Điều kiện karush kuhn tucker trong bài toán tối ưu hàm r lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ GIANG

ĐIỀU KIỆN KARUSH-KUHN-TUCKER
TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM r-LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ GIANG

ĐIỀU KIỆN KARUSH-KUHN-TUCKER
TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM r-LỒI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Tóm tắt nội dung

iii

Lời cảm ơn

v

Danh sách ký hiệu

vi

Danh sách hình vẽ

1

Mở đầu

2

1

Các tính chất đặc trưng của hàm r - lồi

4

1.1

Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Một số tính chất cơ bản của hàm lồi . . . . . . . . .

4

1.1.2

Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi . . . . . . . .

8

1.2

1.3
2

Đặc trưng hàm r-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1

Đặc trưng hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2

Đặc trưng hàm r - lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng khác . . . . 21

Bài toán tối ưu với hàm r-lồi

28

2.1

Bài toán tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Tối ưu hàm r-lồi
2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Tối ưu hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


ii
2.2.2
2.3

Tối ưu hàm r - lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1

Biến đổi được về dạng r-lồi . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.2

Tính đủ của điều kiện Karush-Kuhn-Tucker . . . . . 55

2.3.3

Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.4

Ứng dụng và nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Kết luận và Đề nghị

64

Tài liệu tham khảo

65


iii

TÓM TẮT NỘI DUNG

Mục đích của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-KuhnTucker của bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràng
buộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phương. Đồng thời luận văn cũng trình
bày điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker của bài toán qui hoạch
toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là các hàm r-lồi. Bên cạnh
đó luận văn còn trình bày các tính chất và các đặc trưng của hàm r-lồi.
Luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Các tính chất đặc trưng của hàm r-lồi
1.1 Một số tính chất của hàm lồi
1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi
Mục này trình bày định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm lồi, có mục đích
tham chiếu với định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm r-lồi trong mục
sau.
1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi
Mục này trình bày định nghĩa, phát biểu và chứng minh các tính chất giải
tích và hình học cơ bản của hàm r-lồi.
1.2 Đặc trưng của hàm r-lồi
1.2.1 Đặc trưng của hàm lồi
Mục này trình bày đặc trưng cơ bản của hàm lồi, có mục đích tham chiếu với
đặc trưng cơ bản của hàm r-lồi trong mục sau.
1.2.2 Đặc trưng của hàm r-lồi


iv
Mục này trình bày tính chất cơ bản của hàm r-lồi và một số chứng minh.
1.3 Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng khác
Mục này trình bày mối liên hệ giữa lớp hàm r-lồi với các lớp hàm lồi suy
rộng khác (hàm tựa lồi, hàm lồi bất biến, ...).
Chương 2: Bài toán tối ưu với hàm r-lồi
2.1 Tối ưu hàm r-lồi khả vi

Mục này trình bày bài toán tối ưu hàm r-lồi khả vi. Chứng minh điều kiện
cần và đủ tối ưu dưới dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán quy
hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm hạn chế là r-lồi khả vi.
2.2 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương
Mục này trình bày bài toán tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương. Chứng
minh điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker.


v

Lời cảm ơn
Sau một thời gian nghiên cứu đề tài, luận văn của tôi đến nay đã được
hoàn thành.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Tạ Duy Phượng đã
tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Đồng thời
tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong bộ
môn Toán ứng dụng nói riêng và khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên nói chung đã cho tôi những kiến thức cần thiết để
hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của
gia đình, bạn bè đã dành cho tôi trong thời gian qua.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, 2015

Nguyễn Thị Giang
Học viên Cao học Toán K7Y,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

vi

Danh sách ký hiệu
Rn

Không gian Euclid n-chiều.

C1

Tập hợp các hàm khả vi cấp 1.

x∈C

x thuộc C (x là một phần tử của tập C).

x∈
/C

x không thuộc C (x không là một phần tử của tập C).

