Rèn luyện kỹ năng giải toán về khoảng cách trong hình học không gian cho học sinh trung học phổ thông (LV thạc sĩ)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG VĂN THÀNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên, năm 2016


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG VĂN THÀNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thái Nguyên, năm 2016


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ này là công trình nghiên cứu khoa học của
riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu trình bày trong Luận văn là trung thực và có nguồn
gốc rõ ràng.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Đặng Văn Thành

i


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa sau đại học trường Đại học
Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở trường THPT
Số 4 Văn Bàn – Lào Cai đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và
nghiên cứu của mình.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Đặng Văn Thành

ii


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



MỤC LỤC
Trang

Trang bìa phụ ..........................................................................................................
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn .......................................................................................................... iii

Mục lục ............................................................................................................. iiii
Danh mục các từ viết tắt ..................................................................................... iv
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
3. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 2
6. Cấu trúc luận văn ...................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................ 4

1.1. KĨ NĂNG VÀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TRONG MÔN TOÁN Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG .................................................................................... 4
1.1.1. Kĩ năng....................................................................................................... 4
1.1.4. Sự hình thành kĩ năng ................................................................................ 8
1.1.5. Vấn đề rèn luyện kĩ năng trong môn Toán ................................................ 8
1.1.6. Một số kĩ năng giải bài toán về khoảng cách trong không gian ................ 9
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN..................................................................... 10
1.2.1. Bài tập toán .............................................................................................. 10
1.2.2. Dạy học phương pháp giải bài toán ......................................................... 12
1.2.2. Yêu cầu lời giải bài toán .......................................................................... 13
1.3. TÌNH HÌNH DẠY VÀ HỌC GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 ................................................. 14
1.3.1. Bài toán tìm khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 THPT ...... 14

iii


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

1.3.2. Tình hình dạy và học giải bài toán về khoảng cách trong không gian .... 16
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .................................................................................... 19

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LỚP 11..............................................................................................................21
2.1. ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG BIỆN PHÁP SƯ PHẠM RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11 .................................................................................... 21
2.2. BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11..................................... 21
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng ....................................................................................................... 21
2.2.1.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 21
2.2.1.2. Cơ sở lý thuyết...................................................................................... 21
2.2.1.3. Phương pháp giải .................................................................................. 22
2.2.1.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 24
2.2.1.6. Một số bài tập tự luyện ......................................................................... 27
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng........................................................................................................... 27
2.2.2.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 27
2.2.2.2 Cơ sở lý thuyết ....................................................................................... 28
2.2.2.2. Phương pháp giải .................................................................................. 28
2.2.2.4. Những kĩ năng cần thiết: ...................................................................... 30
2.2.2.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 31
2.2.2.6. Một số bài tập tự luyện ......................................................................... 35
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song ......................................................................................... 36

2.2.3.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 36

iv


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



2.2.3.2. Cơ sở lý thuyết...................................................................................... 36
2.2.3.3. Phương pháp giải .................................................................................. 36
2.2.3.4. Những kĩ năng cần thiết........................................................................ 36
2.2.3.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 37
2.2.3.6. Một số bài tập tự luyện ......................................................................... 39
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song ........................................................................................................... 39
2.2.4.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 39
2.2.4.2. Cơ sở lý thuyết...................................................................................... 40
2.2.4.3. Phương pháp giải .................................................................................. 40
2.2.4.4. Những kĩ năng cần thiết........................................................................ 40
2.2.4.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 40
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau ........................................................................................................... 42
2.2.5.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 42
2.2.5.2. Cơ sở lý thuyết...................................................................................... 43
2.2.5.3. Phương pháp giải .................................................................................. 43
2.2.5.4. Những kĩ năng cần thiết........................................................................ 44
2.2.5.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 46
2.2.5.6. Một số bài tập tự luyện ......................................................................... 57
CHƯƠNG 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................... 60

