CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.1.2 Hàm phân bố xác suất đồng thời

3.1 KHÁI NIỆM VÉC TƠ NGẪU NHIÊN
3.1.1 Định nghĩa và phân loại
Một véc tơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự  X1, X 2 ,..., X n 
với các thành phần X 1, X 2 ,..., X n là các biến ngẫu nhiên xác định
trong cùng một phép thử.
Ta ký hiệu véc tơ ngẫu nhiên hai chiều là (X, Y), trong đó X là
biến ngẫu nhiên thành phần thứ nhất và Y là biến ngẫu nhiên
thành phần thứ hai
Véc tơ ngẫu nhiên n chiều là rời rạc hoặc liên tục nếu tất cả các
biến ngẫu nhiên thành phần là rời rạc hoặc liên tục

Hàm phân bố xác suất của véc tơ ngẫu nhiên  X1, X 2 ,..., X n 
hay còn được gọi là hàm phân bố xác suất đồng thời của các
biến ngẫu nhiên X 1, X 2 ,..., X n

FX1 ... X n ( x1, x2 ,..., xn )  P  X1  x1, X 2  x2 ,..., X n  xn 

 X1  x1, X2  x2,..., Xn  xn là biến cố tích  X1  x1  X2  x2 ... Xn  xn
Các tính chất của hàm phân bố xác suất đồng thời

1. 0  FX ... X ( x1 ,..., xn )  1
1
n
2. lim FX ... X ( x1,..., xn )  0 , với k nào đó thuộc 1, ...,n
xk 

1

lim

3.

n

( x1 ,..., xn ) (  ,...,  )

FX1 ... X n ( x1 ,..., xn )  1

4. FX ... X ( x1,..., xn ) không giảm theo từng biến
1
n

3/16/2015

1

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

5.

lim FX1 ... X n ( x1 ,... , xn )  FX 2 ... X n ( x2 ,..., xn )

3/16/2015

2

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 3.2: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm phân bố xác suất

x1 

Tương tự nếu lấy giới hạn của hàm phân bố xác suất đồng
thời của X 1, X 2 ,..., X n khi biến xk tiến đến vô cùng, với k nào
đó thuộc {1, … , n}, thì được hàm phân bố xác suất đồng thời
của n1 biến ngẫu nhiên còn lại X 1,..., X k 1 , X k 1,..., X n
Đặc biệt nếu FXY ( x, y ) là hàm phân bố xác suất của véc tơ
ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) thì

(1  e  x )(1  e   y ) x  0, y  0; ,   0
FXY ( x, y )  
nÕu ng­îc l¹i
0
Do đó các hàm phân bố xác suất biên

1  e  x x  0
FX ( x )  FXY ( x, )  
x 0
0

lim FXY ( x, y )  P  X  x  FX ( x)

y 

lim FXY ( x, y )  P Y  y  FY ( y )

x 

1  e   y y  0
FY ( y )  FXY (, y )  
y 0
0

F X ( x ) , FY ( y ) gọi là hàm phân bố xác suất biên

P  x1  X  x2 , y1  Y  y2   FXY ( x2 , y2 )  FXY ( x1, y2 )
 FXY ( x2 , y1 )  FXY ( x1, y1)
3/16/2015

3

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Các xác suất

3/16/2015

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 3.3: Hàm phân bố xác suất của véc tơ ngẫu nhiên ( X , Y ) xác
định như sau

P  X  1, Y  1  FXY (1,1)  (1  e  )(1  e  )

0 x  0 hoÆc y  0

 p 0  x  a, 0  y  b
 1
FXY ( x, y )   p2 x  a, 0  y  b
 p 0  x  a, y  b
 3
x  a, y  b
1

P  X  1  FX (1)  1  e 
P Y  1  1  P Y  1  1  FY (1)  e



Áp dụng luật De Morgan ta có

X

 xY  y   X  x  Y  y   X  x  Y  y





P  X  xY  y  P X  x Y  y   P X  x  PY  y  P X  x;Y  y

 FX ( x)  FY ( y )  FXY ( x, y )
 (1  e x )  (1  e y )  (1  e x )(1  e y )  1  ex e y
Vậy