∅

Tập rỗng.

C ∩D

Giao của hai tập hợp C và D.

C ∪D

Hợp của hai tập hợp C và D.

C⊂D

Tập C là tập con của tập D.

C⊆D

Tập C là tập con (có thể bằng) của tập D.

∇f (x)

Véctơ gradient của hàm f tại điểm x.

∇2 f

Ma trận Hessian của hàm f tại điểm x.

[a, b]

Đoạn thẳng nối hai điểm (véctơ) a và b.

z

Chuẩn Euclid của véc tơ z.

epif

Tập trên đồ thị của hàm f .

x1 , x2 , ...

Liệt kê các véctơ có cùng số chiều (dùng chỉ số trên).

ω1 , ω2 , ...

Tọa độ của điểm hay thành phần của véctơ ω (dùng chỉ số dưới).

x, y , xT y

Tích vô hướng của hai véctơ x và y (hai véctơ có cùng số chiều).

∂f (x)

Dưới vi phân của hàm f tại điểm x.

f (x)

Đạo hàm cấp 1 của hàm f tại x.

f (x)

Đạo hàm cấp 2 của hàm f tại x.

coneE

Bao nón của tập E.


1

Danh sách hình vẽ
1.1

Một số tập lồi trong R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Một số tập không lồi trong R2 . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Hàm lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1

Cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục) . . . . . . . . . . . 32

2.2

Đồ thị hàm số φ(x) = x3 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 52


2

Mở đầu
Giải tích lồi là sự phát triển tiếp theo trong lí thuyết tối ưu khi qui
hoạch tuyến tính đã được hoàn thiện. Hàm lồi là mở rộng của hàm tuyến tính
và nó cho phép nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu lồi, rộng hơn nhiều và
bao hàm lớp bài toán tối ưu tuyến tính. Vì vậy Giải tích lồi đóng vai trò quan
trọng trong ứng dụng toán học vào các bài toán tối ưu trong thực tế.
Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là lồi.
Do đó cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi. Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, ... là các nhà toán học có đóng góp lớn trong nghiên cứu các lớp hàm
lồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi, ...).
Các nhà toán học B. Martos (1966, [11]), M. Avriel (1972-1973, [5],
[6]) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp hàm r-lồi, là một dạng mở rộng của
lớp hàm lồi và có nhiều tính chất tốt khi áp dụng vào giải tích và bài toán tối
ưu. Hàm số f : [a; b] −→ R được gọi là hàm lồi (convex) trên khoảng đóng
[a, b] nếu với mọi x1 , x2 ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1] ta có
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
Nếu dấu bất đẳng thức ngược lại thì f được gọi là hàm lõm (concave). Định
nghĩa trên có thể mở rộng thành khái niệm r-lồi (xem [5]). Hàm lồi (theo
nghĩa thông thường) là hàm 0-lồi (hàm r-lồi với r = 0).
El˙zbieta Galewska, Marek Galewski (2005, [7]) đã phát biểu điều kiện cần
và đủ cực trị Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu với hàm mục tiêu và


3

hàm ràng buộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phương. Đây là kết quả mở
rộng trực tiếp của điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker cho bài
toán qui hoạch lồi. Năm 2010, Y. X. Zhao, S.Y. Wang và L. Coladas Uria
[13] đã chứng minh một số đặc trưng của hàm r-lồi, là mở rộng các đặc
trưng của hàm lồi.
Mục đích chính của luận văn Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker trong bài
toán tối ưu hàm r-lồi là trình bày chứng minh điều kiện cần và đủ tối ưu
Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và
các hàm ràng buộc là các hàm r-lồi, đồng thời Luận văn cũng trình bày các
tính chất và các đặc trưng của hàm r-lồi, chủ yếu dựa theo hai tài liệu [7] và
[13]. Khác với [1], nội dung của Luận văn này chủ yếu dựa vào bài báo [7],
là bài báo tương đối gần đây, nghiên cứu bài toán tối ưu hàm r-lồi không
nhất thiết khả vi (chỉ cần Lipschitz địa phương), trong khi đó [1] chủ yếu
trình bày các kết quả của [5] và [6], nghiên cứu bài toán tối ưu với hàm r-lồi
khả vi. Hơn nữa, trong [5] và [6] cũng chưa nói tới điều kiện Karush-KuhnTucker như là điều kiện cần và đủ tối ưu cho hàm r-lồi. Ngoài ra, luận văn
cũng sẽ khai thác và trình bày định nghĩa và các tính chất về hàm r-lồi trong
[12] và trong các tài liệu gần đây, với nội dung phong phú hơn [1] và [2] ([1]
chỉ khai thác tài liệu [5] và [6], còn [2] chỉ khai thác chủ yếu tài liệu [13]).

