Bài tập phép vị tự trong hình học phẳng

1. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  I  và nội tiếp đường tròn  O  ,  I 
tiếp xúc với các cạnh BC , CA, AB lần lượt tại D, E , F . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của D lên đường thẳng EF , M là điểm đối xứng của A qua O .
Chứng minh rằng H , I , M thẳng hàng.
2. Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp  O  và đường tròn nội tiếp  I  .
Đường tròn  I  tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E , F . Các
đường thẳng qua D, E , F tương ứng vuông góc với EF , FD, DE và lần lượt cắt
lại đường tròn  I  tại A1 , B1 , C1 . Chứng minh rằng các đường thẳng
AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại một điểm nằm trên đường thẳng
3. (Braxin MO 2013) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh
BC , CA, AB lần lượt tại các điểm D, E , F . Gọi P là giao điểm của AD và BE .
Gọi X , Y , Z là các điểm đối xứng với P lần lượt qua các đường thẳng
EF , FD , DE . Chứng minh rằng các đường thẳng AX , BY , CZ đồng quy tại một
điểm nằm trên đường thẳng OI , trong đó I , O lần lượt là tâm nội tiếp, ngoại
tiếp tam giác ABC .
4. (Braxin MO 2014) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp   với tâm là
điểm I . Đường tròn  A  tiếp xúc ngoài với   và tiếp xúc với các cạnh
AB và AC lần lượt tại A1 và A2 . Gọi rA là đường thẳng đi qua A1 , A2 . Các
đường thẳng rB , rC được xác định tương tự. Các đường thẳng rA , rB , rC tạo
thành tam giác XYZ . Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác
XYZ , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ và điểm I thẳng hàng.
5. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  . Hai tiếp tuyến tại B và C
của đường tròn  O  cắt nhau tại P , đường thẳng AP và BC cắt nhau tại D .
Các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho DE || BA và
DF || CA .
a) Chứng minh rằng bốn điểm F , B, C, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Giả sử A1 là tâm đường tròn đi qua các điểm F , B, C, E . Các điểm B1 , C1 được
xác định tương tự như A1 . Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1
đồng quy tại một điểm.