Nghiên cứu một số thuật toán hệ mật mã khoá công khai elgamal và ứng dụng

 

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THỊ TUYẾT

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN HỆ MẬT MÃ
KHOÁ CÔNG KHAI ELGAMAL VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2015

 


 

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THỊ TUYẾT

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN HỆ MẬT MÃ
KHOÁ CÔNG KHAI ELGAMAL VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CƯƠNG

THÁI NGUYÊN - 2015

 


i 

LỜI CAM ĐOAN 
Tôi  xin  cam  đoan  luận  văn  “ Nghiên cứu một số thuật toán hệ mật mã
khoá công khai ElGamal và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi 
tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Ngọc Cương. Các kết  quả 
là  hoàn  toàn  trung  thực,  toàn  bộ  nội  dung  nghiên  cứu  của  luận  văn,  các  vấn  đề 
được trình bày đều là những tìm hiểu và nghiên cứu của chính cá nhân tôi hoặc là 
được trích dẫn từ các nguồn tài liệu được trích dẫn và chú thích đầy đủ. 
 
TÁC GIẢ LUẬN VĂN 
 
 
Phạm Thị Tuyết 

 


ii 

LỜI CẢM ƠN 
Học viên xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới tập thể các thầy cô giáo Viện 

công  nghệ  thông  tin,  các  thầy  cô  giáo  Trường  Đại  học  Công  nghệ  thông  tin  và 
truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã mang lại cho học viên kiến thức vô cùng quý 
giá và bổ ích trong suốt quá trình học tập chương trình cao học tại trường. Đặc biệt 
học viên xin  bày tỏ  lòng biết ơn sâu sắc  tới thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Cương  -  
Học viện an ninh đã  định hướng khoa học  và  đưa  ra những góp ý,  gợi ý,  chỉnh sửa 
quý  báu, quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi trong quá  trình  nghiên cứu hoàn thành 
luận văn này. 
Cuối  cùng,  học  viên xin chân thành  cảm  ơn  các bạn  bè  đồng nghiệp,  gia 
đình và người thân đã quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ với học viên trong suốt quá 
trình học tập. 
Do  thời  gian  và  kiến  thức  có  hạn  nên  luận  văn  chắc  không  tránh  khỏi 
những thiếu sót nhất định. Học viên rất mong nhận được những sự góp ý quý báu 
của   thầy cô và các bạn. 
 
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 
HỌC VIÊN 
 
Phạm Thị Tuyết
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

iii 

 
 
MỤC LỤC
 
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................... i 
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ ii 
MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ............................................................................. vi 
MỞ ĐẦU ................................................................................................................1 
CHƯƠNG 1 ............................................................................................................3 
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT Mà...................................................................3 
1.1. Lý thuyết toán học ............................................................................................3 
1.1.1. Số nguyên tố, UCLN, BCNN ..................................................................... 3 
1.1.2. Nhóm, vành, trường, trường hữu hạn ......................................................... 3 
1.1.3 Số học Modulo (phép tính đồng dư) ............................................................ 5 
1.1.4. Không gian rời rạc của phép lấy Logarit .................................................... 6 
1.1.5. Định lí Fermat và định lí Euler ................................................................... 6 
1.1.6. Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập ................................................ 6 
1.1.7. Định lí Trung Quốc về phần dư: ................................................................. 7 
1.2. Mật mã .............................................................................................................7 
1.2.1. Khái niệm .................................................................................................. 7 
1.2.2. Những yêu cầu đối với hệ mật mã .............................................................. 8 
1.2.3. Hệ mã hóa RSA ......................................................................................... 8 
1.2.4. Hệ mã hóa Paillier ..................................................................................... 9 
1.2.5. Hệ mã hóa ElGamal ................................................................................. 10 
1.2.6 Hệ mật đường cong Eliptic ........................................................................ 10 
1.3. Chữ ký điện tử ................................................................................................ 11 

1.3.1. Sơ đồ chữ ký điện tử ................................................................................ 11 
1.3.2. Chữ ký mù RSA ...................................................................................... 12 
1.3.3. Chữ ký nhóm (Group Signature) .............................................................. 13 
1.4. Khái niệm xác thực điện tử ............................................................................. 15 

 


iv 

1.5. Hàm băm (Hash Function) .............................................................................. 16 
CHƯƠNG :HỆ MẬT MàELGAMAL CẢI TIẾN VÀ MàHÓA ĐỒNG CẤU .... 17 
2.1. Hệ mã hóa ElGamal cải tiến ........................................................................... 17 
2.1.1. Thuật toán mật mã ElGamal cổ điển ........................................................ 17 
2.1.2. Một số thuật toán ElGamal cải tiến [3] ..................................................... 18 
2.1.2.1  Thuật toán thứ nhất .......................................................................... 18 
2.1.2.2  Thuật toán thứ hai ............................................................................ 21 
2.1.2.3 Thuật toán thứ ba .............................................................................. 23 
2.2. Hệ mã hóa đồng cấu ....................................................................................... 26 
2.2.1. Khái niệm mã hóa đồng cấu ..................................................................... 26 
2.2.2. Hệ mã hoá Elgamal có tính chất đồng cấu ................................................ 26 
2.2.3. Mô hình hệ mã hóa đồng cấu ElGamal cho mô hình bỏ phiếu có/không ... 27 
2.3. Sơ đồ chia sẻ bí mật ........................................................................................ 29 
2.3.1. Khái niệm chia sẻ bí mật .......................................................................... 29 
2.3.2. Giao thức “Chia sẻ bí mật” Shamir .......................................................... 31 
2.3.2.1. Khái niệm sơ đồ ngưỡng A(t, m) ...................................................... 31 
2.3.2.2. Chia sẻ khoá bí mật K ...................................................................... 32 
2.3.2.3. Khôi phục khóa bí mật  K từ t thành viên ......................................... 33 
CHƯƠNG 3:  ỨNG DỤNG HỆ MẬT MàELGAMAL TRONG BÀI TOÁN BỎ 
PHIẾU THĂM DÒ TÍN NHIỆM ........................................................................... 37 

3.1. Hệ thống bỏ phiếu điện tử [5] ......................................................................... 37 
3.1.1. Khái niệm bỏ phiếu điện tử ...................................................................... 37 
3.1.2. Yêu cầu của hệ thống bỏ phiếu điện tử ..................................................... 38 
3.1.3. Những vấn đề cần giải quyết .................................................................... 38 
3.1.4.Các thành phần trong hệ thống bỏ phiếu điện tử ....................................... 39 
3.1.5. Quy trình bài toán bỏ phiếu điện tử .......................................................... 39 
3.2. Ứng dụng hệ mật ElGamal trong quá trình bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm .......... 41 
3.2.1. Thiết lập .................................................................................................. 41 
3.2.3. Mở phiếu bầu ........................................................................................... 43 
3.3. Xây dựng chương trình thử nghiệm mô hình bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm ....... 44 

 


v 

3.3.1. Môi trường cài đặt và thử nghiệm ............................................................ 44 
3.3.2. Phát biểu bài toán .................................................................................... 44 
3.3.3  Các đối tượng của hệ thống...................................................................... 45 
3.3.4. Phân tích và thiết kế chương trình bỏ phiếu: ............................................ 45 
3.3.5 Các chức năng chính ................................................................................. 45 
3.3.6. Thứ tự thực hiện chương trình ................................................................. 46 
3.3.7. Kết quả thực nghiệm ................................................................................ 47 
3.4. Phân tích vấn đề bảo mật cần đạt được ........................................................... 56 
3.5. Các tính chất đạt được .................................................................................... 56 
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ................................................ 57 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 58 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


vi 

 
 MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 
 
 
Hình 1.1. Sơ đồ mã hóa và giải mã ..........................................................................7 
Hình 2.1. Sơ đồ bỏ phiếu đồng ý/ không đồng ý ...................................................... 28 
Hình 2.2.  Sơ đồ ngưỡng Shamir............................................................................ 32 
Hình 3.1. Sơ đồ Quy trình bỏ phiếu điện tử ............................................................ 40 

Hình 3.2. Sơ đồ mô tả bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm ................................................ 41 
Hình 3.3. Sơ đồ giai đoạn bỏ phiếu tín nhiệm ........................................................ 42 
Hình 3.4. Giao diện chính của chương trình ........................................................... 47 
Hình 3.5. Ban tổ chức  đăng nhập vào hệ thống ..................................................... 48 
Hình 3.6. Thông báo tạo cơ sở dữ liệu cán bộ thành công. ..................................... 48 
Hình 3.7. Bảng danh sách cán bộ sau khi được ban tổ chức  tạo cơ sở dữ liệu ....... 49 
Hình 3.8. Thông báo tạo cơ sở dữ liệu ban kiểm phiếu thành công. ....................... 49 
Hình 3.9. Cán bộ đăng nhập vào hệ thống.............................................................. 49 
Hình 3.10. Quá trình bỏ phiếu ............................................................................... 50 
Hình 3.11. Cán bộ cập nhật thông tin ..................................................................... 50 
Hình 3.12. Thông báo nhắc nhở lựa chọn của cán bộ ............................................. 51 
Hình 3.13. Thông báo xác nhận lựa chọn của cán bộ ............................................. 51 
Hình 3.14. Ban kiểm phiếu đăng nhập vào hệ thống .............................................. 52 
Hình 3.14. Mảnh khóa của ban kiểm phiếu ............................................................ 52 
Hình 3.15. Ban kiểm phiếu cập nhật thông tin ....................................................... 53 
Hình 3.16. Thông báo xác nhận quá trình gửi mảnh khóa ...................................... 53 
Hình 3.17. Xác nhận tổng hợp đủ các mảnh khóa .................................................. 54 
Hình 3.18. Thông báo ghép mảnh khóa thành công ............................................... 54 
Hình 3.19. Kết quả bỏ phiếu .................................................................................. 55 
Hình 3.20. Cơ sở dữ liệu trong mô hình bỏ phiếu tín nhiệm ................................... 56 
 
 

 


1 

MỞ ĐẦU
 

1. Tính khoa học và cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, hiện nay vấn đề an toàn thông 
tin trở nên hết sức cần thiết trên qui mô toàn cầu. Đảm bảo tính bảo mật, khả năng 
xác  thực  nguồn  gốc  gói  tin  trong  quá  trình  truyền  tải  thông  tin  qua  môi  trường 
không an toàn như Internet là một vấn đề nóng trong nghiên cứu và thực tiễn. Để 
đảm bảo tính bảo mật và xác thực người ta cần phải mã hoá, có một số thuật toán 
mã hoá công khai rất nổi tiếng: RSA, ElGamal, ... Tuy nhiên, các hệ mật mã này có 
nhược điểm là không có cơ chế xác thực thông tin được bảo mật (nguồn gốc, tính 
toàn vẹn) do đó chúng không có khả năng chống lại một số dạng tấn công giả mạo 
trong thực tế. Chính vì vậy hiện nay, người ta [3] đã đề xuất một số cải tiến hệ mật 
mã ElGamal. Ưu điểm của các thuật toán  mới đề xuất này  là ở chỗ cho phép bảo 
mật và xác thực thông tin một cách đồng thời mà mức độ an toàn của các thuật toán 
mới  đề xuất  không  nhỏ hơn mức  độ  an toàn  của  thuật toán  ElGamal  xét  theo  khả 
năng chống thám mã khi tấn công trực tiếp vào các thủ tục mã hóa và giải mã. 
Để  góp  phần  nâng  cao  hiệu  năng  của  phương  pháp  mã  hóa  ElGamal.  Trong 
luận  văn  này,  học  viên  đặt  mục  tiêu  nghiên  cứu,  thử  nghiệm  thuật  toán  mã  hóa 
Elgamal và các cải tiến mới của các tác giả đã đưa ra, so sánh hiệu quả của chúng 
và kiểm định thuật toán này bằng một ứng dụng trong thực tiễn. Đây là bài toán lựa 
chọn các khả năng trong các giải pháp đã có bằng việc mã hóa và xác thực như bài 
toán bỏ phiếu điện tử do các cán bộ tiến hành hoặc bài toán thăm dò tín nhiệm lãnh 
đạo  tại  một    đơn  vị.  Những  bài  toán  này  luôn  đòi  hỏi  tính  bí  mật,  ví  dụ  trong  bỏ 
phiếu điện tử (e-voting), việc đảm bảo tính đúng đắn bảo mật ở đây có thể bao gồm 
cả việc không để lộ danh tính cử tri (ai bỏ phiếu cho ứng viên nào?), tính duy nhất 
(mỗi cử tri đảm bảo chỉ tối đa 1 lần bỏ phiếu)... 
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ mật khóa công khai ElGamal và các cải tiến của 
hệ mật mã.  

 

2 

-  Phạm  vi nghiên cứu:  Nghiên cứu cải  tiến  dựa  trên  thuật toán  đã  có  và  xây 
dựng chương trình ứng dụng trong bài toán thăm dò dư luận về mức độ tín nhiệm 
đối với một đơn vị (ở đây là tổng công ty xăng dầu Việt Nam). 
3. Hướng nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu các đề xuất một số thuật toán mật mã khóa công khai được phát 
triển từ hệ mật ElGamal của các tác giả đã công bố để xây dựng chương trình ứng 
dụng trong bài toán bỏ phiếu thăm dò dư luận về mức độ tín nhiệm. 
- Đánh giá ưu điểm của các thuật toán mới do các tác giả đã đề xuất về mức độ 
bảo mật và xác thực thông tin một cách đồng thời.  
4. Những nội dung nghiên cứu chính
 Luận  văn  được  trình  bày  trong  3  chương,  có  phần  mở  đầu,  phần  kết  luận, 
phần mục lục, phần tài liệu tham khảo. Các nội dung cơ bản của luận văn được trình 
bày theo cấu trúc sau:
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT Mà
Trong chương này tổng trình bày một số khái niệm cơ bản trong toán học mà 
các  hệ  mã  hoá  thường  sử  dụng  như:  mod,  số  nguyên  tố,  vành  Zn,  các  phép  toán 
cộng,  nhân,  bài toán logarrit rời rạc trên không gian Zn.... Sau  đó  đưa  ra  các  khái 
niệm mật mã, các thuật toán mã hoá, chữ ký số phục vụ cho việc mã hoá thông tin.  
Chương 2: HỆ MẬT MàELGAMAL CẢI TIẾN VÀ MàHÓA ĐỒNG CẤU
Tập  trung  nghiên  cứu  một  số  thuật  toán  mật  mã  ElGamal  cải  tiến,  tính  chất  
đồng cấu của hệ mật ElGamal và sơ đồ chia sẻ bí mật theo ngưỡng Shamir. 
Chương 3: ỨNG  DỤNG  HỆ  MẬT  Mà ELGAMAL  TRONG  BÀI  TOÁN  BỎ  PHIẾU 
THĂM DÒ TÍN NHIỆM 

Cài  đặt  thử  nghiệm  thuật  toán  hệ  mật  ElGamal  cải  tiến  và  kỹ  thuật  chia  sẻ 
khóa bí mật Shamir.  
 

 
 
 
 

 


3 

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ
1.1. Lý thuyết toán học
1.1.1. Số nguyên tố, UCLN, BCNN
a),  Số  nguyên  tố:  là  số  nguyên  dương  lớn  hơn  1và  chỉ  có  duy  nhất  2  ước  là  1và 
chính nó. 
b), Ước chung  lớn nhất (ƯCLN): 
Cho hai số nguyên a  và b, b   0. Nếu có  một số nguyên q sao cho a = b*q, 
thì ta  nói rằng a chia hết cho b(b\a). Khi đó b là ước của a và a là bội của b. 
Số nguyên d được gọi là ước chung của các số nguyên a1, a2, .., an nếu nó là 
ước của tất cả các số đó. 
d được gọi là ước chung lớn nhất của a1, a2, .., an nếu d > 0 và là số lớn nhất 
trong tập hợp  các  ước  chung  của  các  số  đó.  Ký  hiệu d  =  gcd  ( a1, a2, .., an ) hay d 
= UCLN (a1, a2, .., an ).                   
a) Bội chung nhỏ nhất (BCNN): 
Số nguyên m được gọi là bội chung của các số nguyên a1, a2, .., an nếu nó là 
bội  của tất cả các số đó. 
m được gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2, .., an nếu m > 0 và là số nhỏ nhất 
trong  tập  hợp  các  bội  chung  của  các  số  đó.  Kí  hiệu  m  =  lcm(a1, a2, .., an ) hay  m 
=  BCNN(a1, a2, .., an ).                   

Hai số nguyên tố p và q được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn 
nhất  của chúng bằng 1. Kí hiệu: UCLN (m, n) = 1 
1.1.2. Nhóm, vành, trường, trường hữu hạn
a) Phép toán hai ngôi
Cho G là một tập hơp. Phép toán hai ngôi (*) là một ánh xạ:  
(*):  G  G  G   
( x, y )  z  x * y  G ,  x,  y  G    

 Ví dụ: G = Z. Phép toán (*) là phép (+)  
b) Nhóm
Nhóm là bộ các phần tử (G, *) thỏa mãn các tính chất sau: 

 


4 

- Tính chất kết hợp: ( x * y ) * z = x * ( y * z ),  x,  y, z  G  
- Tồn tại phần tử trung lập e     G: e * x = x * e = x,  x  G         
- Tồn tại phần tử nghịch đảo x’    G:  x’ * x = x *  x’  = e  
Nhóm Cyclic: Nhóm (G, *) được gọi là nhóm Cyclic nếu nó được sinh ra bởi 
một trong các phần tử của nó. Tức là có phần tử g   G mà với mỗi a  G, đều tồn 
tại số n N để gn  = a. Khi đó g là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm G. 
Ví dụ: (Z+,*) gồm các số nguyên dương là nhóm Cyclic có phần tử sinh là 1. 
Cấp của nhóm Cyclic: Cho  (G,*)  là  nhóm  Cyclic  với  phần  tử  sinh  là  g,  và 
phần  tử trung lập e. Nếu tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất n mà gn  = e thì G sẽ chỉ gồm 
có n phần  tử khác nhau: e, g, g1, g2,…,  gn-1. Khi đó G được gọi là nhóm Cyclic hữu 
hạn cấp n.  Nếu không tồn tại số tự nhiên n để gn = e thì G có cấp vô hạn. 
c, Vành 
Vành là một tập R với 2 toán tử + (cộng) và * (nhân) thỏa mãn các điều kiện 

sau: 
<R,+> là nhóm Abel 
<R,*> là nửa nhóm 
Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z     X ta có: 
x(y + z) = xy + z và 
(y + z) x = yx + zx 
Nếu phép nhân là giao hoán thì R được gọi là vành giao hoán 
d, Trường 
Giả  sử  F  là  tập  hợp  khác  rỗng,  trên  đó  có  hai  phép  toán  đóng  hai  ngôi  bất 
kỳ,  chẳng hạn ký hiệu là + (cộng) và * (nhân). F là một trường nếu và chỉ nếu: 
(F,+) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "0"   
(F\{0},*) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "1" 
Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân phối: a(b+c) = ab + ac 
Số phần tử của một trường được gọi là bậc của một trường. Một trường có số 
phần tử hữu hạn được gọi là trường hữu hạn, một trường có số phần tử vô hạn được 
gọi  là  trường vô hạn. 

 


5 

Trường hữu hạn là trường chứa hữu hạn các phần tử. Mọi trường hữu hạn có một 
số  nguyên  tố  là  đặc  số  của  trường.  Một  trường  F  có  đặc  số  thì  với  mọi  a   F, 
p



pa  a ...  a  0  

e. Trường hữu hạn Fp:
Cho p là số nguyên tố. Trường hữu hạn Fp  bao gồm tập các số nguyên {0, 1, 2, 
.., p-1} cùng với các phép toán: 
Phép cộng: Nếu a, b    Fp  , ta có a + b = r, với r là phần dư khi chia a + b cho p 
và  0  r  p  1 . Đây gọi là phép cộng modulo p. 
Phép nhân: Nếu a, b   Fp  , ta có a.b = s, với s là phần dư khi chia a.b cho p 
và  0  s  p  1 . Đây gọi là phép nhân modulo p. 
Phép nghịch đảo: Nếu  a    Fp  (a    0), phép nghịch đảo của a modulo p, ký 
hiệu là  a-1, nếu tồn tại duy nhất số nguyên c   Fp  sao cho a.c = 1. 
Trường hữu hạn F2m: 
Trường  F2m,  kí  hiệu  F2m = {0,1, a1, a2, ..., a2m-2},  được  gọi  là  trường  hữu 
hạn  nhị  phân.  Khi  đó  tồn  tại  m  phần  từ   0,  1, ...,  m-1 trong F2m sao cho  mỗi 
phẩn  tử  

F2m có thể viết duy nhất dưới dạng: 

A = a0  0 + a1  1 + ... + am-1  m-1  với ai   0,1
Một bộ {  0,  1, ...,  m-1 } được gọi là cơ sở của F2m trên F2. Với mỗi cơ sở 
như  vậy thì một phần tử   của trường có thể biểu diễn dưới dạng xâu bit ( a0a1 am-1). 
1.1.3 Số học Modulo (phép tính đồng dư)
Cho mỗi số nguyên dương n và một số nguyên a bất kì nếu chúng ta chia a cho 
n được thương là q và phần dư là r: a = q*n  
+ r với 0 = < r < n và q = [a/n]  
Kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x.  
Như vậy, nếu a    Z  và  n    Z+  thì  chúng  ta  định nghĩa a mod n phần dư 
của phép chia a cho n. Với ví dụ trên ta có: r = a mod n.  
Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư với nhau theo modul n nếu và chỉ 
nếu: a mod n = b mod n và kí hiệu là a    b mod (n)  

 

6 

Chú ý: nếu a    0 mod (n) thì n|a  
Từ việc tính đồng dư theo mod n ta tách được số nguyên thành n lớp mỗi lớp 
chứa các số nguyên đồng dư với nhau theo (mod n) và tập các lớp này được kí hiệu 
là: Z/nZ và chứa đúng n phần tử thuộc đoạn [0, n-1]. 
1.1.4. Không gian rời rạc của phép lấy Logarit
Ta  kí  hiệu Fp  là  tập các lớp đồng dư theo Modul p hay Fp  = Z/pZ = (0, 1, 
2,…, p-1)  
Zp/Z* là những tập gồm các số nguyên tố cùng nhau với p hay tập các phần tử 
có nghịch đảo trong Z/pZ. Ta kí  hiệu Fp*  = Z/pZ*  
Với p là  số nguyên  tố thì  Z/pZ  =  Z/pZ *  =  Fp  =  Fp* =  (0,  1,  2, …, p-1). 
1.1.5. Định lí Fermat và định lí Euler
* Định lí Fermat: 
Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap    

a (mod p). 

Nếu a không chia hết cho p tức là (a(mod p) ≠ 0) thì ap-1   

1 (mod p). 

* Định lí Euler: Nếu gcd(a,m) = 1 thì aФ(m)    = 1 mod m.  Trong trường hợp m là số 
nguyên tố thì Ф(m) = m-1 và ta  có định lí Fermat. 
1.1.6. Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập
a, Hàm một phía:
Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều nhưng 
rất khó để tính ngược lại.   

Ví dụ: Biết giả thiết x thì có thể dễ dàng tính ra f(x), nhưng nếu biết f(x) thì 
khó tính ra được x. Trong trường hợp này “khó” có nghĩa là để tính ra được kết quả 
thì phải mất nhiều thời gian để tính toán.  
b, Hàm một phía có cửa sập:
F(x) được gọi là hàm  một phía có  cửa sập nếu tính xuôi y = f(x) thì dễ tính 
ngược x = f-1(y ) thì khó tuy nhiên nếu có “ cửa sập” thì vấn đề tính ngược trở nên 
dễ dàng. Cửa sập ở đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngược.  
Ví dụ: Hộp thư là một ví dụ khác về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng 
có thể bỏ thư vào thùng. Bỏ thư vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng 
thư không phải hành động công cộng. Nó là khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để 

 


7 

phá hoặc những công cụ khác. Tuy nhiên, nếu bạn có “ cửa sập” ( trong trường hợp 
này là chìa khóa của hòm thư) thì công việc mở hòm thư thật dễ dàng. 
1.1.7. Định lí Trung Quốc về phần dư:
Giả  sử  m1,  m2,…,mr  là  các  số  nguyên  dương  nguyên  tố  cùng  nhau từng đôi 
một và cho a1, a2,…,ar  là các số nguyên.  Khi đó,  hệ  r đồng dư thức: x= ai mod  mi 
(1  ≤  i  ≤  r)  sẽ  có  một  nghiệm duy nhất theo modul M= m1,  m2,…, mr  được  tính 
theo công thức sau: 
r

x 



a i M i y i (m o d M )  

i 1

Trong đó Mi  = M / mi  và yi  = Mi-1  mod mi  với 1 ≤ i ≤ r 
1.2. Mật mã
1.2.1. Khái niệm
- Bản rõ (plaintext or cleartext): Chứa các xâu ký tự gốc, thông tin trong bản 
rõ là thông tin cần mã hoá để giữ bí mật.  
- Bản mã (ciphertext): Chứa các ký tự sau khi đã được mã hoá, mà nội dung 
được giữ bí mật.  
- Mật mã học (Crytography): Là khoa học để giữ thông tin được an toàn.  
- Sự mã hoá (Encryption): Quá trình che dấu thông tin bằng phương pháp nào 
đó để làm ẩn nội dung bên trong gọi là sự mã hoá.  
- Sự giải mã (Decryption): Quá trình biến đổi trả lại bản mã thành bản rõ.  
Quá trình mã hoá và giải mã được thể hiện trong sơ đồ sau:  
 

  Bản rõ 
 

Bản rõ gốc 

Bản mã 
mãmax
Mã hóa 

Giải mã 

 
Hình 1.1. Sơ đồ mã hóa và giải mã 

- Hệ mật mã: Là một hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thoả mãn các 
tính chất sau:   
P (Plaintext): Là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể.  

 


8 

C (Ciphertext): Là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể.  
K (Key): Là tập hợp các bản khoá có thể.  
E (Encrytion): Là tập hợp các qui tắc mã hoá có thể.  
D (Decrytion): Là tập hợp các qui tắc giải mã có thể.  
Với mỗi k có một hàm lập mã ek, ek:P, và một hàm giải mã dk, dk:C sao cho: dk 
(ek(x)) =x,  với  x € P. 
. 
-  Một  thông  báo  thường  được  tổ  chức  dưới  dạng  bản  rõ.  Người  gửi  sẽ  làm 
nhiệm vụ mã hoá bản rõ, kết quả thu được gọi là bản mã. Bản mã này được gửi đi 
trên  một đường truyền tới người nhận sau khi nhận được bản  mã người nhận giải 
mã nó để tìm hiểu nội dung.   
Ek(P) = C    và  Dk (C) = P 
1.2.2. Những yêu cầu đối với hệ mật mã
Cung cấp một mức cao về tính bảo mật, tính toàn vẹn, tính chống chối bỏ và 
tính xác thực: 
  Tính bảo mật: Bảo đảm bí mật cho các thông báo và dữ liệu bằng việc che 
dấu thông tin nhờ các kỹ thuật mã hóa. 
  Tính toàn vẹn (integrity): Bảo đảm với các bên rằng bản tin không bị thay 
đổi trên đường truyền tin. 
  Tính không thể chối bỏ (Non-repudiation): Có thể xác nhận rằng tài liệu đã 
đến từ ai đó, ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó. 

  Tính xác thực (Authentication): Cung cấp hai dịch vụ: 
o

Nhận  dạng  nguồn  gốc  của  một  thông  báo  và  cung  cấp  một  vài  bảo 

đảm rằng nó là đúng sự thực.  
o

Kiểm tra định danh của người đang đăng nhập một hệ thống, tiếp tục 

kiểm  tra  đặc  điểm  của  họ  trong  trường  hợp  ai  đó  cố  gắng  kết  nối  và  giả  danh  là 
người sử dụng hợp pháp. 
1.2.3. Hệ mã hóa RSA
Sinh khóa: 
Giả  sử  A  và  B  cần  trao  đổi  thông  tin  bí  mật  thông  qua  một  kênh  không  an 
toàn  (ví  dụ  như  Internet).  Với  thuật  toán  RSA,  A  đầu  tiên  cần  tạo  ra  cho  mình 

 


9 

cặp khóa  gồm khóa công khai và khóa bí mật theo các bước sau: 
- Chọn 2 số nguyên tố lớn p và q với  p  q             
- Tính: n = p.q 
- Tính giá trị hàm số Ơle   ( n)   (p  - 1).(q  - 1)                                          
- Chọn  một  số  tự  nhiên  e  sao  cho  1 < e <  (n)   và  là  số  nguyên  tố  cùng 
nhau  với  (n)           . 
-  Tính d sao cho  e.d     1 (mod( (n))                               . 
Khóa công khai (n,e)  

Khóa bí mật (n, d) 
Mã hóa: 
Giả  sử  B  muốn  gửi  đoạn  thông  tin  M cho  A.  Đầu  tiên  B  chuyển  M thành 
một số  m < n theo  một  hàm có  thể  đảo  ngược (từ  m có thể  xác  định  lại  M) được 
thỏa  thuận trước. Lúc này B có m và biết n cũng như e do A gửi. B sẽ tính c là bản 
mã hóa  của m theo công thức:  
c = me mod n
Giải mã: A nhận c từ B và biết khóa bí mật d. A có thể tìm được m từ c theo công 
thức sau: 
m = cd mod n
1.2.4. Hệ mã hóa Paillier
Hệ  mã  hóa  Paillier  được  đặt  theo  tên  và  phát  minh  của  Pascal  Paillier  năm 
1999. Đây là thuật toán bất đối xứng cho hệ mật mã khóa công khai. 
Sinh khóa: 
- Chọn hai số nguyên tố lớn p và q 
- Tính n = p * q sao cho gcd(n, (p-1)(q-1)) = 1 
- Chọn ngẫu nhiên  g     Z*n  thỏa mãn  gcd( L( g   mod n 2 ), n)  1  với 
2

L(u ) = 

u 1
   và    = lcm(p-1, q-1)  
n

Khóa công khai là (n, g);   
Khóa bí mật là: (p, q,  ) 

 

10 

Mã hóa: 
Mã hóa thông điệp mc = gmrn mod n2
Giải mã: 
Sử dụng khóa bí mật để giải mã như sau: 

m  = 

L(c  mod n 2 )
mod  n  
L( g  mod n 2 )

1.2.5. Hệ mã hóa ElGamal
Hệ mật mã ElGamal được T. ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào bài toán  tính 
logarit rời rạc và sau đó đã nhanh chóng được sử dụng rộng rãi không  những trong 
vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký điện tử. 
* Tạo cặp khóa (bí mật, công khai( (a, b):
Chọn số nguyên tố p sao cho bài toán logarit rời rạc trong Zp là “khó” giải. 
Chọn phần tử nguyên thủy  g  Z *p . Tính khóa công khai h ≡ ga mod p. 
Định nghĩa tập khóa: K = {(p, g, a, h): h ≡ ga mod p}. Các giá trị p, g, h được 
công khai, phải giữ bí mật a. Với bản rõ x   P và bản mã y  C , với khóa k  K.  
* Lập mã : Chọn ngẫu nhiên bí mật r   Zp-1,  
Bản mã là y = ek(x, r) = (y1, y2). 
Trong đó : y1 = gr mod p và y2 = x * hr mod p  
* Giải mã : dk (y1, y2) = y2( y1a )-1 mod p. 
1.2.6 Hệ mật đường cong Eliptic
- Định nghĩa: Cho p > 3 là số nguyên tố. Đường cong Eliptic y2 = x3 + ax + b trên Zp 

là tập các nghiệm (x,y)  Zp x Zp của đồng dư thức y2 = x3 + ax + b(mod p) 
Trong đó a, b Zp là các hằng số thỏa mãn 4a3 + 27b2    0(mod p) (để đa thức 
x3 + ax + b không có nghiệm bội) cùng với điểm đặc biệt 0 được gọi là điểm vô hạn. 
- Định lý Hasse: Việc xây dựng các hệ mật mã trên dường cong Eliptic bao gồm việc 
lựa chọn đường cong E thích hợp và một điểm G trên E gọi là điểm cơ sở. Xét trường 
K là Fq. 
N  là  số  điểm  của  E  trên  Fq  (trường  hữu  hạn  q  phần  tử).  Khi  đó: 

 


11 

N  ( q  1)     2 q . Từ định lý Hasse suy ra E(Fq) = q +1 – t trong dó  t   2 q . 
- Hệ mật trên đường cong Eliptic
Hệ  ElGamal  làm  việc  với  nhóm  Cyclic  hữu  hạn.  Năm  1978,  Kobliz  đã  đưa 
một hệ trên ECC dựa trên hệ ElGamal. 
Để  xây  dựng  hệ  mã  hóa  dựa  trên  đường  cong  Eliptic  ta  chọn  đường  cong 
E(a,b)  và  một  điểm  G  trên  đường  cong  làm  điểm  cơ  sở.  Mỗi  người  dùng  A  một 
khóa bí mật nA là một số nguyên và sinh khóa công khai PA = nA *G. 
Khi  đó  hệ  mã  hóa  đường  cong  Eliptic  được  xây  dựng  tương  tự  hệ  mã  hóa 
ElGamal, trong đó thuật toán mã hóa và giải mã được xác định như sau: 
Thuật toán mã hóa: Giả sử người dùng A muốn gửi thông điệp cần mã hóa Pm 
tới người dùng B, chọn một số ngẫu nhiên k và gửi thông điệp mã hóa Cm được tính 
như sau:  Cm  k * G,  Pm + k * PB    (PB là khóa công khai của B). 
Thuật toán giả mã: Để giải thông điệp  Cm  k * G,  Pm + k * PB  , người dùng 
B thực hiện tính như sau: 

Pm  + k * PB  - n B * k * G = Pm + k * PB - k * n B * G = Pm + k * PB  - k * PB  Pm  
Chỉ B mới có thể giải mã vì B có nB (là khóa bí mật). 

1.3. Chữ ký điện tử
1.3.1. Sơ đồ chữ ký điện tử
Một sơ đồ  chữ ký điện tử S là một bộ năm: S = (P, A, K, S, V) thỏa mãn các 
điều kiện dưới đây: 
P: tập hữu hạn các thông báo có thể có.  
A: tập hữu hạn các chữ ký số có thể có. 
K: tập hữu hạn các khóa có thể. 
S: tập các thuật toán ký. 
V: tập các thuật toán kiểm thử. 
Mỗi khóa K’    K có hai  thành phần K’ = (K1,  K2), K1  là khóa bí mật  dùng 
để  ký, còn K2  là khóa công khai để xác thực chữ ký. 
Với mỗi K’ = (K1, K2), trong S có thuật toán kí: 

 


12 

Sig K  : P    A   
1

x   P    y= Sigk(x)   
Và trong V có thuật toán kiểm thử: Nếu 

VerK :  P    A      Đúng , Sai;  
2

Hai thuật toán thỏa mãn điều kiện sau với mọi   x     P, y   A:    
 

Verk(x, y) =  Đúng Nếu  y = Sigk(x) 

 

                        Sai     Nếu  y     Sigk(x) 

  
1.3.2. Chữ ký mù RSA
a) Khái niệm
Chữ    ký  mù  được  David  Chaum  đưa  ra  vào  năm  1983.  Trong    hệ    chữ    ký 
thông thường, người ký phải được nắm rõ nội dung văn bản  cần  kỹ, có thể  lưu bản  
sao.  Trong  hệ  chữ  ký  mù  (blind  signature),  người  ký  sẽ    không  được  thấy  rõ  nội 
dung  mà  mình  ký,  các  thông  điệp  cần  được  kí  bị  “che”  đi.  Tuy  nhiên  hệ  chữ  ký 
cũng đảm bảo cho người ký có thể kiểm tra tính hợp lệ của thông tin cần ký. Chữ ký 
mù thường được dùng trong các vấn đề đòi hỏi sự ẩn danh, nó dược ứng dụng phổ 
biến trong tiền điện tử, bỏ phiếu điện tử…  
Nội dung M trước khi người A đưa cho người kí B sẽ  bị  làm mù thành M’. 
Người kí lúc này sẽ kí trên M’ chứ không phải trên M. Sau khi có được chữ kí trên 
M’, A xóa mù để có được chữ kí trên M. Như vậy người A vẫn có chữ kí hợp lệ của 
người B trên M mà B không biết thông tin gì về M.  
Ví dụ: A chuẩn bị một văn bản M, cho vào một phòng bì A4, có kèm một tờ 
giấy than, rồi dán lại và đưa cho B. B chỉ có thể ký lên phía ngoài phong bì, nhưng 
chữ ký sẽ  được  tạo ra trong văn bản bên trong thông qua tờ  giấy  than.  Mặc dù B 
không thể biết được nội dung thật của văn bản này, nhưng có thể đánh giá được tính 
trung thực của A (không tạo ra gì xấu cho B) mà một phép kiểm tra theo phương 
pháp thách thức - đáp ứng.  
b) Sơ đồ chữ ký RSA
- Chọn p, q nguyên tố lớn .   

 

13 

Tính n = p.q;    (n) = (p-1)(q-1). 
Chọn b nguyên tố cùng   (n). 
 
Chọn a nghịch đảo với b; a = b-1 mod   (n). 
 
- Ký trên x: Sig (x) = xa mod n 
- Kiểm tra chữ ký: Ver (x,y)= True    x    yb    mod n   
Ví dụ: 
- p = 3; q = 5; n =15;   (n) = 8;  
 Chọn b = 3; a = 3 
- Ký x = 2: 
  
 
Chữ ký :  y = xa mod n =  23 mod 15 = 8 
 
 
Kiểm tra: x = yb mod n = 83 mod 15 =2 (chữ ký đúng) 
c) Sơ đồ chữ ký mù RSA
Giả  sử  người  A  muốn có được  chữ  kí của B trên văn bản  M  theo sơ đồ  
chữ  kí RSA nhưng không muốn cho B biết nội dung của M. A cần thực hiện các 
bước sau:  
Ví dụ: Giả sử B dùng sơ đồ chữ ký RSA (n, p, q, b, a).    
-  A  che  dấu  M  bởi  y  =  M*rb  (mod  n),  (r  được  chọn  sao  cho  tồn  tại  phần  tử 
nghịch đảo r-1 (mod n)).  
- A gửi bí danh y cho B  
- B ký trên bí danh y được chữ ký z:  z = ya   (mod n)  

- B gửi chữ ký z cho A. 
- A "xoá mù" trên z sẽ tìm lại được chữ ký trên M bằng cách tính toán:  
Unblind(z) = z*r-1 = (M*rb)a  * r-1 = (xa *r) * r-1 = Ma  (mod n) 
A đã có được chữ ký của B  trên M, đó là Ma  (mod n)  
Như vậy ta đã đạt được mục đích: A đã nhận được chữ kí của B (là: Ma  mod n) 
mà B không biết nội dung của M. 
1.3.3. Chữ ký nhóm (Group Signature) 
Chữ ký nhóm Chữ ký nhóm là chữ ký điện tử đại diện cho một nhóm người, 
một tổ chức. Các  thành viên của một nhóm được phép ký trên thông điệp với tư cách 

 


14 

là người đại diện  cho nhóm. 
Chữ  ký  nhóm  được  David  Chaum và  Van  Heyst  giới  thiệu  lần  đầu  tiên  vào 
năm  1991. Kể từ đó đến nay đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu và đưa ra một số 
sơ  đồ chữ ký nhóm khác nhau như sơ đồ chữ ký nhóm của Chen và Pedersen năm 
1994,  sơ đồ chữ ký nhóm của Camenisch và Stadler năm 1997. 
Đặc điểm của chữ ký nhóm: 
- Chỉ có thành viên trong nhóm mới có thể ký tên vào bản thông báo đó. 
- Người nhận thông điệp có thể kiểm tra xem chữ ký đó có đúng là của nhóm 
đó  hay không, nhưng người nhận không thể biết được người nào đã ký vào thông điệp đó. 
- Trong trường hợp cần thiết chữ ký có thể được “mở” (có hoặc là không có sự 
giúp đỡ của thành viên trong nhóm) để xác định người nào đã ký vào thông điệp đó. 
Một số hệ chữ ký nhóm: 
- Undeniable Signature (chữ kí không thể phủ nhận) 
- MultiSignature (đồng ký) 
- Proxy Signature (chữ ký ủy nhiệm) 

Các thành phần của sơ đồ chữ kí nhóm: 
- Người quản lý nhóm 
- Các thành viên trong nhóm 
- Người không thuộc nhóm 
Một sơ đồ chữ kí nhóm thường bao gồm 5 thủ tục: 
- KeyGen: Là  thuật  toán  sinh  khóa  công  khai  của  nhóm,  khóa  bí  mật  của 
người  quản lý nhóm: 
KeyGen()     (pk, gmsk) 
Trong  đó  pk  là  khóa  công  khai  của  nhóm  (dùng  để  xác  minh  chữ  kí  của  nhóm), 
gmsk là khóa bí mật của nhóm. Nếu số người trong nhóm là cố định thì: 
KeyGen()     (pk, gmsk,ski) 
Trong đó ski  là khóa bí mật của thành viên thứ i trong nhóm. 
- Join: Cho phép một người không phải là thành viên trong nhóm muốn tham 
gia  nhóm. Khi gia nhập nhóm, thành viên i sẽ nhận được khóa bí mật của mình là 

 


15 

ski, người quản lý nhóm có trách nhiệm lưu thông tin của thành viên mới này. 
- Sig: Khi thành  viên  i  muốn  ký  thông  điệp  m  đại  diện  cho  nhóm,  anh  ta  sẽ 
sử dụng thủ tục: 
Sig: Sig(m,ski)        
Chữ ký trên thông điệp m sẽ là   . 
- Verify: Khi muốn kiểm tra chữ ký     có phải  là chữ kí đại diện cho nhóm 
trên 

m 

hay 

không, 

ta 

sử 

dụng 

thủ 

tục: 

True
                                  Verify (m,  , pk ) =  
      
 False
- Open: Với  mỗi  chữ  ký  trên  thông  điệp  m, người  quản  lý  nhóm có  thể  xác 
định được thành viên nào đã ký vào thông điệp bằng việc sử dụng thủ tục: 
Open(gmsk,m,   ) 
 đầu ra của thủ tục là thông tin về thành viên đã ký. 
1.4. Khái niệm xác thực điện tử
Xác thực điện tử là việc chứng minh từ xa bằng phương tiện điện tử, sự tồn tại 
chính xác và hợp lệ danh tính của một chủ thể khi tham gia trao đổi thông tin điện 
tử như: cá nhân, tổ chức, dịch vụ,... hoặc một lớp thông tin nào đó mà không cần 
biết các thông tin đó cụ thể như thế nào, thông qua thông tin đặc trưng đại diện cho 
chủ thể đó mà vẫn đảm bảo được bí mật của chủ thể, hoặc lớp thông tin cần chứng 
minh.  
Xác thực điện tử là việc cần thực hiện trước khi thực sự diễn ra các cuộc trao 

đổi thông tin điện tử chính thức.  
Việc xác thực điện tử trong hệ thống trao đổi thông tin điện tử được uỷ quyền 
cho  một bên  thứ  ba  tin  cậy. Bên  thứ  ba ấy  chính  là CA  (Certification Authority), 
một cơ quan có tư cách pháp nhân thường xuyên tiếp nhận đăng ký các thông tin 
đặc trưng đại diện cho chủ thể: khoá công khai  và  lưu trữ khoá công khai cùng lý 
lịch của chủ thể trong một cơ sở dữ liệu được bảo vệ chặt chẽ. CA chuyên nghiệp 
không nhất thiết là cơ quan nhà nước. Điều quan trọng nhất của một CA là uy tín để 
khẳng định sự thật, bảo đảm không thể có chuyện "đổi trắng thay đen".  

 


16 

Mục đích của việc xác thực điện tử: Chống giả mạo, chống chối bỏ, đảm bảo 
tính  toàn  vẹn,  tính  bí  mật,  tính  xác  thực  của  thông  tin  và  mục  đích  cuối  cùng  là 
hoàn thiện các giải pháp an toàn thông tin.  
Cơ sở ứng dụng đề xây dựng các giải pháp an toàn cho xác thực điện tử là các 
hệ mật mã.  
Ứng  dụng  trong:  Thương  mại  điện  tử,  trong  các  hệ  thống  thanh  toán  trực 
tuyến, là nền tảng của chính phủ điện tử.  
1.5. Hàm băm (Hash Function)
Hàm băm là một hàm tính toán có hiệu quả khi ánh xạ các dòng nhị phân có 
độ  dài tùy ý thành các dòng nhị phân có độ dài cố định nào đó. 
Hàm  băm  yếu:  hàm  băm  được  gọi  là  yếu  nếu  cho  một  thông  điệp  x  thì  về 
mặt  tính toán không tìm ra được thông điệp x’  khác x sao cho: h(x’) = h(x) 
Hàm băm mạnh: hàm băm được gọi là mạnh nếu về mặt tính toán không tìm 
ra  được hai thông điệp x và x’ sao cho: x’  ≠ x và h(x’) = h (x) 
Chọn giá trị x ngẫu nhiên, x ϵ x 
Tính z = h(x), tính x1  = A(z) 

Nếu x1  ≠ x thì x1  và x va chám dưới h (thành công) 
Ngược lại là thất bại. 
Hàm  băm  có  tính  chất  một  chiều:  hàm  băm  có  tính  chất  một  chiều  nếu  cho 
trước  thông điệp rút gọn z thì về mặt tính toán không tìm ra được thông điệp x sao 
cho: h(x) = z 
Hàm  băm  yếu  làm  cho  chữ  ký  số  trở  nên  tin  cậy  giống  như  việc  ký  trên 
toàn  thông điệp. 
Hàm băm mạnh có tác dụng chống lại kẻ giả mạo tạo ra hai bản thông điệp có 
nội  dung khác nhau, sau đó thu nhận chữ ký hợp pháp cho một bản thông điệp dễ 
được xác  nhận rồi lấy nó giả mạo làm chữ ký của thông điệp thứ 2 

 


17 

CHƯƠNG 2
HỆ MẬT MÃ ELGAMAL CẢI TIẾN
VÀ MÃ HÓA ĐỒNG CẤU

2.1. Hệ mã hóa ElGamal cải tiến
2.1.1. Thuật toán mật mã ElGamal cổ điển
Sơ đồ (ElGamal  đề xuất năm 1985)  
a/. Sinh khóa (bí mật, công khai)  (a, h) : 
Chọn số nguyên tố  p  sao cho bài toán logarit  rời rạc trong  Zp  là  “khó” giải.  
Chọn phần tử nguyên thuỷ  g  Zp* .     
Đặt   P = Z p*,   C = Z p*    Z p*.  
Chọn khóa bí mật là  a  Zp* .  Tính khóa công khai  h  g a   mod  p. 
Định nghĩa tập khóa:   = {(p, g, a, h):  h  g a   mod  p}. 
Các giá trị  p, g,  h  được công khai, phải giữ bí mật  a. 

Với   Bản rõ x  P

và Bản mã y  C, với khóa   k   định nghĩa: 

b/. Lập mã:  
Chọn ngẫu nhiên bí mật  r  Zp-1,   
Bản mã là  y = ek (x, r)  =  (y1, y2) 
Trong đó  y1 = g r  (mod p) và  y2 = x * h r  (mod p) 
c/. Giải mã:  dk (y1, y2)   =   y2  (y1 a) -1  ( mod p) = x.  
Ví dụ
* Bản rõ   x = 1985. Chọn  p = 2179,  g = 2,  a = 365.   
Tính khóa công khai h = 2 365 mod 2179 = 2175. 
* Lập mã: Chọn ngẫu nhiên  r  = 503.     
Bản mã là  y = (932, 91), trong đó 
y1 = 2503  mod  2179 = 932  và   
y2 = 1985 * 2175 503 mod  2179 =  91   
* Giải mã:  x =  y2  (y1 a) -1   mod p =   91(932365)-1 mod 2179 =  1985.