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015
Nguyễn Thị Giang
Học viên Cao học Toán K7Y
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên


4

Chương 1

Các tính chất đặc trưng của hàm r - lồi
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi, tính chất
cơ bản của hàm lồi, trình bày khái niệm hàm r-lồi, tính chất cơ bản của hàm
r-lồi. Đồng thời cũng chỉ ra đặc trưng của hàm r-lồi, mối quan hệ giữa hàm
r-lồi và các hàm lồi suy rộng khác nhằm phục vụ cho việc tìm hiểu các bài
toán tối ưu trong Chương 2.

1.1

Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi

1.1.1

Một số tính chất cơ bản của hàm lồi

Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.1. ([4], p. 41) Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn . Tập tất cả các điểm
x = (1 − λ)x1 + λx2

(1.1)

với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối x1 và x2 , và được kí hiệu là
[x1 , x2 ].
Định nghĩa 1.2. ([4], Định nghĩa 2.6, p. 41) Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi
nếu C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó tức là với mọi x1 ∈ C, x2 ∈
C ta có
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] .

(1.2)

5

Hình 1.1: Một số tập lồi trong R2

Hình 1.2: Một số tập không lồi trong R2
Ví dụ 1.1. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
a) Các hình cầu đóng B(x0 , r) = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ r} , r > 0.
b) Các hình cầu mở B(x0 , r) = {x ∈ Rn : x − x0 < r} , r > 0.
Định nghĩa 1.3. ([4], Định nghĩa 2.22, p. 63) Cho C ⊆ Rn . Hàm f : C → R
được gọi là lồi trên C nếu
i) Tập C là tập lồi.


6
ii) Với mọi λ ∈ [0; 1] ta có
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ C.

(1.3)

Định nghĩa 1.4. ([4], Định nghĩa 2.22, p. 63) Cho C ⊂ Rn . Hàm f : C → R
được gọi là lồi chặt trên C nếu
i) Tập C là tập lồi.
ii) Với mọi λ ∈ (0; 1) ta có
f (λx1 +(1−λ)x2 ) < λf (x1 ) +(1−λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ C, x1 = x2 . (1.4)
Định nghĩa 1.5. Cho tập lồi C ⊂ Rn . Hàm f : C → R được gọi là hàm tựa
lồi trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C và với mọi λ ∈ [0; 1] ta có
f (x1 ) ≤ f (x2 ) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ f (x2 ).

(1.5)

Điều này tương đương với
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max f (x1 ), f (x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] .
(1.6)
Định nghĩa 1.6. Cho tập lồi C ⊂ Rn . Hàm f : C → R được gọi là hàm tựa
lồi chặt (strictly quasiconvex) trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C, , ∀λ ∈ (0; 1)
ta có
f (x1 ) < f (x2 ) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < f (x2 ).