P  X  x, Y  y  1  P  X  xY  y  e x e y

3/16/2015

4

5

Có hai hàm phân bố xác suất biên

0 x  0

FX ( x)  FXY ( x, )   p3 0  x  a
1 x  a


3/16/2015

0 y  0

FY ( x )  FXY (, y )   p2 0  y  b
1 y  b


6

1

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.2 BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN
RỜI RẠC HAI CHIỀU
Tương tự trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc, quy luật phân
bố xác suất của véc tơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều có thể
được xác định thông qua hàm khối lượng xác suất đồng thời
hoặc bảng phân bố xác suất đồng thời
3.2.1 Hàm khối lượng xác suất đồng thời



p XY ( xi , y j )  P X  xi , Y  y j



 p XY ( xi , y j )  0,  i  1,..., n , j  1,..., m

thỏa mãn điều kiện  n m
  p XY ( xi , y j )  1
 i 1 j 1
Hàm phân bố xác suất đồng thời FXY ( x, y )    p XY ( xi , y j )
xi  x y j  y

3/16/2015

7

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG







n



pY ( y j )  P Y  y j   P X  xi , Y  y j   p XY ( xi , y j ); j  1, m
i 1
m





i 1
m

p X ( xi )  P  X  xi    P X  xi , Y  y j   p XY ( xi , y j ); i  1, n
j 1

8

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

A, B, C. Gọi X là số mặt
A, B và Y là số mặt ngửa xuất

Ví dụ 3.4: Gieo 3 đồng tiền cân đối

3.2.2 Hàm khối lượng xác suất biên
n

3/16/2015

j 1

ngửa xuất hiện của 2 đồng tiền

hiện của cả 3 đồng tiền A, B, C. Hãy lập bảng phân bố xác suất
đồng thời của X, Y.
Các kết quả đồng khả năng

Bảng phân bố xác suất biên
Từ bảng phân bố xác suất đồng thời của (X,Y), nếu ta cộng các
xác suất theo cột thì ta được các xác suất tương ứng với các giá
trị của Y.
Nếu ta cộng các xác suất theo hàng ta được các xác suất tương
ứng với giá trị của X .

3/16/2015

9

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Bảng phân bố xác suất đồng thời của X và Y

3/16/2015

10

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 3.5: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi.
Hộp I có 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang số 3
Hộp II có 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi
Gọi X, Y lần lượt là số ghi trên bi rút được từ hộp I và hộp II
Bảng phân bố xác suất đồng thời của X, Y

Bảng phân bố xác suất của hai biến ngẫu nhiên thành phần

3/16/2015

11

3/16/2015

12

2

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC

x1 x2



1. f XY ( x, y )  0 với mọi ( x, y ) và

xn

f XY ( x, y )dxdy  1

f XY ( x, y )dxdy với mọi A 3 2 ,


( x , y )A RXY

X 1, X 2 ,..., X n

3/16/2015

RXY là miền giá trị của ( X , Y )
 2
FXY ( x, y ) nÕu tån t¹i ®¹o hµm t¹i ( x, y )

3. f XY ( x, y )   xy
 0

nÕu ng­îc l¹i


hoặc hàm mật độ xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên

13

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3/16/2015

14

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 3.7: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất
xác định như sau

3.3.2 Hàm mật độ xác suất biên
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên thành phần X

 k nÕu 0  y  x  1
f XY ( x, y )  
 0 nÕu ng­îc l¹i
Miền giá trị của X , Y là tam giác R XY
 
1
1    f XY ( x, y )dxdy  k  k  2
2
 

1
x
 2dx  2(1  y) nÕu 0  y  1
 2dy  2x nÕu 0  x  1
f X ( x)  0
fY ( y)  y


nÕu ng­îc l¹i
nÕu ng­îc l¹i
 0
 0



f XY ( x, y ) dy  f X ( x)



Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên thành phần Y




2. P ( X , Y )  A 



là hàm mật độ xác suất của véc tơ ngẫu nhiên liên tục  X 1, X 2 ,..., X n 



 
 

   f X1X2... Xn (t1, t2,..., tn ) dt1dt2 ... dtn

 

Tính chất của hàm mật độ xác suất
 

Hàm n biến f X 1 X 2 ... X n ( x1, x2 ,..., xn )  0 thoả mãn

FX1X 2 ... X n ( x1, x2 ,..., xn ) 

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

f XY ( x, y ) dx  fY ( y )