3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM ................................................................... 60
3.2. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM ........................................................... 60
3.3. GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM ...................................................................... 60
3.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ .......................................... 80
3.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................... 73
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 85

v


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



vi


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết đầy đủ

Viết tắt

Đại học

ĐH

Đại học sư phạm

ĐHSP

Giáo viên

GV

Giáo Dục

GD

Học sinh

HS

Nhà xuất bản

Nxb

Sách giáo khoa

SGK

Trung học phổ thông

THPT

Ví dụ

VD

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỷ 21, thế kỷ của khoa học công nghệ và hội
nhập. Tri thức và kĩ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát
triển của xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức, kĩ
năng cho con người.
Toán học – một khoa học có nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như đối với các
ngành khoa học khác. Nó ra đời từ lúc bình minh của loài người và ngày càng phát
triển thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Khoảng cách trong không gian là một phần nội dung quan trọng trong chương
trình hình học ở trường THPT. Việc tổ chức dạy học hình học không gian nói chung,
nói riêng là những bài toán về tính khoảng cách trong không gian có vị trí quan trọng
ảnh hưởng nhiều đến kết quả học hình học không gian của học sinh THPT.
Tuy nhiên, trong thực tế, khi học hình học không gian, HS thường gặp không
ít khó khăn. Các em không chỉ nắm chưa vững kiến thức lý thuyết, mà còn hạn chế
trong tư duy hình học, đặc biệt là những kĩ năng hoạt động hình học còn yếu. Chẳng
hạn như các hoạt động tưởng tượng, hình dung và vẽ hình, thiết lập các mối quan hệ
của các yếu tố trong hình như khoảng cách, góc, giao điểm, xác định mặt phẳng thiết
diện. Những khó khăn này khiến HS ngại học, lúng túng khi giải bài toán Hình học
không gian, trong đó có bài toán về xác định, tính toán khoảng cách.
Đã có những công trình nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng trong dạy học Hình
học không gian ở trường THPT, tuy nhiên thực tế cho thấy vẫn cần thiết nghiên cứu
giải pháp cụ thể để rèn luyện kĩ năng giải bài toán về khoảng cách trong Hình học

không gian cho đối tượng HS THPT.
Từ những lí do trên tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải
toán về khoảng cách trong hình học không gian cho học sinh THPT”

1


2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải bài toán về khoảng cách trong
không gian và đề xuất được những biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng
cách trong không gian cho học sinh lớp 11, nâng cao hiệu quả học tập chủ đề này ở
trường phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu chỉ ra các kĩ năng cơ bản, phân loại từng dạng toán cụ thể và thực hiện tốt
giải pháp đã đề xuất thì có thể rèn luyện được các kĩ năng giải toán về khoảng cách
trong hình học không gian cho học sinh lớp 11 THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán, cách thức rèn luyện kĩ
năng giải toán trong dạy học Toán.
Nghiên cứu cơ sở thực tiễn: Tìm hiểu thực trạng tình hình dạy và học nội
dung phần khoảng cách trong hình học không gian của GV và HS ở THPT
Xây dựng giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách trong dạy học
hình học không gian cho HS lớp 11 THPT thông qua việc:
- Xác định các kĩ năng cơ bản của học sinh THPT để giải toán về khoảng cách
trong hình học không gian.
- Lựa chọn, phân loại và sắp xếp một hệ thống bài toán về khoảng cách trong
hình học không gian.
- Xây dựng những biện pháp sư phạm để tập luyện cho học sinh những hoạt
động giải bài toán về khoảng cách trong không gian, từ đó hình thành và rèn luyện kĩ
năng cho các em.

5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về DH kĩ
năng, DH giải toán, phương pháp DH môn Toán.

2


5.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng DH chủ đề khoảng cách
trong hình học không gian ở trường THPT hiện nay.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem tính
khả thi và hiệu quả của việc DH giải toán về khoảng cách trong hình học không gian
cho HS THPT.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán về khoảng cách trong
hình học không gian 11.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.

3


CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. KĨ NĂNG VÀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TRONG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ
THÔNG

1.1.1. Kĩ năng
“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó, khả năng
được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [2, tr.548].