(1.7)

Điều này tương đương với
∀x1 , x2 ∈ C, f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < max f (x1 ), f (x2 ) , ∀λ ∈ (0; 1) .
(1.8)


7

Hình 1.3: Hàm lồi

Hình 1.4: Hàm lõm


8
Nhận xét 1.1. .
+ Hàm f : C → R được gọi là hàm lõm (lõm chặt hay tựa lõm chặt) nếu
(−f ) là hàm lồi (lồi chặt hay tựa lồi chặt) trên C.
+ Hàm tuyến tính f (x) = aT x + b trên R vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm.
+ Hàm f (x) = c là hàm tuyến tính nhưng không phải là hàm lồi chặt cũng
không phải là hàm lõm chặt.

Một số tính chất cơ bản của hàm lồi
Định lí 1.1. ([4], Định lí 2.19, p. 67) Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong
Rn và f : Rn → R là một hàm lồi. Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên
C đều là điểm cực tiểu toàn cục. Tập Argminx∈C f (x) là tập con lồi của C,
ở đây Argminx∈C f (x) := {x ∈ C : f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ C}.
Hệ quả 1.1. ([4], Hệ quả 2.7, p. 67) Bất cứ điểm cực đại địa phương nào
của một hàm lõm trên một tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục. Tập tất cả
các điểm cực đại của một hàm lõm trên một tập lồi là lồi.
Định lí 1.2. ([4], Định lí 2.20, p. 67) Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C
có nhiều nhất một điểm cực tiểu trên C, nghĩa là tập Argminx∈C f (x) có
nhiều nhất một phần tử.
Định lí 1.3. ([4], Định lí 2.21, p. 67) Hàm f (x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ
khi hàm một biến số ϕ(λ) ≡ f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mọi x, d ∈ Rn .

1.1.2

Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi

Khái niệm tập lồi, hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối
ưu. Tuy nhiên, trong các bài toán thực tế ta thường gặp các hàm không nhất
thiết là lồi. Vì vậy cần phải mở rộng lớp các hàm lồi. Các lớp hàm lồi suy


9
rộng thường được xây dựng dựa trên cơ sở vẫn giữ nguyên một (một vài) tính
chất đặc trưng của hàm lồi. Lớp hàm r-lồi khá rộng và chứa lớp hàm lồi như
trường hợp đặc biệt. Dưới đây trình bày khái niệm r-lồi do B. Martos [11]
đưa ra và nghiên cứu năm 1966. Độc lập với B. Martos, M. Avriel (xem [5],
[6] ) đã nghiên cứu tỉ mỉ các tính chất của hàm r-lồi và áp dụng vào bài toán
tối ưu trong các năm 1972, 1973.

Ở trên ta đã định nghĩa, hàm f : C → R được gọi là hàm lồi trên tập lồi
C ⊂ Rn nếu
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1]
(1.9)
Ta có thể hiểu điểm xλ = λx1 + (1 − λ)x2 là tổ hợp lồi của hai điểm x1 và
x2 với các trọng số λ và (1 − λ). Khi ấy hàm lồi có tính chất: giá trị của hàm
f tại điểm xλ là f (λx1 + (1 − λ)x2 ) phải nhỏ hơn tổ hợp lồi của f (x1 ) và
f (x2 ) với cùng trọng số λ và (1 − λ).
Nếu thay thế các trọng số λ và (1 − λ) ở vế phải của bất đẳng thức (1.9) bởi
trọng số tổng quát hơn thì ta có khái niệm r-lồi. Khi đó ta được một lớp hàm
rộng hơn lớp hàm lồi mà nhiều tính chất của hàm lồi vẫn còn giữ được (trên
quan điểm áp dụng vào bài toán quy hoạch toán học).
Hàm r-lồi (r-convex function)
Giả sử w = (w1 , ..., wm )T ∈ Rm là véctơ m chiều với các thành phần
dương và q = (q1 , ..., qm )T ∈ Rm , qi ∈ R (i = 1, m) là các số không âm
sao cho

m

qi = 1, r là một số thực.

i=1

Định nghĩa 1.7. ([5], p. 310) Trọng số r-trung bình của các số w1 , ..., wm là


10
số

Mr (w; q) ≡ Mr (w1 , ..., wm ; q) =









m

1
r

qi wir

,

r = 0;

i= 1
m
i=1

wiqi ,

(1.10)

r = 0.

