Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHAN THỊ THU HIỀN

VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN





LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong
bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn

Phan Thị Thu Hiền

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Danh Nam, người
thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo

Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thận lợi
cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, các em HS
khối 10 Trường THPT Ngô Quyền và Trường THPT Dương Tự Minh – TP.
Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình
thực nghiệm sư phạm.
Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm
khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.
Tác giả

Phan Thị Thu Hiền

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC LỤC ................................................................................................................. iii
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT................................................................. iv
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................3
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu ........................................................................3
4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................3

6. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................4
7. Đóng góp của luận văn ............................................................................................4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................6
1.1. Mô hình và phương pháp mô hình hóa ................................................................6
1.1.1. Khái niệm mô hình ............................................................................................6
1.1.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn ..........................................................10
1.1.3. Phương pháp mô hình hóa ..............................................................................13
1.2. Quy trình mô hình hóa .......................................................................................15
1.2.1. Giai đoạn 1: Toán học hóa...............................................................................19
1.2.2. Giai đoạn 2: Giải bài toán ...............................................................................20
1.2.3. Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán ....................................................................20
1.2.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế ........................................................................21
1.3. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ........................21
1.3.1. Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán .................................................22
1.3.2. Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn .......................................26
1.3.3. Hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn ................................29
1.3.4. Phát triển các kĩ năng toán học .......................................................................31
1.4. Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở
trường THPT .............................................................................................................33
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1.4.1. Về bài toán có tính thực tiễn trong SGK môn Toán THPT .............................33
1.4.2. Thực trạng dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn ......37
1.5. Kết luận chương 1 ..............................................................................................45
Chƣơng 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA ....................46
2.1. Nguyên tắc thiết kế mô hình toán học ................................................................46

2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học .......................................46
2.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn ................46
2.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề ........................46
2.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức ......................................47
2.2. Thiết kế hoạt động m̞ hình hóa chủ đề hàm số ...................................................48
2.2.1. Mô hình hàm số bậc nhất ................................................................................49
2.2.2. Mô hình hàm số bậc hai ..................................................................................55
2.3. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình và bất phương trình .......62
2.4. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa đại số lớp 10 .................................68
2.4.1. Hệ thống bài tập chủ đề “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai” .....................69
2.4.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và bất phương trình” ........................79
2.5. Kết luận chương 2 ..............................................................................................90
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ..............................................................91
3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................................91
3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................91
3.3. Tổ chức thực nghiệm ..........................................................................................92
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ...................................................................................92
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ....................................................................................92
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ...........................................................................92
3.4.1. Phân tích định tính ..........................................................................................92
3.4.2. Phân tích định lượng .......................................................................................95
3.5. Kết luận chương 3 ..............................................................................................97
KẾT LUẬN ..............................................................................................................99
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................100
PHỤ LỤC
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

CNTT

Công nghệ thông tin

ĐC

Đối chứng

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

MHH

Mô hình hóa

SGK

Sách giáo khoa

TN

Thực nghiệm

THPT

Trung học phổ thông

tr.

Trang

iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong
sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với
mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và
văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ,
chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng

và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm
mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng
vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học
cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến
thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề
trong cuộc sống.
Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ
thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực
cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động
và có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có
năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế
và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình
toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các
tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ “toán học hóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ
toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán
học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu
nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin
giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của
tình huống thực tiễn.
1


Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể
là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng
hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là phương
pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng
công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Sử
dụng phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích
cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng
gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực

tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu
cho HS.
Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa
thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó
đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân
tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông,
cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa
hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. Những ứng dụng của
toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế
dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên.
Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập
trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví
dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số
THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong
thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện
cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam,
chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán.
Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS
hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của
đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng

2


dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực
tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông.
Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở
trường trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH
trong việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở
trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải
quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT và
quá trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán, quy
trình MHH, hệ thống bài tập MHH.
3.3. Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10 ở trường THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn,
vận dụng phương pháp MHH để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành
và phát triển năng lực MHH toán học cho HS, góp phần đổi mới phương pháp
dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho HS ở trường THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu đặc điểm của phương pháp MHH vận dụng trong các tình
huống dạy học điển hình trong chương trình toán THPT.
5.2. Nghiên cứu đặc điểm của chương trình SGK Đại số lớp 10 theo định
hướng phát triển năng lực cho HS.
5.3. Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng
phương pháp MHH để sử dụng trong dạy Toán ở trường THPT.

