Phương pháp douglas rachford tìm không điểm của bao hàm đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN NGỌC HẢO

PHƯƠNG PHÁP DOUGLAS - RACHFORD
TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA BAO HÀM THỨC ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN NGỌC HẢO

PHƯƠNG PHÁP DOUGLAS - RACHFORD
TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA BAO HÀM THỨC ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Mục lục

i

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

1

Một số kiến thức cơ bản

3

1.1

Không gian Hilbert và cực trị của phiếm hàm lồi . . . . . . .

3

1.2

Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại

8

2

Thuật toán Douglas - Rachford

21

2.1

Phương pháp Douglas - Rachford . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Phương pháp Douglas - Rachford quán tính . . . . . . . . .

29

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với GS.TS. Nguyễn
Bường, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời
gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin,
Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học
Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng
nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập
và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót
và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, 2015

Trần Ngọc Hảo
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

1

Mở đầu
Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và
đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể
đến như Browder .F .E, Rockafellar .R .T, Minty .G .J . . .
Bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu có nhiều ý nghĩa quan
trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như khoa học vật lí, tối ưu hóa, toán
kinh tế, toán tài chính . . . Ở đây, ta quan tâm đến bài toán sau:
Tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ A(x) + B(x).
Trong đó A, B là các toán tử đơn điệu cực đại trong H .
Đề tài của luận văn về "Phương pháp Douglas - Rachford tìm không điểm
của bao hàm thức đơn điệu" để giải quyết khó khăn của việc áp dụng trực tiếp
phương pháp điểm gần kề tìm toán tử giải JA+B = (I + r(A + B))−1 , khi
T = A + B. Vì thế đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng
thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao.
Nội dung của luận văn được tổng hợp một số kết quả từ hai bài báo.
[5] Bot .R .I, Csetnek .E .R, Hendrich .C (2015), "Inertial Douglas-Rachford
splitting for monotone inclusion problems", Applied Mathematics and Computation, Volume 256, P-P 472–487.
[12] Svaiter B. J. (2011), "Weak convergence on Douglas - Rachford
method", SIAM Journal on Control and Optimization 49 (1), 280-287.
Với ý thức như vậy, luận văn được chia thành hai chương với nội dung
chính như sau:


2
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian Hilbert, cực
trị phiếm hàm lồi và phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu
cực đại.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Chương này trình bày phương

pháp Douglas - Rachford tìm không điểm của bao hàm thức đơn điệu và
phương pháp Douglas - Rachford quán tính.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Trần Ngọc Hảo
Email:


3

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
Chương này ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quan tới bài toán
tìm không điểm của bao hàm thức đơn điệu. Mục 1.1 trình bày kiến thức về
không gian Hilbert và cực trị của phiếm hàm lồi. Mục 1.2 giới thiệu phương
pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu. Các kiến thức trong chương
được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2], [3], [4].

1.1

Không gian Hilbert và cực trị của phiếm hàm lồi

Trước hết ta trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian véc tơ trên R, tích vô hướng xác định
trong H là một ánh xạ
., . : H × H → R,
(x, y) −→ x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H ;
(ii) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H ;

(iii) λx, y = λ x, z với mọi x, y ∈ H ; λ ∈ R;
(iv) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x và y trong H .


4
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa suy ra
(i) x, λy = λ y, x ;
(ii) x, y + z = x, y + x, z ;
(iii) x, 0 = 0.
Với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Cặp (H , ., . ), trong đó H là một không gian tuyến tính
trên R, ., . là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.
Định lí 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz)
Trong không gian tiền Hilbert H , với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng
thức sau
| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.1)

Chú ý 1.1. Bất đẳng thức ở định lý trên được gọi là bất đẳng thức Schwarz,
trong bất đẳng thức Schwarz dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc
tuyến tính.
Định lí 1.2. Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian tuyến tính
định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức
1

x = x, x 2 , x ∈ H .

(1.2)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Nhận xét 1.2. Với kí hiệu này, với bất đẳng thức Schwarz được viết lại thành
| x, y | ≤ x . y .
Như vậy một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có
thể đầy đủ hoặc không đầy đủ.