P 0  X  1/ 2; 0  Y  1/ 2 

1

1

 f XY ( x, y )dxdy  2  8   4

Rz

3/16/2015

15

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 3.8: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất
xác định như sau
y

k
f XY ( x, y )  
0

nÕu

x  y 1

nÕu ng­îc l¹i

Miền D: x  y  1 đối xứng qua hai
trục toạ độ Ox, Oy. Phần của D nằm
trong góc phần tư thứ nhất là tam giác
vuông cân 0  x,0  y ; x  y  1
Vậy D là hình vuông có độ dài cạnh bằng

1



 

3/16/2015

16

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

 1 1 x
dy

f X ( x)   2  (1 x )

 0

nÕu x  1
nÕu x  1

1  x

 0

nÕu x  1
nÕu x  1

x
Do tính chất đối xứng của X và Y nên ta cũng có

2 , do đó

 

1

1

3/16/2015

f XY ( x, y )dxdy  kS D  2k  k 

1  y nÕu y  1
fY ( y )  
nÕu y  1
 0

1
2
17

3/16/2015

18

3


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.4 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Hai biến ngẫu nhiên X, Y là độc lập nếu X nhận các giá trị nào
đó không phụ thuộc Y và ngược lại. Nói cách khác với mọi số
thực x, y hai biến cố {X  x}, {Y  y} là độc lập.

Véc tơ ngẫu nhiên liên tục (X,Y) có hàm mật độ

Các dấu hiệu để nhận biết tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên

Có hai hàm mật độ thành phần

4 xy nÕu 0  x  1, 0  y  1
f XY ( x, y )  
 0 nÕu ng­îc l¹i

2 x nÕu 0  x  1
f X ( x)  
 0 nÕu ng­îcl¹i
2 y nÕu 0  y  1
fY ( y )  
 0 nÕu ng­îc l¹i

Giả sử FXY (x,y) là hàm phân bố xác suất của véc tơ ngẫu
nhiên (X,Y). Khi đó X, Y độc lập khi và chỉ khi

FXY ( x, y )  FX ( x) FY ( y )
Giả sử fXY (x,y) là hàm mật độ xác suất của véc tơ ngẫu
nhiên liên tục (X,Y). Khi đó X, Y độc lập khi và chỉ khi

f XY ( x, y )  f X ( x ) fY ( y )

f XY ( x, y )  f X ( x) fY ( y )
Vậy X và Y độc lập

3/16/2015

19

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều (X,Y).
X nhận các giá trị x1, … ,xn, Y nhận các giá trị y1, …, ym
X, Y là độc lập khi và chỉ khi

3/16/2015

20

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.5 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN
3.5.1 Kỳ vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên thành phần
a. Trường hợp X, Y rời rạc

p XY ( xi , y j )  p X ( xi ) pY ( y j )  i  1,..., n ; j  1,..., m

n

Một dấu hiệu để nhận biết hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc
lập là bảng phân bố xác suất đồng thời có tính chất:
Hai hàng bất kỳ tỉ lệ với nhau.
Hai cột bất kỳ tỉ lệ với nhau.

n

m

EX   xi p X ( xi )   xi p XY ( xi , y j )
i 1

i 1 j 1

m

m

n

EY   y j pY ( y j )   y j p XY ( xi , y j )
j 1

j 1 i 1
n

2

m

D X  E X 2   E X  ; E X 2   xi2 p XY ( xi , y j )
i 1 j 1
2

m

n

D Y  E Y 2   E Y  ; E Y 2   y 2j p XY ( xi , y j )
j 1 i 1

3/16/2015

21

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

b. Trường hợp X, Y liên tục


EX 

EY 



 
 

yfY ( y ) dy 



CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Hiệp phương sai (hay còn gọi là Covariance) của hai biến
ngẫu nhiên X, Y, ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích
các sai lệch của hai biến ngẫu nhiên đó với kỳ vọng toán của
chúng

 xf X ( x)dx    xf XY ( x, y)dxdy


22

3.5.2 Hiệp phương sai
 



3/16/2015



cov( X , Y )  E  X  EX Y  EY 

yf XY ( x, y ) dxdy

 

Khai triển vế phải và áp dụng tính chất của kỳ vọng ta được
 

2

D X  E X 2  E X  ; E X 2 

 x

2

cov( X , Y )  E  XY   (E X )(E Y )

f XY ( x, y ) dxdy

m n

 