3


5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá
tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học
môn Toán ở trường THPT.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và
ngoài nước về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận
dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT qua các
hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng
vấn trực tiếp GV ở trường THPT.
6.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn trực tiếp nhóm HS.
6.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một
số trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung
nghiên cứu được đề xuất.
6.5. Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Những đóng góp về mặt lý luận
- Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng phương
pháp MHH để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.
- Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số
tình huống MHH trong dạy học Toán và xây dựng hệ thống bài toán có nội
dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng
phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bài tập đó.
7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT,
tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán
ở trường THPT.
4


- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS
trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT.
- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn
đề có liên quan trong luận văn, trong đó có việc định hướng đổi mới chương

trình SGK môn Toán sau 2015.

5


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Mô hình và phƣơng pháp mô hình hóa
1.1.1. Khái niệm mô hình
Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa:
- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các
đặc trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc chọn để bắt chước A theo
những đặc trưng đó [19, tr.107].
- Mô hình là một “vật” hay “hệ thống” đóng vai trò đại diện hoặc vật thay
thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [24, tr.175].
- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực
hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [14, tr.124].
Tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật
gốc) nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó.
Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây:
- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô
hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là
cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng
cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng
nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan
hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn
giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà
nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải
xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm
tới. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày

nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương
tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức

6


tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể
xảy ra trong thực tiễn.
- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó
ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong
quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản
chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng
nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính
chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có
trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách
mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình
nhận thức khoa học tích cực.
- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản
ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu
các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng.
Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng
ban đầu không phải là một việc đơn giản.
- Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình
không phải là cái bất biến. Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao
hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình
của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với
các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều
phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình
huống thực tiễn.
- Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán

học để mô tả hiện thực khách quan. Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình
toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các
thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả
đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng
khác [12].
7


Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể
thấy được các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis
,1991). Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của
đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào
ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz
& Hatler, 1991; Verschaffel, 2002). Mô hình toán học là một mô hình trừu
tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Mô hình
toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên
ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ thuật điện tử) đồng thời trong
cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị) [7].
Ví dụ 1.1. (Mô hình gia tăng dân số của Maithus) Giả sử tỷ lệ người
sinh ra là b và tỷ lệ người chết là d; b và d đều là những hằng số, thì tỷ lệ gia
tăng dân số là r  b  d cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu ( t  0 ) dân số
là N 0 , thì dân số tại thời điểm t là Nt  N0 .ert cũng chính là nói dân số tăng
theo cấp số nhân. So sánh với những số liệu về dân số đã thống kê được trước
thế kỷ 19 thì sự gia tăng dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với
mô hình của Maithus, nhưng đa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này. Vì
thế, mô hình này không hoàn toàn phù hợp với tình hình thực tế. Bởi vì nó đã
không tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì môi trường, nguồn tài
nguyên thiên nhiên,… chỉ hạn chế trong một giới hạn. Dân số quá đông dẫn
tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễm môi trường nghiêm trọng
và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệ sinh và sự tăng lên của

tỷ lệ chết [4].
Ví dụ 1.2. (Mô hình mô tả hành vi của khách hàng) Khách hàng
mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng với số tiền hiện có. Trong mô hình
này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong
số n mặt hàng được đánh nhãn 1, 2, ..., n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả
thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị
8


(tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định
mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá
trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài
toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối
ưu

hóa,

nghĩa

là:

max U  x1; x2 ;...; xn 

thỏa

n

mãn:  pi .xi  M

và

i 1

xi  0  i {1,2,...,n} . Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng

chung, đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân
bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình này gán giá trị số để phân mức
thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi [4].
Ví dụ 1.3. (Mô hình chuyển động của chất lỏng) Phương trình
chuyển động của chất lỏng không nén được biểu diễn bằng hệ phương
trình Navier-Stokes như sau:
V
p
 V .V  
 v 2V

t

Trong đó v là hệ số nhớt động, V là tốc độ của các phần tử chất lỏng, p
là áp suất của môi trường và  là mật độ của dòng chất lỏng. Kết hợp với
phương trình liên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:

.V   0
Và điều kiện biên: Vs  U Trong đó Vs là tốc độ của hạt chất lỏng trên
bề mặt vật thể, U là điều kiện biên [4].
Tóm lại, trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, mô hình được sử
dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ,
biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử (Van Den Heuvel &
Panhuizen, 2003; Van De Walle, 2004 ). MHH trong dạy học toán là phương
pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công

cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học. Sử dụng
phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học
9


tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong
thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều
này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS [7].
1.1.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn
1.1.2.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn
Toán học là môn học có tính trừu tượng cao. Theo [3, tr.35] tính trừu
tượng của toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối
tượng của toán học quy định. Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học
thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế
giới khách quan” . Hình dạng không gian có thể hiểu không phải chỉ trong
không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong những không gian trừu tượng
khác nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần
tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm
vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép toán và tính chất của chúng
trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận,
tập hợp, mệnh đề, phép biến hình,…
Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ
che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Theo [4, tr.62] thì liên
hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng
thực hiện nguyên lí giáo dục. Cụ thể là:
- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu
đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt
bên bờ sông Nile (Ai Cập),…
- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm véctơ phản ánh
những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng,

chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng
hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn,… Trong Toán học có những chứng
minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau:
“nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”,…
10


- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo
khoảng cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích
phân để tính thể tích, diện tích, …
1.1.2.2. Toán học có ứng dụng thực tiễn
Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng
trong không gian của thế giới khách quan. Toán học có vai trò rất quan trọng
và được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã
hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,…
Ví dụ 1.4. (Trong quân sự) Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu
trong chiến tranh, nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới
hàng chục ki-lô-mét. Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến
trường đã được ghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi
tướng Hàn Thế Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh
thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu). Loại vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào
vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ thứ 13. Trải qua nhiều thế kỷ,
các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo cả về tầm
bắn, tính chính xác lẫn sức công phá. Với sự phát triển của Toán học, người ta
đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng pháo:
y

 gx 2
  tan   x trong đó v0 là vận tốc khi viên đạn ra khỏ nòng pháo
2v02 .cos 2

và  là góc mà nòng pháo tạo với phương nằm ngang.
Ví dụ 1.5. (Trong thiên văn) Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát
hiện ra các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất
định, và các nhà thiên vãn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn
hoàn hảo. Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao
Hỏa lần đầu tiên cho Kép-lê thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù
hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh
khác quay quanh Mặt trời cũng phải có quỹ đạo hình elíp. Ba định luật Kép-lê
(1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức
11


lớn cho mô hình địa tâm của A-rít-tốt và Ptô-lê-mê đã được chấp thuận từ rất
lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Cô-péch-ních (mặc dù quỹ đạo elíp
theo Kép-lê khác với các quỹ đạo tròn theo Cô-péch-ních), bằng chứng
tỏ Trái đất quay quanh Mặt trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là
biến đổi, và quỹ đạo có đường elíp hơn là đường tròn.
Ví dụ 1.6. (Trong hội họa – kiến trúc) Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi
tính, thẻ tín dụng, cánh hoa, lá cây, toà nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được
tạo lập dựa trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối. Dường như vũ
trụ đang tiết lộ với chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của
tự nhiên – một mật mã độc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của
tỷ lệ vàng – một tỉ lệ hoàn hảo. Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên
cứu một số cá thể từ các dân tộc khác nhau đã cho thấy rằng: trong số những
số đo khác nhau của hình chữ nhật, thì hầu hết mọi người đều đồng ý với một
con số cân đối nhất. Con số hoàn hảo nhất được hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh
lớn hơn với cạnh nhỏ hơn xấp xỉ 1,618 – trong toán học con số này được gọi
là “vàng”. Tỷ lệ các cạnh hình chữ nhật này có mặt trong hàng ngàn công
trình kiến trúc trên khắp thế giới, cũng như là trong các hộp diêm, danh thiếp,

những cuốn sách, và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơn giản bởi vì con
người cảm thấy nó phù hợp. Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops, trụ sở
Liên Hiệp Quốc tại New York, và nhà thờ Đức Bà Paris là những dẫn chứng
điển hình cho việc ứng dụng tỷ lệ vàng. Trên thực tế, đền thờ Panthenon có
rất nhiều chi tiết ứng dụng tỷ lệ này.

Đền Parthenon (Athens)

Nàng Mona Lisa
12


Các thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng
(hình tạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ
vàng đặt chồng lên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu,
khoáng vật, xoáy nước, cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng
tâm của cây súp-lơ hay hoa hướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải
ngân hà, hay một số dải thiên hà khác như dải M51 ngay cạnh dải ngân hà của
chúng ta… thậm chí cả con ốc sên. Một con ốc thật đẹp và thật hoàn hảo như
ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thật tài tình với tỷ lệ vàng. Rất nhiều
loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàng trong độ dày giữa giữa cành
thấp với cành cao.
Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong
sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để
phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất
là vận dụng Toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng
những công cụ Toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm
mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước
trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm
đạt một mục đích đề ra [4].

