Bài giảng: Phép vị tự (Hình học 11 - Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 11
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

§6 Phép vị tự

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tơ Ngọc Vân  Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2


Đ6

phép vị tự
bài giảng theo chơng

chơng trình chuẩn

1. định nghĩa

Định nghĩa: Cho một điểm O cố định và một số k không đổi k 0. Phép biến hình
biến mỗi ®iĨm M thµnh ®iĨm M' sao cho OM' = k OM đợc gọi là
phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Ký hiệu là VOk hoặc V(O, k).
Hoạt động

Cho ABC có trọng tâm G và O là tâm đờng tròn ngoại tiÕp.
1
1. H·y vÏ ¶nh cđa y vÏ ¶nh cđa ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k =
.
2
2. H·y vÏ ¶nh cđa y vÏ ¶nh cđa ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2.

Thí dụ 1: Ta nhận thấy:
Phép đối xứng tâm là phép vị tự.
Phép đối xứng trục không là phép vị tự.
Phép đồng nhất là phép vị tự.
Phép tịnh tiến theo vectơ khác 0 không là phép vị tự.
2. các Tính chất của phép vị tự

Định lí 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N thành hai điểm M' và N' thì:
M' N ' k MN và M'N' = kMN.
Hoạt động

HÃy vẽ ảnh của y chứng minh định lí 1.

Định lí 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Hoạt động

HÃy vẽ ảnh của y chứng minh định lí 2.

Hệ quả: Phép vị tự vị tự tỉ số k:
Biến đờng thẳng thàng đờng thẳng song song (hoặc trùng) với đờng thẳng đó.
Biến tia thành tia.
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng và độ dài đợc nhân lên với k.
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k.
Biến góc thành góc bằng nó.
Hoạt động

1. Những đờng thẳng nào biến thành chình nó qua phép vị
tự tỉ số k 1.
2. Những đờng tròn nào biến thành chình nó qua phép vị
tự tỉ số k 1.

Thí dụ 2: Các khẳng định sau đây có đúng không?
a. Phép vị tự luôn có điểm bất động (tức là điểm biến thành chính nó).
b. Phép vị tự không có thẻ có quá một điểm bất động.
c. Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biết thì mọi điểm đều bất động.
Giải
a. Đúng, bởi đó chính là tâm vÞ tù.
b. Sai.



3

c. Đúng.
3. ảnh của đờng tròn qua phép vị tự

Định lí 3: Phép vị tự tỉ số k biến đờng tròn bán kính R thành đờng tròn có bán kính
kR.
Hoạt động

HÃy vẽ ảnh của y chứng minh định lí 3.

4. Tâm vị tự của hai đờng tròn

Bài toán 1: Cho hai đờng tròn (I1; R1) và (I2; R2) với R1 R2. Có hai phép vị tự VOk1
và VOk2 biến (I1; R1) thành (I2; R2).
Hai tâm vị tự O1, O2 và tỉ số k đợc xác định nh sau:
R
k = 1 (k > 0 thì gọi là tâm vị tự ngoài, k < 0 thì gọi là tâm vị tự trong).
R2


O1, O2 ở trên đờng thẳng I1I2 và

Hoạt ®éng

O1 I 2

=

O2 I2

= k.

O1 I1
O 2 I1
H·y vÏ ¶nh của y trình bày lời giải chi tiếp cho bài toán 1.

5. ứng dụng của phép vị tự

Bài toán 2:Với ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên đờng tròn (O;
R) cố định không có ®iĨm chung víi ®êng th¼ng BC.
Khi ®ã, q tÝch träng tâm G của ABC là đờng tròn (O'; R') là ảnh của đờng tròn
1
.
3
HÃy vẽ ảnh của y trình bày lời giải chi tiếp cho bài toán 2.