Nếu X, Y rời rạc thì

 
2

DY  E Y 2   EY  ; E Y 2 

 

E  XY     xi y j p XY ( xi , y j )
j 1 i 1

y 2 f XY ( x, y ) dxdy

 

Nếu X, Y liên tục thì

 

E  XY     xyf XY ( x, y )dxdy
 

3/16/2015

23

3/16/2015

24

4


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.5.3 Ma trận hiệp phương sai

Tính chất của hiệp phương sai

Ma trận M  Cij 
  nn

1. cov( X , Y )  cov(Y , X )

với

Cij  cov( X i , X j ); i, j  1,..., n

2. cov( X , X )  DX

được gọi là ma trận hiệp phương sai (ma trận covariance) của
véc tơ ngẫu nhiên X=(X1, X2, … , Xn)

3. cov(aX  c, bY  d )  ab cov(Y , X ) với mọi hằng số a, b, c, d

Tính chất của ma trận hiệp phương sai
1. Ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng

4. Nếu X , Y độc lập thì cov( X , Y )  0

n

2. Với mọi t1 , t2 ,..., tn 3 luôn có

nhưng ngược lại chưa chắc đúng

 Cijtit j  0
j

i

3. Các định thức con chính của M không âm
3/16/2015

25

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.5.4 Hệ số tương quan

3/16/2015

26

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Xét véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân bố xác suất

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu và
định nghĩa bởi công thức

 X ,Y 

cov( X , Y )
D X DY

D( X )  0
 X ,Y  0 khi 

 D(Y )  0

Tính chất của hệ số tương quan
1. 1   X ,Y  1 với mọi X , Y

 X ,Y  0 điều ngược lại chưa chắc đúng
  X ,Y nÕu ab  0
3. Với mọi hằng số a, b, c, d :  aX  c ,bY  d  
   X ,Y nÕu ab  0
2. Nếu X , Y độc lập thì

4. Y  aX  b , a  0 khi và chỉ khi

3/16/2015

1
 1

 X ,Y  

nÕu a  0
nÕu a  0

27

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

2
4
2 3

2
4
2
E X  0.  1.  2.  1 ; E X 2  02.  12.  22. 
8
8
8
8
8
8 2
1
 D X  E X 2  (E X ) 2 
2
1
3
3
1 3
3
E Y  0.  1.  2.  3.  ;E Y 2  3  D Y 
8
8
8
8 2
4

1
1
2
2
E XY  0.0.  0.1.  0.2.0  0.3.0  1.0.0  1.1.  1.2.  1.3.0  2.0.0

8
8
8
8
1
1
 2.1.0  2.2.  2.3.  2
8
8

3 1
cov( X , Y )  E XY  E X E Y  2  1. 
2 2
cov( X , Y )
1/ 2
2
1/ 2 1/ 2 
 X ,Y 


3 M  1/ 2 3/ 4 
D X DY
(1/ 2)(3/ 4)



3/16/2015

Bảng phân bố xác suất biên

29

3/16/2015

28

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Xét kênh viễn thông nhị phân

Ký hiệu X là đầu vào và Y là đầu ra của kênh

P  X  0  P  X  1  0,5
p0  P Y  1 X  0  0,1
p1  P Y  0 X  1  0,2
3/16/2015

30

5


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

E X  0,5, E X 2  0,5  D X  0,25

(X,Y) là véc tơ ngẫu nhiên có bảng phân bố xác suất đồng thời

E Y  0, 45, E Y 2  0, 45  D Y  0, 2475
Hiệp phương sai

E XY  0,4  cov( X , Y )  0, 4  0,5  0, 45  0,175
Hệ số tương quan

 X ,Y 

Bảng phân bố xác suất thành phần X và Y

cov( X , Y )
0,175

 0,704
D X DY
0, 25  0, 2475

Ma trận hiệp phương sai

 0,25 0,175 
M 

0,175 0,2475
Ta thấy giá trị X,Y = 0,704 khá xa 1, do đó Y không phụ thuộc
tuyến tính đối với X

X và Y không độc lập

3/16/2015

31

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.6 PHÂN BỐ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
3.6.1 Phân bố và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên rời rạc
Cho biến ngẫu nhiên X rời rạc và B là một biến cố trong cùng
phép thử với X có xác suất P(B) > 0
Biến ngẫu nhiên X được xét trong điều kiện biết rằng B đã xảy
ra được gọi là biến ngẫu nhiên với điều kiện B, ký hiệu X|B
Hàm khối lượng xác suất của X|B

