Về vai trò của toán tử chiếu trong bài toán bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ◆●❹◆

❱➋ ❱❆■ ❚❘➪ ❈Õ❆ ❚❖⑩◆ ❚Û ❈❍■➌❯
❚❘❖◆● ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ♥➠♠ ✷✵✶✺


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯

❍❖⑨◆● ❚❍➚ ◆●❹◆

❱➋ ❱❆■ ❚❘➪ ❈Õ❆ ❚❖⑩◆ ❚Û ❈❍■➌❯
❚❘❖◆● ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➊ ❉Ô◆● ▼×❯

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ♥➠♠ ✷✵✶✺


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✐

❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✱ ✤÷ñ❝ tê♥❣ ❤ñ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔
tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr✉♥❣ t❤ü❝✱ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣✱ trò♥❣
❧➦♣ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ t➔✐ ❧✐➺✉ ♥➔♦ ❦❤→❝✳
❍å❝ ✈✐➯♥
❍♦➔♥❣ ❚❤à ◆❣➙♥


ớ ỡ



ữủ t t trữớ ồ sữ
rữợ tr ở ừ tổ ỷ
ớ ỡ t s s tợ ụ ữ t
ữớ trỹ t ữợ t t ú ù ở tổ
tr sốt q tr ự t
ổ ụ t ỡ ỏ s ồ
qỵ t ổ tr ồ ợ ồ
t t ủ ú ù ở tổ tr sốt q
tr ồ t ự t trữớ
tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ t tr
tr ổ ở tổ tr sốt q
tr t ồ
ũ õ õ ữ ổ tr
ọ ỳ t sõt ổ rt ữủ ỳ ỵ
õ õ qỵ ừ t ổ ồ ữủ t

ỡ
tr trồ ỡ
t
ồ



✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✐✐

▼ö❝ ❧ö❝

✐✐✐

▼ð ✤➛✉

✶

✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✷

✶✳✶✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✶✳✶✳✶✳ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t➟♣ ❧ç✐✱ ❤➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳
✶✳✷✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷✳ ❍➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✹✳ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳ ✷
✳ ✷
✳ ✸
✳ ✸
✳ ✽
✳ ✽
✳ ✶✵
✳ ✶✷
✳ ✶✷

✷ ❱❛✐ trá ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝


❜✐➳♥ ♣❤➙♥

✐✈

✷✳✶✳ ❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶✳ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷✳ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
✷✳✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕♦ ❤➔♠ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻
✶✻
✷✵
✷✵
✷✷
✷✼
✷✽
✸✵

❑➳t ❧✉➟♥

✸✸

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✸






tỷ ởt t ỗ õ ởt ợ q trồ
tr t t t ự ử r ổ rt
tỹ t tỷ ổ tỗ t õ t t tũ õ t
t ự qt t tr ỹ
ữ tr ỵ tt tố ữ t t tự
t
t t tự ởt ợ t q trồ õ
ự ử tr ữỡ tr t t ỵ
tt ụ ữ tr tố ữ ữợ ự tr
t t tự sỹ tỗ t ữỡ
tr õ ữỡ ỹ t tỷ ỵ t
ở tữớ ữủ sỷ ử ữủ tr ừ tr t

ử ợ t trỏ ừ t tỷ
tr ổ rt ử ợ t t
ử t
ỷ ử t tỷ t ủ ợ ỵ t ở rr
ự sỹ tỗ t ừ t t tự

ợ t ữỡ ỹ t tỷ t
t tự õ ữỡ ỡ
t t tự ỡ õ t st
ữỡ t ữớ t t

tự ỡ


✷

❈❤÷ì♥❣ ✶
❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣ ❧➔♠
♥➲♥ t↔♥❣ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ✤â ❧➔ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐✳ ❈→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥
tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✸❪✳

✶✳✶✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✶✳✶✳✶✳ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ sè t❤ü❝
R✳

❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ H ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
., . : H × H → R
(x, y) → x, y

t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿
✶✳
✷✳
✸✳

x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0.

x, y = y, x , ∀x, y ∈ H.
x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H.


✹✳
x, y

✸

λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, λ ∈ R.

