Thuật toán tách Lions Mercier và phương pháp luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGÔ DUY TOẢN

THUẬT TOÁN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ
PHƯƠNG PHÁP LUÂN HƯỚNG TÌM KHÔNG
ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGÔ DUY TOẢN

THUẬT TOÁN TÁCH LIONS-MERCIER VÀ
PHƯƠNG PHÁP LUÂN HƯỚNG TÌM KHÔNG
ĐIỂM CỦA TỔNG HAI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Không gian Hilbert và toán tử đơn điệu cực đại

3

1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
8

Chương 2. Thuật toán tách Lions–Mercier và phương pháp
luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu
cực đại
16

2.1 Phương pháp tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Triển khai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Mối quan hệ của phương pháp ngược từng phần . . . . . . 24
2.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Mối quan hệ với thuật toán tách Lions–Mercier . . . 26
2.3 Phương pháp luân hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Nguồn gốc của phương pháp luân hướng . . . . . . . 27
2.3.2

Mối liên hệ với phương pháp tách . . . . . . . . . . . 28

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


ii

Bảng ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
R
tập số thực
Rn , Rm
H

H∗

không gian véc tơ n, m chiều tương ứng
không gian Hilbert thực
không gian liên hợp của H

C[a, b]
conv C

tập các hàm thực lien tục trên [a, b]
bao lồi của tập C

conv C
A∗
A

bao lồi đóng của tập C
toán tử liên hợp của toán tử A
toán tử mở rộng của toán tử A

dom A
gra A
domf

miền xác định của toán tử A
đồ thị của toán tử A
miền hữu hiệu của hàm f

epif
zer(A)

Jr,T

tập trên đồ thị của hàm f
tập tất cả không điểm của A, A−1 (0)
toán tử giải của toán tử T

NC
∅
δC (.)

hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C
tập rỗng
hàm chỉ trên C

V⊥

bù vuông góc của không gian con V


1

Mở đầu
Cho A và B là hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert
H, C := A + B. Nội dung của đề tài luận văn nghiên cứu bài toán tìm
không điểm của toán tử C trên cơ sở kết quả của J. Eckstein [4].
Để giải bài toán này, J. Eckstein [4] đưa vào toán tử đơn điệu cực đại
Sλ,A,B mà tập không điểm của nó xấp xỉ tập không điểm của A + B. Trong
trường hợp B là nón chuẩn tắc của một không gian con tuyến tính thì
Sλ,A,B trùng với ngược từng phần của toán tử Spingarn (xem [12], [13]).
Ngoài ra, khi r = 1 thì toán tử giải (I + rSλ,A,B )−1 của Sλ,A,B là toán tử

G(λ) của Lions–Mercier [6]. Vì vậy, thuật toán Lions–Mercier thực sự là
thuật toán điểm gần kề ứng dụng cho toán tử Sλ,A,B . Ngoài ra, J. Eckstein
[4] cũng chỉ ra rằng kỹ thuật của Spingarn cho cực tiểu phiếm hàm lồi trên
không gian con tuyến tính thực chất là một trường hợp riêng trong cách
tiếp cận của Lions–Mercier. Đồng thời thuật toán Lions–Mercier mở rộng
thuật toán luân hướng trong qui hoạch lồi đã được chỉ ra bởi Gabay [5] và
thuật toán luân hướng cũng là một ví dụ của thuật toán điểm gần kề.
Mục đích của đề tài luận văn là trình bày lại kết quả của J. Eckstein [4]
về mối quan hệ giữa một số thuật toán tìm không điểm của toán tử đơn
điệu cực đại: thuật toán điểm gần kề được đưa ra bởi Martinet [7], sau
đó được phát triển bởi Rockafellar [10]; phương pháp Lions–Mercier tìm
không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại [6]; phương pháp ngược
từng phần của Spingarn cho toán tử đơn điệu cực đại [12], [13].
Nội dung của đề tài luận văn được viết trong hai chương:
Chương 1: "Không gian Hilbert và toán tử đơn điệu cực đại". Chương
này giới thiệu về không gian Hilbert trên trường số thực và một số kiến