P( X  xi  B)
P( B )

p X |B ( xi B) 

3/16/2015

32

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc có tập các giá trị
{x1, x2, … , xn} và {y1, y2, … , yn}
Với mỗi yjRY, biến ngẫu nhiên X với điều kiện biến cố {Y=yj}
có hàm khối lượng xác suất có điều kiện

p X |Y ( xi | y j ) 

p XY ( xi , y j )
pY ( y j )

; i  1, n , j  1, m

Tương tự, hàm khối lượng xác suất có điều kiện của biến ngẫu
nhiên Y với điều kiện {X=xi}

Kỳ vọng của X với điều kiện B

pY | X ( y j xi ) 

n

E  X B    xi p X | B ( xi B)

p XY ( xi , y j )
p X ( xi )

; i  1, n , j  1, m

i 1

3/16/2015

33

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Tính chất của hàm khối lượng xác suất có điều kiện

34

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Thống kê dân cư của một thành phố nọ ở độ tuổi trưởng
thành về thu nhập hàng tháng X và lứa tuổi Y, thu được kết
quả trong bảng sau

1. 0  p X |Y ( xi | y j )  1 ; i  1, n , j  1, m
n

2. Với mỗi j :

3/16/2015

 p X |Y ( xi | y j )  1
i 1

3. Nếu X, Y độc lập thì

p X |Y ( xi | y j )  p X ( xi ) và pY | X ( y j | xi )  pY ( y j )
Kỳ vọng có điều kiện
n

E  X Y  y j    xi p X |Y ( xi | y j )
i 1
m

E Y X  xi    y j pY | X ( y j | xi )

Tìm thu nhập trung bình theo lứa tuổi

j 1

3/16/2015

35

3/16/2015

36

6


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Với Y=30 bảng phân bố xác suất điều kiện tương ứng

E  X Y  30  1 

1
3
18
7 89
 2   3  4 


 3,069
29
29
29
29 29

E  X Y  45 

109
 2,9459
37

E  X Y  70 

86
 2,5294
34

Vậy thu nhập trung bình ở độ tuổi 30 là 3.069.000đ/tháng,
độ tuổi 45 là 2.945.900đ/tháng
và độ tuổi 70 là 2.529.400 đ/tháng

3/16/2015

37

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7.2 Phân bố và kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên liên tục
Xét biến ngẫu nhiên X và biến cố B trong cùng một phép thử

thỏa mãn P(B) > 0.
Hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất của X với điều kiện
B được định nghĩa và ký hiệu như sau





FX | B ( x | B )  P  X  x B 

f X |B ( x | B ) 

P  X  x  B 

dFX |B ( x | B )

Hàm phân bố xác suất của Y với điều kiện {X = x} được định
nghĩa và ký hiệu như sau
y

FY | X ( y | x) 

dx

Tương tự ta có hàm phân bố xác suất và hàm mật độ xác suất
có điều kiện của X với {Y = y}



Giả sử fXY(x,y) là hàm mật độ xác suất đồng thời của hai biến

ngẫu nhiên liên tục X, Y và fX(x) là hàm mật độ của biến ngẫu
nhiên thành phần X.

fY | X ( y | x ) 

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

x

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

f XY (u , y )
du , nếu fY ( y )  0
fY ( y )

2. Với mỗi y thỏa mãn fY ( y )  0 thì có

3. Nếu X, Y độc lập thì





f X |Y ( x | y )dx  1

40

Kỳ vọng với điều kiện
Kỳ vọng của Y với điều kiện {X = x} được ký hiệu và định nghĩa
theo công thức sau



E Y X  x  



yfY X ( y | x)dy



E[Y|X = x] xác định là một hàm của biến x, được gọi là hàm
hồi qui của Y đối với X
E[X|Y = y] xác định là một hàm của biến y, được gọi là hàm
hồi qui của X đối với Y



f X |Y ( x | y )  f X ( x) và fY | X ( y | x)  fY ( y )
3/16/2015

f XY ( x, y )
với mọi y 3 và x thoả mãn f X ( x )  0
f X ( x)

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Tính chất của mật độ có điều kiện

f X |Y ( x | y )  0

f XY ( x, v)
dv , nếu f X ( x)  0
f X ( x)

3/16/2015

f ( x, y )
f X |Y ( x | y )  XY
với mọi x 3 và y thoả mãn fY ( y )  0
fY ( y )
1.