Nhận xét 1.2. Nếu m = 2, r = 1 thì
(1.11)

Mr (w; q) = q1 w1 + q2 w2 = q1 w1 + (1 − q)w2
là tổ hợp lồi của w1 và w2

Định nghĩa 1.8. ([5], p. 310) Hàm thực φ xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn
được gọi là hàm r-lồi (r-convex function) nếu với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C, q1 ≥
0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1 ta có
1
2
φ q1 x1 + q2 x2 ≤ log Mr eφ(x ) , eφ(x ) ; q

Điều này tương đương với

 log q erφ(x1 ) + q erφ(x2 )
1
2
φ q1 x1 + q2 x2 ≤

q1 φ x 1 + q 2 φ x 2 ,

1
r

.

, r = 0;

(1.12)

(1.13)

r = 0.

Định nghĩa 1.9. ([6]) Hàm thực φ xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn được
gọi là hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C ta có
1
2
φ q1 x1 + q2 x2 ≥ log Mr eφ(x ) , eφ(x ) ; q

Điều này tương đương với

 log q erφ(x1 ) + q erφ(x2 )
1
2
1
2
φ q1 x + q2 x ≥

q1 φ x 1 + q 2 φ x 2 ,

1
r

.

, r = 0;
r = 0.

(1.14)

(1.15)


11
Nhận xét 1.3. ([5], p. 311)
+ Hàm thực f xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi f
là hàm 0-lồi (r = 0).
+ Hàm thực f xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn là hàm lõm khi và chỉ khi f
là hàm 0-lõm (r = 0).
+ Nếu r < 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi trên (superconvex).
+ Nếu r > 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi dưới (subconvex).
+ Nếu r > 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm trên (superconcave).
+ Nếu r < 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm dưới (subconcave).
Định nghĩa 1.10. ([5], p. 311) Trọng số r-trung bình của m véctơ dương
w1 , w2 , ..., wm ∈ Rn được định nghĩa là
Mr (w1 , ..., wm ; q) = (Mr (w11 , ..., w1m ; q), ..., Mr (wn1 , ..., wnm ; q)).
(1.16)
Định nghĩa 1.11. ([5], p. 311) Tập con C ⊂ Rn được gọi là tập r-lồi nếu
với mọi x1 = (x11 , x12 , ..., x1n )T ∈ C, x2 = (x21 , x22 , ..., x2n )T ∈ C, q1 ≥
0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1 ta có
1

2

1

2

log Mr (ex1 , ex1 ; q) , ..., log Mr (exn , exn ; q)

∈ C.

(1.17)

* Minh họa hình học của tập r-lồi
Nếu X ⊂ Rn là tập r-lồi thì với hai điểm bất kỳ x1 ∈ C, x2 ∈ C, đường
cong xác định bởi công thức (1.17) sẽ nằm trong tập đó với mọi 0 ≤ q1 ≤ 1.
Ta đã biết tập lồi là tập 0-lồi. Ta biết rằng tập X ⊂ Rn là r-lồi với r = 0 khi
và chỉ khi tập Y cho bởi
Y = {y : y ∈ Rn , yj = erxj , j = 1, ..., n; x ∈ X}
là tập lồi.
Khái niệm hàm r-lồi có thể mở rộng hơn nhờ khái niệm tập r-lồi.