2

thức cơ bản về giải tích lồi. Tiếp theo là giới thiệu về toán tử đơn điệu cực
đại và định nghĩa bài toán tìm không điểm của toán tử.
Chương 2: "Thuật toán tách Lions–Mercier và phương pháp luân hướng
tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại". Chương này nghiên
cứu một số phương pháp tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu
cực đại, chỉ ra phương pháp Lion–Mercier thực chất là trường hợp đặc biệt
của thuật toán điểm gần kề, đồng thời nêu nguồn gốc của phương pháp
luân hướng và đưa ra mối quan hệ với thuật toán tách.
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường, tôi

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã người dành nhiều
thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học –
Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng toàn thể các
thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm rất
nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân. Tác
giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Học viên

Ngô Duy Toản


3

Chương 1

Không gian Hilbert và toán tử đơn
điệu cực đại
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian Hilbert thực H, giới thiệu về toán tử đơn điệu cực đại, định nghĩa
không điểm để phục vụ cho chương sau. Các kiến thức của chương được
tổng hợp từ tài liệu [7], [10].
1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian tuyến tính xác định trên trường
số thực R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ ·, · : H × H → R
thỏa mãn các tính chất sau:
i. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0,
ii. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H,
iii. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H,
iv. αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R.
Số thực x, y được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y. Cặp (H, ·, · )
gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz) Trong không gian tiền
Hilbert H, ∀x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau:
| x, y |2 ≤ x, x . y, y .


4

Chứng minh. Với y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử y = 0 khi đó ∀λ ∈ R ta có:
x + λy, x + λy

0,

nghĩa là
x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y

0.

| x, y |2

x, y
ta được x, x −
0 hay | x, y |2 ≤ x, x . y, y .
Chọn λ = −
y, y
y, y
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng trong bất đẳng thức Schwarz xảy ra khi và chỉ khi x và y
phụ thuộc tuyến tính. Mối quan hệ giữa khái niệm chuẩn và tích vô hướng
được thể hiện qua nhận xét sau:
Nhận xét 1.1.3 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tính
định chuẩn, với chuẩn được xác định:
x =

x, x , x ∈ H.

Bất đẳng thức Schwarz được viết lại:
| x, y | ≤ x . y .
Định nghĩa 1.1.4 Cho X là không gian định chuẩn, dãy {xn } ⊂ X gọi
là dãy cơ bản nếu:
lim xn − xm = 0.
m,n→∞

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là xn − xm → 0 kéo theo
sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 thì X được gọi là không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.5 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.1.6 Trong Rn , x = (x1, x2 ..., xn) , y = (y1 , y2 ..., yn) ∈ Rn, ta đưa
vào tích vô hướng x, y =

n

xk yk
k=1


5

do đó

n

n

x

2

|xk |2.

xk xk =

= x, x =

k=1

k=1

Khi đó Rn là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.7 Trong không gian C[a, b] tập tất cả các hàm thực liên tục

trên [a, b]. Xét tích vô hướng:
b

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].

x, y =
a

Khi đó:
i. Không gian C[a,b] với chuẩn x = max |x(t)| là không gian Banach
a t b

nên C[a, b] là không gian Hilbert;
ii. Không gian C[a,b] với chuẩn x =

1/2

b

2

|x(t)| dt

không là không

a

gian Banach do đó C[a, b] không là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.8 Tập A ⊂ H gọi là tập lồi nếu ∀x1, x2 ∈ A và mọi số
thực t ∈ [0, 1] ta đều có

tx1 + (1 − t)x2 ∈ A.
Nhận xét 1.1.9 Theo định nghĩa, tập ∅ là tập lồi.
Ví dụ 1.1.10 Các tập sau đây đều là tập lồi: Rn , ∅, {x} , hình cầu đóng, hình
cầu mở, các nửa không gian đóng, nửa không gian mở.
Định nghĩa 1.1.11 Cho C ⊂ H. Bao lồi của C là giao của tất cả các tập
con lồi của H chứa C, ký hiệu là conv C. Bao lồi đóng của C là tập con
lồi đóng nhỏ nhất của H chứa C, ký hiệu là conv C.
Định nghĩa 1.1.12 Tập A ⊆ Rn được gọi là nón có đỉnh tại gốc O nếu:
∀x ∈ A, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ A.


