho bài toán logarit rời rạc trong Zp là “khó” giải.
Chọn phần tử nguyên thủy g  Z *p . Tính khóa công khai h ≡ ga mod p.
Định nghĩa tập khóa: K = {(p, g, a, h): h ≡ ga mod p}. Các giá trị p, g, h đƣợc
công khai, phải giữ bí mật a. Với bản rõ x  P và bản mã y  C , với khóa k  K.
* Lập mã : Chọn ngẫu nhiên bí mật r  Zp-1,
Bản mã là y = ek(x, r) = (y1, y2).
Trong đó : y1 = gr mod p và y2 = x * hr mod p
* Giải mã : dk (y1, y2) = y2( y1a )-1 mod p.
1.2.6 Hệ mật đƣờng cong Eliptic
- Định nghĩa: Cho p > 3 là số nguyên tố. Đƣờng cong Eliptic y2 = x3 + ax + b trên Zp
là tập các nghiệm (x,y)  Zp x Zp của đồng dƣ thức y2 = x3 + ax + b(mod p)
Trong đó a, b Zp là các hằng số thỏa mãn 4a3 + 27b2  0(mod p) (để đa thức
x3 + ax + b không có nghiệm bội) cùng với điểm đặc biệt 0 đƣợc gọi là điểm vô hạn.
- Định lý Hasse: Việc xây dựng các hệ mật mã trên dƣờng cong Eliptic bao gồm việc
lựa chọn đƣờng cong E thích hợp và một điểm G trên E gọi là điểm cơ sở. Xét trƣờng
K là Fq.
N là số điểm của E trên Fq (trƣờng hữu hạn q phần tử). Khi đó:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11

N  (q  1)  2 q . Từ định lý Hasse suy ra E(Fq) = q +1 – t trong dó t  2 q .
- Hệ mật trên đƣờng cong Eliptic
Hệ ElGamal làm việc với nhóm Cyclic hữu hạn. Năm 1978, Kobliz đã đƣa
một hệ trên ECC dựa trên hệ ElGamal.
Để xây dựng hệ mã hóa dựa trên đƣờng cong Eliptic ta chọn đƣờng cong
E(a,b) và một điểm G trên đƣờng cong làm điểm cơ sở. Mỗi ngƣời dùng A một
khóa bí mật nA là một số nguyên và sinh khóa công khai PA = nA *G.
Khi đó hệ mã hóa đƣờng cong Eliptic đƣợc xây dựng tƣơng tự hệ mã hóa
ElGamal, trong đó thuật toán mã hóa và giải mã đƣợc xác định nhƣ sau:
Thuật toán mã hóa: Giả sử ngƣời dùng A muốn gửi thông điệp cần mã hóa Pm
tới ngƣời dùng B, chọn một số ngẫu nhiên k và gửi thông điệp mã hóa Cm đƣợc tính
nhƣ sau: Cm  k * G, Pm + k * PB  (PB là khóa công khai của B).
Thuật toán giả mã: Để giải thông điệp Cm  k * G, Pm + k * PB  , ngƣời dùng
B thực hiện tính nhƣ sau:

Pm + k * PB - n B * k * G = Pm + k * PB - k * n B * G = Pm + k * PB - k * PB  Pm
Chỉ B mới có thể giải mã vì B có nB (là khóa bí mật).
1.3. Chữ ký điện tử
1.3.1. Sơ đồ chữ ký điện tử
Một sơ đồ chữ ký điện tử S là một bộ năm: S = (P, A, K, S, V) thỏa mãn các
điều kiện dƣới đây:
P: tập hữu hạn các thông báo có thể có.
A: tập hữu hạn các chữ ký số có thể có.
K: tập hữu hạn các khóa có thể.
S: tập các thuật toán ký.
V: tập các thuật toán kiểm thử.
Mỗi khóa K’  K có hai thành phần K’ = (K1, K2), K1 là khóa bí mật dùng

để ký, còn K2 là khóa công khai để xác thực chữ ký.
Với mỗi K’ = (K1, K2), trong S có thuật toán kí:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




12

Sig K : P  A
1

x  P  y= Sigk(x)
Và trong V có thuật toán kiểm thử: Nếu

VerK : P  A 
2

Đúng, Sai;

Hai thuật toán thỏa mãn điều kiện sau với mọi x  P, y  A:
Verk(x, y) = Đúng Nếu y = Sigk(x)
Sai