(1.18)


12
Định nghĩa 1.12. ([5], p. 312) Hàm thực φ xác định trên tập p-lồi X ⊂ Rn
được gọi là hàm (p, r)-lồi nếu với mọi
x1 ∈ X, x2 ∈ X, q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1
thì
1

2

1

2

φ log Mp (ex , ex ; q) ≤ log Mr eφ(x ) , eφ(x ) ; q

(1.19)

trong đó log và e trong vế trái của bất đẳng thức được hiểu là log và e theo
từng thành phần.
Mở rộng khái niệm tập r-lồi dẫn đến định nghĩa hàm (p, r)-lồi đưới đây.
Định nghĩa 1.13. ([5], p. 312) Cho tập X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm . Tập
T = X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }

(1.20)

được gọi là tập (p, r)-lồi nếu
1

2

log Mp ex , ex ; q

1

2

, log Mp ey , ey ; q

∈T

(1.21)

với mọi x1 , y 1 ∈ T, x2 , y 2 ∈ T và q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1.
Khái niệm tập (p, r)-lồi cho phép mở rộng khái niệm hàm (p, r)-lồi như sau.
Định nghĩa 1.14. ([5], p. 311) Hàm thực φ xác định trên tập p-lồi X ⊂ Rn
được gọi là hàm (p, r)-lồi nếu epigraph của φ là (p, r)-lồi.
Ở đây epigraph của hàm φ được định nghĩa như trong giải tích lồi, tức là
epi φ = {(x, µ) : x ∈ X, µ ∈ R, µ ≥ φ(x)} .
Trong luận văn này ta chỉ xét các hàm (0, r)-lồi, tức là các hàm r-lồi. Tuy
nhiên phần lớn các kết quả có thể dễ dàng mở rộng cho hàm (p, r)-lồi.
Ta nhận xét rằng có thể mở rộng khái niệm lồi bằng cách sử dụng trọng số
theo cách khác nhau. Thí dụ, ta có định nghĩa dưới đây.


13
Định nghĩa 1.15. ([6], p. 160) Hàm thực dương f xác định trên một tập lồi
C ⊂ Rn được gọi là hàm r+ -lồi (r+ -convex ) nếu với mỗi x1 ∈ C, x2 ∈ C
và mọi q ta có
(1.22)

f (q1 x1 + q2 x2 ) ≤ Mr [f (x1 ), f (x2 ); q].
Điều này tương đương với
1

f (q1 x1 + q2 x2 ) ≤ (q1 f r (x1 ) + q2 f r (x2 )) r .

(1.23)

Nhận xét 1.4. ([6], p. 160)
+ Nếu hàm f xác định như trên là hàm 1+ -lồi thì f là hàm lồi;
+ Nếu hàm f xác định như trên là hàm r-lồi khi và chỉ khi ef là hàm r+ -lồi
(r+ -convex) cùng với r.

Bổ đề 1.1. ([5], Lemma 3.1, p. 313) Cho r, s ∈ R và w1 , ..., wm là các số
dương. Nếu s > r thì
Ms (w1 , ..., wm ; q) ≥ Mr (w1 , ..., wm ; q)

(1.24)

với mọi giá trị của các trọng số q1 , ..., qm .
Định lí 1.4. ([5], Ranking Theorem 3.2, p. 313) Nếu φ là hàm r-lồi (r-lõm)
thì φ cũng là hàm s-lồi (s-lõm) với mọi s > r (s < r).
Chứng minh
Giả sử s > r. Từ Bổ đề 1.1 ta có
1

1

1

1

Ms (eφ(x ) , eφ(x ) ; q) ≥ Mr (eφ(x ) , eφ(x ) ; q).
Vì log x với x ∈ (0; +∞) là hàm tăng nên
1

1

1

1

log Ms (eφ(x ) , eφ(x ) ; q) ≥ log Mr (eφ(x ) , eφ(x ) ; q) .

14
Do φ là r-lồi nên
1

1

φ(q1 x1 + q2 x2 ) ≤ log Mr (eφ(x ) , eφ(x ) ; q)

.