(O; R) tâm I (I là trung điểm của BC) tỉ số k =
Hoạt động

Bài toán 3: Với ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đờng tròn ngoại tiếp O th×
ta cã GH  2 GO .
Nh vËy, khi ba điểm G, H, O không trùng nhau thì chúng cùng nằm trên một đờng thẳng, đợc gọi là đờng thẳng ơle.
Hoạt động

HÃy vẽ ảnh của y trình bày lời giải chi tiếp cho bài toán 3.

Giỏo ỏn in t ca bài giảng này giá: 750.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC
4


Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

5


B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1:Tìm phép vị tự biến hình (H1) thành (H2).
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự.
Ví dụ 1:
Cho hình thang ABCD có các đáy CD = 3AB. HÃy xác định các phép vị
tự biến:




a. AB thµnh DC .
b. AB thµnh CD .
Híng dÉn: Víi yêu cầu của bài toán thì chúng ta thấy ngay:

ở câu a), ta thấy:
A D
Tâm vị tự I phải là giao điểm của AD và BC.

B C
b. ở câu b), ta thấy:
A C
Tâm vị tự I phải là giao điểm của AC và BD.

B D
Công việc còn lại trong mỗi câu hỏi là tìm đợc tỉ số vị tự k.
I
a.

Giải

a. Gọi I là giao điểm
B
A
của AD và BC, khi đó:

VI3 ( AB ) = DC .
O
b. Gäi O lµ giao
 cđa AC và BD, khi đó:
điểm
3
VO ( AB ) = CD .
Ví dụ 2:

Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đờng D
tròn trong cácCtrờng hợp sau:
a. Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài với nhau.
b. Hai ®êng trßn tiÕp xóc trong víi nhau.
c. Mét ®êng trßn chứa đờng tròn kia.
Giải
a.
Hai đờng tròn (I; R) và (I'; R') tiếp xúc ngoài với nhau, ta xét:
Trờng hợp 1: Nếu R = R' thì k = 1.
Khi đó,
O
tâm vị tự O thoả mÃn:
I'
I
=
k

k
chỉ
có
thể
bằng
1
OI '
OI
O (tâm vị tự trong) là trung điểm của II' (chính là tiếp điểm của hai đờng tròn)
Trờng hợp 2: Nếu R R' thì ta có thể xác định các phép vị tự sau:
Lấy A'B' là một đờng kính của đờng tròn (I'; R')
A'
và

IA là một bán kính của (I; R) sao cho hai vectơ
A
IA và I'A ' cùng hớng.
O2
Đờng thẳng II' cắt AA' và AB' lần lợt tại O1 (tâm


I'
I
vị tự ngoài) và O2 (tâm vị tự trong và O 2 trùng với O1
tiếp điểm).
b.
Hai đờng tròn (I; R) vµ (I'; R') tiÕp xóc trong víi nhau (R R'), ta
B' có thể xác
định các phép vị tự sau:
A'
Lấy A'B' là một đờng kính của đờng tròn (I'; R') và IA
A
là một bán kính của (I; R) sao cho hai vectơ IA và

I'A ' cùng hớng.
I O I
O1
2
Đờng thẳng II' cắt AA' và AB' lần lợt tại O1 (tâm vị tự
ngoài) và O2 (tâm vị tù trong).
B'
6

c.
Đờng tròn (I; R) nằm trong đờng tròn (I'; R'), ta xét:
Trờng hợp 1: Nếu I I' thì khi đó tâm vị tự O trùng với điểm I.
Vậy, ta cã hai phÐp vÞ tù:
R'
R'
 PhÐp vÞ tù V1(I; k1) với k1 = R (biến điểm M
R
thành điểm M'1).
O

I M M'
M'2
R'
1
 PhÐp vÞ tù V2(I; k2) víi k2 =  R (biến điểm M
thành điểm M'2).
Trờng hợp 2: Nếu I không trùng với I' thì ta có thể xác định các phép vị tự sau:
Lấy A'B' là một đờngkính của
đờng tròn (I'; R') và IA là một bán kính của (I;
R) sao cho hai vectơ IA và I'A ' cùng hớng.
Đờng thẳng II' cắt AA' và AB' lần lợt tại O1 (tâm vị tự ngoài) và O2 (tâm vị tự
trong).
Bài toán 2: Giải bài toán định tính.
Phơng pháp áp dụng
Ta thờng gặp các dạng yêu cầu sau:
Dạng 1: Chứng minh (H1) là ảnh của (H2) qua phép vị tự VOk , ta thực hiện theo
các bớc:
Bớc 1:
Lấy ®iÓm M1 tuú ý thuéc (H1), ta ®i chøng minh:

M2 = VOk (M1) (H2).
Bớc 2:
Ngợc lại, lấy điểm M2 tuú ý thuéc (H2), ta ®i chøng minh:
M1 = VOk (M2)  (H1).
D¹ng 2: Chøng minh tÝnh chÊt K, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Xác định một hoặc nhiều phép vị tự để thiết lập mối liên kết
giữa các yếu tố.
Bớc 2:
Sử dụng các tính chất của phép vị tự để giải các yêu cầu của
bài toán.
Ví dụ 1:
Cho hai đờng tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài với
nhau, đờng tròn (O") tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lợt tại B và C. Chứng minh
rằng đờng thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Hớng dẫn: Sử dụng một kết quả trong ví dụ 2 của bài toán 1.
Giải
Giả sử đờng thẳng BC cắt (O), (O') và OO' theo thứ tự tại A, A và I.
Vì C tâm tỉ cự trong của (O') và (O") nên:
A'
R'
CA '
CO'
=
=
O'A' // BO" O"
R"
CB
CO"
A

B C
R
IB
OB

I
O
O'
O'A' // OB
=
=
R'
IA'
O' A '
I là tâm tỉ cự ngoài của hai đờng tròn (O; R) và (O'; R').
B'
Vậy, đờng thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định là tâm tỉ cự ngoài của
hai đờng
tròn (O; R) và (O'; R').




Bài toán 3: Giải bài toán định lợng.
Phơng ph¸p ¸p dơng
7


Bằng việc thiết lập đợc các phép vị tự thích hợp, ta có thể tính toán đợc các yếu tố
trong một hình.

Ví dụ 1:
Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Một đờng tròn (O') tiếp xúc với (O)
và đoạn AB lần lợt tại C, D, cắt đờng thẳng CD tại (O; R) tại I. Tính độ dài các đoạn
thẳng AI và BI.

Hớng dẫn: Sử dụng một kết quả trong ví dụ 2 của bài toán 1.
Giải
Ta có:
C là tâm vị tự dơng của hai đờng tròn (O) và (O').
D(O'), I(O) và ba điểm C, D, I thẳng hàng.




C

R'
Do đó thực hiện phép vị tự tâm C, tỉ số
(với R' là
R

O

O

B

D

bán kính của (O')), ta có:

R'
R
HC

A

: O O', I  D  OI // O'D  OI AB
I

I là trung điểm của cung AB AI = BI.
Khi đó:
AI = BI =

AB
2

=

2R
2

=R

2

.

Bài toán 4: Tìm tập hợp điểm M.
Phơng pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1:
Tìm một phép vị tự VOk , biến điểm E di động thành điểm M .
Bớc 2:
Tìm tập hợp (H) của các điểm E.
Bớc 3:
Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép vị tự VOk .
Ví dụ 1:
Cho đờng tròn (O, R) và một điểm A cố định ở trên đờng tròn, BC là một
dây cung di động của đờng tròn này và BC có độ dài không đổi bằng 2d (d < R). Tìm tập
hợp trọng tâm G của ABC.
Hớng dẫn: Độ dài cung BC có độ dài không đổi nên khoảng cách từ O tới BC cũng



Giải

không đổi (tức OM không đổi với M là trung điểm của BC). Từ đó:
M thuộc đờng tròn cố định tâm O, bán kính OM.
Bài toán đợc chuyển về dạng "Tìm phép vị tự biến điểm M thành
điểm G".