6

A ⊆ Rn được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu A − x0 có đỉnh tại O. Nón A
gọi là nón lồi nếu tập A là lồi.
Định nghĩa 1.1.13 Cho tập lồi S ⊆ Rn , hàm f : S → (−∞, +∞) được
gọi là:
i. Hàm lồi trên S nếu với mọi số thực 0 ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, ta có:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y);
ii. Hàm lồi chặt trên S nếu với mọi số thực 0 ≤ λ ≤ 1, ∀x, y ∈ S, x = y
ta có:
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y);
iii. Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trên S nếu −f là lồi (lồi chặt)
trên S;
iv. Hàm f được gọi là tuyến tính afin trên S nếu f vừa lồi vừa lõm trên
S. Một hàm afin trên Rn có dạng f (x) = a, x + α với a ∈ Rn , như
vậy ∀x, y ∈ Rn , ∀λ ∈ [0, 1] ta có:
f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y).
Tuy nhiên, hàm afin không lồi chặt hay lõm chặt.
Nếu H là không gian Hilbert thì H cũng là không gian định chuẩn, không

gian liên hợp của H là H∗ = L(H, K). Định lý sau đây nêu lên đặc trưng
của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H.
Định lý 1.1.14 Với mỗi véctơ a cố định thuộc không gian Hilbert H, hệ
thức:
f (x) = x, a ,

∀x ∈ H

(1.1)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian Hilbert


7

H với
f (x) = a .

(1.2)

Ngược lại với bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên không
gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
(1.1), trong đó a là một véctơ của H thỏa mãn (1.2).
Định lý 1.1.14 cho phép thiết lập tương ứng một - một giữa các phiếm hàm
tuyến tính liên tục f trên H và các véctơ a ∈ H. tương ứng đó là phép
đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với véctơ a
sinh ra nó thì không gian Hilbert H có thể đồng nhất được với không gian
liên hợp H∗ của nó.
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H, với mỗi
y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm x∗ : H → R xác định như sau:

x∗(x) = Ax, y ,

∀x ∈ H.

Dễ thấy x∗ là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên H nên theo Định lý
1.1.14 về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy
nhất y ∗ ∈ H để:
Ax, y = x, y ∗ ,

∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.1.15 Cho A là toán tử trong không gian Hilbert H, ánh
xạ A∗ : H → H được xác định như sau:
A∗ y = y ∗ , ∀y ∈ H
trong đó
Ax, y = x, y ∗ = x, A∗ y .
Được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Nhận xét 1.1.16 Toán tử liên hợp A∗ nếu tồn tại là duy nhất.
Định nghĩa 1.1.17 Dãy (xn )n ∈ H được gọi là:


8

i. Hội tụ mạnh đến x0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là:
lim xn − x0 = 0,

n→∞

kí hiệu xn → x0 hay lim xn = x0 ;
n→∞

ii. Hội tụ yếu đến x ∈ H nếu ∀y ∈ H ta có:
lim xn , y = x, y ,

n→∞

kí hiệu xn ⇀ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.18 Hàm f xác định trên tập lồi C ⊂ Rn được gọi là lồi
mạnh, nếu với ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], tồn tại hệ số t > 0, t ∈ R, ta có:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)t x − y 2 .
Định nghĩa 1.1.19 Cho hàm f : S → (−∞, +∞), S ⊂ Rn, các tập:
domf = {x ∈ S : f (x) < +∞} gọi là miền hữu hiệu của hàm f ;
epif = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} gọi là tập trên đồ thị của hàm f.
Hàm f là lồi khi và chỉ khi epif là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.20 Hàm f được gọi là chính thường (proper), nếu domf =
∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ S.
Cho C ⊂ Rn là tập lồi, C = ∅. Ta có một số ví dụ về hàm lồi như sau:
i. Hàm chuẩn Euclid : x =

x, x , x ∈ Rn ;

ii. Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn tới C : dC (x) = inf x − y .
y∈C

Định nghĩa 1.1.21 Cho H là không gian Hilbert, X là tập con khác rỗng
của H. Khi đó X được gọi là tập compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ H đều chứa
dãy con hội tụ đến một điểm x0 ∈ X nào đó.
1.2

Toán tử đơn điệu cực đại

Cho hai tập hợp X, Y ta có một số định nghĩa sau.