Suy ra
1

1

1

1

φ(q1 x1 + q2 x2 ) ≤ Mr (eφ(x ) , eφ(x ) ; q) ≤ log Ms (eφ(x ) , eφ(x ) ; q) .
Vậy φ là s-lồi.
Với hàm lõm ta có chứng minh tương tự.
Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi
Một đặc trưng cơ bản của hàm r-lồi có thể nhận được từ khái niệm lồi
thông thường. Định lý dưới đây cho phép chúng ta chuyển các hàm r-lồi và
r-lõm về các hàm lồi và hàm lõm.
Định lí 1.5. ([5], Theorem 4.1, p. 315) Cho φ là hàm thực trên tập lồi C ⊂
Rn và hàm φ xác định bởi công thức

(1.25)

φ = erφ(x) .

Khi đó, φ là r-lồi (r-lõm) với r = 0 khi và chỉ khi φˆ là hàm lồi (lõm) khi
r > 0 và φ là hàm lõm (lồi) khi r < 0.
Chứng minh
Giả sử φ là hàm r-lồi và r > 0. Khi đó, với mỗi x1 ∈ C, x2 ∈ C và q ta có:
1

2

φ(q1 x + q2 x ) ≤ log q1 e

rφ(x1 )

rφ(x2 )

+ q2 e

1
r

.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với r ta có
1

2

rφ(q1 x + q2 x ) ≤ r log q1 e
⇔ erφ(q1 x

1

+q2 x2 )

rφ(x1 )

1

rφ(x2 )

+ q2 e

2

≤ q1 erφ(x ) + q2 erφ(x ) .

1
r


15
Suy ra φˆ là hàm lồi.
Nếu r < 0 thì
erφ(q1 x

1

+q2 x2 )

2

≥ q1 erφ(x1 ) + q2 erφ(x ) .

Suy ra φˆ là hàm lõm.
Chứng minh tương tự với φ là hàm r-lõm.
Ngược lại, giả sử φˆ = erφ là hàm lồi trên C thỏa mãn
erφ(q1 x

1

+q2 x2 )

1

≤ q1 erφ(x ) + q2 erφ(x

2

)

với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C.
Nếu r > 0 ta được
log erφ(q1 x

1

+q2 x2 )

1

≤ log q1 erφ(x ) + q2 erφ(x

2

)

1

2

1

2

⇔ rφ(q1 x1 + q2 x2 ) ≤ log q1 erφ(x ) + q2 erφ(x

⇔ φ(q1 x1 + q2 x2 ) ≤ 1r log q1 erφ(x ) + q2 erφ(x
1

2

rφ(x1 )

⇔ φ(q1 x + q2 x ) ≤ log q1 e

+ q2 e

rφ(x2 )

)
)
1
r

.

Suy ra φ là hàm r-lồi.
Nếu r < 0, chứng minh tương tự ta được φ là hàm r-lõm.
Ví dụ 1.2. Xét hàm φ(x) =
Ta có

2
ln x với x > 0, r > 0.
r
ˆ
φ(x)
= erφ(x) = x2

2
ln x là hàm r-lồi.
r
Nhiều tính chất của đại số và hình học của hàm lồi vẫn đúng hoặc có thể

là hàm lồi. Do đó φ(x) =

tổng quát hóa cho hàm r-lồi. Dưới đây là một vài kết quả.
Ta biết rằng φ là hàm lồi khi và chỉ khi (−φ) là hàm lõm. Định lý dưới đây

tổng quát hóa kết quả này.


16
Định lí 1.6. ([5], Theorem 4.2, p. 316) Hàm φ là hàm r-lồi khi và chỉ khi
(−φ) là hàm (−r)-lõm.
Chứng minh
Với r = 0 và φ là 0-lồi (tức là lồi) khi và chỉ khi φ là 0-lõm (tức là lõm).
Giả sử r = 0 và φ là r-lồi. Khi ấy với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C và q ta có:
1

2

φ(q1 x + q2 x ) ≤ log q1 e
1

2

⇔ −φ(q1 x + q2 x ) ≥ log q1 e

rφ(x1 )

rφ(x2 )

+ q2 e

(−r)(−φ(x1 ))

1
r

1
−r

(−r)(−φ(x2 ))

+ q2 e

.