Nếu y  Sigk(x)

1.3.2. Chữ ký mù RSA
a) Khái niệm
Chữ ký mù đƣợc David Chaum đƣa ra vào năm 1983. Trong hệ chữ ký
thông thƣờng, ngƣời ký phải đƣợc nắm rõ nội dung văn bản cần kỹ, có thể lƣu bản

sao. Trong hệ chữ ký mù (blind signature), ngƣời ký sẽ không đƣợc thấy rõ nội
dung mà mình ký, các thông điệp cần đƣợc kí bị “che” đi. Tuy nhiên hệ chữ ký
cũng đảm bảo cho ngƣời ký có thể kiểm tra tính hợp lệ của thông tin cần ký. Chữ ký
mù thƣờng đƣợc dùng trong các vấn đề đòi hỏi sự ẩn danh, nó dƣợc ứng dụng phổ
biến trong tiền điện tử, bỏ phiếu điện tử…
Nội dung M trƣớc khi ngƣời A đƣa cho ngƣời kí B sẽ bị làm mù thành M’.
Ngƣời kí lúc này sẽ kí trên M’ chứ không phải trên M. Sau khi có đƣợc chữ kí trên
M’, A xóa mù để có đƣợc chữ kí trên M. Nhƣ vậy ngƣời A vẫn có chữ kí hợp lệ của
ngƣời B trên M mà B không biết thông tin gì về M.
Ví dụ: A chuẩn bị một văn bản M, cho vào một phòng bì A4, có kèm một tờ
giấy than, rồi dán lại và đƣa cho B. B chỉ có thể ký lên phía ngoài phong bì, nhƣng
chữ ký sẽ đƣợc tạo ra trong văn bản bên trong thông qua tờ giấy than. Mặc dù B
không thể biết đƣợc nội dung thật của văn bản này, nhƣng có thể đánh giá đƣợc tính
trung thực của A (không tạo ra gì xấu cho B) mà một phép kiểm tra theo phƣơng
pháp thách thức - đáp ứng.
b) Sơ đồ chữ ký RSA
- Chọn p, q nguyên tố lớn .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




13

Tính n = p.q;

 (n) = (p-1)(q-1).

Chọn b nguyên tố cùng  (n).
Chọn a nghịch đảo với b; a = b-1 mod  (n).

- Ký trên x: Sig (x) = xa mod n
- Kiểm tra chữ ký: Ver (x,y)= True  x  yb mod n
Ví dụ:
- p = 3; q = 5; n =15;  (n) = 8;
Chọn b = 3; a = 3
- Ký x = 2:
Chữ ký : y = xa mod n = 23 mod 15 = 8
Kiểm tra: x = yb mod n = 83 mod 15 =2 (chữ ký đúng)
c) Sơ đồ chữ ký mù RSA
Giả sử ngƣời A muốn có đƣợc chữ kí của B trên văn bản M theo sơ đồ
chữ kí RSA nhƣng không muốn cho B biết nội dung của M. A cần thực hiện các
bƣớc sau:
Ví dụ: Giả sử B dùng sơ đồ chữ ký RSA (n, p, q, b, a).
- A che dấu M bởi y = M*rb (mod n), (r đƣợc chọn sao cho tồn tại phần tử
nghịch đảo r-1 (mod n)).
- A gửi bí danh y cho B
- B ký trên bí danh y đƣợc chữ ký z: z = ya (mod n)
- B gửi chữ ký z cho A.
- A "xoá mù" trên z sẽ tìm lại đƣợc chữ ký trên M bằng cách tính toán:
Unblind(z) = z*r-1 = (M*rb)a * r-1 = (xa *r) * r-1 = Ma (mod n)
A đã có đƣợc chữ ký của B trên M, đó là Ma (mod n)
Nhƣ vậy ta đã đạt đƣợc mục đích: A đã nhận đƣợc chữ kí của B (là: Ma mod n)
mà B không biết nội dung của M.
1.3.3. Chữ ký nhóm (Group Signature)
Chữ ký nhóm Chữ ký nhóm là chữ ký điện tử đại diện cho một nhóm ngƣời,
một tổ chức. Các thành viên của một nhóm đƣợc phép ký trên thông điệp với tƣ cách
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