Theo tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào
đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định. Nếu tạm thời tách tri thức và
kĩ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc và khả
năng “biết”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin
kiến thức thuần túy và một phần là kĩ năng” [6, tr13].
Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi người
để đạt được mục đích. Kĩ năng còn có thể được đặc trưng như một thói quen nhất
định và cuối cùng kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp.
“Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh đã nhận được. Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức
thuần túy, so với thông tin trơn” [15, tr.99].
Luận văn tiếp cận kĩ năng theo hướng: Kĩ năng là năng lực thực hiện các công
việc có kết quả trong đó bao hàm cả quan niệm kĩ năng là kỹ thuật hành động. Nghĩa
là, muốn có kĩ năng trước hết phải có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết về nội
dung công việc mà kĩ năng hướng tới và tri thức về bản thân kĩ năng như quy trình
hành động từng thao tác riêng lẻ cho đến khi thực hiện một hành động đúng với mục
đích đề ra. Như vậy, con người chỉ có thể hành động có hiệu quả khi biết sử dụng tri
thức và vận dụng tri thức trong hành động để thực hiện nhiệm vụ tương ứng.
Từ những nghiên cứu về kĩ năng, tôi hiểu: Kĩ năng là khả năng thực hiện có
kết quả một hành động hay một hành động nào đó trong những điều kiện nhất định,
bằng cách vận dụng và lựa chọn những tri thức và kinh nghiệm đã có.

4


Với định nghĩa này, tôi nhận thấy việc hình thành và phát triển các kĩ năng chỉ
có thể đạt được thông qua các hoạt động rèn luyện có mục đích cụ thể, phù hợp với
kĩ năng đó. Việc hình thành và phát triển các kĩ năng là một quá trình chứ không phải
là một số bước đơn lẻ; hình thành và phát triển kĩ năng bao gồm cả hướng dẫn cũng

như cơ hội thực hành để vận dụng.
Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: HS không nắm vững kiến thức, các khái
niệm, định lí, quy tắc, không trở thành cơ sở của kĩ năng. Muốn hình thành được kĩ
năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho HS, người thầy giáo cần tổ chức cho HS học
toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để HS có thể nắm
vững tri thức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện
nguyên lý của nhà trường phổ thông là: Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao
động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
“Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập
toán (bằng suy luận, chứng minh)” [4; tr.12].
Để rèn luyện kĩ năng giải toán trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt
ra là: “Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri
thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri thức và kĩ
năng giải bài toán bằng cách lập PT, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng
hoạt động và tư duy hàm…” [10, tr.41].
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng khác nhau.
Do tính trừu tượng trên nhiều bình diện của Toán học nên trong dạy học môn
Toán ta cần quan tâm rèn luyện cho HS những KN trên những bình diện khác nhau.
- KN vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán.

5


- KN vận dụng tri thức toán học vào trong những môn học khác.
- KN vận dụng toán học vào đời sống.
KN trên bình diện thứ nhất là sự thể hiện ở mức độ thông hiểu tri thức toán học.
Không thể có một người thông hiểu tri thức toán học mà lại không biết vận dụng vào

làm toán.
KN trên bình diện thứ hai thể hiện ở vai trò công cụ của toán học đối với các
môn học khác thường là những môn gắn bó với thực tiễn nhiều hơn môn Toán.
KN trên bình diện thứ ba là mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó cho thấy rõ
mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Trong quá trình dạy toán ở chương trình phổ thông rèn luyện KN trên bình diện
thứ nhất là rất quan trọng. HS ngày càng có khả năng giải toán ban đầu là những bài
cơ bản, sau đó là những bài toán khó hơn nói lên sự thành công về mặt dạy học.
KN Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt
động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán.
KN có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Dạy học toán ở trường phổ thông có các tình huống điển hình là dạy học khái
niệm, dạy học định lý, dạy học bài tập toán học. Sau quá trình dạy định lý cần cho
HS làm các bài tập áp dụng từ dễ đến khó, qua đó HS dần hình thành được KN cho
riêng mình.
1.1.3. Các yếu tố ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng
* Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa sẵn sàng hay bị
che phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình
thành kĩ năng.
Ví dụ 1.1. Trong không gian cho hai mặt phẳng ( ),(  ) vuông góc với nhau
theo giao tuyến d . Trên d lấy A, B sao cho AB  a , M là một điểm trên mặt

6


phẳng ( ) sao cho MA vuông góc với (  ) và MA  a . Một mặt phẳng (P) đi qua M
và
song song với d và cắt (  ) theo giao tuyến t .
Khoảng cách từ A đến (P) bằng

M

a 2
. Tính
2
K

diện tích tứ giác ABCD theo a , biết rằng đoạn

d

A

CD  a di động trên giao tuyến t .