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈❡❝tì x ✈➔ y tr➯♥ H✳

✶✳✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈➦♣ H, ., . ✱ tr♦♥❣ ✤â H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì
tr➯♥ tr÷í♥❣ sè t❤ü❝ R✱ ✳✱✳ ❧➔ ♠ët t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr➯♥ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ✭❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❯♥✐t❛✮✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲ ❙❝❤✇❛rt③✮✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥
❍✐❧❜❡rt H✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ H t❛ ❧✉æ♥ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉✿
| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.1)

❉➜✉ ❜➡♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x, y ♣❤ö t❤✉ë❝
t✉②➳♥ t➼♥❤✳
▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤✉➞♥ ✈➔ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ t❤➸ ❤✐➸♥ q✉❛ ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt H ✤➲✉ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥
t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
x =

x, x

∀x ∈ H.

(1.2)

❈❤✉➞♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❝↔♠ s✐♥❤ tø t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤
❧þ tr➯♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❝â
t❤➸ ✤➛② ✤õ ❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ ✤➛② ✤õ✳

✶✳✶✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ◆➳✉ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ ✤➛② ✤õ ✤è✐

✈î✐ ❝❤✉➞♥ ❝↔♠ s✐♥❤ tø t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ t❤➻ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳




ổ R ổ rt tỹ ợ t ổ ữợ
n

n

x, y =

xi yi ,
i=1

tr õ x, y Rn, x = (x1, ã ã ã , xn),
s tứ t ổ ữợ

y = (y1 , ã ã ã , yn ) Rn ,

n

n

x = x, x =

2

xi xi =

x .

i=1

i=1

ổ
n
2

2

l = x = {xn }n K :

x < +

n=1

ởt ổ rt ợ t ổ ữợ


x, y =

x n yn ,
n=1

s



x

x =

2

n=1

ợ x, y l2, x = (xn),

y = (yn ), n N

ữ t õ ổ rt ởt ổ
õ ổ õ t t ừ ởt ổ
õ t ởt số t t ợ s
ỵ sỷ H ởt ổ t rt õ t ổ

ữợ ởt số tử tr H ì H.
ỵ ợ ồ x, y tở ổ t rt H t ổ õ
tự s
x+y

2

+ xy

2

= 2( x

2

2

+ y ).

(1.3)




ử tự tỡ x y x z
t õ q s
q sỷ H ởt ổ t rt x, y, z H
õ t õ tự s
2( x y

2

2

+ xz )=4 x

t

y+z
2
+ yz .
2

tự qt ởt t t q tở tr ồ
tờ ữỡ ữớ ừ ởt
tờ ữỡ ừ ỵ õ õ õ t
tự
tự ụ ừ ữ ữủ t ổ
ữợ ổ ữủ H ổ
tr õ tự ữủ t ợ
ồ tỷ tở H t tr H s tỗ t ởt t ổ ữợ s
r tr ổ H ữủ t
q ỵ s
ỵ sỷ H, . ởt ổ tr trữớ
K, tr õ tự ú ợ ồ x, y H
tự
2
2
2
2

x+y

+ xy

=2

x

+ y

.

2

xy

2

õ ợ trữớ R t t
x, y = p(x, y) =

t

., .

1
4

x+y

,

(1.4)

ởt t ổ ữợ tr H t õ
2

x, x = x ,

x H.

ợ ờ t ừ ổ rt s ợ ổ
tr ổ rt t ổ ữợ
t trỹ trỹ r s ú t s
ởt số t t ỡ ởt số ử q


✻

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✶✳ ❍❛✐ ♣❤➛♥ tû x, y ∈ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ x⊥y
♥➳✉ x, y = 0.
✷✳ ❍❛✐ t➟♣ A, B ⊂ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ A⊥B
♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ A, y ∈ B t❛ ❝â x⊥y ✱ tù❝ ❧➔ x, y = 0.
✸✳ ❚❛ ♥â✐ ♣❤➛♥ tû x ❝õ❛ H trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ t➟♣ ❝♦♥ A ❝õ❛ H ♥➳✉ ✈î✐
∀y ∈ A t❛ ❝â x, y = 0 ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ x⊥A✳
✹✳ P❤➛♥ ❜ò trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ A ∈ H ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤♦↔ ♠➣♥✿
A⊥ = x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ A ,