Gọi M là trung điểm cạnh BC thì OMBC
Trong OMC ta có:
OM2 = OC2MC2 = R2d2  OM = R 2  d 2 .
Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn () tâm O bán kính
R2 d2 .
2
Vì AG =
nên VA2 / 3 (M) = G
AM

Bài toán 5: Dựng hình.
8

G

B

3

Suy ra tập hợp các điểm G là đờng tròn (C') với (C') =

A

VA2 / 3

[()].

O
M

C


Phơng pháp áp dụng
Ta luôn thực hiện theo 4 bớc đà biết.
Ví dụ 1:
Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. HÃy dựng qua A một đờng
thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O') ở N sao cho M là trung điểm của AN.
Giải

Phân tích: Giả sử đà dựng đợc đờng thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O') ở N sao cho M là
trung điểm của AN, gọi k =

AN
= 2. Thực hiện phép vị tự V tâm A, tỉ số k = 2 thì
AM

N = V(M).
Cách dựng: Ta lần lợt thùc hiƯn:
A
- Dùng (O") = V(O), khi ®ã (O")  (O) = {N}.
O
O'
- Nối AN cắt (O) tại M.
M
AN là đờng thẳng d phải dựng
B
Chứng minh: Ta có ngay M, N theo thứ tự thuộc đờng
N
tròn (O) và (O'), ngoài ra:
N = V(M)  AN = 2 AM
 M lµ trung điểm của AN.
Biện luận: Vì (O") cắt (O) tại duy nhất một điểm N nên bài toán chỉ có một nghiệm hình.

Ví dụ 2:
Dựng hình vuông nội tiếp trong một tam giác cho trớc (hình vuông nội itếp
tam giác là hình vuông có hai đỉnh ở trên một cạnh, hai đỉnh còn lại ở trên hai cạnh
còn lại của tam giác).
A
Giải

Phân tích: Giả sử đà dựng đợc hình vuông MNPQ néi tiÕp
MN
M
N
trong am gi¸c ABC cho tríc. Gäi k =
. Thực hiện
BC
phép vị tự tâm A, tỉ số k thì hình vuông MNPQ sẽ biến
thành hình vuông BCDE. Suy ra A, P, D thẳng hàng và A,
B
C
Q
P
Q, E thẳng hàng.
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
- Dựng hình vuông BCDE sao cho BCDE và ABC
nằm ở hai bên của đờng thẳng BC.
- AD cắt cạnh BC tại P; AE cắt cạnh BC tại Q
D
- Dựng đờng thẳng qua P, song song với BC cắt cạnh AC tạiEN
- Dựng đờng thẳng qua N, song song với BC cắt cạnh AB tại M
Thì MNPQ là hình vuông phải dựng.



Chứng minh: Theo c¸ch dùng ta cã tø gi¸c MNPQ néi tiÕp trong tam giác ABC.
áp dụng định lý Talet, ta có:
AM
AB

= AN = AP = AQ = k  VAk : MNPQ BCDE
AC

AD

AE

mà BCDE là hình vuông nên MNPQ là hình vuông.
Biên luận: Ta luôn chỉ có một hình vuông BCDE ở khác phái của tam giác ABC đối
với đờng thẳng BC nên luôn có chỉ một điểm P và chỉ một điểm Q ở trên cạnh BC.
Vậy bài toán có một và chỉ một nghiệm hình.
9


Bài toán 6:Hệ toạ độ đối với phép vị tự.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng biểu thức toạ độ của hai vectơ cùng phơng.
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tọa độ ảnh của điểm M(0; 2) qua:
a. Phép vị tự V tâm O tỉ số k = 2.

b. Phép biến hình f là hợp thành của phép tịnh tiến T theo vectơ v(2; 1) và V.

Hớng dẫn: Với bài toán này:

ở câu a), thiết lập biểu thức ®iỊu kiƯn:


 x M ' 2x M
.

VO2 (M) M '  OM ' 2OM  
 y M ' 2y M
b. ở câu b), lần lợt thực hiện theo T và V.
a.