B

Bài toán này nếu tuần tự vẽ hình theo

D

C

H

yêu cầu giả thiết thì rất rối và phức tạp. Để giải

t

Hình 1.1

được bài này đỏi hỏi phải có kĩ năng phân tích
đề và phân biệt được thông tin nào là quan trọng, chính yếu, thông tin nào là gây
nhiễu. Vì MA vuông góc với (  ) nên mặt phẳng ( ) chứa MA là gây nhiễu. Mặt
phẳng (P) //d nên suy ra d // t. Vì vậy, khi đoạn CD di động trên t thì luôn có ABCD
là một hình bình hành, đây là thông tin quan trọng và việc CD di chuyển trên t cũng
là thông tin gây nhiễu. Bài toán dẫn đến tính đường cao hình bình hành ABCD hay
tính khoảng cách từ A đến t, điều này dựa vào khoảng cách từ A đến (P) đã cho.
* Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng. Vì thế, tạo
ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho HS dễ dàng trong việc hình thành kĩ
năng.
* Có khả năng khái quát đối tượng một cách toàn thể.
Nhà toán học vĩ đại Gauss khi lên 6 tuổi đã giải bài toán: tìm tổng các số tự
nhiên từ 1 tới 100, bằng cách tìm thấy tổng hai số đối xứng với số ở giữa đều bằng
nhau, từ đó, Gauss đi đến đáp số bài toán một cách dễ dàng:
(100  1).

100
 5050
2

(tổng từng cặp).(số cặp)
* Biết quy lạ về quen, đưa các dạng bài tập về mô hình các bài tập quen
thuộc.

7


* Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá...
* Tần số và số lần luyện tập.

1.1.4. Sự hình thành kĩ năng
Thực chất của việc hình thành kĩ năng trong dạy học chính là cho HS nắm
vững và thực hiện một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ
những thông tin chứa đựng trong câu hỏi, bài tập, nhiệm vụ học tập và đối chiếu
chúng với những hoạt động cụ thể. Muốn vậy, trong dạy học, GV cần phải:
+ Trang bị tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp để HS hiểu được mục đích
của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành
động. Đồng thời các em hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
+ Tổ chức HS luyện tập qua từng thao tác riêng rẽ trong hoạt động (tương ứng
với kĩ năng cần có), cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu
cầu đặt ra.
+ HS đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra thông qua quá trình tiến
hành hoạt động.
+ HS tiếp tục tập luyện để có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện
khác nhau.
Cần chú ý rằng: HS có thể tiến hành hoạt động bắt chước theo mẫu, tuy nhiên
rèn luyện để hình thành kĩ năng thì cần phải trải qua thời gian đủ dài với số lần tập
luyện hoạt động cần thiết. Chỉ sau rất nhiều lần thực hành, HS mới có thể thực hiện
một kĩ năng một cách nhanh nhẹn và chính xác.
1.1.5. Vấn đề rèn luyện kĩ năng trong môn Toán
Để rèn luyện kĩ năng về dạy học trong môn Toán, GV cần:
* Tìm hiểu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham khảo.
* Tìm hiểu đối tượng HS, trước hết là những lớp mà mình chịu trách nhiệm.
giảng dạy.

8


* Lập kế hoạch dạy học, chuẩn bị từng tiết lên lớp.
* Tiến hành một giờ dạy Toán, thực hiện kiểm tra đánh giá HS.