Suy ra (−φ) là hàm (−r)-lõm.
Chiều ngược lại chứng minh tương tự.
Định lí 1.7. ([5], Theorem 4.3, p. 316) Nếu φ là hàm r-lồi (r-lõm) và k ∈
R∗+ , α ∈ R thì
i) φ + α là hàm r-lồi (r-lõm).
r
r
ii) Hàm kφ là hàm ( )-lồi (( )-lõm).
k
k
Chứng minh
i) Giả sử φ là hàm r-lồi. Theo Định lí 1.5 thì erφ(x) là hàm lồi.
Do đó erα .erφ(x) = erα+rφ(x) = er[α+φ(x)] = e[r(α+φ)(x)] cũng là hàm lồi.
Vậy φ + α là hàm r-lồi.
Chứng minh với φ là hàm r-lõm làm hoàn toàn tương tự ta suy ra φ + α là
hàm r-lõm.
ii) Giả sử φ là hàm r-lồi và k ∈ R∗+ , α ∈ R. Với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C và q ta
có:
1

φ q 1 x + q2 x

2

1

≤ log q1 e
2

⇔ kφ q1 x + q2 x
1

2

⇔ kφ q1 x + q2 x

rφ(x1 )

≤ k log q1 e
≤ log q1 e

+ q2 e

rφ(x1 )

r
k .kφ

rφ(x2 )

+ q2 e

1
r

rφ(x2 )

(x1 ) + q e kr .kφ(x2 )
2

1
r

k
r

.


17
r
Suy ra hàm (kφ) là hàm ( )-lồi.
k
Chứng minh với φ là hàm r-lõm, làm hoàn toàn tương tự ta suy ra (kφ) là
r
hàm ( )-lõm.
k
Định lí 1.8. ([5], Theorem 4.4, p. 316) Cho ϕ và ψ là hàm r-lồi (r-lõm) trên
tập lồi C ⊂ Rn và giả sử α1 , α2 là các số dương. Khi đó, hàm θ xác định
bởi


1
 log α erφ(x) + α erψ(x) r , r = 0;
1
2
θ=
 α1 φ(x) + α2 ψ(x),
r=0

(1.26)

cũng là hàm r-lồi (r-lõm).
Chứng minh
Với r = 0, theo tính chất của hàm r-lồi ta có ngay kết quả trên.
Với r = 0, do ϕ và ψ là các hàm r-lồi nên theo Định lí 1.5 ta có erφ(x) và
erψ(x) là hàm lồi.
Với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C, α1 , α2 là các số dương và q ta có:
1
rθ(q1 x1 +q2 x2 )
r log [α1 erφ +α1 erψ ] r (q1 x1 +q2 x2 )
e
=e
⇔ erθ(q1 x
≤ α1

1
2
1
2

= α1 erφ(q1 x +q2 x ) + α2 erψ(q1 x +q2 x )
1
2
1
2
q1 erφ(x ) + q2 erφ(x ) + α2 q1 erψ(x ) + q2 erψ(x )
1

+q2 x2 )

1
2
2
2
= q1 α1 erφ(x ) + α2 erψ(x ) + q2 α1 erφ(x ) + α2 erψ(x )
1
2
1
2
⇒ erθ(q1 x +q2 x ) ≤ q erθ(x ) + q erθ(x ) .

1

2

Suy ra erθ là hàm r-lồi nên θ là hàm r-lồi.
Chứng minh θ là hàm r-lõm hoàn toàn tương tự.
Định lí 1.9. ([5], Theorem 4.5, p. 317) Cho φ là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập
lồi C ⊂ Rn với r ≤ 0 (r ≥ 0) và ψ là hàm s-lồi (s-lõm) không giảm trên R.
Khi đó, hàm hợp θ = ψφ là hàm s-lồi (s-lõm).

Chứng minh
Cho x1 ∈ C, x2 ∈ C và q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1.