9

Định nghĩa 1.2.1 Cho X, Y là hai tập con bất kì của không gian Hilbert
H, ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu ứng với
mỗi phần tử x ∈ X, xác định duy nhất một phần tử F (x) = y ∈ Y và ta
kí hiệu là:
F : X → Y.
Ánh xạ F là đa trị từ không gian X vào không gian Y nếu ứng với mỗi
phần tử x ∈ X, thì F (x) là một tập con của không gian Y (có thể là tập
rỗng) và ta kí hiệu là:
F : X → 2Y .
Nhận xét 1.2.2 Ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa
trị.
Định nghĩa 1.2.3
i. Nếu F là ánh xạ đơn trị thì ánh xạ ngược F −1 : Y → X được định
nghĩa như sau:
F −1 (y) = {x ∈ X : F (x) = y},
ii. Nếu F là ánh xạ đa trị thì ánh xạ ngược F −1 : 2Y → X được định
nghĩa như sau:
F −1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)},
iii. Cho hai ánh xạ T : X → Y và R : Y → Z, hợp của chúng là RT hoặc
R ◦ T là
RT = {(x, z) | ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ T, (y, z) ∈ R},
vì vậy
(RT )x =

Ry.
y∈T x

Ví dụ 1.2.4 Xét phương trình đa thức:
an + an−1 x + · · · + a1 xn−1 + xn = 0, ai ∈ R.


10

Quy tắc cho tương ứng mỗi điểm a ∈ Rn với tập nghiệm của phương trình
trên, ký hiệu là F (a) cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn → 2C.
Định nghĩa 1.2.5 Nếu Y là không gian véctơ thực, ta có một số các khái
niệm sau:
cA = {(x, cy) | (x, y) ∈ A},

∀c ∈ R, A : X → Y

A + B = {(x, y + z) | (x, y) ∈ A, (x, z) ∈ B},

∀A, B : X → Y.

Định nghĩa 1.2.6 Một không điểm của A là x ∈ X bất kì sao cho 0 ∈ Ax.
Tập tất cả các không điểm của A, được kí hiệu là zer(A).
Định nghĩa 1.2.7 Toán tử A : H → H được gọi là đơn điệu nếu:
A(x) − A(y), x − y

0, ∀x, y ∈ H.

Định nghĩa 1.2.8 Cho toán tử đa trị A : H → 2H . Khi đó:
dom A = {x ∈ H|Ax = ∅} là miền xác định của A,

gra A = {(x, u) ∈ H × H|u ∈ Ax} là đồ thị của A.
Toán tử A là đơn điệu nếu:
x − y, u − v

0, ∀(x, u), (y, v) ∈ gra A.

Ví dụ 1.2.9 Cho toán tử đơn trị A xác định trên tập số thực R như sau:
A(x) = x, ∀x ∈ R.
Khi đó, A là toán tử đơn điệu vì với ∀x, y ∈ R ta có:
A(x) − A(y), x − y = x − y, x − y = (x − y)2

0.

Định nghĩa 1.2.10 Toán tử đa trị A : H → 2H được gọi là toán tử đơn
điệu cực đại nếu toán tử A là đơn điệu và đồ thị gra A của A không chứa
trong đồ thị của toán tử đơn điệu khác trong H.


11

Ví dụ 1.2.11 Xét toán tử Ti : R → 2R, i = 1, 2 cho bởi công thức:
T1 (x) =

1 nếu x ≥ 0
∅ nếu x < 0

và
T2(x) = 1,

∀x ∈ R.

Dễ thấy T1, T2 đều là các toán tử đơn điệu. Nhưng T1 không phải là toán
tử đơn điệu cực đại vì gra T1 chứa thực sự trong gra T2 .
Mệnh đề 1.2.12 Cho toán tử đơn điệu A : H → 2H . Khi đó, A là toán
tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi ∀(a, b) ∈ H × H, nếu:
b − u, a − x

0, ∀(x, u) ∈ gra A

thì b ∈ A(a).
Chứng minh. Giả sử A là toán tử đơn điệu cực đại mà b ∈
/ A(a). Ta mở
rộng toán tử A thành toán tử A bằng cách:
A(a) = A(a) ∪ {b}.
Suy ra
gra A

gra A

mâu thuẫn với giả thiết.
′

Ngược lại, giả sử b ∈ A(a). Xét toán tử đơn điệu bất kì A có:
′

gra A ⊆ gra A .
′

Nếu (a, b) ∈ gra A thì:
b − u, a − x

0, ∀(x, u) ∈ gra A,
′

suy ra b ∈ A(a) ⇒ (a, b) ∈ gra A. Nghĩa là gra A ⊆ gra A. Nghĩa là A là
toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề được chứng minh.