5
Định nghĩa 1.3. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối
với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là
không gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng
n

xk yk ,

x, y =
k=1

trong đó
x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn
và chuẩn cảm sinh
n

x

2

n

= x, x =

|xk |2 .

xk xk =
k=1

k=1

Ví dụ 1.2. Xét không gian
∞

L = x = (xn )n ⊂ K|
2

|xn |2 < +∞ ,
n=1

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

x, y =

xn yn
n=1

và chuẩn cảm sinh
∞

|xn |2 ,

x =
n=1

với mọi x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ L 2 .
Ví dụ 1.3. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng
đóng, hữu hạn [a, b] ⊂ R.
Trong C[a, b] xét tích vô hướng
b

x, y =

x(t)y(t)dt,
a

x(t), y(t) ∈ C[a, b].


6
Khi đó
• Không gian C[a, b] với chuẩn
x = max |x(t)|,
a≤t≤b

là không gian Banach nên C[a, b] là không gian Hilbert.
• Nhưng không gian C[a, b] với chuẩn


b

 21
|x(t)|2 dt ,

x =
a

lại không phải là không gian Banach nên nó không phải là không gian Hilbert.
Tiếp theo chúng ta trình bày định nghĩa và tính chất đặc trưng của cực trị
phiếm hàm lồi.
Định nghĩa 1.4. Cho C ⊆ Rn khác rỗng và f : Rn ⇒ R. Một điểm x∗ ∈ C
được gọi là cực tiểu địa phương trên C nếu tồn tại một lân cận U của x∗ sao
cho
f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ C.
Điểm x∗ ∈ C được gọi là cực đại địa phương nếu
f (x∗ ) ≥ f (x), ∀x ∈ U ∩ C.
Nếu
f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C.
thì x∗ được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C.
Và nếu
f (x∗ ) ≥ f (x), ∀x ∈ C.
thì x∗ được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C.


7
Định lí 1.3. Cho C là tập lồi, khác rỗng trong Rn và f : Rn → R là hàm lồi.
Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục.
Tập Argminx∈C f (x) là tập con lồi của C.
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của giải tích lồi là khái niệm
dưới vi phân hàm lồi, chúng ta nhắc lại định nghĩa và tính chất của dưới vi

phân hàm lồi.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f là hàm lồi trên H .
• Phiếm hàm x∗ ∈ H ∗ được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x¯ ∈ H
nếu
x∗ , x − x¯ ≤ f (x) − f (¯
x), ∀x ∈ H .
• Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x¯ được gọi là dưới vi phân
của hàm f tại x¯, ký hiệu ∂f (¯
x), một cách tương đương ta có
∂f (¯
x) := {x∗ ∈ H ∗ : x∗ , x − x¯ ≤ f (x) − f (¯
x), ∀x ∈ H }.
• Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x¯ nếu ∂f (¯
x) = φ.
Định lí 1.4. Giả sử C là tập lồi, khác rỗng, hàm f : C → R là hàm lồi, khả
vi phân trên C. Khi đó y là nghiệm của bài toán
min{f (x) : x ∈ C} tức là y ∈ arg min f (x)
x∈C

khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (y) + NC (y).
Mục tiếp theo tôi giới thiệu bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại đồng
thời trình bày thuật toán điểm gần kề để tìm nghiệm của bài toán 0 ∈ T (z)
trong trường hợp T là toán tử đơn điệu cực đại.


8

1.2

Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn

điệu cực đại

Cho H là không gian Hilbert thực, toán tử T : H → 2H là đơn điệu
cực đại, khi đó bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại được phát biểu như
sau
Tìm z ∈ H

sao cho 0 ∈ T (z).