Giải

a. Giả sử VO2 (M) M '(x '; y') , ta cã:


 x ' 2.0 0
 M1(0; 4).
OM ' 2OM  
 y ' 2.2 4
b. Ta lÇn lợt:
Giả sử Tv (M) M1 (x1; y1 ) , ta cã:
 
 x 2
 x 2
 
 M1(2; 1).
MM1 v  
 y  2  1
 y 1
 Gi¶ sư VO2 (M1 ) M 2 (x 2 ; y 2 ) , ta cã:
 
 x 2 2.2 4
 M2(4; 2).
OM 2 2OM1  
 y 2 2.1 2

Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là ảnh
của đờng thẳng (d): x + y  1 = 0 qua phÐp vÞ tù O tØ sè k = 2.

 Gi¶i

Ta cã hai cách trình bày sau:
Cách 1: Lấy điểm A(1; 0) (d) và VO2 (A) A1 (2; 0) .
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (2;0)
qua A1 (2;0)
(d1): 
 (d1): 
 (d1): x + y  2 = 0.
(d1 ) //(d)
(d1 ) :x  y  C 0
Cách 2: Lấy hai điểm A(1; 0) và B(0; 1) thuéc (d) vµ gäi:
VO2 (A) A1 (2; 0) ;
VO2 (B) B1 (0; 2) .
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (2;0)
x y
(d1):
(d1):  1  (d1): x + y  2 = 0.
qua
B
(0;2)
2 2

1

Ví dụ 3:
Cho đờng tròn (C): (x + 1) 2 + (y1)2 = 1. Tìm phơng trình của đờng tròn
(C1) là ảnh của đờng tròn (C) qua phép vị tù t©m O tØ sè k = 2.
10


Giải
Đờng tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kÝnh R = 1.
Gäi VO2 (I) I1 (x1 ; y1 ) , ta cã:


 x1  2
 I1(2; 2).
OI1 2OI
y1 2
Khi đó, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi:
Tâm I1 ( 2; 2)
(C1):
(C1): (x + 2)2 + (y  2)2 = 4.
Bk
Ý
nh
R

2R

2

1
C. bµi tập rèn luyện

Bài tập 1. Cho hai tam giác ABC và ABC không bằng nhau nhng có các cạnh tơng øng song song: AB//A’B’, BC//B’C’, CA//C’A’. Chøng minh r»ng cã phép vị tự
biến tam giác này thành tam giác kia.
Bài tập 2. Cho hai phép vị tự V1 có tâm O1 tỉ số k1 và V2 có tâm O2 tỉ số k2. Gọi f là hợp
thành của V1 và V2. Chứng minh rằng:
a. f là một phép tịnh tiến nếu k1k2 = 1. HÃy xác định vectơ tịnh tiến.
b. f là một phép vị tự nếu k1k2 1. HÃy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự.
Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A và đờng cao AD. Gọi V là phép vị tự tâm
DA
D tỉ số k
và Q là phép quay tâm D góc quay = (DB, DA), f là hợp thành của
DB
V và Q.
a. Phép f biến ABD thành tam giác nào ?
BM AN
b. Lấy hai điểm M, N lần lợt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho
.

MA NC
Chứng minh rằng DMN là tam giác vuông.
Bài tập 4. Cho ba đờng tròn (O1), (O2), (O3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau, A là
tiếp điểm của (O1) và (O2), B là tiếp điểm của (O2) và (O3), C là tiếp điểm của (O3)
và (O1). Đờng thẳng AB cắt (O 3) tại điểm thứ hai B, đờng thẳng AC cắt (O3) tại điểm
thứ hai C. Chứng minh rằng BC là đờng kính của (O3).
Bài tập 5. Cho ba đờng tròn (I1, R1), (I2, R2), (I3, R3) không đồng tâm và không bằng
nhau. Gọi O1 và O1 lần lợt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đờng tròn (I2,
R2), (I3, R3), O 2 và O 2 lần lợt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đờng tròn
(I3, R3), (I1, R1), O3 và O3 lần lợt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đờng
tròn (I1, R1), (I2, R2). Chứng minh rằng mỗi bộ ba điểm sau đây thẳng hµng:
O1 , O 2 , O3 ;
O1 , O 2 , O3 ;