1.1.3. Phương pháp mô hình hóa
Phương pháp MHH trong dạy học Toán ở trường phổ thông được chú
trọng nghiên cứu khoảng một thập kỉ gần đây (Blum, Galbraith, Henn &
Niss, 2002). Phương pháp này giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn
bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán
học. MHH là một quá trình khép kín (English, 2007), bắt đầu từ việc
chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, sử dụng toán học để
hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn.
Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế
giới bên ngoài (Zbiek & Conner, 2006; Stillman, 2009). Nó giúp HS phát

13


triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao (Tanner & Jones,
2002; McClure & Sircar, 2008). GV nên phát triển các loại bài tập gắn với
hoạt động MHH như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế
các vấn đề nảy sinh tại địa phương, phân tích các tin tức trên báo chí, số
liệu trong SGK hoặc trên mạng internet [7].
Đối với cấp tiểu học, phương pháp MHH thường được sử dụng để giải
quyết lớp các bài toán có lời văn. Mô hình thường là được biểu diễn dưới
dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,… Tuy nhiên, hoạt
động MHH không thể hiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu học. Van de Walle
(2004) cho rằng mô hình diễn tả các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa
các khái niệm đó có thể là đồ vật, bức tranh hay hình vẽ cụ thể giống như việc
sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễn các phân số bằng nhau. Quá trình
MHH đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảo luận để có thể tập hợp, liên kết
các lập luận của thành viên trong nhóm [13].
Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các
chủ đề rộng hơn. Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối

quan hệ giữa các bộ môn Toán học, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng
các vấn đề toán học thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng
các kiến thức toán học. HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán
đầu tiên, đó là bài toán ứng dụng toán học. Từ đó, chuẩn bị cho việc tiếp cận
dạng bài toán thứ ba là giải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13].
Chúng ta cần làm rõ dạy học MHH và dạy học bằng MHH. Để nâng
cao năng lực hiểu biết toán cho HS, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức
xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt
ra. Đối với các nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn
tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không
mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm
ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm,

14


một định lý mới). Song đối với GV thì mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn đến
chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình (trình bày theo [1]):
- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm
hay định lý, công thức).
- Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải
xây dựng mô hình toán học: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn; Xây dựng mô
hình toán học; Câu trả lời cho bài toán thực tiễn; Thể chế hóa tri thức cần
giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức; Vận dụng vào
giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô
hình toán học phù hợp.
Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời
gian nhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do
đó làm mất nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự
nhiên HS sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô

hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh
ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không?
Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho
phép khắc phục khiếm khuyết này. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ
quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay
phương tiện giải quyết vấn đề. Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH.
Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng
MHH và dạy học MHH là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán
học cho HS. Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải
tính đến vấn đề MHH trong dạy học.
1.2. Quy trình mô hình hóa
MHH các tình huống thực tiễn trong dạy học toán có thể sử dụng các
công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật ngữ, phương
15


trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu,… Vì thế nó cần tuân theo quy
trình gồm 4 giai đoạn chính sau đây (trình bày theo Swetz và Hartzler, 1991):
1. Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và
phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó.
2. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng
ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng.
3. Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù
hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình.
4. Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và
đưa ra kết luận.
Quá trình GQVĐ và MHH có những đặc điểm tương tự nhau giúp rèn
luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và bổ
sung cho nhau. Quy trình này được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải

thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn (English, 2007). Có thể minh họa
quy trình trên bằng sơ đồ khép kín dưới đây:

Tình huống
thực tiễn

Quan sát, hiểu và
xây dựng mô
hình

Phân
tích

Áp dụng

Kết luận,
Thông báo

Mô hình
toán học

Hiểu và thông dịch

Hình 1.1: Quy trình mô hình hóa khép kín
16

Kết luận
toán học

Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV
cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá
trình MHH các bài toán:
- Bƣớc 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xậy dựng các giả
thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ
và ngôn ngữ toán học.
- Bƣớc 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán
học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.
- Bƣớc 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình
huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu).
- Bƣớc 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế
của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và
phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã
xây dựng.
Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, HS cần xuất phát
từ tình huống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn trên bằng lời (lập giả thuyết,
công thức, phương trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để giải bài toán
và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán đối với thực tiễn. Cuối cùng, HS xem xét
lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc
thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi
áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn.
Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo
một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở
nên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông [13]. Cơ chế điều chỉnh này
thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:

17


Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH

Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, chúng tôi đề xuất các bước tổ
chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:
- Bƣớc 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản
hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề
thực tế.
- Bƣớc 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.
- Bƣớc 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ
toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó.
- Bƣớc 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán.
- Bƣớc 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán
học trong hoàn cảnh thực tế.
- Bƣớc 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính
hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng.
- Bƣớc 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây
dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
18