12

Nếu A, B là đơn điệu thì A + B là đơn điệu. Tuy nhiên nếu A, B là đơn
điệu cực đại thì A + B không phải lúc nào cũng đơn điệu cực đại. Điều
kiện để A + B là đơn điệu cực đại là
ri(dom A) ∩ ri(dom B) = ∅.
Bổ đề 1.2.13 Cho toán tử đơn điệu A trên H, A là đơn điệu cực đại khi
và chỉ khi im(I + A)= H.
Bổ đề 1.2.14 Cho số thực r > 0, A là toán tử trên H. Khi đó zer(A) =
zer(rA), và A là đơn điệu (cực đại) khi và chỉ khi rA là đơn điệu (cực
đại).
Sau đây là mối tương ứng giữa họ các toán tử đơn điệu cực đại và một
lớp toán tử không giãn chặt có miền xác định trên H.
Định nghĩa 1.2.15 Toán tử K trên H được gọi là không giãn nếu
x′ − x

y′ − y

∀(x, y), (x′ , y ′ ) ∈ K.

Bổ đề 1.2.16 Mọi toán tử không giãn là đơn trị.
Chứng minh. Cho (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ K, 0 = x − x

y1 = y2 .

y1 − y2 , suy ra

Định nghĩa 1.2.17 K là không giãn chặt nếu
x′ − x, y ′ − y

y′ − y

2

∀(x, y), (x′ , y ′ ) ∈ K.

Bổ đề 1.2.18 Mọi toán tử không giãn chặt là đơn điệu và không giãn. Vì
vậy chúng là đơn trị.
Chứng minh. Cho K là toán tử không giãn chặt. Vì
x′ − x, y ′ − y
nên K là đơn điệu.

y′ − y

2

∀(x, y), (x′ , y ′ ) ∈ K,


13

Một khái niệm tương đương về toán tử không giãn chặt được đưa ra
như sau:

y′ − y

2

x′ − x

2

−

(x′ − y ′ ) − (x − y)

2

∀(x, y), (x′ , y ′ ) ∈ K.

Mối quan hệ tương đương này có thể kiểm tra bằng cách tính toán trực
tiếp. Từ dạng này có thể suy ra K là không giãn, và theo Bổ đề 1.2.16 thì
K là đơn trị.
Định nghĩa 1.2.19 Bài toán điểm bất động trên K là tìm phần tử x∗ ∈ H
sao cho Kx∗ = x∗.
Một lược đồ tự nhiên là phép lặp xk+1 = ⋄Kxk , xuất phát từ điểm x0
nào đó thuộc H. Nếu w là điểm bất động bất kì của K, thì từ Bổ đề 1.2.18
ta có
xk+1 − w

2

xk − w

2

−

xk+1 − xk

2

∀k

0.

Suy ra khoảng cách giữa xk và những điểm bất động là không tăng, và
xk+1 − xk −→ 0. Vì vậy, nếu tồn tại điểm bất động thì dãy xk phải là
giới nội. Từ đó, phụ thuộc vào các điều kiện của bài toán đặt ra người ta
có thể sử dụng kết luận trên để suy ra tính hội tụ của dãy xk đến điểm
bất động của K, thông thường trong tôpô yếu. Trong không gian hữu hạn
chiều, sự hội tụ được đảm bảo.
Định nghĩa 1.2.20 Cho toán tử đơn điệu cực đại T và số thực r > 0, ta
định nghĩa toán tử giải Jr,T của T là (I + rT )−1 .
Mệnh đề 1.2.21 Toán tử T trên H là đơn điệu khi và chỉ khi J1,T =
(I + T )−1 là không giãn chặt. T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi (I + T )−1
là không giãn chặt và có miền xác định đầy đủ.
Chứng minh. Ta có
(x, y) ∈ T ⇔ (x + y, x) ∈ (I + T )−1
x′ − x, y ′ − y

0 ⇔ x′ − x + y ′ − y, x′ − x

x′ − x

2

.