• Nếu toán tử T là đơn trị thì đây chính là bài toán giải phương trình
T (z) = 0.
• Nếu toán tử T là đa trị thì đây là bài toán tìm không điểm của toán tử
đơn điệu cực đại T.
Về mặt hình thức bài toán này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm được
nhiều lớp bài toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực như bài toán cực
tiểu hàm lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán điểm bất
động...Dưới đây chúng ta trình bày hai trường hợp điển hình nhất của bài toán
bao hàm thức đơn điệu cực đại.
Bài toán cực tiểu hàm lồi
Ta đã biết, nếu T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường và nửa
liên tục dưới f : H → R ∪ +∞ (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn điệu
cực đại và khi đó bài toán tìm z ∈ H sao cho 0 ∈ T (z) sẽ trở thành bài toán
Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min f (x)
x∈H

và được gọi là bài toán cực tiểu hàm lồi.
Thật vậy, ta có 0 ∈ T (z) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (z), theo định nghĩa vi
phân hàm lồi
0, u − z ≤ f (u) − f (z) ⇔ f (z) ≤ f (u) ∀u ∈ H .

9
Điều này cho thấy việc tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại T = ∂f
tương đương với việc tìm cực tiểu của hàm lồi và nửa liên tục dưới f .
Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H , T0 :
C → H là một toán tử đơn điệu đơn trị và nửa liên tục và NC (z) là nón pháp
tuyến ngoài của C tại z ∈ C, đặt

 T (z) + N (z)
0
c
T (z) =
∅

nếu

z∈C

nếu

z∈
/C

Khi đó T là toán tử đơn điệu cực đại và bài toán tìm không điểm của toán
tử T quy về bài toán
Tìm z ∈ C sao cho

T0 (z), u − z ≥ 0, ∀u ∈ C

và được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Thật vậy, ta có 0 ∈ T (z) khi và chỉ khi
0 ∈ T0 (z) + NC (z).
Tương đương với
−T0 (z) ∈ NC (z).
Theo định nghĩa nón pháp tuyến ngoài của tập C tại z ∈ C ta có
T0 (z), u − z ≥ 0.
Như vậy bài toán tìm z ∈ C sao cho 0 ∈ T (z) tương đương với bài toán
bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Nếu C là nón thì bài toán trên trở thành bài toán
Tìm z ∈ C sao cho − T0 (z) ∈ C 0 và T0 (z), z = 0.


10
Điều này chỉ ra rằng z là không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T khi
và chỉ khi z là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Như
vậy ta có thể thay thế việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu bằng
việc tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T .
Thuật toán điểm gần kề
Theo định lý Minty, với mỗi z ∈ H và ck > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H
sao cho
z ∈ (I + ck T )(u).
Khi đó, toán tử Pk = (I + ck T )−1 là đơn trị, xác định trên toàn bộ H và
Pk là toán tử không giãn, tức là
Pk (z) − Pk (z ) ≤ z − z .

(1.3)

Từ đây ta nhận thấy mặc dù T là ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại nhưng ánh
xạ Pk là đơn trị và không giãn trên H .

Bây giờ ta giả sử các giả thiết của định lý Minty được thỏa mãn, khi đó z
là điểm bất động của ánh xạ Pk , nghĩa là
z = Pk (z) = (I + ck T )−1 (z),
khi và chỉ khi
z = (I + ck T )(z) = z + ck T (z)
hay 0 ∈ ck T (z). Do đó z là không điểm của ánh xạ T.
Như vậy thay vì tìm không điểm của ánh xạ đa trị T ta đi tìm điểm bất
động của ánh xạ không giãn pk với ck > 0 và Pk được gọi là ánh xạ gần kề
của T.
Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại, khi đó thuật toán điểm gần kề được
trình bày như sau.


11
• Bước 1: Chọn một dãy số dương {ck } ⊂ R thỏa mãn ck > c > 0 (∀k =
1, 2, . . . ) và điểm bắt đầu z 0 ∈ H .
• Bước k: Xây dựng dãy điểm {z k } ⊂ H bằng cách: Tại bước lặp thứ k
ta tính z k+1 bởi công thức
z k+1 = Pk (z k ) = (I + ck T )−1 (z k ).

(1.4)

Chẳng hạn trong trường hợp T = ∂f ta có
z k+1 = (I + ck ∂f )−1 (z k ),
khi và chỉ khi
1
ck

(z k − z k+1 ) ∈ ∂f (z k+1 ).