là ngƣời đại diện cho nhóm.
Chữ ký nhóm đƣợc David Chaum và Van Heyst giới thiệu lần đầu tiên vào
năm 1991. Kể từ đó đến nay đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu và đƣa ra một số
sơ đồ chữ ký nhóm khác nhau nhƣ sơ đồ chữ ký nhóm của Chen và Pedersen năm
1994, sơ đồ chữ ký nhóm của Camenisch và Stadler năm 1997.
Đặc điểm của chữ ký nhóm:
- Chỉ có thành viên trong nhóm mới có thể ký tên vào bản thông báo đó.
- Ngƣời nhận thông điệp có thể kiểm tra xem chữ ký đó có đúng là của nhóm
đó hay không, nhƣng ngƣời nhận không thể biết đƣợc ngƣời nào đã ký vào thông điệp đó.
- Trong trƣờng hợp cần thiết chữ ký có thể đƣợc “mở” (có hoặc là không có sự
giúp đỡ của thành viên trong nhóm) để xác định ngƣời nào đã ký vào thông điệp đó.
Một số hệ chữ ký nhóm:
- Undeniable Signature (chữ kí không thể phủ nhận)
- MultiSignature (đồng ký)
- Proxy Signature (chữ ký ủy nhiệm)
Các thành phần của sơ đồ chữ kí nhóm:
- Ngƣời quản lý nhóm
- Các thành viên trong nhóm
- Ngƣời không thuộc nhóm
Một sơ đồ chữ kí nhóm thƣờng bao gồm 5 thủ tục:
- KeyGen: Là thuật toán sinh khóa công khai của nhóm, khóa bí mật của
ngƣời quản lý nhóm:
KeyGen()  (pk, gmsk)
Trong đó pk là khóa công khai của nhóm (dùng để xác minh chữ kí của nhóm),
gmsk là khóa bí mật của nhóm. Nếu số ngƣời trong nhóm là cố định thì:
KeyGen()  (pk, gmsk,ski)
Trong đó ski là khóa bí mật của thành viên thứ i trong nhóm.

- Join: Cho phép một ngƣời không phải là thành viên trong nhóm muốn tham
gia nhóm. Khi gia nhập nhóm, thành viên i sẽ nhận đƣợc khóa bí mật của mình là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




15

ski, ngƣời quản lý nhóm có trách nhiệm lƣu thông tin của thành viên mới này.
- Sig: Khi thành viên i muốn ký thông điệp m đại diện cho nhóm, anh ta sẽ
sử dụng thủ tục:
Sig: Sig(m,ski)  
Chữ ký trên thông điệp m sẽ là  .
- Verify: Khi muốn kiểm tra chữ ký  có phải là chữ kí đại diện cho nhóm
trên

m

hay

không,

ta

sử

dụng

thủ

tục:

True
Verify (m,  , pk ) = 
 False
- Open: Với mỗi chữ ký trên thông điệp m, ngƣời quản lý nhóm có thể xác
định đƣợc thành viên nào đã ký vào thông điệp bằng việc sử dụng thủ tục:
Open(gmsk,m,  )
đầu ra của thủ tục là thông tin về thành viên đã ký.
1.4. Khái niệm xác thực điện tử
Xác thực điện tử là việc chứng minh từ xa bằng phƣơng tiện điện tử, sự tồn tại
chính xác và hợp lệ danh tính của một chủ thể khi tham gia trao đổi thông tin điện
tử nhƣ: cá nhân, tổ chức, dịch vụ,... hoặc một lớp thông tin nào đó mà không cần
biết các thông tin đó cụ thể nhƣ thế nào, thông qua thông tin đặc trƣng đại diện cho
chủ thể đó mà vẫn đảm bảo đƣợc bí mật của chủ thể, hoặc lớp thông tin cần chứng
minh.
Xác thực điện tử là việc cần thực hiện trƣớc khi thực sự diễn ra các cuộc trao
đổi thông tin điện tử chính thức.
Việc xác thực điện tử trong hệ thống trao đổi thông tin điện tử đƣợc uỷ quyền
cho một bên thứ ba tin cậy. Bên thứ ba ấy chính là CA (Certification Authority),
một cơ quan có tƣ cách pháp nhân thƣờng xuyên tiếp nhận đăng ký các thông tin
đặc trƣng đại diện cho chủ thể: khoá công khai và lƣu trữ khoá công khai cùng lý
lịch của chủ thể trong một cơ sở dữ liệu đƣợc bảo vệ chặt chẽ. CA chuyên nghiệp
không nhất thiết là cơ quan nhà nƣớc. Điều quan trọng nhất của một CA là uy tín để
khẳng định sự thật, bảo đảm không thể có chuyện "đổi trắng thay đen".
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