14

Suy ra kết luận thứ nhất.
Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.13, T là cực đại khi và chỉ khi im(I + T ) = H.
Điều này đúng khi và chỉ khi toán tử (I + T )−1 có miền xác định đầy đủ.
Điều này xác minh cho kết luận thứ 2.
Hệ quả 1.2.22 Toán tử K là không giãn chặt khi và chỉ khi K −1 − I là
đơn điệu. K là không giãn chặt với miền xác định đầy đủ khi và chỉ khi
K −1 − I là đơn điệu cực đại.
Hệ quả 1.2.23 Hàm số từ T −→ (I + T )−1 là song ánh giữa họ M (H)
các toán tử đơn điệu cực đại trên H và họ F (H) các toán tử không giãn
chặt trên H.
Hệ quả 1.2.24 Cho T là toán tử đơn điệu cực đại bất kì và số thực r > 0,
toán tử giải Jr,T = (I + rT )−1 là không giãn chặt (do đó là đơn trị) và có
miền xác định đầy đủ.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.14, rT là đơn điệu cực đại do đó (I + rT )−1
là không giãn chặt và có miền xác định đầy đủ.
Bổ đề 1.2.25 Cho toán tử đơn điệu cực đại T , số thực r > 0, và x ∈
H, 0 ∈ T x khi và chỉ khi Jr,T (x) = {x}.
Chứng minh. Bằng cách tính trực tiếp, Jr,T = {(x + ry, x) | (x, y) ∈ T }.
Vì vậy
0 ∈ T x ⇔ (x, 0) ∈ T ⇔ (x, x) ∈ Jr,T
vì Jr,T là đơn trị nên phần chứng minh được kết thúc.
Quan sát này đưa ta đến việc xây dựng xấp xỉ không điểm của toán tử

T [7]. Xuất phát ∀r > 0 và x0 ∈ H ta tính
xk+1 = Jr,T (xk ) = (I + rT )−1 xk .
Rockafellar [10] đã chứng minh và phân tích thuật toán này (gọi là thuật
toán điểm gần kề): lấy dãy {rk } các số thực dương, bị chặn dưới bởi 0,
x0 ∈ H tùy ý, ta thực hiện phép lặp


15

xk+1 = Jrk ,T (xk ) = (I + rk T )−1 xk .
Mệnh đề 1.2.26 Cho T là toán tử đơn điệu cực đại. Nếu zer(T ) = ∅, thì
dãy {xk } sinh ra bởi thuật toán điểm gần kề là giới nội và hội tụ yếu đến
không điểm của T . Nếu zer(T ) = ∅ thì {xk } không giới nội.
Điều quan trọng cần lưu ý rằng thuật toán bất kì tạo bởi dãy lặp xk+1 =
Kxk , ở đây K là toán tử không giãn chặt với miền xác định đầy đủ, có thể
xem xét như là một phần ứng dụng của thuật toán điểm gần kề với toán
tử đơn điệu cực đại K −1 − I, và {rk } cố định bằng 1.
Bài toán cơ bản ta xét trong chương sau là tìm không điểm của toán tử
đơn điệu A + B, ở đây A và B là toán tử đơn điệu cực đại.


16

Chương 2

Thuật toán tách Lions–Mercier và
phương pháp luân hướng tìm không
điểm của tổng hai toán tử đơn điệu
cực đại
Chương này trình bày thuật toán tách Lions–Mercier và phương pháp

luân hướng tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại. Mục
2.1 mô tả phương pháp tách và cách triển khai phương pháp này. Mục 2.2
giới thiệu phương pháp ngược từng phần và mối liên hệ với phương pháp
tách Lions–Mercier. Mục 2.3 trình bày về phương pháp luân hướng và nêu
mối liên hệ với phương pháp tách. Các kiến thức của chương được tổng
hợp từ các tài liệu [2]–[13].
2.1
2.1.1

Phương pháp tách
Mô tả phương pháp

Xét bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại A và
B trong không gian Hilbert H. Trong trường hợp đặc biệt A + B là toán
tử đơn điệu cực đại, người ta cũng có thể sử dụng thuật toán điểm gần
kề cho A + B. Tuy nhiên điểm cần lưu ý trong trường hợp này là Jr,A+B
khó tính toán, cho nên cách tiếp cận này là không thực tế. Thay vào đó
ta dùng cách tiếp cận tách ra Jλ,A và Jλ,B , trong đó λ > 0 là một số thực


17

dương nào đó.
Dựa vào phân tích trên thay cho việc tìm không điểm của A + B ta
phân tích tìm (u, b) ∈ B, (v, a) ∈ A sao cho
v = u;
a = −b.
Với mọi số thực λ > 0 ta có hệ phương trình tương đương là
u − v = 0;
v + λa = u − λb.