O1 , O 2 , O3 ;
O1 , O 2 , O3 .
Bài tập 6. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Một đờng thẳng thay
đổi đi qua A cắt (O) tại A và M, cắt (O) tại A và M. Gọi P, P lần lợt là trung điểm
của AM, AM.
a. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn PP'.
b. Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn MM'.
AB
Bài tập 7. Dựng ABC biết góc  = , tỉ số
k và chu vi tam giác bằng m.
AC
Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tọa độ ảnh của điểm M(0; 2) qua phép vị tự:
a. Phép vị tự V tâm I(2; 1) tØ sè k = 2.
b. PhÐp biÕn h×nh f là hợp thành của phép đối xứng tâm I vµ V.

11


Bài tập 9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm phơng trình của đờng thẳng (d1) là ảnh
1
của đờng thẳng (d): x + 2y  4 = 0 qua phÐp vị tự O tỉ số k = .
2
Bài tập 10. Cho đờng tròn (C): (x + 2) 2 + (y4)2 = 16. Tìm phơng trình của đờng
tròn (C1) là ảnh của đờng tròn (C) qua phép vị tự tâm E(1; 2) tỉ số k = 2.
D. hớng
hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 1. Bạn đọc tự vẽ hình
Từ giả thiết AB và AB song song và không bằng nhau, suy ra hai đờng thẳng
AA và BB cắt nhau tại I.
OA '

Gọi V là phép vị tự tâm I tỉ sè k 
.
OA
Khi ®ã V(C) = C1 sao cho AC//A’C1, BC//BC1 C1C.
Vậy, phép vị tự cần tìm chính là V.
Bài tập 2. Bạn đọc tự vẽ hình
Với điểm
M bất kỳ, giả sử V1(M) = M1 và V2(M1) = M2, suy ra:
O1M1 k1 O1M

vµ f(M) = M1.

O 2 M 2 k 2 O 2 M1


Gäi I = V2(O1), tøc lµ O 2 I k 2 O 2 O1. Tõ ®ã, suy ra:



IM 2 k 2 O1M1 k1k 2 O1M.
a. Víi k1k2= 1 th×:    

IM 2 O1M  MM 2 O1I O1O 2  O 2 I (1  k 2 )O1O 2 .


Tøc f lµ phÐp tịnh tiến theo vectơ v (1 k 2 )O1O 2 .


b. Với k1k2 1 thì chọn điểm O3 sao cho O3 I k1k 2 O3O1 , khi ®ã nhËn thÊy:
  




O3 M 2 O3 I  IM 2 k1k 2 O3O1  k1k 2 O1M k1k 2 O3 M.
Tức f là phép vị tự tâm O3 tỉ số k = k1k2. Và tâm O3 của phép vị tự này đợc xác
định bởi đẳng thức:




O3 I k1k 2 O3O1  O3O1  O1O 2  O 2 I k1k 2 O3O1
 


 (1  k1k 2 )O1O3 O1O2  k 2 O 2O1 (1  k 2 )O1O 2

1  k 2
O1O 2 .
 O1O3 
1 k1 k 2
Bài tập 3. Bạn đọc tự vẽ hình
a. Nhận xét rằng:
DA DC
k

DB DA
nên f biến ABD thành CAD.
b. NhËn xÐt r»ng:
 f(BA) = AC.
 M, N lÇn lợt chia BA, AC theo cùng một tỉ số.