Theo định nghĩa dưới vi phân hàm lồi ta có
1
ck

∀z ∈ H

(z k − z k+1 ), z k − z k+1 ≤ f (z) − f (z k+1 ),

⇔ f (z k+1 ) ≤ f (z) +

1
ck

z k − z k+1 , z k+1 − z k ,

∀z ∈ H

Vì với mọi z, z k , z k+1 ∈ H ta có
2 z k − z k+1 , z k+1 − z = z k − z

2

− z k − z k+1

2

− z k+1 − z

2

nên
f (z k+1 ) ≤ f (z) +

1
2ck

( z − z k 2 ), ∀z ∈ H

nghĩa là
z k+1 = Argminz∈H φk (z),

(1.5)

với
1
φk (z) = f (z) +

2ck

z − zk 2.

(1.6)


12

Sự hội tụ
Martinet đã chứng minh đươc sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề cho
trường hợp ck = c và
• Nếu T có dạng


 T (z) + N (z)
0
c
T (z) =
∅

nếu

z∈C

nếu

z∈
/C

trong đó C là một tập bị chặn (để đảm bảo sự hội tụ yếu), z k+1 = Pk (z k ) thì
dãy điểm {z k } hội tụ yếu đến một phần tử z ∞ sao cho 0 ∈ T (z ∞ ).
• Nếu T = ∂f và các tập mức
M = {z ∈ H : f (z) ≤ α, α ∈ R}.
là compact yếu, khi đó M là tập bị chặn nên
f (z k ) → f (z ∞ ) = min f.
Sự hội tụ mạnh của thuật toán điểm gần kề với z k+1 = Pk (z k ) xảy ra nếu
ck là bị chặn, không dần tới 0 (tức là ck > c > 0, ∀k) và toán tử T đơn điệu
mạnh (với hệ số α > 0), tức là
z − z ,w − w ≥ α z − z

2

với

w ∈ T (z), w ∈ T (z ),

hay T = T − αI là toán tử đơn điệu.
Vì ánh xạ
Pk = (I + ck T )−1 ,
là không giãn, với ck > 0 bất kỳ, lấy
ck = ck (1 + αck )−1 ,


13
ta có
Pk [(1 − αck (1 + αck )−1 )I + ck (1 + αck )−1 T ]−1 = [(1 + αck )−1 (I + ck T )]−1 ,
hay
Pk (z) = Pk ((1 − αck )−1 z),

∀z.

Khi đó tính chất không giãn của Pk trở thành
Pk (z) − Pk (z ) ≤ (1 + αck )−1 z − z ,

∀z, z ∈ H.

Trong trường hợp này Pk có duy nhất điểm bất động z ∞ thỏa mãn 0 ∈
T (z ∞ ). Ta có
z k+1 − z ∞ = Pk (z k ) − Pk (z ∞ ) ≤ (1 + αck )−1 z k − z ∞ ,

∀k

cho nên ck > c > 0, ∀k đủ lớn thì dãy {z k } hội tụ mạnh tới nghiệm z ∞ của

bài toán theo tốc độ tuyến tính với hệ số (1 + αck )−1 < 1. Nếu ck → ∞ thì
sự hội tụ tuyến tính, nghĩa là
z k+1 − z ∞
lim

k→∞

zk − z∞

= 0.

Nhưng giả thiết T là toán tử đơn điệu mạnh đã loại trừ một số ứng dụng
quan trọng nhất như bài toán quy hoạch lồi, vì vậy việc khảo sát sự hội tụ
mạnh dưới giả thiết yếu hơn là quan trọng.
Trong khi tính toán một điều rất khó thực hiện được ở thuật toán là việc
tính chính xác điểm z k+1 = Pk (z k ) cho nên người ta thay thế nó bởi một biểu
thức thể hiện mối quan hệ lỏng hơn để thuận lợi cho việc tính toán. Do đó
người ta đưa ra hai chuẩn sau.
∞

z

k+1

k

− Pk (z ) ≤ εk ,

εk < ∞,
k=0

(A)


14
∞

z

k+1

k

− Pk (z ) ≤ δk z

k+1

k

δk < ∞.