♥➳✉ A = {x}, t❛ ✈✐➳t x⊥ t❤❛② ❝❤♦ {x}⊥✳

✺✳ ❍å O ⊂ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ trü❝ ❣✐❛♦ ♥➳✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ O ✤æ✐ ♠ët
trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ tù❝ ❧➔ ∀x, y ∈ O, x = y, t❤➻ x, y = 0✳
✻✳ ❍å E = {ei}i∈∧ ⊂ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ trü❝ ❝❤✉➞♥ ♥➳✉ E ❧➔ ♠ët ❤➺
trü❝ ❣✐❛♦ ✈➔ ei = 1, ∀ei ∈ E✳ ◆❤÷ ✈➟② E = {ei}i∈∧ ❧➔ ♠ët ❤➺ trü❝
❝❤✉➞♥ ♥➳✉
0 ♥➳✉ i = j
ei , ej =
1 ♥➳✉ i = j.
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✻✳ ◆➳✉ A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt H t❤➻
A⊥ ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ H.
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✼✳ ❍➺ trü❝ ❝❤✉➞♥ ❧➔ ♠ët ❤➺ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ tù❝ ❧➔ ♠å✐ ❤å
❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➺ ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ tø ♠ët ❤➺ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ t❛
❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ♠ët ❤➺ trü❝ ❣✐❛♦ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ trü❝ ❣✐❛♦ ❤♦→
❙❝❤♠✐❞t✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt H t❛ ❧✉æ♥ ❝â✿
✶✳ ◆➳✉ x⊥y t❤➻ y⊥x✱ x⊥x ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0.
✷✳ ◆➳✉ x⊥y ✈î✐ ♠å✐ y ∈ H t❤➻ x = 0.


✼

✸✳ ◆➳✉ x⊥yi✱ ✈î✐ ♠é✐ i ∈ {1, · · · , n} t❤➻ x⊥(λ1y1, · · · , λnyn).
✹✳ ◆➳✉ x⊥yn ✈î✐ ♠å✐ n ✈➔ limn→∞ yn = y t❤➻ x⊥y.
✺✳ ◆➳✉ A trò ♠➟t tr♦♥❣ H t❤➻ M ⊥ = {0}✳ ❚ù❝ ❧➔ x⊥M ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
x = 0.

✻✳ ◆➳✉ x⊥y t❤➻ x + y 2 = x 2 + y 2✱ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥✱ ♥➳✉ x1, · · · , xn
✤æ✐ ♠ët trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ ♥❤❛✉ t❤➻ t❛ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ P②t❤❛❣♦r❡

x1 + · · · + xn

2

= x1

2

2

+ · · · + xn

▼ð rë♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ P②t❤❛❣♦r❡ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✳

❈❤♦ {xn, n ∈ N } ❧➔ ❤➺ trü❝ ❣✐❛♦ tr♦♥❣ H t❤➻ ❝❤✉é✐

∞

∗

xn

❤ë✐ tö

n=1

✳

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝❤✉é✐

∞

xn

2

❤ë✐ tö. ❑❤✐ ✤â

n=1

∞

∞

xn

2

2

=

n=1

xn .
n=1

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ {en, n ∈ N } ❧➔ ❤➺ trü❝ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ H t❤➻ ❝❤✉é✐

∞

∗

λn en
n=1

❤ë✐ tö ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝❤✉é✐

∞

λn

2

❤ë✐ tö ✈➔

∞

∞

λn en

2

n=1

n=1

2

=

en .
n=1

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✾✳ ❈❤♦ {e1, · · · , en} ❧➔ ♠ët ❤➺ trü❝ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❍✐❧❜❡rt H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ A ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❤➺ ✈❡❝tì {e1, · · · , en}✳
❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠é✐ x ∈ H t❛ ❝â y =

n

xi , ei ei

❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦

i=1

❝õ❛ x ❧➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ A ✈➔

n

xi , ei
i=1

2

2

≤ x .


✽

✶✳✷✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t➟♣ ❧ç✐✱ ❤➔♠ ❧ç✐
❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧ç✐ ♥❤÷ t➟♣ ❧ç✐✱
❤➔♠ ❧ç✐✱ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥✱. . . tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✳

✶✳✷✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ a ∈ H✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿
✶✳ ❚➟♣ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡ ♥➳✉
(1 − λ)x + λy ∈ A

∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R.