Một cách để xác định u, b, v và a là tìm không điểm của toán tử
Sλ,A,B = (v + λb, u − v) | (u, b) ∈ B, (v, a) ∈ A, v + λa = u − λb ,
và có thể viết dưới dạng
Sλ,A,B = (v + λb, u − v) | (u, b) ∈ B, (v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A .
Ta gọi Sλ,A,B là thuật toán tách ứng với A và B. Chọn v + λb là phần tử
đầu tiên trong cặp của Sλ,A,B . Hơn nữa, ta sẽ thấy trong Mệnh đề 2.1.2,
Sλ,A,B là đơn điệu cực đại nếu A và B là đơn điệu cực đại.
Tập không điểm của Sλ,A,B và A + B không phải lúc nào cũng bằng
nhau, nhưng có mối quan hệ mật thiết với nhau. Ta có kết quả sau.
Mệnh đề 2.1.1 Ta luôn có
zer(Sλ,A,B ) = {u + λb | b ∈ Bu, −b ∈ Au}
⊆ {u + λb | u ∈ zer(A + B), b ∈ Bu}.
Chứng minh. Cho S = Sλ,A,B và Z = {u + λb | b ∈ Bu, −b ∈ Au}. Ta
chỉ ra rằng zer(S) = Z.


18

Thật vậy, lấy z ∈ zer(S). Khi đó tồn tại u, b, v ∈ H sao cho
v + λb = z,

u − v = 0,

(u, b) ∈ B

và (v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A.

(u, b) ∈ B

và (u, −b) ∈ A.

Điều kiện này dẫn đến
u + λb = z,
Do đó, z ∈ Z.
Ngược lại, nếu z ∈ Z thì
z = u + λb,

b ∈ Bu và

− b ∈ Au.

Đặt u = v, ta nhận thấy (z, 0) ∈ S. Cuối cùng, bao hàm thức
Z ⊆ {u + λb | u ∈ zer(A + B),

b ∈ Bu}

vì b ∈ Bu và −b ∈ Au dẫn đến u ∈ zer(A + B).
Ký hiệu S = Sλ,A,B .
Mệnh đề 2.1.2 Nếu A và B là hai toán tử đơn điệu cực đại thì S = Sλ,A,B
cũng là toán tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh S là đơn điệu. Thật vậy, cho
u, b, v, u′ , b′ , v ′ ∈ H sao cho
(u, b) ∈ B,
(v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A,
(u′ , b′ ) ∈ B,
(v ′ , λ−1 (u′ − v ′ ) − b′ ) ∈ A.
Khi đó
(v ′ + λb′ ) − (v + λb), (u′ − v ′ ) − (u − v)
= λ (v ′ + λb′ ) − (v + λb), λ−1 (u′ − v ′ ) − b′ − λ−1 (u − v) + b

19

+ λ (v ′ + λb′ ) − (v + λb), b′ − b
= λ (v ′ − v), λ−1 (u′ − v ′ ) − b′ − λ−1 (u − v) + b
+ λ2 b′ − b, λ−1 (u′ − v ′ ) − b′ − λ−1 (u − v) + b
+ λ v ′ − v, b′ − b + λ2 b′ − b, b′ − b
= λ v ′ − v, λ−1 (u′ − v ′ ) − b′ − λ−1 (u − v) + b
+ λ b′ − b, u′ − u − λ b′ − b, v ′ − v − λ2 b′ − b, b′ − b
+ λ v ′ − v, b′ − b + λ2 b′ − b, b′ − b
= λ v ′ − v, λ−1 (u′ − v ′ ) − b′ − λ−1 (u − v) + b + λ b′ − b, u′ − u .
Theo tính chất đơn điệu của hai toán tử A và B, hai số hạng ở dòng cuối
cùng là không âm, vì vậy ta nhận được
(v ′ + λb′ ) − (v + λb), (u′ − v ′ ) − (u − v) ≥ 0,
vậy S là đơn điệu.
Theo Bổ đề 1.2.13, ta sẽ đi chứng minh im(I + S) = H. Vì A và B là
đơn điệu cực đại, nên λA và λB là đơn điệu cực đại, vì vậy im(I + λA) =
im(I + λB) = H. Lấy w ∈ H bất kỳ, khi đó tồn tại u sao cho
u + λb = w

và (u, b) ∈ B.