−z ,

(B)

k=0

Nếu
z k+1 − Pk (z k ) ≤ ck dist(0, Sk (z k+1 )),
với

Sk (z) = T (z) + c−1
k (z − zk ),
thì các tính chất (A) và (B) lần lượt tương ứng với tính chất sau
dist(0, Sk (z

dist(0, Sk (z

k+1

k+1

)) ≤

)) ≤

εk
ck

δk
ck

∞

εk < ∞,

,

(A )

k=0

∞

z

k+1

k

−z ,

δk < ∞.

(B )

k=0

Khi đó, thuật toán dưới đây sẽ thay thế việc tính chính xác điểm z k+1 bằng
cách xấp xỉ với một sai số εk mà thuật toán vẫn đảm bảo được sự hội tụ.
• Bước 1: Chọn một dãy số dương {ck } : ck > c > 0 và εk > 0 với mọi
k = 1, 2, . . . sao cho

∞

εk < +∞, lấy z 0 ∈ H .

k=1

• Bước k: (k = 1,2 . . . ): Chọn điểm z k+1 thỏa mãn (A) hoặc (B).
Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → 2H là toán tử đơn điệu
cực đại và Pk , Qk là ánh xạ lần lượt xác định bởi

Pk = (I + ck T )−1 , Qk = I − Pk = (I + (ck T )−1 )−1 .

(1.7)

0 ∈ T (z) ⇔ Pk (z) = z ⇔ Qk (z) = 0.

(1.8)

Khi đó

Để chứng minh định lý về sự hội tụ trong việc tìm nghiệm của bài toán
bao hàm thức đơn điệu cực đại, chúng ta sử dụng mệnh đề sau.


15
Mệnh đề 1.1. Cho H là không gian Hilbert thực và các ánh xạ Pk , Qk xác
định như trên, khi đó
(i)

z = Pk (z) + Qk (z) và c−1
k Qk (z) ∈ T (Pk (z)),

(ii)

Pk (z) + Pk (z ), Qk (z) − Qk (z ) ≥ 0

(iii)

Pk (z) + Pk (z ) 2 + Qk (z) − Qk (z )

∀z ∈ H ;

∀z, z ∈ H ;
2

≤ z −z

2

, ∀z, z ∈ H .

Mệnh đề 1.2. Giả sử với mỗi z˜ ∈ H và ρ ≥ 0 ta có
z − z˜, w ≥ 0,

∀z, w

w ∈ T (z), z − z˜ ≥ ρ.

với

(1.9)

Khi đó, tồn tại ít nhất một phần tử z thỏa mãn 0 ∈ T (z).
Định lí 1.5. Cho {z k } là một dãy bất kỳ tạo bởi thuật toán điểm gần kề theo
tiêu chuẩn (A) hay (A ) với {ck } là dãy bị chặn không dần tới 0 (tức là
ck > c > 0, ∀k). Giả sử {z k } bị chặn (điều này tương đương với việc tồn tại
một nghiệm z để 0 ∈ T (z)).
Khi đó {z k } hội tụ yếu đến một điểm z ∞ thỏa mãn 0 ∈ T (z ∞ ) và
0 = lim Qk (z k ) = lim z k+1 − z k .
k→∞

k→∞

(1.10)

Định lí 1.6. Cho {z k } là một dãy bất kỳ tạo bởi thuật toán điểm gần kề sử
dụng tính chất (B) hay (B ) với {ck } không giảm (ck → c∞ ≤ ∞). Giả sử
{z k } bị chặn và T −1 liên tục Lipschitz tại 0 với hệ số α, đặt
α
µk =

1

(α2 + c2k ) 2

< 1.

Khi đó dãy {z k } hội tụ mạnh đến z¯ và z¯ là phần tử duy nhất để 0 ∈ T (z).
Hơn nữa có một chỉ số k¯ sao cho
z k+1 − z¯ ≤ θk z k − z¯ ,

¯
∀k ≥ k.