✷✳ ●✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❛❢❢✐♥❡ ❝❤ù❛ t➟♣ ❆ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦ ❛❢❢✐♥❡ ❝õ❛
❆✱ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ af f A.
✸✳ P❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ intA = x ∈ H : ∃ > 0, x + B ⊂
A ✳
P❤➛♥ tr♦♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ t➟♣ A ❧➔ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ A tr♦♥❣ af f A✱
✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ riA = x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A .
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ ▼ët t➟♣ A ⊂ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ♥➳✉
∀a, b ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] t❛ ❝â λa + (1 − λ)b ∈ A.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû A ⊂ H, a, b ∈ A✳ ✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠
a, b ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿
[a, b] = x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1] .

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳ ❱➲ ♠➦t ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➟♣ ❧ç✐ ❝â ♥❣❤➽❛ r➡♥❣✱ ♥➳✉

❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻ t❤✉ë❝ ❆✱ ❝↔ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ➜② ❝ô♥❣ ♥➡♠ trå♥
tr♦♥❣ ❆✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳

✶✳ ❚➟♣ ré♥❣ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳
✷✳ ❚➟♣ ❝❤➾ ❝❤ù❛ ♠ët ✤✐➸♠ ❞✉② ♥❤➜t ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳




r t tr ổ ồ q tở
ữ t t ỳ t ở ỳ t
trỏ . . . ỳ t ỗ
õ
ỗ õ ợ ở ợ ởt số tỹ
ừ t ỗ t ỗ
t ừ t ỗ q t t t ỗ



x H ữủ ồ tờ ủ ỗ ừ x1, ã ã ã , xn H tỗ t
n

i > 0, i = 1, ã ã ã , n,

n

i = 1 sao cho x =

i=1

i xi .
i=1

sỷ A H ừ tt t ỗ ự A ữủ ồ
ỗ ừ t A coA ừ tt t ỗ õ
ự A ữủ ồ ỗ õ ừ t A coA



K H ữủ ồ õ õ t
x K, > 0, x K.

K ữủ ồ õ õ t x0 K x0 õ õ t
õ K õ t ữủ ồ õ ỗ K ởt t ỗ tự

x, y K, , à > 0 a + ày K.

tỡ x H ữủ ồ t ừ t ỗ A

t x0 A

x , x x0 0,

x A.

tt tỡ t ừ t ỗ A t x0 A ữủ ồ õ
t ừ A t x0
NA (x0 ) = x H : x , x x0 0, x A .

✶✵

✶✳✷✳✷✳ ❍➔♠ ❧ç✐

●✐↔ sû A ∈ H ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ →♥❤ ①↕ f : A → R ∪ {+∞}✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✼✳

✶✳ ❚r➯♥ ✤ç t❤à ❝õ❛ ❤➔♠ f ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ epif ✱ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿
epif = (x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r .

✷✳ ▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✭♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤✮ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ domf ✱ ✤÷ñ❝
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿
domf = x ∈ A : f (x) < +∞ .

✸✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ ♥➳✉ domf = ∅ ✈➔ f (x) > −∞✱ ✈î✐
♠å✐ x ∈ A✳
✹✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ A ♥➳✉
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1].

✺✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ♥❣➦t tr➯♥ A ♥➳✉
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1].

✻✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ♠↕♥❤ tr➯♥ A ✈î✐ ❤➺ sè α > 0 ♥➳✉
1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α x − y
2

2

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ A, ♠å✐ λ ∈ [0, 1].
✼✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ã♠ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧ã♠ ♥❣➦t✱ ❧ã♠ ♠↕♥❤ ✈î✐ ❤➺
sè α > 0✮ tr➯♥ A ♥➳✉ −f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧ç✐ ♥❣➦t✱ ❧ç✐ ♠↕♥❤
✈î✐ ❤➺ sè α > 0✮ tr➯♥ A✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳

✶✳ ❍➔♠ ❛❢❢✐♥❡ f (x) =
♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳

a, b + α,

✈î✐ ∀ a ∈ H∗, ∀ b ∈ H, ∀α ∈ R ❧➔




f (x) =

x =

x, x , x Rn

ởt ỗ

õ t ố ợ ỗ P ự
ữủ s r trỹ t tứ
f1, ã ã ã , fn ỗ tữớ õ

s ỗ


n

fi (x) = f1 + ã ã ã + fn (x).
i=1



n

n

fi = f1 (x1 ) + ã ã ã + fn (xn ) : xi H,

xi = x .
x=1

i=1

tr t ỗ ừ ởt số t õ s
f (x) ừ f t x
sỷ A H f : A H f
tử õ f ỗ
f (x) f (y) f (x), x y , ợ ồ x, y A.
sỷ f, I ỗ tr H õ
tr ừ f ỗ I f (x) = sup f(x)
I

f : H R ữủ ồ st ữỡ
t x0 H

tỗ t U ừ x0 tỗ t số K > 0 s
|f (x) f (x )| K x x

x, y U.

(1.6)

f ữủ ồ st ữỡ tr t A H f st
ữỡ t ồ x A
f ữủ ồ st ợ số st K tr t A H
ú ợ ồ x, x A.


✶✷

▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ t❤➸
❤✐➺♥ q✉❛ ✤à♥❤ ❧➼ s❛✉✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✳ ◆➳✉ f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛
x ∈ H t❤➻ f ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x✳

✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✾✳ ●✐↔ sû H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ H∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ H✳ ▲➜② x∗ ∈ H∗,

x∗ = 0, α ∈ R✱

t❛ ❝â

H(x∗ , α) = x ∈ H : x∗ , x = α

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ H✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✵✳ ❈❤♦ ❤❛✐ t➟♣ A, B
∗

∈ H✱

t❛ ♥â✐ r➡♥❣ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣

H(x , α) :

✶✳ t→❝❤ ❤❛✐ t➟♣ A ✈➔ B ♥➳✉ x∗, a ≤ α ≤ x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B.
✷✳ t→❝❤ ♥❣➦t ❤❛✐ t➟♣ A ✈➔ B ♥➳✉ x∗, a < α < x∗, b , ∀a ∈ A, b ∈ B.
✸✳ t→❝❤ ♠↕♥❤ ❤❛✐ t➟♣ A ✈➔ B ♥➳✉
sup x∗ , a < α < inf x∗ , b .
b∈B

a∈A

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✶ ✭✣à♥❤ ❧➼ t→❝❤ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ❈❤♦ A ✈➔ B ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❧ç✐ ❦❤→❝

ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✱ A ∩ B = ∅✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣
t→❝❤ A ✈➔ B ✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷ ✭✣à♥❤ ❧➼ t→❝❤ t❤ù ❤❛✐✮✳ ❈❤♦ A ✈➔ B ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣
❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✈➔ A ∩ B = ∅✳ ❚r♦♥❣ ✤â ❝â ➼t ♥❤➜t
♠ët t➟♣ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ❝â t❤➸ t→❝❤ ♠↕♥❤ ❤❛✐ t➟♣ A
✈➔ B ✳

✶✳✷✳✹✳ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✶✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ H✳ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ f
t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ d t↕✐ x0✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔

f (x0 , d) = lim
λ↓0

f (x0 + λd) − f (x0 )
λ


✶✸

♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♥➔② tç♥ t↕✐ ✭❝â t❤➸ ❤ú✉ ❤↕♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ±∞✮✳
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳ ❍➔♠ f (x0, d) ❧➔ ❤➔♠ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✷✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ H✳P❤✐➳♠ ❤➔♠ x∗ ∈ H
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞÷î✐ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x ∈ H ♥➳✉
f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x

∀x ∈ H.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✸✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❞÷î✐ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ f t↕✐ x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥

❝õ❛ f t↕✐ x✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ∂f (x)✱ tù❝ ❧➔

∂f (x) = x∗ ∈ H : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , ∀x ∈ H}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✹✳ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ t↕✐ x✱ ♥➳✉
∂f (x) = 0.

❱➼ ❞ö ✶✳✹✳ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✳

❳➨t ❤➔♠ ❝❤➾ tr➯♥ t➟♣ A

∂A(x) =

0
+∞

♥➳✉ x ∈ A
♥➳✉ x ∈ A.

❑❤✐ ✤â ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ A t↕✐ x ∈ A ❧➔ ♥â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛
A t↕✐ x✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✸✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ tr➯♥ H ✈➔ λ > 0✳ ❑❤✐
✤â ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H
∂(λf )(x) = λ∂f (x).

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✹ ✭▼♦r❡❛✉✲ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r✮✳ ❈❤♦ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➼♥❤
t❤÷í♥❣ tr➯♥ A✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ f ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x ∈ dom g✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x), ✈î✐ ♠å✐ x ∈ A.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ • ∂(f + g)(x) ⊇ ∂f (x) + ∂g(x).
❚❛ ❧➜② x∗1 ∈ ∂f (x)✱ x∗2 ∈ ∂g(x)✳ ●✐↔ sû x∗1 + x∗2 ∈ ∂f (x) + ∂g(x)✳ ❑❤✐
✤â ✈î✐ ♠å✐ y ∈ A t❛ ❝â
x∗1 , y − x ≤ f (y) − f (x),


✶✹

x∗2 , y

− x ≤ g(y) − g(x).