Mục đích của việc xác thực điện tử: Chống giả mạo, chống chối bỏ, đảm bảo
tính toàn vẹn, tính bí mật, tính xác thực của thông tin và mục đích cuối cùng là
hoàn thiện các giải pháp an toàn thông tin.
Cơ sở ứng dụng đề xây dựng các giải pháp an toàn cho xác thực điện tử là các
hệ mật mã.
Ứng dụng trong: Thƣơng mại điện tử, trong các hệ thống thanh toán trực
tuyến, là nền tảng của chính phủ điện tử.
1.5. Hàm băm (Hash Function)
Hàm băm là một hàm tính toán có hiệu quả khi ánh xạ các dòng nhị phân có
độ dài tùy ý thành các dòng nhị phân có độ dài cố định nào đó.
Hàm băm yếu: hàm băm đƣợc gọi là yếu nếu cho một thông điệp x thì về
mặt tính toán không tìm ra đƣợc thông điệp x’ khác x sao cho: h(x’) = h(x)
Hàm băm mạnh: hàm băm đƣợc gọi là mạnh nếu về mặt tính toán không tìm
ra đƣợc hai thông điệp x và x’ sao cho: x’ ≠ x và h(x’) = h (x)
Chọn giá trị x ngẫu nhiên, x ϵ x
Tính z = h(x), tính x1 = A(z)
Nếu x1 ≠ x thì x1 và x va chám dƣới h (thành công)
Ngƣợc lại là thất bại.
Hàm băm có tính chất một chiều: hàm băm có tính chất một chiều nếu cho
trƣớc thông điệp rút gọn z thì về mặt tính toán không tìm ra đƣợc thông điệp x sao
cho: h(x) = z
Hàm băm yếu làm cho chữ ký số trở nên tin cậy giống nhƣ việc ký trên
toàn thông điệp.
Hàm băm mạnh có tác dụng chống lại kẻ giả mạo tạo ra hai bản thông điệp có
nội dung khác nhau, sau đó thu nhận chữ ký hợp pháp cho một bản thông điệp dễ
đƣợc xác nhận rồi lấy nó giả mạo làm chữ ký của thông điệp thứ 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




17

CHƢƠNG 2
HỆ MẬT MÃ ELGAMAL CẢI TIẾN
VÀ MÃ HÓA ĐỒNG CẤU
2.1. Hệ mã hóa ElGamal cải tiến
2.1.1. Thuật toán mật mã ElGamal cổ điển
Sơ đồ (ElGamal đề xuất năm 1985)
a/. Sinh khóa (bí mật, công khai) (a, h) :
Chọn số nguyên tố p sao cho bài toán logarit rời rạc trong Zp là “khó” giải.
Chọn phần tử nguyên thuỷ g  Zp* .
Đặt P = Z p*, C = Z p*  Z p*.
Chọn khóa bí mật là a  Zp* . Tính khóa công khai h  g a mod p.
Định nghĩa tập khóa:

 = {(p, g, a, h):

h  g a mod p}.

Các giá trị p, g, h đƣợc công khai, phải giữ bí mật a.
Với Bản rõ x  P

và Bản mã y  C, với khóa k   định nghĩa:

b/. Lập mã:
Chọn ngẫu nhiên bí mật r  Zp-1,
Bản mã là y = ek (x, r) = (y1, y2)
Trong đó y1 = g r (mod p) và y2 = x * h r (mod p)
c/. Giải mã: dk (y1, y2) = y2 (y1 a) -1 ( mod p) = x.
Ví dụ
* Bản rõ x = 1985. Chọn p = 2179, g = 2, a = 365.
Tính khóa công khai h = 2 365 mod 2179 = 2175.
* Lập mã: Chọn ngẫu nhiên r = 503.
Bản mã là y = (932, 91), trong đó
y1 = 2503 mod 2179 = 932 và
y2 = 1985 * 2175 503 mod 2179 = 91
* Giải mã: x = y2 (y1 a) -1 mod p = 91(932365)-1 mod 2179 = 1985.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN