Đồng nhất thức của đa thức fibonacci, đa thức lucas và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THU HẰNG

ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC
FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THU HẰNG

ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC
FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Mục lục

i

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

1

Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas

4

1.1

Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định nghĩa và ví dụ dãy Fibonacci và dãy Lucas . . .

4

1.1.2

Một số tính chất của dãy Fibonacci và dãy Lucas . .

9

Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas . . . .

11

1.2
2

Ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas
đối với số nguyên

37

2.1

Các đồng nhất thức trong toán học phổ thông . . . . . . . .

37

2.2

Ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas đối với số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Vũ Hoài An, đã
trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên
cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin,
Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế , các bạn học viên lớp Cao học
Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng
nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập
và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân

luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, 2015

Phạm Thu Hằng
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Dãy số Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử
0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng
tổng hai phần tử trước nó. Hơn nữa, sau 4 số đầu tiên trong dãy, tỷ lệ của một
số bất kỳ với số liền trước gần bằng 1,618. Đây là tỉ lệ vàng và được ứng dụng
trong nhiều ngành khoa học và mỹ thuật.
Dãy số Lucas khác dãy số Fibonacci ở hai phần tử thứ nhất và thứ hai, còn
công thức truy hồi thì giống nhau. Do vậy, dãy số Lucas có những tính chất
khác dãy số Fibonacci. Kí hiệu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas lần lượt là Fn
và Ln .
Đa thức Fibonacci Fn (x) và đa thức Lucas Ln (x) được định nghĩa như
sau:
F0 (x) = 0, F1 (x) = 1 và Fn+1 (x) = x.Fn (x) + Fn−1 (x) với mọi n ≥ 1.
L0 (x) = 2, L1 (x) = x và Ln+1 (x) = x.Ln (x) + Ln−1 (x) với mọi n ≥ 1.
Nếu x = 1 thì Fn (1) = Fn và Ln (1) = Ln .

Tìm hiểu, nghiên cứu Fn (x), Ln (x) là công việc có ý nghĩa. Chẳng hạn,
nếu ta thiết lập được đồng nhất thức của Fn (x), Ln (x) thì ta thiết lập được
đồng nhất thức của Fn , Ln . Mặt khác, đa thức Fn (x), Ln (x) sẽ có ứng dụng
trong Toán học phổ thông: đây là chủ đề bồi dưỡng học sinh giỏi, nó xuất hiện
nhiều trong báo Toán học Tuổi trẻ, trong các tài liệu toán nâng cao, trong các
đề thi học sinh giỏi.


2
Trong [2], Nguyễn Thu Trang đã nghiên cứu số Fibonacci, dãy số Lucas.
Sự liên hệ giữa phương trình Diophantine với dãy số Fibonacci, dãy số Lucas
đã được đề cập trong [1]. Trong [5], Wang Ting Ting và Zhang Wenpeng đã
thiết lập các đồng nhất thức chứa đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và đưa ra
các ứng dụng của nó. Các đồng nhất thức liên quan đến đạo hàm được trình
bày trong [4]. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề: Đồng
nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và ứng dụng.
2. Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tổng hợp và trình bày một số đồng nhất thức của
đa thức Fibonacci, đa thức Lucas trong , [3], [4] và [5]. Ngoài ra, chúng tôi đã
đưa ra phương pháp ứng dụng các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa
thức Lucas trong toán học phổ thông. Cụ thể là: Khi có một đồng nhất thức
của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biến số nhận giá trị 1, thì ta có
một hệ thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas.
Hơn nữa, ta có thể thiết lập các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa
thức Lucas bằng cách kết hợp giữa các đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong
toán học phổ thông với các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức
Lucas đã có. Khi đó ta lại cho các biến nhận giá trị 1 và nhận được các hệ
thức với dãy Fibonacci, dãy Lucas.
3. Nội dung nghiên cứu
Luận văn trình bày các kết quả trong [4], [5] và ứng dụng của nó trong

toán phổ thông. Cụ thể là:
- Trình bày 24 định lý từ Định lý 1.2.1 đến Định lý 1.2.24;
- Trình bày 10 ví dụ về đẳng thức và bất đẳng thức trong toán học phổ
thông từ Ví dụ 2.1.1 đến Ví dụ 2.1.10;
- Trình bày 10 ví dụ minh họa việc thiết lập các đồng nhất thức mới bằng
cách kết hợp giữa các hệ thức của toán học phổ thông và các đồng nhất thức


3
của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas: từ Ví dụ 2.2.1 đến Ví dụ 2.2.10.
- Trình bày Ví dụ 2.2.11, 2.2.12 minh họa cho phương pháp ứng dụng:
khi có một đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biến
nhận giá trị 1 thì nhận được đồng nhất thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas.
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau:
Chương 1 trình bày đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas.
Chương 2 trình bày ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa
thức Lucas đối với số nguyên trong toán học phổ thông.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Phạm Thu Hằng
Email:


4

Chương 1

Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức
Lucas

Nội dung chủ yếu của Chương 1 trình bày các kết quả trong [4], [5] thông
qua 24 định lý, từ Định lý 1.2.1 đến Định lý 1.2.24. Trước tiên chúng tôi nhắc
lại dãy số Fibonacci, dãy số Lucas đã được đề cập trong [1], [2].

1.1
1.1.1

Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas
Định nghĩa và ví dụ dãy Fibonacci và dãy Lucas

Định nghĩa 1.1.1. Dãy {Fn } các số Fibonacci được định nghĩa bởi hệ thức
truy hồi sau
Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

n ≥ 2,

với các giá trị ban đầu
F0 = 0, F1 = 1.
Ví dụ 1.1.1. Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
Ví dụ 1.1.2. Dãy số Fibonacci và quy luật tự nhiên:
a) Sự sắp xếp các cánh hoa trên một bông hoa
b) Số lượng các đường xoắn ốc (hoặc đường chéo)

(1.1)


5

Hình 1.1: Hoa một cánh.

Hình 1.2: Hoa hai cánh.

Hình 1.3: Hoa ba cánh.

Hình 1.4: Hoa năm cánh.

Hình 1.5: Hoa tám cánh.

Hình 1.6: Hoa 13 cánh.

Không chỉ ở số cánh hoa, dãy số Fibonacci còn hiện hữu một cách đáng
ngạc nhiên hơn bạn nghĩ. Khi bạn quan sát nhị của bông hoa hướng dương,
nhìn từ tâm ra, theo hai hướng cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ, bạn
sẽ thấy các đường xoắn ốc. Và có một điều lạ là, số đường xoắn ốc đó luôn
là một số thuộc dãy Fibonacci theo từng cặp: 21 và 34, hoặc 34, 55, hoặc 55,
89, hoặc 89 và 144.


6

Tương tự, khi bạn quan sát một hạt thông (nón thông): số đường xoắn ốc
theo các hướng khác nhau luôn là các cặp số thuộc dãy số bí ẩn: 8 và 13; 5 và
8. . .

Và cũng như vậy đối với quả dứa: số đường chéo tạo bởi các mắt dứa theo
các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21. . . .tùy kích thước.

c) Sự mọc chồi của cây

7
Nhiều loài cây biểu hiện dãy số Fibonacci trong số lượng các “điểm phát
triển” (nút) mà nó có. Khi một cây mọc cành non, thì cành đó phải lớn lên
một thời gian, trước khi đủ khỏe để bản thân nó có thể sinh cành non mới.
Nếu mỗi tháng cây mọc cành mới tại các nút ấy, thì chúng ta có hình vẽ minh
họa như trên. Số lượng các nút mỗi thời điểm luôn là một con số Fibonacci.
Một ví dụ: Cây Romanesque Brocolli / Súp lơ trắng (hoặc Romanesco)
trông và có vị giống như lại giữa brocolli và súp lơ. Mỗi Hoa con đều giống
hệt nhau nhưng nhỏ hơn. Điều này làm cho các xoắn ốc dễ nhìn thấy.

d) Số Fibonacci và sự mọc của lá xanh từ thân cây
Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo các số Fibonacci. Nếu chúng
ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không che khuất
lá mọc dưới. Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và nước
mưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọc
theo lá, cành và thân cây.
Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới,
lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp chiếc
lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện.
Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng


8
xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá).
Kỳ lạ là: Con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta
gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau!

Ví dụ: Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quay
thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x), hoặc

là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8 lá.
3, 5, 8 là 3 số liên tiếp trong dãy Fibonacci.
Các chiếc lá được đánh số khi quay vòng quanh thân từ trên xuống dưới,
bắt đầu từ (x) rồi đến 1,2,3,. . . Kinh ngạc thay, mỗi chiếc lá liền kề cách nhau
khoảng 222.5, tức là chính xác 0,618 vòng tròn. 0,618 chính là 1/Φ ( khác
với hoa hướng dương là 1 − 1/Φ).
Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất,
rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13)


9
Lá số

Số vòng quay

Số vòng quay

thuận chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đồng hồ
3

1

2

5

2

3

8

3

5

13

4

8

Định luật này đúng cho cả các lá tiếp theo (21), (34). . . Trên các cột và
các hàng đều là những con số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci!
Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng: 90% các loài cây có sự xếp lá tuân theo
dãy số Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {Ln } các số Lucas định nghĩa bởi hệ thức truy hồi
sau
Ln = Ln−1 + Ln−2 ,

n ≥ 2,

với các giá trị ban đầu
L0 = 2, L1 = 1.
Ví dụ 1.1.3. Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, . . .

1.1.2

Một số tính chất của dãy Fibonacci và dãy Lucas

Định lí 1.1.1. Với n ≥ 0, ta có
n

Fi = Fn+2 − 1,

a)
i=0
n

Li = Ln+2 − 1.

b)
i=0

(1.2)


10
Định lí 1.1.2. a) Tổng các số Fibonacci với chỉ số lẻ
n−1

F2i+1 = F2n .
i=0

b) Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn
n

F2i = F2n+1 − 1.
i=0

Định lí 1.1.3. a) Tổng các số Lucas với chỉ số lẻ
n−1

L2i+1 = L2n − 2.
i=0

b) Tổng các số Lucas với chỉ số chẵn
n

L2i = L2n+1 + 1.
i=0

Định lí 1.1.4.
n

iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2,

a)
i=0
n

iLi = nLn+2 − Ln+3 + 4.

b)
i=0

Định lí 1.1.5.
n

Fi2 = Fn Fn+1 ,

a)
i=0
n

L2i = Ln Ln+1 + 2.

b)
i=0

Định lí 1.1.6 (Đẳng thức Cassini). Với n > 1, ta có
a) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ,
b) L2n − Ln−1 Ln+1 = 5(−1)n .


11
Định lí 1.1.7.
Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 .
Định lí 1.1.8 (Đẳng thức d’Ocagne).
Fm Fn+1 − Fm+1 Fn = (−1)n Fm−n .
Định lí 1.1.9.
F2n = Fn (Fn−1 + Fn+1 ).
Định lí 1.1.10.
2
F2n+1 = Fn2 + Fn+1
.

Định lí 1.1.11.
2

F2n+k = Fk Fn+1
+ 2Fk−1 Fn+1 Fn + Fk−2 Fn2 .

Định lí 1.1.12 (Đẳng thức Cassini).
F3n = 2Fn3 + 3Fn Fn+1 Fn−1 = 5Fn3 + 3(−1)n Fn .
Định lí 1.1.13. Với m ≥ 2, ta có
Lmn+2n = Lmn L2n − Lmn−2n .
Định lí 1.1.14. Với n ≥ 2 và m ≥ 0, ta có
L4n+m − Lm = L2n L2n+m .

1.2

Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas

Định nghĩa 1.2.1. Đa thức Fibonacci Fn (x) và đa thức Lucas Ln (x) được
định nghĩa như sau:
F0 (x) = 0, F1 (x) = 1 và Fn+1 (x) = xFn (x) + Fn−1 (x) (∀n ≥ 1);
L0 (x) = 2, L1 (x) = x và Ln+1 (x) = xLn (x) + Ln−1 (x) (∀n ≥ 1);


12
Nếu x = 1 thì Fn (1) = Fn và Ln (1) = Ln .
Trong [5], Wang Ting Ting và Zhang Wenpeng đã chứng minh hai định lý
sau:
Định lí 1.2.1. Với các số nguyên dương h và n bất kì, ta có các đồng nhất
thức
h
2n
F2m+1
(x) =

(a)
m=0



1
(x2 + 4)n

(2n)!

(h + 1)

h

L2n
2m+1 (x)

(b)

n

= (h + 1)(−1)

h
2n+1
F2m+1
(x)

(c)

=

m=0

(x2 + 4)n

h

n
2n+1
F2m+1
(x)

(d)

n

1

k=1

F4k(h+1) (x)
2n
(−1)n−k
;
n−k
F2k (x)

+

k=1

2n + 1 F2(2k+1)(h+1) (x)
;
n−k
L2k+1 (x)

+
k=0

L2(2k+1)(h+1) (x)
2n + 1
.
(−1)n−k
L2k+1 (x)
n−k

=

m=0

+

n

(2n)!
(n!)2

m=0

(n!)2


2n F4k(h+1) (x)
;
n−k
F2k (x)

n

k=0

Chứng minh. Đối với số nguyên dương n và số thực x = 0 bất kỳ, bằng cách
sử dụng khai triển nhị thức
n

1
x+

n

=

x

k=0

n n−2k
x
,

k

ta có
1
x+

x−

1
x

x

n

(2n)!
=

x

1
x+

2n

(n!)2

2n

= (−1)

2n+1

n

n

=
k=0

2n
n−k

+
k=1

n

(2n)!
(n!)2

+
k=1

2n + 1
n−k

1
,

(1.3)

1
2n
(−1)n−k x2k + 2k ,
n−k
x

(1.4)

x2k +

x2k+1 +

x2k

1
x2k+1

,

(1.5)


13

x−

1

2n+1

n

1
2n + 1
n−k
2k+1
(−1)
x
− 2k+1 .
n−k
x

=

x

k=0

(1.6)

Bây giờ, trong (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) ta lấy x = α2m+1 , khi đó

1

=
x
−β 2m+1 . Từ định nghĩa của Fn (x) và Ln (x), ta có thể suy ra ngay các đồng
nhất thức

2n
F2m+1
(x) =

L2n
2m+1 (x)

1



(x2 + 4)n



n

= (−1)

=

+
k=1

và

(x2 + 4)n

n

(1.7)

2n
(−1)n−k F2k(2m+1) (x),
n−k

(1.8)

2n + 1
F(2m+1)(2k+1) (x),
n−k

(1.9)

k=1

n

(n!)2

2n
L2k(2m+1) (x) ,
n−k

+

(n!)2

1

2n+1
F2m+1
(x)

2n+1
L2m+1
(x)

(2n)!

(2n)!



n

n

k=0

2n + 1
(−1)n−k L(2m+1)(2k+1) (x).
n−k

=
k=0

(1.10)

Với số nguyên h > 0 bất kỳ, trong (1.7) ta lấy tổng trên m



h
n
h
1
(2n)!
2n
2n
(h + 1)
F2m+1
(x) = 2
+
L2k(2m+1) (x)
n
2
(x
+
4)
(n!)
n
−
k
m=0
m=0
k=1

h+1
=

(x2 + 4)n (n!)2
h+1

=

(x2

+

4)n

n

(2n)!




+
k=1
n

(2n)!
(n!)2

+
k=1

2n
n−k

α2k (α4k(h+1) − 1)

h+1

α4k−1

2n
n−k

h+1

α

4kh+2k

−α

+

4kh+6k

2−

β 2k (β 4k(h+1) − 1)

+β

α4k

β 4k−1
4kh+2k

−

β 4k

−β

4kh+6k


.

(1.11)


14
Lưu ý rằng các đồng nhất thức
α4kh+2k − α4kh+6k + β 4kh+2k − β 4kh+6k = −(α4kh+4k − β 4kh+4k )(α2k − β 2k )
= −(x2 + 4)F4kh+4k F2k .
và
2
2 − α4k − β 4k = −(α2k − β 2k )2 = −(x2 + 4)F2k
,

Từ (1.11) ta có thể suy ra ngay đồng nhất thức

h
(2n)!

1
2n
(h + 1)
F2m+1
(x) = 2
+
n
2
(x
+
4)
(n!)
m=0

n

k=1


2n F4k(h+1) (x)
.
n−k
F2k (x)

Điều này chứng minh đồng nhất thức (a) của Định lý 1.2.1.
Tương tự, từ công thức (1.8), (1.9) và (1.10) ta suy ra ba đồng nhất thức
còn lại của Định lý 1.2.1.
Định lí 1.2.2. Với các số nguyên dương h và n bất kì, ta có các đồng nhất
thức
h

L2n
2m (x)

(A)

=h

m=1

(B)

(n!)2

+
k=1

(−1)n

h
2n
F2m
(x)

n

(2n)!

=

(2n)!

(x2 + 4)n

m=1

n

+
k=1
h

n
2n+1
F2m
(x)

(C)

=

m=1
h

k=0

2n F2k(2h+1) (x) − F2k (x)
;
n−k
F2k (x)

h

(n!)2
F2k(2h+1) (x) − F2k (x)
2n
(−1)n−k
;
n−k
F2k (x)

L(2k+1)(2h+1) (x) − L2k+1 (x)
2n + 1
(−1)n−k
;
n−k
L2k+1 (x)

L2n+1
2m (x) =

(D)
m=1

1
=

(x2 + 4)n

n

k=0

F(2k+1)(2h+1) (x) − F2k+1 (x)
2n + 1
(−1)n−k
.
n−k
L2k+1 (x)


15
Chứng minh. Trong (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) ta lấy x = α2m , ta suy ra các
đồng nhất thức

L2n
2m (x)

2n
F2m
(x) =

1
(x2 + 4)

n

(2n)!
=

(n!)2


(−1)n
n

2n
L4km (x),
n−k

+
k=1

(n!)2



n

(2n)!

(1.12)

+
k=1

2n
(−1)n−k L4km (x) ,
n−k
(1.13)

n

L2n+1
2m (x)

=
k=0

2n + 1
L2m(2k+1) (x),
n−k

(1.14)

và
2n+1
L2m
(x)

n

1
=

(x2 + 4)n

k=0

2n + 1

(−1)n−k F2m(2k+1) (x).
n−k

(1.15)

Từ công thức (1.12), ta có
h

L2n
2m (x)

=h

m=1
n

(2n)!
=h

(n!)2

+
k=1
n

(2n)!
=h

(n!)2

+
k=1
n

(2n)!
=h

(n!)2

+
k=1
n

(2n)!
=h

(n!)2

n

(2n)!

+
k=1

(n!)2

+
k=1



2n
n−k
4k(h+1)

h

(α4km + β 4km )
m=1
4k

4k(h+1)

4k



α
−α
β
−β
2n


+
n−k
α4k − 1
β 4k − 1
4kh

4k(h+1)
− 2 + α4k + β 4kh − β 4k(h+1) + β 4k
2n α − α
n−k
2 − α4k − β 4k
4kh+2k
− β 4kh+2k )(α2k − β 2k ) − (α2k − β 2k )2
2n (α
n−k
(α2k − β 2k )2

2n F2k(2h+1) (x) − F2k (x)
.
n−k
F2k (x)

Điều này chứng minh đồng nhất thức (A) của Định lý 1.2.2.


16
Tương tự, từ công thức (1.13), (1.14) và (1.15) ta suy ra ba đồng nhất
thức còn lại của Định lý 1.2.2.
Bây giờ, chúng ta trình bày đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát - dạng
thứ nhất đã được đề cập trong [4].
Định nghĩa 1.2.2. Đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát - dạng thứ nhất được
định nghĩa bởi hệ thức
bn (x) = xbn−1 (x) + bn−2 (x),

n ≥ 2,

với điều kiện b0 (x) = 2b và b1 (x) = s, ở đó b và s là các số nguyên.
Ví dụ 1.2.1. b0 (x) = 2b, b1 (x) = s, b2 (x) = sx + 2b, b3 (x) = sx2 +
2bx + s.
Chú ý: Cho b = 0, s = 1, ta có b0 (x) = 0, b1 (x) = 1. Khi đó bn (x) là đa thức
Fibonacci.
Cho b = 1, s = x, ta có b0 (x) = 2, b1 (x) = x. Khi đó bn (x) là đa thức
Lucas.
Nếu x = 1 thì bn (1) là dãy Fibonacci - Lucas tổng quát.
Hàm tổng quát của đa thức Fibonacci là
∞

Fn (x)tn = t(1 − xt − t2 )−1 .

(1.16)

n=0

Hàm tổng quát của đa thức Lucas là
∞

Ln (x)tn = (2 − xt)(1 − xt − t2 )−1 .

(1.17)

n=0

Công thức tổng đối với đa thức Fibonacci là
[ n−1
2 ]
Fn (x) =

k=0

n − k − 1 n−1−2k
x
,
k

(1.18)


17
ở đó

n
m

= Cnm hệ số nhị thức và [x] là phần nguyên của số thực x.

Công thức tổng đối với đa thức Lucas là
[ n2 ]
Ln (x) =
k=0

ở đó

n
m

n

n − k n−2k
x
,
n−k
k

(1.19)

= Cnm hệ số nhị thức và [x] là phần nguyên của số thực x.

Hàm tổng quát của đa thức Fibonacci - Lucas là
∞

bn (x)tn =

2b(1 − xt) + st

n=0

(1 − xt − t2 )

(1.20)

.

Hệ thức liên hệ giữa đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát và đa thức Fibonacci
- Lucas là
(1.21)

bn (x) = sFn (x) + b(2 − xt)Ln (x).

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số đồng nhất thức của đa thức Fibonacci Lucas tổng quát trong [4].
Định lí 1.2.3.
∞

∞
n

xt

bn (x)t = [2b(1 − xt) + st] e
n=0

(n + m)!
m!n!

m=0

t2m .

Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có
∞

bn (x)tn = [2b(1 − xt) + st](1 − xt − t2 )−1
n=0

= [2b(1 − xt) + st][1 − (x + t)t]−1
∞

(x + t)n tn

= [2b(1 − xt) + st]
n=0
∞

= [2b(1 − xt) + st]

n

t
n=0

n
m=0

n n−m m
x
t
m


18
∞

n

n!

= [2b(1 − xt) + st]

m!(n − m)!

n=0 m=0
∞

xn−m tm+n

n

(n + m)!
= [2b(1 − xt) + st]
xn t2m+n
m!n!
n=0 m=0
∞

∞

(xt)n

= [2b(1 − xt) + st]
n=0

n!
∞

(n + m)!

m=0

m!n!

(n + m)!

xt

= [2b(1 − xt) + st] e

m!n!

m=0

t2m

t2m .

Định lí 1.2.4.
bn+1 (x) − bn−1 (x) = xbn (x), n ≥ 1.
Chứng minh. Theo hàm tổng quát (1.20), ta có
∞

bn (x)tn = [2b(1 − xt) + st](1 − xt − t2 )−1 .
n=0

Lấy đạo hàm đối với t, ta có
∞

nbn (x)tn−1 = [2b(1−xt)+st](x+2t)(1−xt−t2 )−2 +(s−2bx)(1−xt−t2 )−1 ,
n=0
∞

nbn (x)tn−1 = [2b(1−xt)+st](x+2t)(1−xt−t2 )−1 +(s−2bx),

2

(1−xt−t )
n=0

∞

∞

2

(1 − xt − t )

nbn (x)t

n−1

n=0
∞

nbn (x)t
n=0

n=0

∞
n−1

∞
n

−

∞
n+1

xnbn (x)t −
n=0

bn (x)tn + (s − 2bx),

= (x + 2t)

nbn (x)t
n=0

nbn (x)tn+1 +

=
n=0

∞

2bn (x)tn+1 + (s − 2bx).

+
n=0

19
Đồng nhất các hệ số của t ta nhận được
(n + 1)bn+1 (x) − xnbn (x) − (n − 1)bn−1 (x) = xbn (x) + 2bn−1 (x),
(n + 1)bn+1 (x) − (n − 1)bn−1 (x) = (n + 1)xbn (x),
(1.22)

bn+1 (x) − bn−1 (x) = xbn (x).

Định lí 1.2.5.
bn (x) = xbn−1 (x) + bn−1 (x) + bn−2 (x), n ≥ 2.
Chứng minh. Theo hàm tổng quát (1.20), ta có
∞

bn (x)tn = [2b(1 − xt) + st](1 − xt − t2 )−1 .
n=0

Lấy đạo hàm đối với t, ta có
∞

bn (x)tn = [2b(1−xt)+st](−1)(1−xt−t2 )−2 (−t)+(1−xt−t2 )−1 (−2bt),
n=0

∞
2 −1

∞
n

(1 − xt − t )

n=0

∞
n

bn (x)t − 2bt

bn (x)t = t
n=0

∞
n

xbn (x)tn+1

bn (x)t −
n=0

n=0
∞

bn (x)tn+2

−
n=0
∞

bn (x)tn+1 − 2bt.

=t
n=0

Đồng nhất các hệ số của t ta nhận được
bn (x) = xbn−1 (x) + bn−1 (x) + bn−2 (x), n ≥ 2.


20
Định lí 1.2.6.
bn+1 (x) = xbn (x) + bn (x) + bn−1 (x), n ≥ 1.
Chứng minh. Theo (1.22), ta có
bn+1 (x) − bn−1 (x) = xbn (x), n ≥ 1.
Lấy đạo hàm đối với x, ta có
bn+1 (x) − bn−1 (x) = xbn (x) + bn (x),
bn+1 (x) = xbn (x) + bn (x) + bn−1 (x).

(1.23)

Định lí 1.2.7.
nbn (x) = xbn (x) + 2bn−1 (x), n ≥ 1, và
xbn+1 (x) = (n + 1)bn+1 (x) − 2bn (x), n ≥ 1.
Chứng minh. Theo hàm tổng quát (1.20), ta có
∞

bn (x)tn = [2b(1 − xt) + st](1 − xt − t2 )−1 .
n=0

Lấy đạo hàm đối với t, ta có
∞

nbn (x)tn−1 = [s−2bx](1−xt−t2 )−1 +[2b(1−xt)+st](1−xt−t2 )−2 (x+2t).
n=0

(1.24)

Lấy đạo hàm đối với x, ta có
∞

bn (x)tn = [−2bt](1 − xt − t2 )−1 + [2b(1 − xt) + st].t.(1 − xt − t2 )−2 ,
n=0
∞

bn (x)tn−1 = [−2b](1 − xt − t2 )−1 + [2b(1 − xt) + st](1 − xt − t2 )−2 ,
n=0


21
∞

bn (x)tn−1 + 2b(1 − xt − t2 )−1 = [2b(1 − xt) + st](1 − xt − t2 )−2 . (1.25)
n=0

Sử dụng (1.25) trong (1.24), ta có
∞

nbn (x)tn−1 = [s − 2bx](1 − xt − t2 )−1
n=0
∞

bn (x)tn−1 + 2b(1 − xt − t2 )−1 ,

+ (x + 2t)
n=0

∞

∞
n−1

nbn (x)t

2 −1

= [s − 2bx](1 − xt − t )

bn (x)tn−1

+ (x + 2t)

n=0

n=0

+ 2b(x + 2t)(1 − xt − t2 )−1 ,
∞

∞

nbn (x)t

n−1

2 −1

= [s − 2bx](1 − xt − t )

n=0

bn (x)tn−1

+
n=0

∞

2bn (x)tn + 2b(x + 2t)(1 − xt − t2 )−1 .

+
n=0

Đồng nhất các hệ số của tn−1 ta nhận được
nbn (x) = xbn (x) + 2bn−1 (x).
Đồng nhất các hệ số của tn ta nhận được
(n + 1)bn+1 (x) = xbn+1 (x) + 2bn (x),
xbn+1 (x) = (n + 1)bn+1 (x) − 2bn (x).

Định lí 1.2.8.
(n + 1)bn (x) = bn+1 (x) + bn−1 (x), n ≥ 1.