(1.11)

với
1 > θk ≡

µk + δk

1 − δk

≥ 0,

¯
∀k ≥ k.

(1.12)


16
θk → µ∞

(µ∞ = 0 nếu c∞ = ∞).

(1.13)

Chứng minh. Dãy {z k } bị chặn và thỏa mãn tính chất (A) với
εk = δk z k+1 − z k
do đó Định lý 1.5 thỏa mãn.
Ta có
Qk (z k ) = z k − Pk (z k ) ≤ z k − z k+1 + z k+1 − Pk (z k ) ,
sao cho
k
−1
k
c−1
k Qk (z ) ≤ ck (1 + δk ) k + 1 − z , ∀k,

với z k − z k+1 → 0.

Chọn k˜ sao cho
k
˜
c−1
≤ r, ∀k ≥ k,
k (1 + δk ) k + 1 − z

(1.14)

khi đó
k
˜
c−1
k Qk (z ) ≤ r, ∀k ≥ k.

Mặt khác ta có
k
Pk (z k ) ∈ T −1 (c−1
k Qk (z ))
k
k
do điều kiện Lipschitz được thỏa mãn với w = c−1
k Qk (z ), z = Pk (z ) và k

đủ lớn, nghĩa là
k
˜
Pk (z k ) − z¯ ≤ α c−1
k Qk (z ) , ∀k ≥ k.

Với z = z¯ và z = z k ta có
z¯ − Pk (z k )

2

+ Qk (z k )

2

≤ z¯ − z k 2 .

(1.15)


17
Khi đó (1.15) trở thành
Pk (z k ) − z¯

2

≤ [(

a
α 2
) /(1 + ( )2 )]. z k − z¯ 2 ,
ck
ck

hay
¯

Pk (z k ) − z¯ ≤ µk z k − z¯ , nếu k ≥ k.

(1.16)

Mặt khác
z k+1 − z¯ ≤ z k+1 − Pk (z k ) + Pk (z k ) − z¯ ,
mà theo (B) ta có
z k+1 − Pk (z k ) ≤ δk z k+1 − z k ≤ δk z k+1 − z¯ + δk z k − z¯ ,
kết hợp với (1.16) ta có
˜
z k+1 − z¯ ≤ δk z k+1 − z¯ + µk z k − z¯ , với k ≥ k.
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.11) đúng với k¯ ≥ k˜ và do đó (1.12) đúng
với 1 > µk → µ∞ và δk → 0.
Định lí 1.7. Cho {z k } là một dãy bất kỳ tạo bởi thuật toán điểm gần kề theo
các tiêu chuẩn (A), (A ), (B) hay B với {ck } bị chặn không dần tới 0. Giả
sử {z k } bị chặn và tồn tại z¯ sao cho 0 ∈ intT (¯
z ). Khi đó
z ∞ = z¯ = Pk (z k ),

∀k đủ lớn.

(1.17)

Do đó theo (A), (A ) ta có
z k − z¯ ≤ εk ,

∀k đủ lớn.

(1.18)

trong khi theo (B), (B ) với ck → c∞ ≤ ∞ ta có
θk =

δk
1 − δk

.

Do đó, trong thuật toán điểm gần kề với z k+1 − Pk (z k ) cho ta một dãy hội
tụ tới z¯ sau một số hữu hạn bước lặp từ một điểm bắt đầu z 0 bất kỳ.


18
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh rằng T −1 là đơn trị và không đổi trên
một lân cận của 0
T −1 (w) = z¯ nếu

(1.19)

w < ε.