* Tiến hành các hoạt động ngoại khóa môn Toán, bồi dưỡng HS giỏi, giúp đỡ
các HS yếu kém.
* Thực hiện công tác chủ nhiệm, công tác đoàn thể và công tác phụ huynh hỗ
trợ cho việc dạy học môn Toán.
Để rèn luyện kĩ năng về học môn Toán, HS cần:
* Tự tìm hiểu chương trình sách giáo khoa, các sách tham khảo.
* Hiểu lý thuyết của từng phần, luyện tập bài tập cơ bản thành thạo.
* Luyện tập thêm các bài tập nâng cao, tìm tòi ra nhiều cách khác.
* Nếu cần thiết nên học Toán cùng một nhóm bạn để cùng giúp đỡ nhau học
tập và tìm ra nhiều ý tưởng sáng tạo.
1.1.6. Một số kĩ năng giải bài toán về khoảng cách trong không gian
Với điều kiện nghiên cứu, trong phạm vi của đề tài này, để rèn luyện kĩ năng
giải bài toán về khoảng cách cho HS THPT trong DH Hình học không gian, chúng tôi
lựa chọn một số kĩ năng cần thiết sau đây:
* Kĩ năng phân tích bài toán
Kĩ năng này chính là cụ thể hóa bước 1 của G.Polya.
Phân tích bài toán để làm rõ những yêu cầu bài toán đặt ra, giả thiết của bài
toán đã cho những dữ kiện nào, và mối liên hệ giữa giả thiết của bài toán với yêu cầu
của bài toán, từ đó tìm ra hướng đi cho bài toán.
Đề bài toán hình học không gian trong đó có bài toán khoảng cách thường rất
ngắn gọn. Nhưng nội dung đều rất đáng giá. Chẳng hạn như, khi viết "cho một hình
chóp đều cạnh a", thì thực ra là đã bao gồm những kiến thức liên quan như: các cạnh
bằng nhau, chân đường cao trùng với tâm đáy, các mặt bên bằng nhau, góc hợp bởi
cạnh bên với đáy bằng nhau...
* Kĩ năng tưởng tượng không gian và vẽ hình
Vẽ hình từ đề bài, biểu diễn các yếu tố của bài toán trên hình vẽ. Việc vẽ hình
biểu diễn của hình không gian, trong đó có bài toán khoảng cách trong không gian
trên mặt phẳng là rất quan trọng, song thường là khó khăn đối với HS. Kĩ năng biểu

9

diễn hình giúp HS phát triển trí tưởng tượng không gian và nhận thức tốt hơn những
quan hệ trong hình đó.
* Kĩ năng nhận dạng bài toán
Kĩ năng nhận định xem bài toán được giải quyết theo phương pháp nào, dựa
trên những kiến thức, tri thức phương pháp đã biết về các dạng toán khoảng cách
trong không gian, qua đó có hướng đi cụ thể cho bài toán.
* Nhóm kĩ năng thực hiện giải toán
- Kĩ năng xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng.
- Kĩ năng xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng: Đây là kĩ năng
quan trọng để giải quyết hầu hết các bài toán về khoảng cách trong không gian.
- Kĩ năng chuyển bài toán về dạng toán đã có cách giải.
- Kĩ năng xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau,
đây là kĩ năng đặc trưng của bài toán tính khoảng cách trong không gian.
- Kĩ năng vận dụng các công thức tính toán: Vận dung các hệ thức lượng trong
tam giác, định lý Pitago trong tam giác vuông, định lí Ta – Lét trong tam giác, tam
giác đồng dạng, ... vào tính toán.
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN
1.2.1. Bài tập toán
Trong tiếng Việt, thuật ngữ “Bài toán” có nhiều nghĩa khác nhau. Trong các tài
liệu về lí luận dạy học môn Toán, người ta hầu như không định nghĩa khái niệm này
và do đó có nhiều cách hiểu khác nhau:
Theo G.Polya: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức
phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể
đạt được ngay” [15].
- Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa: “Khái niệm bài toán hiểu là một
công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiện cho
trước” [1].
- Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được mục đích nào đó.

10


Như vậy bài toán đồng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ,... Mục đích nêu
trong bài toán có thể là một tập hợp bất kì (của các số, các hình, các biểu thức,...)
hoặc sự đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận.
Bài tập toán có vai trò rất quan trọng trong môn Toán. Ở nhà trường phổ thông,
dạy toán là dạy các hoạt động toán học. Đối với HS có thể coi việc giải toán là hoạt
động chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở nhà trường phổ thông là phương
tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức,
phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng vào thực tiễn. Hoạt động giải
bài tập toán là điều kiện thực hiện tốt nhất các mục đích học toán ở trường phổ thông.
Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với
chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác
nhau. Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm việc với nội
dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…
Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những
chức năng này đều hướng tới các mục đích dạy học. Trong môn toán, bài tập toán học
thể hiện rõ: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng
kiểm tra.
Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho HS những tri
thức, kĩ năng, kỹ xảo ở giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác
và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết
sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực
hiện được những ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật chuyên môn của

mình. Vì vậy, việc khai thác một lớp các bài tập nhằm đạt được cùng một mục đích
và ở những mức độ khác nhau góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy cho
HS, rèn luyện được những phẩm chất trí tuệ ở họ qua hoạt động dạy học toán.