Từ đó, suy ra:

12


f(M) = N  (DM, DN) =   DMN vuông tại D.
Bài tập 4. Từ giả thiết, ta có nhận xét:
a.
Vì B là tâm vị tự trong của (O 2) và (O3) nên O2A // O3B.
b.
Vì C là tâm vị tự trong của (O1) và (O3) nên O1A // O3C.
Mặt khác, ta có ba điểm O1, A, O2 thảng hàng
nên C, O3, B thẳng hàng.
Vậy BC là đờng kính của (O3).
Bài tập 5.
a. Với bộ ba điểm O1 , O 2 , O3 , ta cã nhËn xÐt:


PhÐp vÞ tự tâm O3 tỉ số

A

O2

C'

O1 C

O3

B

B'

R2
biến đờng tròn (I1, R1) thành đờng tròn (I2, R2).
R1

R3
biến đờng tròn (I2, R2) thành đờng tròn (I3, R3).
R2
Khi đó, hợp thành của hai phép vị tự trên là một phép vị tự V 1 biến đờng tròn (I1,
R1) thành đờng tròn (I3, R3) và có tỉ số:
R 2 R3 R3
.

V1 có tâm vị tự là O2 .
R1 R 2 R1



Phép vị tự tâm O1 tØ sè

VËy, bé ba ®iĨm O1 , O 2 , O3 thảng hàng.
b. Với các bộ O1 , O 2 , O3 ; O1 , O 2 , O3 ; O1 , O 2 , O3 đợc chứng minh tơng tự.
Bài tập 6.
a.
Gọi Q là trung điểm OO, suy ra:
IQ là đờng trung bình của hình thang OPPO
A J P’

P
I

M
M’
 QI  PP'  AIQ
900.
VËy, q tÝch trung ®iĨm I của đoạn PP' thuộc đờng
O
Q O
tròn (C) đờng kính AQ.
B O
b.
Từ giả thiết J là trung điểm của MM, suy ra:






1
AJ  AM  AM ' AP  AP ' 2AI.
2
Vậy, quỹ tích trung điểm J của đoạn MM' thuộc đờng tròn (C) là ảnh của đờng
tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số bằng 2.
Bài tập 7. Trớc tiên, chúng ta đi dựng ABC sao cho:
AB'
 = và
k .
AC'

Đặt AB + BC + CA = m.
m
Khi đó, phép vị tự tâm A tỉ số
sẽ biến ABC thành ABC.
m'
Bài tập 8.
a. Giả sử VI3 (M) M '(x '; y') , ta cã:







 x ' 2 2(0  2)
 x '  2
 
 M’( 2; 5).
IM ' 2IM  
 y ' 1 2(2  1)
 y ' 5
b. Ta lần lợt:
Giả sử Đ I (M) M1 , ta cã M1(4; 4).

13


Gi¶ sư VI2 (M1 ) M 2 (x 2 ; y 2 ) , ta cã:



 x 2  2 2(4  2) 4
 M2(4; 6).
IM 2 2IM1  
 y 2  1 2( 4  1)  6
Bµi tập 9. Ta có hai cách trình bày sau:
Cách 1: Lấy điểm A(4; 0) (d) và VO1/2 (A) A1 (2; 0) .
Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (2;0)
qua A1 (2;0)
(d1):
(d1):
(d1): x + 2y  2 = 0.
(d1 ) //(d)
(d1 ) :x  2y  C 0
C¸ch 2: LÊy hai ®iĨm A(4; 0) vµ B(0; 2) thc (d) vµ gäi:


1

VO2 (A) A1 (2; 0) ;

1

VO2 (B) B1 (0; 1) .

Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d1) đợc xác định bởi:
qua A1 (2;0)
x y
(d1): 
 (d1):  1  (d1): x + 2y 2 = 0.

qua
B
(0;1)
2 1

1
Bài tập 10. Đờng tròn (C) có tâm I(2; 4) và bán kính R = 4.
Gäi VE2 (I) I1 (x1 ; y1 ) , ta cã:


 x1  1 2( 2  1)
 x  5
  1
 I1(5; 6).
EI1 2EI  
 y1 2 2(4 2)
y1 6
Khi đó, phơng trình đờng tròn (C1) đợc xác định bởi:
Tâm I1 ( 5; 6)
(C1): 
 (C1): (x + 5)2 + (y  6)2 = 64.
Bk
Ý
nh
R

2R

8


1

14