ĐÈ THI HSG TOAN 9 1314

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập –Tự do –Hạnh phúc

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN ; LỚP: 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi chính thức
Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n M 24 với mọi n ∈ Z
b) Tính: sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750
Câu 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng: 2

(

Áp dụng: Cho S = 1 +

)

n+1- n <
1
2

+

1
3

+ ... +

1
<2
n

(

)

n - n - 1 với n ∈ N*

1
100

Chứng minh rằng 18 < S < 19
Câu 3: (4điểm)
Giải phương trình:
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x – 10 = 0
Câu 4: (4 điểm)
·
0
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AOD=70
;
AC = 5,3 cm ; BD = 4 cm Tính diện tích tứ giác ABCD (làm tròn kết quả đến một chữ số
thập phân)
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE
đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng: AC.cosA = BC.cosC
- Hết -

Họ và tên: .....................................................................
Số báo danh: .................................................................


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi : TOÁN - LỚP 9

Đề thi chính thức


Nội dung
Câu 1: a) 3n – 14n + 21n – 10n = n(3n3 – 14n2 + 21n – 10)
= n(3n3 – 3n2 – 11n2 + 11n + 10n – 10)
= n(n – 1)(3n2 – 11n + 10)
= n(n – 1)(3n2 – 6n – 5n + 10)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 5)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 9 + 4)
= 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + 4n(n – 1)(n – 2)
Mà n, n – 1, n – 2, n – 3 là 4 số nguyên liên tiếp nên có hai số chẵn liên
tiếp, một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên n(n – 1)(n – 2)(n – 3) M 8
⇒ 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) M 24
Mặt khác: n, n – 1, n – 2 là 3 số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho 2
và một số chia hết cho 3 nên n(n – 1)(n – 2)M 6
⇒ 4n(n – 1)(n – 2) M 24
Vậy 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n M 24 với mọi n ∈ Z
4

3

Điểm

2

b) sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750

2đ

2đ

= (cos2750 + sin2750) + (cos2650 + sin2650) +(cos2550 + sin2550) + sin2450
=1+1+1+

1
1
=3
2
2

Câu 2: Ta có:

2

2

(

(

)

n +1 − n =

)

2

(

n +1 − n

)(

n +1 + n

2đ

)

n +1 + n
2
2
1
=
<
=
n +1 + n 2 n
n

n − n −1 =

2

(

n − n −1

)(

n + n −1

(1)

)

n + n −1
2
2
1
=
>
=
n + n −1 2 n
n

(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm
S = 1+

1
2

+

1
3

+ ... +

1

2đ

100

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:
S > 1 + 2 

S > 1+ 2

(

(

) ( 4 − 3 ) + ( 5 − 4 ) + ... + (
2 ) > 1 + 2 ( 10 − 1,5 ) = 18

3− 2 +

101 −

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
S < 1 + 2 

S < 1+ 2

(

(

) ( 3 − 2) +(
1 ) = 1 + 2.9 = 19

2− 1 +
100 −

)

4 − 3 + ... +

Vậy 18 < S < 19
Câu 3:
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x – 10 = 0
⇔ x4 + x3 – 3x3 – 3x2 + 7x2 + 7x – 10x – 10 = 0
⇔ ( x + 1) ( x3 – 3x2 + 7x – 10) = 0

(

)

101 − 100 


)

100 − 99 


4đ