11


1.2.2. Dạy học phương pháp giải bài toán
Về vấn đề dạy học giải bài toán, tham khảo tác giả Nguyễn Bá Kim
(2008)[11](Tr391), có thể tóm tắt một số vấn đề lý luận như sau:
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài
toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán
đó. Để làm tăng hứng thú học tập cho HS, phát triến tư duy, GV phải hình thành cho
HS phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học,
tác giả Nguyễn Bá Kim (2008)[11](Tr391) đưa ra phương pháp tìm lời giải cho một
bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả cho việc hỗ trợ đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương
tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát tổng quát hơn hay một bài toán nào
đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng
minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa

kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,..
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí
nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.

12


Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.2.2. Yêu cầu lời giải bài toán
(i) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một
hình vẽ,.. thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng.
Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu
thức,….
(ii) Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán;
Luận cứ phải đúng;
Luận chứng phải hợp logic
(iii) Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chi
tiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp
không được thiếu một khả năng nào,…
(iv) Ngôn ngữ chính xác
Đây là yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc dạy

học môn Toán cũng phải tuân thủ các yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố
(chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Ngoài các yêu cầu (i)-(v), cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho cùng
một bài toán, phân tích những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí
nhất trong số các lời giải tìm được.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu về mặt
trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.

13


1.3. TÌNH HÌNH DẠY VÀ HỌC GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

1.3.1. Bài toán tìm khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 THPT
Trước khi chuyển sang hình học không gian ở lớp 11 thì HS mới chỉ làm việc
chủ yếu với các hình trong mặt phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường
minh, phản ánh trung thành hình dạng và có thể bằng kích thước bằng hình vẽ trên
giấy. Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Đến
khi HS tiếp xúc với hình học không gian ở chương II, III (Hình học 11) thì những
hình vẽ trong SGK chỉ là hình chiếu - hình biểu diễn (dưới dạng hình phẳng) của
những vật thể trong không gian, nên không thể phản ánh một cách đầy đủ và rõ ràng
các quan hệ như: quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau của các đối tượng, ví dụ như
hình vuông , hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành thì trong hình học không gian
đều được biểu diễn thành hình bình hành... Từ đó HS bắt buộc phải tượng tưởng ra
hình khối từ hình biểu diễn để nhận thức, suy nghĩ và giải toán. Vì vậy, đây là một

khó khăn tương đối lớn đối với HS trong giải bài toán hình học không gian.
Trong phân phối chương trình lớp 11, hình học có tất cả 45 tiết (tính cả tiết ôn
tập cuối năm), có 31 tiết là dạy về hình học không gian thì chỉ có khoảng 2 hoặc 3 tiết
là dạy về khoảng cách trong không gian. Từ đó ta thấy, HS chưa kịp hiểu về hình học
không gian, quan hệ song song, quan hệ vuông góc thì HS đã học sang tính khoảng
cách- một bài toán khó trong hình học không gian khiến kiến thức lý thuyết về hình
không gian của HS là không chắc thậm chí là yếu.
Sau khi giới thiệu hai quan hệ: quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong
không gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra hai khái niệm quan trọng là
khoảng cách và góc trong đó các bài toán liên quan đến hai khái niệm này được khai
thác rất nhiều trong các kì thi như Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Ngoài ra
việc giải quyết các bài toán về khoảng cách còn giúp ta giải quyết được bài toán về
thể tích khối đa diện ở lớp 12.
Phân môn hình học rất có điều kiện phát triển trí tượng không gian, rèn luyện
lập luận chứng minh phản chứng cho HS. Không có trí tưởng tượng thì không có sự