39



38

Đạo hàm của hàm phân bố xác suất điều kiện được hàm mật
độ xác suất có điều kiện

P( B)

3/16/2015

FX |Y ( x | y ) 

3/16/2015

41

3/16/2015

42

7


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 3.20: Giả sử X , Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật
độ xác suất đồng thời đã cho trong ví dụ 3.7
nÕu 0  y  x  1

2
f X ,Y ( x, y )  
0

1
0  y  x  1, 0  x  1
x
Kỳ vọng của Y với điều kiện X  x
fY | X ( y | x ) 

E Y X  x  

điều kiện

y2
x
1
yfY X ( y | x)dy   y   dy 
 ; 0  x 1
x
2
x
2

0  
0



Kỳ vọng của X với điều kiện Y  y

Giải: Theo kết quả của ví dụ 3.7 ta có

nÕu 0  x  1

x

x



nÕu ng­îc l¹i

Tìm hàm mật độ có điều kiện f X |Y ( x | y ) , fY | X ( y | x ) và kỳ vọng

f X ( x)  2 x

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

fY ( y )  2(1  y )

nÕu 0  y  1

1
0  y  x  1, 0  x  1
fY | X ( y | x ) 
x
1
0  y  x 1, 0  y 1
f X |Y ( x | y ) 
1 y
3/16/2015

f X |Y ( x | y ) 

0  y  x 1, 0  y 1



E  X Y  y  

1

 1 

x 1

x2

 xf X |Y ( x | y)dx   x  1  y  dx  2(1  y )
y




x y

1 y
2

Với 0  y  1

43

3/16/2015

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7 LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN
3.7.1 Hội tụ theo xác suất và hội tụ theo phân bố của dãy biến
ngẫu nhiên
Xét dãy biến ngẫu nhiên  X n  và biến ngẫu nhiên X trong
n 1

cùng một phép thử.


Ta nói rằng dãy các biến ngẫu nhiên  X n n 1 hội tụ theo xác
P
suất về biến ngẫu nhiên X, ký hiệu X 
 X nếu
n
n 

44

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG


được
n 1

Dãy các biến ngẫu nhiên  X n 

gọi là hội tụ theo phân

bố về biến ngẫu nhiên X nếu dãy các hàm phân bố xác suất
 hội tụ về hàm phân bố xác suất
FX ( x) .
F ( x)



Xn

n1

lim FX n ( x )  FX ( x )

Tức là với mọi x 

n 



Trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc  X n n1và biến
ngẫu nhiên rời rạc X có cùng tập giá trị R  c1, c2 ,...

  0 lim P  X n  X    0
n



Như vậy dãy các biến ngẫu nhiên  X n n 1hội tụ theo xác suất
về biến ngẫu nhiên X thì với n đủ lớn, thực tế ta có thể coi
rằng, X n không khác mấy so với X
3/16/2015

1
1 y

45

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

thì hội tụ theo phân bố tương đương với điều kiện ck  R

lim P  X n  ck   P  X  ck 

n

3/16/2015

46

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7.2. LUẬT SỐ LỚN
3.7.2.2 Bất đẳng thức Trêbưsép
3.7.2.1. Bất đẳng thức Markov
Cho Y là biến ngẫu nhiên không âm có kỳ vọng hữu hạn. Khi
đó với mọi a > 0 ta có

P Y  a 
yi P Y  yi  



EY 

yi RY





P  X  EX   

a





yfY ( y ) dy   yfY ( y )dy 



0

0

a

DX

yi P Y  yi 


yi R2

2

P  X  EX    1 



yfY ( y ) dy 


a

DX
2

được gọi là bất đẳng thức Trêbưsép

 P Y  yi   aP Y  a

2

yiR2



3/16/2015

yi P Y  yi  

yi R1

yi P Y  yi   a

yi R2

EY 



EY
a

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai hữu
hạn, khi đó với mọi  > 0 ta có



yfY ( y ) dy  a  fY ( y )dy  aP Y  a





P  X  EX    P Y   2 

EY E  X  EX 
DX

 2
2
2


a

47

3/16/2015

48

8


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7.2.3 Luật số lớn Trêbưsép
Định lý: Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập X 1, X 2 ,... ,
có các kỳ vọng hữu hạn và phương sai đều bị chặn trên bởi
hằng số C( DX i  C ; i  1,2,... ). Khi đó