Với ε > 0 ta chọn w < ε sao cho w ∈ intT (¯
z ).
Lấy z, w ∈ T (z) bất kỳ và w với w < ε, do tính chất đơn điệu của T
ta có
0 ≤ z − z¯, w − w .
Vì
Sup z − z¯, w ≤ z − z¯, w với w ∈ T (z), w

< ε.

sao cho
ε z − z¯ ≤ z − z¯ . w với w ∈ T (z).
nên nếu z = z¯ thì ta có
w ≥ ε, ∀w ∈ T (z).
Mặt khác, nếu w < ε và z ∈ T −1 (w) thì z = z¯, tức là (1.19) được
chứng minh.
Từ giả thiết của Định lý này và Định lý 1.5 cho ta c−1 Qk (z k ) → 0. Tuy
nhiên theo Mệnh đề 1.1 (i) ta có
k
Pk (z k ) ∈ T −1 (c−1
k Qk (z ))

do đó (1.19) kéo theo (1.17) và mọi điều của Định lý 1.7 đều đươc thỏa mãn,
hơn nữa điều kiện Lipschitz trong Định lý 1.6 cũng đúng khi α = 0.
Định lí 1.8. Cho T = ∂f, khi đó trong tính chất (A ) và (B ) ta có Sk = ∂φk ,
với φk định nghĩa bởi (1.6) và φk là nửa liên tục dưới, lồi mạnh với hệ số
1/ck . Hơn nữa, nếu {z k } là dãy bất kỳ tạo bởi thuật toán điểm gần kề dưới


19
giả thiết của Định lý 1.5 theo tiêu chuẩn (A ) thì z k hội tụ yếu đếz ∞ thỏa mãn
f (z ∞ ) = min f và
f (z k+1 ) − f (z ∞ ) ≤ c−1
z k+1 − z ∞ (εk + z k+1 − z k ) → 0
k

(1.20)

Chứng minh. Vì φ là tổng của một hàm lồi và một hàm lồi mạnh nên φ là

hàm lồi mạnh. Lấy vi phân hai vế của (1.6) ta được
k
∂φk (z) = ∂f (z) + c−1
k (z − z ) ≡ Sk (z), ∀z.

(1.21)

Để chứng minh (1.20) ta ký hiệu wk là phần tử duy nhất của ∂φk (z k+1 )
gần gốc tọa độ nhất (luôn có sự tồn tại này vì ∂φk (z k+1 ) là tập lồi, đóng và
khác rỗng).
Khi đó
k+1
wk − c−1
− z k ) ∈ T (z k+1 ) = ∂f (z k+1 ).
k (z

Với
w

k

≤

εk
ck

→ 0.

(1.22)

Đặt z ∞ là giới hạn yếu của {z k }, khi đó 0 ∈ ∂f (z ∞ ) và ta có
k+1
f (z k+1 ) + z ∞ − z k+1 , wk − c−1
− z k ) ≤ f (z ∞ ) = min f
k (z

sao cho
f (z k+1 ) − f (z ∞ ) ≤ z k+1 − z ∞ ( wk + c−1
z k+1 − z k ).
k
Kết hợp (1.22) và (1.10) ta được (1.20).
Kết luận chương
Trong chương này sau khi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian Hilbert và cực trị của phiếm hàm lồi, đồng thời trình bày thuật toán


20
điểm gần kề trong việc giải các bài toán tìm không điểm của bao hàm thức
đơn điệu. Chương tiếp theo ta đi giải quyết tìm không điểm của thuật toán
T (x) = A(x) + B(x) bằng phương pháp phân rã Douglas - Rachford.


21

Chương 2

Thuật toán Douglas - Rachford
Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp Douglas - Rachford
tìm không điểm của bao hàm thức đơn điệu. Mục 2.1 giới thiệu phương pháp
Douglas - Rachford. Mục 2.2 dành cho việc nghiên cứu phương pháp Douglas

- Rachford quán tính. Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tài
liệu [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12].

2.1

Phương pháp Douglas - Rachford

Cho A, B là các toán tử đơn điệu cực đại trong H . Xét bài toán tìm
x ∈ H sao cho
0 ∈ A(x) + B(x).

(2.1)

Phương pháp Douglas - Rachford được trình bày như sau:
Cho αk , βk là các dãy số dương sao cho
∞

∞

αk < ∞,
k=1

βk < ∞.
k=1

Lấy λ > 0, (x0 , b0 ) ∈ B và với k = 1, 2, . . .
(i) Tìm (yk , ak ) sao cho
(yk , ak ) ∈ A,

yk + λak − (xk−1 − λbk−1 ) ≤ αk

(2.2)