14


sáng tạo nào hết. Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tượng
tưởng ra nó. Nghiên cứu hình học không gian là nghiên cứu trên hình biểu diễn của
các không gian trên mặt phẳng, nên trí tưởng tượng được phát triển. Để phát triển trí
tưởng tượng, GV thường gắn hình học không gian với thực tế của không gian vật lí
mà chúng ta đang sống, nên thường có những hình ảnh trực quan xung quanh ta thuật
lợi cho việc HS lĩnh hội kiến thức.
Chẳng hạn như: Trong sách giáo khoa Hình học 11, để mô tả tính chất thừa
nhận của hình học không gian “có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không
thẳng hàng cho trước” thì người ta đã đưa ra hình ảnh chiếc kiềng ba chân và các giá
đỡ ba chân khi đặt trên mặt đất không bị cập kênh. Hoặc là trong bài dạy “hai đường
thẳng song song”, sách giáo khoa lớp 11 đã đưa ra hình ảnh một cái bàn, mục đích là

mô tả vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt.
Tuy nhiên, với những hình không đơn giản và những mỗi quan hệ phức tạp thì
HS tỏ ra khó khăn khi nhận thức, GV cũng khó có thể diễn đạt bằng lời nói làm giảm
sút hiệu quả việc dạy và học. Ví dụ về khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau
trong hình hộp chữ nhật: vì không có hình ảnh trong thực tế nên GV sẽ mô tả qua
hình vẽ bằng nhiều các đường kẻ phụ để có thể kẻ được đường thẳng cùng vuông góc
với hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó hình vẽ đã rất rối bởi rất nhiều đường, khiến
HS khó nắm được kiến thức.
Mục tiêu cơ bản của hình học không gian là phát triển tư duy logic và trí tưởng
tượng không gian cho HS nhưng hệ thống bài tập sách giáo khoa lại chưa thực hiện
được điều đó. Hệ thống bài tập sách giáo khoa chưa thật tốt, chưa kết hợp chặt chẽ
với lí thuyết, chưa giúp củng cố và vận dụng lí thuyết. Do thời lượng chương trình
sách giáo khoa lớp 11 mới chỉ đưa ra khái niệm về các loại khoảng cách, nêu lên mối
liên hệ giữa các khái niệm bằng một nhận xét ở cuối bài và 2 ví dụ cơ bản về khoảng
cách, bài tập về phần này cũng ở mức độ kiến thức cơ bản, chưa đầy đủ hết các dạng
toán mà các em HS sẽ phải gặp trong các kì thi đại học. Từ đó, GV cũng không có đủ
thời gian giúp HS luyện tập nhiều các bài tập.

15


Ngoài ra, để giải được các bài toán về khoảng cách, xác định được khoảng
cách thì HS cần phối hợp nhiều kiến thức với nhau, từ những kiến thức ở đầu chương
như xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến giữa mặt phẳng
và mặt phẳng… đến cả kiến thức về quan hệ song song, quan hệ vuông góc, nên đối
với HS không nắm được các kiến thức đã học trong hình học không gian sẽ gặp nhiều
khó khăn trong phần này.
1.3.2. Tình hình dạy và học giải bài toán về khoảng cách trong không gian
Qua quá trình giảng dạy của bản thân và trao đổi phỏng vấn trực tiếp với nhiều
giáo viên dạy toán ở các trường THPT số 1 Văn Bàn, THPT số 4 Văn Bàn có thể thấy

thực trạng việc dạy hình học không gian nói chung, trong đó có bài toán về khoảng
cách ở các trường THPT như sau:
* Về phía GV
Do đặc điểm trừu tượng mà hình học không gian là một môn học khó đối với
cả việc dạy của GV và việc học của HS. Mặt khác bài toán tính khoảng cách giữa các
đối tượng trong không gian lại là một vấn đề phức tạp vì khó hình dung và xác định
được đoạn thẳng biểu diễn khoảng cách cần tính,... việc xác định đoạn vuông góc
trong mặt phẳng dễ xác định hơn trong không gian.
Vẫn còn những GV ít nhiều lúng túng trong việc giảng dạy hình học không
gian, nói riêng là hướng dẫn HS vẽ, tính khoảng cách trong những bài toán tìm
khoảng cách ở hình học không gian.
Ngoài ra, một số ít thầy cô còn có kiến thức chưa vững chắc trong dạy hình học
không gian. Đó cũng là một nguyên nhân khiến HS học kém hình học không gian.
* Về phía HS
HS kém về hình học không gian, có tư tưởng ngại và sợ học hình học không gian.
Bài toán tính khoảng cách được khai thác rất nhiều trong các kì thi Đại học.
Tuy nhiên, hầu hết các em HS đều không học nội dung tính khoảng cách trong phần
hình học không gian. HS khá, giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn trong phần tính
khoảng cách và không phải lúc nào cũng thực hiện được.

16