 X    X n E X1    E X n

lim P  1

  0
n
n



n

Hệ quả 1: Giả sử X 1, X 2 ,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng kỳ vọng  và phương sai đều bị chặn trên bởi hằng số
C ( DX i  C ; i  1,2,... ). Khi đó

X1    X n
P

n
n
3/16/2015

49

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Định lý Trêbưsép được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực,
chẳng hạn nó chính là cơ sở cho phương pháp đo lường trong
vật lý.
Để xác định giá trị của một đại lượng vật lý nào đó người ta
thường tiến hành đo n lần độc lập và lấy trung bình số học của
các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo.
Thật vậy, giả sử xem kết quả của n lần đo là giá trị nhận được
của n các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng kỳ vọng bằng chính
giá trị thực của đại lượng vật lý (giả sử không có sai số hệ
thống), các phương sai của chúng đều bị chặn trên bởi bình
phương của độ chính xác của thiết bị đo

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Hệ quả 2: Giả sử X 1, X 2 ,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
có cùng phân bố xác suất, có kỳ vọng  và phương sai  2 .

Khi đó

X1    X n
P

n
n
Định lý Trêbưsép chứng tỏ rằng trung bình số học của các biến
ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất về trung bình số học
của kỳ vọng tương ứng của nó
Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá
trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng, song trung bình số
học của một số lớn các biến ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần
bằng trung bình số học của chúng với xác suất rất lớn.

3/16/2015

50

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7.2.4 LUẬT SỐ LỚN BERNOULLI

C và A là một biến cố liên quan đến
C. Tiến hành n lần độc lập phép thử C và gọi kn là

Xét phép thử ngẫu nhiên
phép thử

tần số xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó.

kn được gọi là tần suất xuất hiện của A trong n phép thử
n
Định lý: Tần suất fn hội tụ theo xác suất về xác suất p của
biến cố A.
fn 

Nghĩa là với mọi  > 0

Do đó theo định lý Trêbưsép ta có thể cho rằng trung bình số
học của các kết quả đo sẽ sai lệch rất ít so với giá trị thực của
đại lượng vật lý với xác suất gần như bằng một
3/16/2015

51

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

lim P  f n  p    1

n

3/16/2015

52

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7.3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Giả sử X1, X2, … là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng

phân bố, có kỳ vọng  và phương sai  2
2
2
 X    X n  n
 X    X n  n
 2 
E 1

  D 1


n
n
n

 n

 n
X1    X n

X    X n  n
n
Sn  1

 E Sn  0, D Sn  1

 n
n

Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho dãy các biến ngẫu nhiên

độc lập X1, X2, … có cùng phân bố Bernoulli tham số p ta được
định lý Moivre –Laplace
Giả sử X1, X2, … là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng
phân bố Bernoulli tham số p, khi đó
Với mọi x:

 X    X n  np

lim P  1
 x    ( x)
n  
npq



Khi đó dãy biến ngẫu nhiên Sn hội tụ theo phân bố về phân
bố chuẩn tắc N(0; 1), nghĩa là:
Với mọi

x  : lim P Sn  x  ( x)
n

3/16/2015

53

3/16/2015

54

9


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

3.7.4. XẤP XỈ PHÂN BỐ NHỊ THỨC

Định lý giới hạn địa phương

3.7.4.1. Xấp xỉ phân bố nhị thức bằng phân bố chuẩn

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức B(n; p), khi đó

Giả sử X1, X2, … , Xn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có
cùng phân bố Bernoulli tham số p, khi đó

U n  X1  X 2    X n ~

B ( n, p )

Mặc dù ta đã biết công thức tính xác suất

P U n  k 

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

n!
p k q n k
k !(n  k )!