❈ë♥❣ tø♥❣ ✈➳ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ❝â
x∗1 + x∗2 , y − x ≤ f (y) + g(y) − (f (x) + g(x)).

❙✉② r❛ x∗1 + x∗2 ∈ ∂(f + g)(x).
• ∂(f + g)(x) ⊆ ∂f (x) + ∂g(x).
❚❛ ❝â int(epif ) = ∅✳ ❚❤➟t ✈➟②✱
♠ð ❝õ❛ x s❛♦ ❝❤♦

✈î✐ ♠å✐

f (x) − f (x) <

>0

tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥

✈î✐ ♠å✐ x ∈ U.

❙✉② r❛ B := {(x, θ) ∈ A × H : θ > f (x) + , x ∈ U } ⊂ epif
✈➔ B ❧➔ ♠ð s✉② r❛ int(epif ) = ∅.
●✐↔ sû x∗ ∈ ∂(f + g)(x)✳ ❚❛ ①➨t ❝→❝ t➟♣ s❛✉✿
H1 = {(y, θ) ∈ A × H : θ ≥ f (x + y) − f (x)}
H2 = {(y, θ) ∈ A × H : θ < x∗ , y − g(x + y) + g(x)}.

❑❤✐ ✤â H1 = epif − (x, f (x)) s✉② r❛ H1 ❧➔ ❧ç✐ ✈➔ intH1 = ∅.

▲➜② (y1, θ1)✱ (y2, θ2) ∈ H2 ✈➔ λ ∈ [0, 1]✱ t❛ ❝â✿
θ1 < x∗ , y1 − g(x + y1 ) + g(x),
θ2 < x∗ , y2 − g(x + y2 ) + g(x).

❱➻ g ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ♥➯♥
g(λ(x + y1 ) + (1 − λ)(x + y2 )) ≤ λg(x + y1 ) + (1 − λ)g(x + y2 ).

❚ø ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ❝â

λθ1 + (1 − λ)θ2 < x∗ , λy1 + (1 − λ)y2
−g(λ(x+y1 )+(1−λ)(x+y2 ))+g(x)⇒ λ(y1 , θ1 )+(1−λ)(y2 , θ2 ) ∈ H2 ✳
❱➟② H2 ❧ç✐✳
●✐↔ sû (x0, y0) ∈ H1 ∩ H2 t❤➻ x∗, x0 > −g(x + x0) + g(x) >
f (x + x0 ) − f (x)
⇒ x∗ , x0 > f (x + x0 ) + g(x + x0 ) − (f (x) + g(x))✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉
t❤✉➝♥ ✈î✐ x∗ ∈ ∂(f + g)(x)✳ ❱➟② H1 ∩ H2 = ∅.


✶✺

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ t→❝❤ t❤ù ♥❤➜t✱ tç♥ t↕✐ x∗1 ∈ H ✈➔ β ∈ R ✈î✐ (x∗1, β) = ∅
s❛♦ ❝❤♦
sup { x∗1 , y + βθ} ≤
(y,θ)∈H1

inf { x∗1 , y + βθ}.

(y,θ)∈H2

❘ã r➔♥❣ β < 0✱ ❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû β = −1✳

◆❤÷ ✈➟② H1 ✈➔ H2 t→❝❤ ✤÷ñ❝ ❜ð✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣
H = {(y, θ) ∈ A × H : x∗1 , y > −θ = 0}.

❱➟② t❛ ❝â
sup{ x∗1 , y −f (x+y)+f (x)} ≤ inf {< x∗1 −x∗ , y +g(x+y)−g(x)}.
y

y

✣➦t x∗2 = x∗ − x∗1 t❛ ❝â
f (x + y) − f (x) ≥ x∗1 , y
f (x + y) − g(x) ≥ x∗2 , y
⇒ x∗1 ∈ ∂f (x), x∗2 ∈ ∂g(x).
⇒ x∗ = x∗1 + x∗2 ∈ ∂f (x) + ∂g(x).