Hơn nữa, tồn tại v sao cho
v + λa = u − λb và (v, a) ∈ A.
Khi đó a = λ−1 (u − v) − b, vì vậy ta có thể thay u, b, v vào biểu thức xác
định S để nhận được
(I + S)(v + λb) ∋ u − v + v + λb = u + λb = w.
Mệnh đề được chứng minh.
Từ trên, ta thấy có thể xấp xỉ không điểm u của A + B bởi thuật toán
điểm gần kề (với dãy số dương bất kỳ {rk } giới nội và bị chặn dưới bởi

20

0) cho Sλ,A,B để nhận được dãy {z k } hội tụ (yếu) đến không điểm z của
Sλ,A,B . Vì toán tử giải (I + λB)−1 = Jλ,B được xấp xỉ như một ánh xạ
1 − 1, liên tục Lipschitz, vì vậy dãy {uk } = {Jλ,B (z k )} hội tụ (yếu) đến
không điểm u = Jλ,B (z) của A + B. Ta gọi quá trình này là thuật toán
tách. Rõ ràng, Sλ,A,B là cực đại nếu A và B là cực đại, ngay cả khi A + B
không là cực đại.
2.1.2

Triển khai phương pháp

Để thực hiện thuật toán tách, ta phải tính giá trị của (I + rS)−1 tại
một điểm bất kì. Phần tính toán được xét như sau
(I + rS)−1 = ((1 − r)v + ru + λb, v + λb) | (u, b) ∈ B,
(v, λ−1 (u − v) − b) ∈ A .
Vì vậy, để tính (I + rS)−1 (z), ta phải tìm (u, b) ∈ B và (v, a) ∈ A sao cho
(1 − r)v + ru + λb = z,

a = λ−1 (u − v) − b.

Nói cách khác, ta xét bài toán tìm u, v ∈ H sao cho
z − (ru + (1 − r)v) ∈ λB,

−z + ((1 + r)u − rv) ∈ λA.

Điều này không làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn. Cụ thể, nó không
làm giảm bớt khó khăn so với việc tính Jr,A+B tại điểm z bất kì mà ta đang

tránh. Từ so sánh đó, đi tìm (u, b) ∈ B sao cho (u, λ−1 (z − u) − b) ∈ A.
Trong thuật toán tách khi cố định r = 1, ta chỉ đi tìm
(u, b) ∈ B

sao cho u + λb = z

và
(v, a) ∈ A sao cho v + λa = u − λb.
Những điều kiện (u, b) ∈ B, u + λb = z xác định duy nhất u = Jλ,B (z) và
b = λ−1 (z − u) độc lập với v. Khi u đã biết thì v xác định duy nhất từ
u = Jλ,A (u − λb). Do đó, ta có phân tích trong việc tính J1,S = (I + S)−1


21

được thay thế một cách riêng biệt trong đánh giá của Jλ,A = (I + λA)−1 và
Jλ,B = (I + λB)−1 . Khi r = 1 thực chất đó là phép phân hoạch. Spingarn
[13] cũng đã công nhận sự việc trên, nhưng với điều kiện hạn chế hơn.
Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử dãy rk = 1 với mọi k, trừ trường
hợp đặc biệt để áp dụng cho các thuật toán tách. Phần tiếp theo, ta chỉ
ra rằng với sự hạn chế đó, thuật toán tách tương ứng với phương pháp
Lions–Mercier trong [6].
Hình 2.1 minh họa cho việc tính (I + λS)−1 (z).

B

(u, b)

(v, b)
1

2 (A +

z

B)

v + λb

A

(u, -b)
(v, λ1 (u − v) − b) = (v, a)

Tính (u, v)
Tính v
v + λb = (I + S)−1 (z)

Hình 2.1: Tính (I + S)−1 (z)

Tính (u, b) xem như tìm giao điểm của B với đường có hệ số góc −1/λ
đi qua điểm có tọa độ (z, 0). Sau đó để tính v, ta di chuyển điểm có tọa