Tuy nhiên khi n khá lớn ta không thể áp dụng công thức này
để tính mà cần đến công thức xấp xỉ

3/16/2015

55

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Áp dụng định lý Moivre-Laplace ta có công thức xấp xỉ giá trị
của hàm phân bố xác suất nhị thức

 k  np  1
P  X  k   
1   n,k

 npq  nqp
C
trong đó  n ,k 
với C là hằng số
n
Do đó khi n đủ lớn ta có thể xấp xỉ



 k  np 
1
1
P  X  k 



nqp  npq 
nqp

Người ta thấy rằng xấp xỉ là tốt khi np và nq lớn hơn 5 hoặc khi

57

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 4.4: Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là
số lần xuất hiện mặt sấp trong 3200 lần gieo đó
a) Tìm số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng nhất, tính xác suất tương ứng

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Khi a = b = k, với 0 ≤ k ≤ n, vế trái của công thức trên sẽ là
P{Un=k}≠0, trong khi đó vế phải bằng 0.

 b  1/ 2  np 
 a  1/ 2  np 
P a  U n  b   
  

npq 
npq 


3/16/2015

1

Ví dụ: Giả sử Un là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức
với tham số n = 36 và p = 0,5
Ta có các kết quả tính xác suất P{Un  21}
21

(0) 

3200!

0,53200
1600!1600!
1
40 

 0,014

X  1600
50 
 10
P 10  X  1600  50  P 


   (1, 7678)  (0,3536)
20 2
20 2 
 20 2

 (1, 7678)   (0, 3536)  0, 9616  0, 6406  0,321

3/16/2015

58

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

b) Tính xác suất P 1610  X  1650

3200  0,5  0,5

56

 x  1/ 2  np 
P U n  x   

npq



npq lớn hơn 20

P3200 (1600; 0,5) 

( k  np )2
2 npq

3/16/2015

 b  np 
 a  np 

P a  U n  b   
  

npq


 npq 

1600
P3200 (1600; 0, 5)  C3200
0, 51600 (1  0,5)1600

1 
e
2

Điều này xảy ra vì ta đã dùng hàm phân bố liên tục để xấp xỉ
phân bố rời rạc, vì vậy để xấp xỉ tốt hơn người ta thường sử
dụng công thức có dạng sau

U  np x  np 
 x  np 
P U n  x  P  n

  

npq 
 npq
 npq 

3/16/2015



59

P U n  21  

36!

k  0 k !(36  k )!

(0,5)36  0,8785

 21  np 
 21  18 
P U n  21   
  
   1  0,8413
npq
 3 


 21,5  np 
 21,5  18 
P U n  21   
  
   1,17   0,879
3
npq





3/16/2015

60

10


CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

Ví dụ 4.5: Giả sử xác suất để làm ra mỗi đinh ốc không đúng quy cách
là P = 0,015. Người ta xếp đinh ốc vào từng hộp, mỗi hộp 100 chiếc

3.7.4.2. Xấp xỉ phân bố nhị thức bằng phân bố Poisson
Khi điều kiện xấp xỉ phân bố nhị thức bằng phân bố chuẩn
không thỏa mãn (np hoặc nq nhỏ hơn 5, và npq nhỏ hơn 20),
ta có thể xấp xỉ phân bố nhị thức bằng phân bố Poisson

a) Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc đúng quy cách
b) Cần phải xếp ít nhất bao nhiêu đinh ốc trong mỗi hộp để tỉ lệ hộp chứa
100 đinh ốc tốt tối thiểu là 80%
Nếu gọi X là số đinh ốc không đúng quy cách trong hộp chứa 100 đinh ốc thì

Khi n > 50 và p < 0,1 người ta có thể xấp xỉ phân bố nhị thức

X ~ B ( n ; p ) n  100, p  0, 015

B(n;p) với phân bố Poisson P(np) tham số  = np

Tính gần đúng

P U n  k  e

 np

P  X  0  e np

(np)0
 e 1,5  0, 2231
0!

Giả sử mỗi hộp chứa 100  k đinh ốc, k là số tự nhiên. Gọi X là số đinh ốc không đúng quy
cách trong mỗi hộp chứa 100  k đinh ốc. X ~ B (n ; p ) với n  100  k , p  0, 015 . Ta phải xác

(np)k
k!

định k nhỏ nhất để

k

i

P  X  k   Cni  0, 015   0,985 

n i

 0,8

i 0

 1,5 1,52
1,5k 
1,5 1,52
1,5k
e 1,5 1 



 
 0,8 e1,5  3,5853
  0,8  1 
2!
k ! 
1!
2!
k!
 1!

k 2

3/16/2015

61

3/16/2015

62

11