✈î✐ ♠å✐ y ∈ A,
✈î✐ ♠å✐ y ∈ A.




ữỡ
trỏ ừ t tỷ ố ợ
t t tự
tỷ
r t ởt số t t ừ
t tỷ ởt t ỗ õ tr ổ rt ỳ
tự ừ ữủ tr tứ t
A t ỗ õ rộ tr ổ
rt H sỷ x H, p A tứ x t A

dA (x) ởt ữủ
dA (x) := inf x p , p A.
pA

r trữớ ủ õ ởt tỷ p A x p = dA(x) ợ ồ
x A t t õ r p ừ x t A PA : x
PA (x) ữủ ồ t tỷ t A
ỵ A t ỗ õ rộ tr ổ rt
H sỷ x H, p A t t õ
p = PA (x) p x, y p 0 ợ ồ y A.
(2.1)
ự






sỷ x H,

p A t õ
p x, y p 0 ợ ồ y A
p x, y x + x p 0
p x + p x, y x 0
2
p x p x, y x .

t2 tự rt t õ
px px
p = PA (x).

yx px yx .

ứ õ t õ

y A, (0, 1) t y := y + (1 )p tt
t õ A t ỗ y, p A y A.
p = PA(x) t õ p x x y
2

2

p x x y
2
2
p x x [y + (1 )p]
2
2
p x (p x) (y p)
2
2
2
p x 2 y p + p x + 2 y p, x p
2
2 y p + 2 p x, y p 0.
(0, 1) > 0 t õ y p 2 + 2 p x, y p 0
ú ợ ồ y A ồ (0, 1) tợ t ữủ
p x, y p 0 ợ ồ y A

q A t ỗ õ rộ tr ổ rt

H

õ ợ ồ x H p A t õ p = PA(x) x p NA(p).
A t ỗ õ rộ tr ổ rt
H õ ợ ồ x H t tỷ PA (x) ổ tỗ t t

ự


ỹ tỗ t x A t t õ dA(x) = 0.
x A t t õ dA(x) = inf pA p x t
ữợ ú tỗ t ởt {yk } A s
0 lim y k x = dA (x) +.
k




{y } tỗ t ởt {ykj } ở tử tợ
p tý ỵ tở A A t õ õ t õ
k

p x = lim y kj x = lim y k x = dA (x).
j

k

p ừ x A
t sỷ p1 , p2 ừ x A õ
x p1 NA (p1 ), x p2 NA (p2 ) r p1 x, p2 p1 0
p2 x, p1 p2 0 ở t tự t õ p1 p2 0
tứ õ s r p1 = p2

A t ỗ õ rộ tr ổ rt
H

sỷ x, y H õ t õ




PA (x) PA (y) x y .
PA (x) PA (y)

2

x y, PA (x) PA (y) .

ự

ử ợ p = PA(x), y = PA(y) t õ
PA (x) x, PA (y) PA (x) 0.

ữỡ tỹ ợ p = PA(y), x = PA(x) t õ
PA (y) PA (x), y PA (y) 0.

ở t tự ử t tự

rt t s r
PA (x) PA (y) x y .

ử ợ x = y, p = PA(y), y = PA(x) t õ
PA (y) y, PA (x) PA (y) 0.




ữỡ tỹ ợ x = x, p = PA(x), y = PA(y) t õ
PA (x) x, PA (y) PA (x) 0.

ở t tự ử t tự
rt t s r
2

x y, PA (x) PA (y) PA (x) PA (y) .

ứ t s r ỵ s
ỵ t ỗ õ rộ A tr ổ rt H
ởt a A õ tỗ t ởt t x0 A s
a x0 , x x0 0, ợ ồ x A.
t x0 tr tr ữủ ồ ừ a
t A õ tỷ ừ A a t số a x0 ữủ ồ
tứ a A tỡ t = a x0 = 0 t
t, x x0 0, ợ ồ x A.
(2.2)


t, x x0 = a x0 , x x0 0

s r

sup t, x t, x0 < t, a .
xA

= 1/2

t, x0 + < t, a

t ữủ

sup t, x < < t, a .
xA

ự s H = x H| t, x = ợ = t, x0 t
t ỗ A ợ a x0 A s H = x H| t, x x0 =
0 q x0 A t
t, x x0 0, ợ ồ x A,
ữủ ồ ởt s tỹ ừ A t x0